Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Мониторинг процесса выполнения курсовой работы по дисциплине «Статистическая физика»

Тема: Термодинамика молекулярных газов. Влияние колебаний атома

Студент:

Домбровская Н.

Москва 2015



Содержание

1. Модель больцманского газа. Область применения модели

2. Вывод выражений для основных термодинамических величин больцмановского газа

3. Вывод формул для вкладов колебаний атомов в свободную энергию, во внутреннию энергию, в энтропию и в теплоемкость газов

Вывод

Список использованной литературы

Приложения



1. Модель больцманского газа. Область применения модели

Модель больцмановского газа - это предельный случай модели идеального газа, взаимное влияние частиц в котором, связанное с их тождественностью, учитывается в больцмановском приближении.

Модель идеального газа - это сильно разреженный газ (т.е среднее расстояние молекул значительно больше радиуса взаимодействия), состоящий из невзаимодействующих частиц, в котором потенциальная энергия взаимодействия молекулы с окружающими мала по сравнению с ее кинетической энергией. Так как взаимодействия между частиц отсутствует, то мы можем свести квантовомеханическую задачу об определении уровней энергии En всего газа в целом до задачи об уровнях энергии отдельной молекулы.

Существуют две модели идеального газа - газ Ферми-Дирака и газ Бозе-Эйнштейна:

Если частицы в газе подчиняются статистике Ферми - Дирака, то набор чисел заполнения одночастичных состояний выглядит так:

,

Если же частицы подчиняются статике Бозе - Эйнштейна, то этот набор выглядит так:

Для больцмановского газа выполняются следующие условия:

,

Где n-концентрация частиц, - среднее расстояние между частицами.

Где - средняя длина волны де Бройля частицы газа

При выполнении условия (1.2) можно пренебречь взаимным влиянием частиц, связанным с их тождественностью, т.е частицы можно считать различимыми. Подобное влияние будет несущественное, если количество квантовых состояний, в которых могут реально находиться молекулы газа, во много раз превышает число молекул. Для этого газ должен быть достаточно разряжен.

Условие (1.2) эквивалентно условию (1.3):

Доказательство эквивалентности (1.2) и (1.3) представлено в приложении 1.

Примером больцмановского газа может служить чистый газообразный кислород при температуре 300 К и давлении 2?Па, чистый газообразный водород при температуре 300 К и давлении и давлении 0.5?Па, чистый газообразный азот при температуре 300 К и давлении Па, также больцмановского газа иногда применима и к газам элементарных частиц, если этот газ достаточно разряжен, например, газ электронов.[5]

Модель больцмановского газа применима только к одноатомным газам и их смесям, так как классическое кинетическое уравнение Больцмана описывает газы, не обладающие внутренней структурой молекул.

2. Вывод выражений для основных термодинамических величин больцмановского газа

Свободная энергия одной компоненты записывается в общем виде как сумма по всем состояниям системы:

,

Используя то, что в каждом из возможных молекулярных состояний может оказаться не больше одной частицы, то от суммирования по состояниям системы можно перейти к суммированию по уровням энергии одной молекулы

,

где - энергия одной молекулы.

Т.к. N 1 и по формуле Стирлинга , то:

Далее записывая полную энергию в виде: , где:

- кинетическая энергия поступательного движения;

- энергия внутренних степеней свободы;

и переходя от суммирования к интегрированию по всем состояниям, получаем:

Введем и перепишем в виде:

F

Формула (2.4) и есть выражение для свободной энергии.

Если взять частную производную , то получим выражение для давления газа:



P = , или, если умножить на объем:

PV =

Теперь, зная F можно получить остальные термодинамические величины.

Запишем термодинамический потенциал Гиббса:

G+PV

Подставим в выражение. Получим:

G

Введем новую функцию температуры:

,

С учетом и получим выражение для термодинамического потенциала Гиббса:

G

Известно, что термодинамический потенциал связан с химическим потенциалом соотношением:

G

Т.е, для получения выражения для химического потенциала необходимо поделить формулу на число частиц N:

Найдем химический потенциал в переменных (T,V), для этого нужно взять частную производную:

= =

Распишем по свойству логарифмов:

ln(eV)+NTln(N)+N)'

Конечное выражение для химического потенциала имеет вид:

,

Энтропия находится как:

S(T,P,N)=

Используя преобразуем выражение в функцию P и T:

S(P,T)= ,

Внутренняя энергия равна:



Дифференциал свободной энергии равен:

Подставим в (2.16) выражения:

И затем подставим в полученные равенства и уравнение свободной энергии:

Упростим, получим:

Аналогично:

Подставим выражения:



Получим:

Найдем термодинамический потенциал Гиббса:

Подставим в, получим:

Так как формулы и одинаковы, то делаем вывод, что внутренняя энергия для больцмановского газа не зависит от объема и давления.

