Принцип относительности в механике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Принцип относительности в механике

Володина Л.А., доцент кафедры физики РГУ

скорость лоренц относительность энергия

1. Принцип относительности в механике

В классической механике был известен принцип относительности Галилея, согласно которому во всех ИСО все законы механики имеют один и тот же вид, или, иначе говоря, законы механики инвариантны относительно преобразований координат Галилея. (Инвариант - invariant - неизменяющийся).

Найдем связь между координатами точки М в двух различных ИСО - К и К.

Рис. 1

В начальный момент т.т. О и О совпадают(см.рис.). Затем система К начинает двигаться с постоянной скоростью v_сист относительно системы К вдоль оси х. Из рисунка видно, что координаты точки М связаны между собой уравнением: х = х + v_систt. Продифференцируем это уравнение по времени и получим связь между скоростями: v = v + v _сист . Дифференцируя еще раз, найдем соотношение между ускорениями: а = а . Обобщая на случай трехмерного движения, запишем в векторной форме.

Эта формула называется преобразованиями координат Галилея.

- радиус-вектор точки М в условно неподвижной системе отсчета К , - в движущейся системе К, - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку О

Формула сложения скоростей в классической механике.

- скорость точки М в К, - скорость точки в К, - скорость системы К относительно системы К.

Ускорения точки М одинаковы в К и К,умножив ускорения на массу точки m, запишем 2-й закон Ньютона, и приходим к выводу, что для данной точки М в любой ИСО ускорения одинаковы, закон движения - одинаков, силы - одинаковы.

В классической галилеево-ньютоновской механике предполагалось:

длина отрезка, определяемая как разность координат его начала и конца, в любой ИСО одинакова

течение времени и длительность промежутка времени одинаковы в любой ИСО

Принцип относительности Галилея можно сформулировать еще и так: никакими механическими опытами невозможно установить покоится данная ИСО или движется равномерно и прямолинейно, т.е. все ИСО равноправны, а покой и равномерное прямолинейное движение неразличимы. Например, мы находимся в каюте корабля, иллюминатор занавешен, и мы хотим узнать, движется корабль или он неподвижен. Пытаемся провести какие-либо механические опыты: подбрасываем мяч, смотрим на качающийся маятник и пр. Никакие механические опыты не помогут нам ответить на вопрос: корабль движется равномерно и прямолинейно или покоится.

2. Специальная теория относительности (СТО)

Специальная теория относительности (СТО) или релятивистская механика это новая физическая теория, созданная Эйнштейном в 1905 г. и пришедшая на смену классической ньютоновской механике. Заслуга Эйнштейна не только в том, что он открыл новые формулы, но главным образом в том, что он радикально изменил наши представления о пространстве и времени. В СТО рассматривается движение тел в инерциальных системах отсчета (ИСО) со скоростями, близкими к скорости света.

В конце 19 века Максвелл создал электромагнитную теорию, которая обобщила все известные к тому времени электрические и магнитные явления. Эта теория имела значимость не менее важную, чем ньютоновская механика. Но оказалось, что уравнения Максвелла в разных ИСО имеют различный вид. Возникшие затруднения можно было устранить, если предположить, что:

1) уравнения Максвелла неправильны (но они подтверждаются опытами),

2) принцип относительности Галилея неверен, 3) и уравнения Максвелла и принцип относительности Галилея верны, но неверны формулы преобразования координат. Именно третье решение оказалось верным. Новые выражения для преобразования координат и времени называются преобразованиями Лоренца. При использовании этих преобразований уравнения Максвелла становятся инвариантными, но основной закон классической механики ma = F - нет (см. дальше - «Релятивистская динамика»).

В основе СТО лежат два постулата, выдвинутые Эйнштейном:

1) Во всех ИСО все законы природы имеют одинаковую математическую форму при использовании преобразований координат и времени Лоренца или, иначе, все законы природы инвариантны относительно преобразований Лоренца

Этот постулат называют принципом относительности в том смысле, что не существует какой-либо одной, преимущественной системы отсчета, все ИСО равноправны. Но если принцип относительности Галилея касался только законов механики, то принцип относительности Эйнштейна - всех законов природы.

2) Скорость света в вакууме одинакова во всех направлениях в ИСО и не зависит от движения источника и приемника света.

Этот постулат называют принципом постоянства скорости света. Подтверждением этого постулата служат очень точные интерференционные опыты, проведенные впервые Майкельсоном, затем позже другими учеными, по обнаружению влияния скорости Земли на скорость распространения света. В пределах погрешности эксперимента скорость света оказывалась одной и той же, независимо от направления распространения света.

Преобразования Лоренца - это новые формулы, связывающие между собой координаты и моменты времени в различных ИСО. При скоростях тел v<< c - скорости света в вакууме преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея.

Таблица 1

Использование преобразований Лоренца приводит к «необычным» с точки зрения классической механики выводам, что в разных ИСО: 1) длина данного тела различна, 2) длительность одного и того же события - различна, 3) два одновременно происходящих события оказываются неодновременными в разных ИСО.

