Размещено на http://www.allbest.ru/

Кинематика сплошных сред

Задана векторная функция плоскопараллельного установившегося движения несжимаемой сплошной среды.

Требуется:

1. Построить трубку тока.

2. Определить наличие источников и стоков.

3. Определить параметры вращательного движения.

4. Определить поток сплошной среды через поверхность единичного куба.

Векторная функция плоскопараллельного установившегося движения несжимаемой сплошной среды имеет вид

v_x= -2x, v_y= 2y.

Построим трубку тока, определим наличие источников и стоков, параметры вращательного движения, поток сплошной среды через поверхность единичного куба.

Составим и решим дифференциальное уравнение

Для определения источников и стоков вычислим дивергенцию вектора скорости

Так как , то источники и стоки отсутствуют

Для определения параметров вращательного движения, вычислим ротор поля скоростей.

Так как , то поле является безвихревым и вектор-функция поля угловых скоростей равна 0.

Поток вектора скорости сплошной среды через замкнутую поверхность единичного куба определяется по формуле Остроградского-Гаусса:

Так как , то , т.е. количество втекающей в куб сплошной среды равно количеству сплошной среды, вытекающей из него.

Вычислим потоки через Q_i через грани единичного куба. Для этого используем формулу:

,

Потоки Q_i через грани куба определяются следующим образом:

, x=1 на грани АА₁В₁В;

, x=0 на грани ODC₁C;

, y=1 на грани BB₁C₁C;

, y=0 на грани OАА₁В.

Вычислим потоки:

x=1 = - 2

=2x

x=0 =0

= 2y

y=1 = 2

=-2y

y=0 = 0



Механические характеристики абсолютно-упругого тела

Для абсолютно упругого тела заданы:

а) упругие постоянные материала - модуль упругости и коэффициент Пуассона

б) поле перемещений для любой точки , и

в) точка М, координаты которой заданы единичным вектором

,

где - направляющие косинусы вектора или координаты точки М (поскольку )

Необходимо определить деформационное и напряженное состояние материала в точке М и графически изобразить деформации и вектор полного напряжения по наклонной площадке.

Под действием внешней нагрузки абсолютно упругое тело деформируется. Поле перемещений частиц определяется векторной функцией. векторный плоскопараллельный несжимаемый жидкость

,

где - функции проекций вектора перемещений на оси Ox, Oy и Oz.

Согласно теореме Гельмгольца деформационное движение определяется тензором деформаций:

,

где - линейные деформации вдоль осей Ox, Oy и Oz,

, , - углы сдвига в координатных плоскостях xOy, xOz и yOz, соответственно.

Находим с помощью формул Коши компоненты тензора деформаций.

;

Тензор деформаций в точке М будет выглядеть следующим образом:



Используя формулу

,

определим относительное удлинение .

Для получения картины напряженного состояния необходимо по уже полученным деформациям определить напряжения в точке. Для этого используем обобщенный закон Гука, записанный через параметры Ламе.

,

,

,

Где

-

коэффициент Ламе



- коэффициент Ламе

- объемная деформация

- модуль упругости при сдвиге.

- нормальные напряжения

- касательные напряжения

Тензорное поле напряжений записывается в виде матрицы следующего вида:

Наклонная площадка проходит через точку М перпендикулярно вектору единичной нормали с направляющими косинусами l, m, n. Поэтому эта площадка отстоит от начала координат на расстоянии единицы длины и отсекает на координатных осях отрезки соответственно a, b, c, которые могут быть вычислены через l, m, n следующим образом:

на оси Ox, на оси Oy, на оси Oz.

a=1.22

b=-1,83

c=-5.5

Вектор полного напряжения в точке М на наклонной поверхности равен:

.

Его модуль равен:

.

Проекции вектора полного напряжения на оси координат можно вычислить через компоненты тензора напряжений по формулам:

Произведем разложение вектора полного напряжения в точке М на наклонной площадке на нормальное и касательное напряжения.

Нормальное напряжение у_n равно:

Величина касательного напряжения ф_n определяется по формуле:

Построим нормальное и касательное напряжение в точке М

Динамика идеальной и вязкой несжимаемой жидкости

Идеальная несжимаемая жидкость плотности при комнатной температуре вытекает по трубопроводу переменного сечения из закрытого бака в атмосферу. Уровень жидкости в баке поддерживается постоянным. Абсолютное давление воздуха над поверхностью жидкости измеряется манометром.

