Основы классической механики

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ ФИЗИКИ, Ч.1, МЕХАНИКА

Володина Л.А., доцент кафедры физики РГУ им. И.М. Губкина

Раздаточный материал для потока ФИМ, (группы МО-04-9,10 и ММ-04-12)

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемый материал лучше было бы назвать «Минимальная физика». Курс физики у студентов механического факультета начинается с первых дней поступления. С самой первой лекции «Кинематика» в вузовском курсе требуются знания по дифференцированию и интегрированию. Если дифференцирование студентам начинают читать в курсе высшей математики с сентября, т.е. параллельно с физикой, то интегрирование они начнут изучать только в следующем семестре. Предполагается, что с основами высшей математики студенты знакомы из школьной программы. Однако опыт последних лет показывает (и это всем известно), что у студентов - вчерашних школьников базовых знаний значительно меньше, чем хотелось бы. Если учесть тенденции последних лет к сокращению аудиторных часов, выделяемых на изучение физики, то становится ясно, что надо как-то менять традиционный стиль обучения. Автор считает, что лекции отменять нельзя, поскольку в устной форме материал можно изложить более доходчиво, но при этом из-за дефицита времени, многое можно не успеть сказать. Поэтому автор предлагает в дополнение к устным лекциям выдавать студентам отпечатанный материал, в котором содержится необходимый минимум вузовской физики в соответствии с программой курса. Тогда на лекции можно будет подробнее останавливаться на выводах формул, решении задач, больше показывать демонстрационных опытов, а студенты будут избавлены от напряженной работы по записыванию «каждого слова» лектора и лучше будут вдумываться в излагаемый материал.

Некоторые полезные математические сведения в применении к курсу ОБЩЕЙ физики (необходимость в которых возникла при общении со студентами)

Физика не может существовать без математики, но не пугайтесь обилия математических формул. В курсе общей физики используется не так уж много операций из всех, которые имеются в математике, и эти операции достаточно однотипны. Главное, усвоить некоторые общие вещи.

Обозначим любую физическую величину буквой Щ (если это скалярная величина) и (если это вектор). Щ может быть массой, скоростью, силой и пр.,математике это безразлично и в этом ее сила.

1). Векторы обозначают Щ (жирный шрифт), .Наиболее удобное , т.к. ранее обозначали среднее значение (сейчас чаще - ), а «жирную» букву при ручном написании сделать практически невозможно.

2). Любой вектор можно разложить на составляющие, чаще всего используют декартову прямоугольную систему координат с базисными единичными векторами (ортами) , модули которых равны 1. Тогда:

векторв декартовой системе координат

- векторы, называемые составляющими или компонентами вектора

скаляры, называемые проекциями вектора

модуль вектора

3). С векторами следует обращаться очень осторожно. Так, разность векторов

Рис. 1

 - это вектор, проведенный из конца вектора b к концу вектора а. И хотя он называется «разность», его величина может быть равна сумме величин b и a, и вообще, может иметь любое значение), т.к. угол между векторами a и b может быть любым: (теорема косинусов).

4) Векторы можно умножать друг на друга скалярно или векторно. Символ « » означает тождественно то же самое)

Таблица 1

5). Запись в физике - по смыслу - означает «изменение» - конечное, т.е. то, которое можно измерить, - тоже «изменение», но бесконечно малое («выдуманное»). Буквы «» и «d» нельзя отделять от Щ.

6).Первую производную функции у по переменной х можно обозначать:.

Наиболее удобно первое обозначение, поскольку переменные могут быть разные. Точкой последние годы обозначают производную по времени. Последнее обозначение очень редко используют.

7). Любое уравнение, содержащее выражения с обозначениями типа «dx» и «dy» - это дифференциальное уравнение, из которого можно что-то найти только после интегрирования. В физических задачах лучше использовать определенные интегралы, тогда не надо будет находить постоянную интегрирования «С».В общем курсе физики в основном используются табличные интегралы, их немного и надо выучить их наизусть (см. таблицу 2).

Таблица 2

Рис. 2

8) Интегрирование - по сути - это суммирование, только очень маленькими «кусочками». На графике интеграл -это площадь под кривой у(х).

9). Скоростью изменения какой-либо физической величины Щ называют первую производную по времени . По смыслу - она показывает, как изменяется Щ за единицу времени. Это может быть скорость изменения массы, силы и пр., она не имеет «своей» буквы (букв не хватает на сами величины), кроме скорости механического движения - v. Но полного единства в обозначении физических величин и в их названии не существует. Так, первую производную по времени называют также мощностью или потоком некоторой величины. Например, если Щ - работа (Дж), то dЩ dt - мощность (Вт). Если Щ - световая энергия (Дж), то dЩ dt - световой поток (Вт) светового потока.