1) Сокращение размеров тел в направлении их движения.

Пусть в условно неподвижной системе К покоится стержень, координаты концов которого х₂ и х₁ . Наблюдатель может измерить его длину, прикладывая эталон. Пусть мы теперь хотим измерить длину этого стержня, находясь в движущейся со скоростью системе К .Теперь этот эталон, находящийся в К , будет двигаться относительно стержня, поэтому наблюдатель в К должен одновременно отметить концы стержня, т.е. .

Таблица 2

Выражение, связывающее длину отрезка в различных ИСО;

l l?

l₀ - длина стержня в системе, относительно которой он покоится (в нашем случае в К), l - длина этого отрезка в системе, относительно которой он движется (К )

Таким образом, из СТО следует, что размеры движущихся тел должны сокращаться в направлении их движения. Для того, чтобы можно было обнаружить сокращение размеров тел, необходимо, чтобы макротела двигались со скоростями, близкими к скорости света и, самое главное, требуется одновременно зафиксировать концы стержня. Ни визуально, ни фотографически этого сделать нельзя, т.к. в глаз попадают лучи одновременно, но испущены они из концов неодновременно, т.к. система К движется, а скорость светового сигнала хотя и очень велика, но не бесконечна. Если два космических корабля движутся друг относительно друга, то каждый наблюдатель должен был бы видеть другой корабль сократившимся в направлении движения, но реального сокращения нет, т.к. все ИСО равноправны. Это все равно, что два человека стоят по разные стороны большой линзы и видят, что один меньше другого, но это не означает, что они действительно один меньше другого.

2)Относительность одновременности событий

Пусть в неподвижной системе К в разных точках (х₂ х₁) одновременно происходят некоторые события. Спрашивается, будут ли эти события одновременными, если за ними наблюдать, находясь в движущейся системе К ?

Таким образом, одновременно происходящие события в К оказываются неодновременными в К .

3)Замедление хода движущихся часов

Пусть в данной точке в неподвижной системе отсчета К (х₂ = х₁ ) длится некоторое событие в течение времени t₀ = t₂ t₁ . Выясним, какова будет длительность этого события, если наблюдать за ним из движущейся системы К .

Выразим длительность события в К, используя преобразования Лоренца, получим:

Выражение, связывающее между собой длительность данного события в разных ИСО;

t t₀

t₀ - длительность события в К, t - длительность этого события в К

Таким образом, движущиеся часы должны идти медленнее. t₀ - время по часам, движущимся вместе с телом («событием») называется собственным временем.

Эта формула нашла подтверждение при наблюдении мезонов - нестабильных частиц, которые попадают на Землю из космоса. Эти же мезоны образуются в лабораторных условиях при взаимодействии некоторых элементарных частиц. Среднее время их жизни по лабораторным часам, относительно которых они практически неподвижны, t₀ = 2.10⁸ с. Скорости мезонов сопоставимы со скоростью света, поэтому путь, который они могут пройти в лаборатории до их распада не может быть больше l₀ сt 6 м. Возникает вопрос, как же мезоны могли пройти толщу атмосферы 20-30 км? Объяснить это можно замедлением хода движущихся часов. При исследовании элементарных частиц, получаемых в ускорителях, учитывается тот факт, что частицы могут пройти до распада расстояния более 6 м, и мишени располагают, соответственно, на бoльших расстояниях.

Интервал между событиями в СТО.

Согласно классической механике пространство и время никак не связаны между собой. Пространственный интервал определяется разностями соответствующих координат:

пространственный интервал (отрезок) в классической механике

Согласно СТО пространство и время неразрывно связаны друг с другом. Иначе говоря, мир, в котором мы живем, является четырехмерным (3 координаты и время), поэтому вместо слова «отрезок» следует говорить «пространственно-временной интервал, включающий в себя кроме координат еще и время.

- пространственно-временнoй интервал в СТО

Пространственно-временнoй интервал s_СТО является инвариантом при использовании преобразований Лоренца, т.е. имеет один и тот же вид в любой ИСО. Это можно показать, используя преобразования Лоренца (рекомендуем студентам проделать это самостоятельно для случая y=0, z =0).

3. Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть два фотона 1 и 2 движутся навстречу друг другу со скоростями, равными v₁ = с и v₂ = с (с - скорость света) относительно условно «неподвижной» системы отсчета Земля К (см. рис.). Найдем скорость 1-го фотона в системе отсчета К, связанной со 2-ым фотоном, используя классическую формулу для сложения скоростей:

Таблица 3

Таким образом, скорость одного фотона в системе отсчета, связанной со 2-ым, оказалась равной 2с, но согласно СТО ни одна частица не может двигаться со скоростью, большей скорости света.