Требуется:

1) построить пьезометрическую линию трубы

2) рассчитать потери напора по длине трубы в участках с постоянным сечением, считая жидкость вязкой, а скорости движения взять из расчетов для идеальной жидкости.

Для построения пьезометрической линии используем закон Бернулли. Выбирая плоскость сравнения 0-0, проходящей через ось трубы, сечение 1-1 - совпадающим с уровнем жидкости в баке, сечение 2-2 - совпадающим с выходным сечением, запишем уравнение Бернулли:

,

где - скоростной напор,

- пьезометрический напор.

- геометрический напор, определяемый расстоянием центра сечения потока от произвольно выбранной плоскости сравнения, параллельной поверхности Земли.

Выбираем два сечения: 1-1 и 2-2.

Тогда исходя из условий задачи имеем.

, т.к. уровень постоянный.

, т.к. это давление на поверхности жидкости.

, атмосферное давление.

, т.к. плоскость сравнения выбираем проходящей через ось трубы.

Подставляя данные задачи в уравнение , получаем формулу для расчета скорости истечения жидкости в сечении 2-2.



Величина - приведенный к атмосферному давлению статический напор в трубе, который в данном случае равен приведенному полному напору, т.е. .

Для нахождения скорости течения жидкости в остальных сечениях используем уравнение неразрывности, показывающее постоянство объемного расхода в трубе:

,

где - скорость в i-ом сечении;

- площадь круглого сечения.

Скорость в сечении 3-3 определяется по формуле:

Рассечем конусообразный участок трубы пополам сечением 4-4 и еще раз пополам сечениями 5-5 и 6-6 .

Вычисляем скоростные напоры для сечений:

Скоростные напоры вычисляем по формуле , тогда пьезометрические напоры вычисляются по формуле



Расчет потерь напора

В случае движения по трубе реальной жидкости, у которой коэффициент кинематической вязкости не равен нулю, имеет место потеря напора по длине трубы. Эти потери зависят от режима течения жидкости. Режим течения характеризуется числом Рейнольдса, которое можно определить по формуле:

,

Где - скорость течения жидкости на участке трубы с постоянным течением ;

- диаметр потока в трубе ;

- кинематическая вязкость ;

Потери напора вычисляем по формуле:

,

где - длина трубы;

- коэффициент Дарси, зависящий от режима течения;

Если , то режим течения ламинарный и коэффициент Дарси равен , в противном случае - режим течения турбулентный и следует использовать формулу .

Определим потери напора на участке трубы с постоянным диаметром .

Вычисляем число Рейнольдса:

.

Поток турбулентный.

Коэффициент Дарси равен

Потери напора:

Определим потери напора на участке трубы с постоянным диаметром .

Вычисляем число Рейнольдса:

. Поток турбулентный.

Коэффициент Дарси равен



Потери напора:

Складываем потери напора и сравниваем с : . Видим, что сумма потерь по двум участкам больше, чем полный напор. Это означает, что проводить расчеты нужно с учетом вязкости жидкости, т.е. жидкость нельзя считать идеальной.



Список использованной литературы

1. К.Н. Быстров. Гидравлика в полиграфии: Учебное пособие. - М.: МГУП, 1997 г.

2. П.Н. Силенко. Теоретическая механика: Конспект лекций. - М.: МГУП, 2002.

3. С.С. Семенюта, В.Н. Кураев. Прикладная механика: Конспект лекций. - М.: МГУП, 2004.

4. С.С. Семенюта, В.Н. Кураев, О.А. Иванов. Прикладная механика (для студентов вечернего и заочного отделений): Методические указания по выполнению курсовой работы для специальностей 281400 «Технология полиграфического производства», 072500 «Технология и дизайн упаковочного производства». - М.: МГУП, 2002.

5. А.А. Яблонский. Курс теоретической механики, части 1 и 2 -М., 1984.

6. Дж. Мейз Теория и задачи механики сплошной среды - М1954.

7. К.Н. Быстров , О.А. Иванов. Элементы механики сплошной среды в полиграфии: Учебное пособие. - М.: МГУП, 1989.

8. К.Н. Быстров. Гидравлика и гидравлические устройства полиграфического оборудования. Учебное пособие. -М.: МГУП, 1996.

9. В.Н. Кураев. Одномерные реологические модели сплошных сред: Учебное пособие. - М.: МГУП, 1996.

Размещено на Allbest.ru

...