10). Часто говорят, что можно пренебречь одной величиной по сравнению с другой, т.к. она много меньше. Возникает вопрос, во сколько раз, например, размер d тела должен быть меньше какого-либо другого размера L в данной задаче, чтобы тело можно было считать материальной точкой. Это зависит от точности, которая требуется в задаче. Если d/L=1:100, погрешность будет составлять примерно 1%, при d/L=1:10 - 10%, d/L=1:2 - 50%. (Не пугайтесь 50% - при вычислениях мы ошибемся, конечно, примерно в 2 раза, но не в100 раз, т.е. по порядку величины оценка будет не так уж далека от действительной величины).

11) Очень часто говорят, что первая производная - это тангенс угла наклона, но тангенс всегда безразмерная функция, а производная - может быть размерной величиной. Например, - кг/с. Поэтому надо добавлять …тангенс, умноженный на отношение масштабов величин, взятых по соответствующим осям.

Среднее значение некоторой непрерывной функции у(х) в интервале значений х от а до b

кинематика интегральный вращательный

1. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Механика - это раздел физики, в котором изучается движение одних тел относительно других. В основе классической (ньютоновской) механики лежат следующие представления о пространстве и времени. Пространство - абсолютно - это бесконечная пустота, лишенная материи, в которой перемещаются все тела. Оно ни на что не действует и на него ничто не воздействует. Пространство однородно и изотропно, т.е. его свойства одинаковы во всех точках и во всех направлениях. Оно имеет три измерения (x,y,z) и характеризуется законами геометрии Евклида. Время - абсолютно - это особая сущность, «чистая длительность», которая течет равномерно, независимо от материи и процессов, происходящих во Вселенной. Оно имеет только одно измерение и изменяется только в одном направлении - от прошлого к будущему. Пространство и время не связаны между собой. Развитие физики показало, что не существует абсолютного пространства и единого времени, их свойства зависят от свойств материи. По словам Эйнштейна, «если бы исчезла материя, то исчезли бы и пространство и время». Законы классической механики применимы к телам, масса которых много больше массы атомов и молекул, движущимся со скоростями значительно меньшими, чем скорость света с 310⁸ м/с. Движение тел со скоростями близкими к скорости света изучает релятивистская механика (теория относительности), поведение микрочастиц - квантовая механика и релятивистская квантовая механика.

Действительное движение тел может быть очень сложным, поэтому в механике, как и в других разделах физики, используют научные абстракции или модели. В механике такими моделями являются:

1) Материальная точка - это любое тело, размерами которого можно пренебречь по

сравнению с другими расстояниями в данной задаче.

2) Абсолютно твердое тело (АТТ) - это совокупность материальных точек, находящихся на неизменном расстоянии друг от друга. За АТТ можно принять любое реальное тело, деформациями которого можно пренебречь.

Механику принято делить на кинематику и динамику. В свою очередь эти разделы делят на кинематику материальной точки и кинематику АТТ, и, соответственно, динамику материальной точки и динамику АТТ.

2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

В кинематике изучается движение тел без учета причин, вызывающих это движение. Движение тела всегда происходит относительно другого тела. Поэтому, прежде всего, необходимо выбрать какую-либо отсчетную точку (любую) и задать положение исследуемой точки. Для этого используют:

Таблица 3

Тело, относительно которого рассматривается движение данной точки и связанную с ним систему координат и часы, называют системой отсчета.

Для характеристики движения точки используют:

Таблица 4

Траекторией называют непрерывную последовательность положений точки, иначе говоря - это линия, по которой движется точка.

уравнение траектории при движении на плоскости (х, у).

S - путь - это длина траектории (скалярная величина, 0). Путь не может убывать (!).

Кроме того, движение характеризуют скоростью и ускорением при этом различают их средние значения за некоторый конечный промежуток времени t и мгновенные их значения в данный момент времени t

Таблица 4

В декартовых координатах мгновенные скорость и ускорение имеют вид:

Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории, а ускорение - так же, как изменение скорости, т. е. может быть направлено под любым углом к скорости (см. рис.).

Если точка движется по криволинейной траектории, то целесообразно разложить ускорение на составляющие, одна из которых направлена по касательной и называется тангенциальным или касательным ускорением, а другая направлена по нормали к касательной, т.е. по радиусу кривизны, к центру кривизны и называется нормальным ускорением (бывшее центростремительное).