При движении тел со скоростями, сопоставимыми со скоростью света в СТО был получена другая формула, которую называют релятивистской формулой сложения скоростей. Запишем формулы для простейшего случая движения систем в одном направлении.

u - скорость тела в неподвижной системе отсчета К

u - скорость тела в движущейся системе отсчета К

v - скорость системы К относительно системы К

(мы заменили буквы по сравнению с предыдущими формулами, чтобы не использовать индексы и еще больше не загромождать формулы)

Получим эти формулы.

Введем промежуточную переменную t

Найдем производную, используя преобразования Лоренца

Перемножим производные, учитывая, что

произведя алгебраические действия, найдем из этого уравнения u или u

Вычислим теперь скорость фотона из предыдущего примера по релятивистской формуле.

v₁ = u₁ = c-скорость 1-го фотона в К, v₁ = u₁ = c- скорость 1-го в К, v₂ = v - скорость 2-го фотона, т.е. скорость К в К. Таким образом по релятивистской формуле скорость фотона не превышает скорость света c.

Понятие о релятивистской динамике

При использовании преобразований Лоренца основной закон динамики m(dp/dt) = F оказывается инвариантным при условии, что импульс частицы записывается в виде:

- Релятивистский импульс частицы

- основной закон релятивистской динамики

Тогда основной закон релятивистской динамики формально сохраняет такой же вид, как II закон Ньютона, но между ними имеется принципиальное различие. (см. ниже)

Величина m называется релятивистской массой, она зависит от скорости тела и не является инвариантом, т.е. имеет различное значение в разных ИСО.

m₀ - масса тела, называемая также массой покоя, является инвариантом и имеет одно и то же значение в любых ИСО.

В классической механике ускорение частицы и сила, вызвавшая это ускорение, всегда направлены одинаково. При скорости движения частицы сопоставимой со скоростью света, т.е. в релятивистском случае, направление ускорения и силы совпадают только в двух случаях: 1) когда сила параллельна скорости в каждый момент времени и 2) когда сила перпендикулярна скорости. В общем случае направления ускорения и силы не совпадают (см. рис)

Рис. 2

Взаимосвязь массы и энергии в теории относительности.

Введем новые обозначения для энергии, которые чаще всего используются в СТО.

полная энергия

кинетическая энергия (будем использовать обозначение Т)

Найдем выражение для кинетической энергии в СТО, считая, что приращение кинетической энергии происходит за счет работы некоторой силы. Тело в начальный момент неподвижно и является свободным, т.е. не взаимодействует с другими телами и не обладает, таким образом, потенциальной энергией.

чтобы проинтегрировать и получить , нужно свести к одной переменной m, пока их две , и все равенства - скалярные произведения векторов,

вместо переменной р появились переменные

здесь уже нет векторных произведений т.к. , но остались две переменные

возведем в квадрат, выразим , подставим в и получим

теперь можно проинтегрировать, т.к. осталась одна переменная m

или

интегрируя, получим выражение для кинетической энергии в СТО

- релятивистская кинетическая энергия

- энергия покоя

- полная релятивистская энергия, т.е. энергия движущегося тела

Таким образом, из СТО следует, что любое неподвижное тело обладает запасом энергии, равной . Например, в теле массой 1 кг содержится энергия Е₀ = 1910¹⁶ Дж. Этой энергией можно нагреть на 100^оС водоем с размерами 1 км 20 км 20 м. Проблема состоит в том, как выделить эту энергию. Даже при термоядерной реакции освобождается меньше 1% от полной энергии, соответствующей всей массе покоя. В классической механике понятие «энергия покоя» отсутствовало.

- выражение называется закон Эйнштейна взаимосвязи массы и энергии

Согласно этому закону, общий запас энергии тела (или системы тел), из каких бы видов энергии он ни состоял (кинетическая, потенциальная, тепловая, электрическая и пр.) связан с массой тела (системы тел) этим соотношением. Иначе говоря, если изменится масса тела, изменится и его энергия, и наоборот.

Пусть кусок железа массой 1 кг нагрели на 1000^оС. Вычислим, насколько должна при этом измениться масса куска.

изменение энергии тела на должно изменить его массу на

Q - теплота при нагревании, С - удельная теплоемкость нагреваемого вещества

не существует таких приборов, чтобы при массе 1 кг обнаружить такое маленькое ее изменение

Все формулы СТО переходят в классические при v<< c.Например, найдем кинетическую энергию тела при малых скоростях. Приближенное выражение, известное из математики

при 1

релятивистское выражение переходит в классическое

Из СТО следует возможность существования частиц с нулевой массой, но они не могут быть неподвижными, а должны непрерывно двигаться, причем только со скоростью света с - это фотоны и, возможно, нейтрино.

связь энергии и импульса для частиц с нулевой массой (фотонов) m₀=0

Некоторые формулы из СТО, которые можно вывести из приведенных выше выражений

- связь кинетической энергии частицы с ее импульсом

- связь полной энергии частицы с ее импульсом

- связь полной энергии и энергии покоя с импульсом

Размещено на Allbest.ru