Теплоемкости также являются функциями, не зависящими от P и V:

Вычислим производную, получим:

,

По формуле Маера, зная , найдем :



Где R-универсальная газовая постоянная, равная 8,31 .

3. Вывод формул для вкладов колебаний атомов в свободную энергию, во внутреннию энергию, в энтропию и в теплоемкость газов

Необходимо рассмотреть отдельно двухатомную и многоатомную молекулы.

В двухатомной молекуле есть только одна колебательная степень свободы, так как колебания атомов происходят вдоль прямой, соединяющей их ядра.

Если колебания малы, т. е. и Т Тдисс, то колебательные уровни энергии двухатомной молекулы записываются так:

где -- частота колебаний, a v =0,1,2,... колебательное квантовое число.

Колебательная статистическая сумма для одной молекулы запишется:

,

Где .

Ряд в - геометрическая прогрессия 1+q+, где q=.

Как известно из математики, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии описывается формулой:



Используя получим в:

Свободная энергия молекулярного газа разобьется на сумму нескольких слагаемых.

F = Fпост+ Fэл+ Fкол+ Fвращ.

Где свободная энергия колебания равна:

,

Подставим в, получим:

,

Для расчета внутренней энергии найдем сначала :

Вспомним формулу:

U(T,N)=F+TS,



Подставим в выражение и:

Упростим выражение, получим:

Из выражения находится вклад колебаний в теплоемкость газа :

,

В сложных молекулах, состоящих из трех и более атомов, существует несколько различных типов колебаний ядер около равновесных положений. Если молекулы газа устойчивы, т.е. температура газа значительно меньше, чем температура диссоциации T дисс = Е дисс/k, то колебания малы и колебательные уровни энергии молекулы описываютя формулой:

где vi независимо друг от друга принимают значения 0,1, 2,....

Из выражения можно получить выражение для статистической суммы:

Это геометрическая прогрессия:



1+q++… где q=

Как известно, сумма геометрической прогрессии вычисляется так:

,

C учетом получим в следующее:

(3.16)

Выражение для свободной энергии колебаний молекул будет иметь вид: больцманский газ термодинамический энергия

Где .

Каждая мода колебаний атомов вносит аддитивный вклад в свободную энергию газа. Найдем вклад в энтропию:

,

Вычислив частные производные получим:

Выражение для внутренней энергии тогда будет иметь вид:



Выражение для теплоемкости будет иметь вид:

,

Расчетная часть.

Экспериментальное значение характеристической температуры для колебаний атомов в молекуле NO составляет =2690 K.

1) Вывести приближенные выражения для вклада колебаний атомов в энтропию газообразного NO в предельных случаях и .

2) Вывести приближенные выражения для вклада колебаний атомов в молярную теплоемкость газообразного NO в предельных случаях и

3) Оценить вклад колебаний молекул в молярную теплоемкость газа NO при комнатных температурах T~20 и сравнить его с вкладом поступательного движения молекулы.

4) Построить и обсудить графики зависимости от температуры газа NO.

1. Воспользуемся формулой для выражения

,

По определению характеристическая температура равна:



С учетом получим в

Рассмотрим предельный случай .[4]

При высоких температурах можно произвести разложение по степеням и ограничиться первыми членами разложения:

Разложим в ряд

+

И в ряд :

Возьмем первые два члена ряда:

Подставим и в. Получим:

)

После преобразований:

Рассмотрим второй предельный случай: .[4]

В данном случае , поэтому в первом слагаемом в формуле пренебрежем единицей, а во втором слагаемом получится логарифм от единицы:

,

Запишем иначе:

,

Так как

,

Т.е, в случае .

Где возьмем количество частиц, равное одному молю. Тогда N=6,02?, постоянная k = 1,38?.

В случае вклад колебаний атомов в энтропию .

2. Вывести приближенные выражения для вклада колебаний атомов в молярную теплоемкость газообразного NO в предельных случаях и Вспомним формулу для вклада колебаний атомов в молярную теплоемкость ( 3.11):



По определению характеристическая температура равна:

Запишем выражение с учетом:

,

Рассмотрим предельный случай :

Можно, аналогично п.1 расчетной части, произвести разложение по степеням и ограничиться первыми членами разложения.

Разложение в ряд представлено в выражении.