Таблица 5

а - полное ускорение

- нормальное ускорение - характеризует изменение скорости по направлению,

- тангенциальное (касательное) ускорение - по величине

- единичные векторы, направленные, соответственно, по радиусу кривизны к центру кривизны и по касательной в направлении скорости

- радиус кривизны - его можно найти по формуле:

- первые производные от координат по времени

- вторые производные от координат по времени

У точки, движущейся по криволинейной траектории, всегда есть нормальное ускорение, а тангенциальное - только тогда, когда скорость изменяется по величине

Чтобы найти путь, надо взять интеграл:

Т.к. под интегралом - модуль скорости, то значительно легче находить путь отрезками, разбивая движение на отдельные этапы.

Фактически любая кинематическая задача в двух дифференциальных и связанных с ними двух интегральных векторных уравнениях:

Иначе говоря, в любой задаче - либо дифференцируй, либо интегрируй (или до нас кто-то это уже сделал). Если задана скорость , можно, дифференцируя, найти ускорение, если задано ускорение - можно интегрированием найти скорость. Но! Во-первых, это векторные уравнения, поэтому сначала надо «избавиться» от векторов, т.е. записать в проекциях. Во-вторых, символ интеграла записать легко, а взять интеграл (получить из него формулу) далеко не всегда возможно. В курсе общей физики обычно рассматриваются такие задачи, в которых интегралы всегда берутся.

Равнопеременное движение (ускоренное или замедленное) - это движение, при котором ускорение остается неизменным как по величине, так и по направлению:

Таблица 6

В результате получим два векторных уравнения, которые применимы к любой задаче при условии, что ускорение точки не изменяется в процессе движения ни по величине, ни по направлению.

Таблица 7

Из этих общих уравнений можно получить кинематические уравнения движения в любой задаче, но сначала надо выбрать начальную точку отсчета для осей координат и их направления. Лучше оси выбирать так, чтобы начальные координаты были х_о = 0 и у_о = 0, т.е. совместить начало отсчета координат с начальным положением рассматриваемого тела; направить оси так, чтобы ускорение проецировалось только на одну ось, и все движение точки происходило в положительной области значений х и у.

Рассмотрим некоторые примеры.

Таблица 8

В этих примерах приведены общие кинематические уравнения движения, т.е. функциональные зависимости х(t) и y(t). Если мы хотим найти, например, длину броска или максимальную высоту подъема, нам нужно применить эти уравнения в соответствующие моменты времени.

Эти «готовые» формулы для «броска под углом » получены из приведенных выше общих уравнений при условиях: 1) в высшей точке подъема при t = t₁, y = H, v_y = 0, 2) в момент падения при t= t₂, x= L, y = 0.

Кинематика вращения точки по окружности

Рис. 3

При вращательном движении точки по окружности целесообразно заменить линейные характеристики движения на угловые. Если ввести вспомогательный вектор (псевдовектор) , численно равный углу поворота радиус-вектора и направленный по оси вращения по правилу буравчика (с правой резьбой), то используемые величины получат векторное выражение.

Таблица 9

В самом общем случае вращение точки можно описать с помощью двух дифференциальных и двух интегральных уравнений:

Общие кинематические уравнения вращательного движения точки в векторной форме.

Если точка М движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а сама ось не меняет своего положения в пространстве, то кинематические уравнения после интегрирования примут более простой вид (естественно принять_о = 0 и отсчет угла вести в направлении движения):

кинематические уравнения равноускоренного (+) и равнозамедленного () вращательного движения точки в скалярной форме

Кроме перечисленных выше величин при вращательном движении используют:

N - общее число оборотов

Т (с)- период обращения - это время одного оборота,

(об/с) - частота вращения или число оборотов за единицу времени.

Эти величины связаны между собой формулами:

Рис. 4

Связь между линейными и угловыми характеристиками движения точки в скалярной и векторной формах

3. КИНЕМАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА (АТТ)

Все возможные движения АТТ могут быть сведены к двум основным: поступательному и вращательному относительно некоторой мгновенной оси (ось можно «выдумать» какую хочешь, она не обязательно должна совпадать с действительной осью вращения, но надо выбирать такую, для которой известен момент инерции тела).

Рис. 5

Поступательное движение - это движение, при котором прямая АВ, проведенная через любые две точки тела, перемещается параллельно самой себе (см. рис. 5). При поступательном движении все точки тела совершают одинаковые перемещения. Следовательно, для описания поступательного движения АТТ достаточно знать движение всего одной точки, например, центра масс (о центре масс - см. ниже).

Вращательное движение - это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Ось вращения в общем случае может не проходить через тело. В качестве кинематического уравнения вращательного движения АТТ достаточно знать уравнение (t) для угла поворота радиус-вектора, проведенного от оси вращения к какой-либо точке тела (если ось неподвижна). Таким образом, принципиально кинематические уравнения движения для точки и АТТ ничем не отличаются.

Размещено на Allbest.ru