С учетом перепишем:

После преобразований получим:



Так как то:

Во втором предельном случае, когда .

Запишем выражение:

,

, , значит единицей можно пренебречь:

Произведем небольшие преобразования:

Экспонента убывает быстрее, чем растет :

В предельном случае, когда имеем, в предельном случае, когда имеем возьмем количество частиц, равное одному молю, тогда.N =6,02?, постоянная k = 1,38?.

3. Оценить вклад колебаний молекул в молярную теплоемкость газа NO при комнатных температурах T~20 и сравнить его с вкладом поступательного движения молекулы.

Воспользуемся формулой:

Подставим значения T=293K, =, также возьмем один моль частиц, тогда.N=Na?моль, где постоянная Na=6,02? , постоянная k = 1,38?.

Получим:

Необходимо вывести выражение для . Для этого найдем сначала :

==

Где .

Подставив выражение для в (6.3) получим:

=



==NK

Подставим в (6.5) постоянную k = 1,38? и возьмем количество частиц, равное одному молю, тогда N=6,02?, постоянная k = 1,38?.

Получим:

,

Графики

График зависимости безразмерной температуры от безразмерной теплоемкости.



,

Искомая величина при Т = 1275 К равна 2. 493 Дж/К (точка на графике при = 0.3)

График зависимости безразмерной температуры от безразмерной энтропии.

,



Вывод

Мы рассмотрели, как ведет себя при и при . При стремится к единице, при стремится к нулю.

Теплоемкость газов зависит только от геометрии молекул газа, которая позволяет определить число степеней свободы вращательного и колебательного движений. По классической теории теплоемкостей газов получается, что теплоемкость газов не зависит от рода газа и не зависит от температуры.

Сравнение этой теории теплоемкостей с экспериментом показало, что эта теория хорошо согласуется с экспериментом только при высоких температурах, а при низких температурах наблюдается существенное расхождение теоретических и экспериментальных результатов. Для объяснения этих расхождений в классической физике было введено понятие о «замораживании» степеней свободы. Согласно этому представлению, молекулы газа при средних и низких температурах не совершают колебательного движения.

Мы рассмотрели, как ведет себя при и при . При стремится к бесконечности, при стремится к нулю.

Это согласуется с теоремой Нерста: «При приближении к абсолютному нулю абсолютная энтропия системы стремится также к нулю независимо от того, какие значения принимают при этом все параметры, характеризующие состояние системы»

(Абсолютная энтропия - энтропия равновесной системы, при абсолютном нуле температур она равна нулю)

Также из теоремы Нерста следует, что теплоемкости всех тел при приближении к абсолютному нулю температур так же стремятся к нулю.



Список использованной литературы

1. Компанеец А. С. Курс теоретической физики. Том 2 Статистические законы.М.: Просвещение, 1975, - 450 с.

2. Коткин Г. Л. Лекции по статистической физике. Новосибирск: редакционно-издательский отдел новосибирского университета, 2005, - 172 с.

3. Ландау Л.Д., Лившиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. - М.: Наука, 1974. - 586.

4. Левич В. Г. Курс теоретической физики. Том 1. М.: Наука, 1969. - 912 с.

5. Морозов В. Г., Фетисов Ю. К. Молекулярная физика. Курс физики, часть 1. М.: Мирэа, 2010, - 98 с.

6. Шиллинг Г. Статистическая физика в примерах. М: Мир, 1976, - 433 с.



Приложения

Приложение 1

Докажем, что условие и условие эквивалентны.

Для этого выведем из первого условия выражение, которое можно получить и из второго условия.

Запишем для начала:

,

Вспомним:

,

,

После некоторых преобразований мы получаем выражение:

Из выражения (1.7) мы получаем:



Сведем к выражению и второе условие:

,

Вспомним:

Используя формулу и выражение для статистической суммы получим выражение:

Используя условие того, что химический потенциал больцмановского газа всегда меньше нуля и запишем:

,

Сократим на kT и представим 0 как ln1. Получим:

После преобразований получим выражение:

,



Это выражение соответствует (1.8), ч.т.д.

Приложение 2

Согласно распределению Гиббса, вероятность того, что в тепловом равновесии частица находится в стационарном состоянии , |l> имеет вид

,

Где -- одночастичная статистическая сумма.

Из формулы) для средней энергии частицы равновесного больцмановского газа:

,

Средняя энергия всего газа запишется так:

,

Так как число частиц газа N очень велико, то, согласно общим принципам теории вероятности получим распределение Больцмана:

,

Размещено на Allbest.ru

...