Математические проблемы электродинамики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Казалось бы, все математические проблемы электродинамики за столетие изучены до тонкостей. Но ключевые проблемы (например, проблема электромагнитной массы) так до сих пор остаются нерешенными. Можно предположить, что мы знаем об электромагнетизме достаточно много, но не все.

Мы будем анализировать уравнения Максвелла в калибровке Лоренца. Запишем уравнения Максвелла

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Стандартными шагами, вводя скалярный и векторный потенциал

(1.6)

Лоренц сводит уравнения Максвелла к следующей системе уравнений:

(1.7)

(1.8)

Здесь Лоренц увидел два главных варианта, которые можно получить, наложив на вектор А некоторое условие:

1. Если мы будем считать, что векторы А и связаны условием Лоренца , то получим запись уравнений Максвелла в калибровке Лоренца.

2. Если же мы будем считать, что векторный потенциал A является соленоидальным (), то получим запись уравнений Максвелла в кулоновской калибровке.

Считается, что обе калибровки эквивалентны («калибровочная инвариантность»). Считают, что утверждение опирается на теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения Максвелла (С. Ковалевская). Можно было бы согласиться с этим мнением, но есть проблема. Суть ее в том, что единственность решения при выборе и введении калибровки можно сохранить, если мы одновременно с уравнениями преобразуем начальные условия для потенциалов. В выводе Лоренца об этом нет ни единого слова.

Вопрос о «калибровочной инвариантности» мы рассмотрим в Приложении 1. Сейчас нас будет интересовать исключительно калибровка Лоренца и влияние связи потенциалов (условие Лоренца) на характер решений. Мы постараемся ответить на следующий вопрос: возможно ли появление мгновенно действующих потенциалов (полей) в решении уравнений Максвелла в калибровке Лоренца?

«Умудренный опытом» специалист математик твердо скажет: «Мгновенных потенциалов при такой постановке существовать не может и не должно». Позволим не согласиться с этим мнением. Этот устоявшийся стереотип в знаниях есть предрассудок.

Итак, задача поставлена.

Часть 1. Градиентная инвариантность

И в математике есть своя поэзия. Как известно, решение задачи Коши для волнового уравнения, при заданных граничных и начальных условиях представляет собой сумму общего решения однородного волнового уравнения и частного решения неоднородного волнового уравнения.

Структура решения напоминает сцену, на которой занавес как бы раздвигается в разные стороны, унося в бесконечность общее решение. На сцене развивается драма, описываемая частным решением волнового уравнения. Именно она является наиболее важным и интересным результатом для физики.

Казалось бы, в этой области все изучено до тонкостей, и нет ничего такого, что изменило бы наши обыденные знания. Но это заблуждение.

1. О монографиях по электродинамике

По роду своей преподавательской работы нам пришлось иметь дело с множеством учебников и монографий по теории электромагнитного поля (электродинамика). В громадном большинстве случаев они практически подобны. Это не плагиат или компиляция. Такова специфика научного знания.

Книги разных авторов близки по содержанию и отличаются лишь пристрастием авторов к наиболее важным для них вопросам. Но две книги по электродинамике нам хотелось бы отметить. Это книга Л.Д. Ландау «Теория поля» [1] и книга Р. Фейнмана «Электродинамика» [2]. Эти книги отличаются от аналогичных учебников, имея свои достоинства и свои недостатки.

В «Электродинамике» Фейнмана нет той квазинаучной сухости (формализма), присущего аналогичным учебникам. В нем господствует дух поиска, дух творчества. Автор, специалист по квантовой электродинамике (КЭД), прекрасно понимает, что развитию КЭД препятствуют трудности. Корни трудностей, как правило, имеют классическую природу, т.е. порождены нерешенными проблемами классической электродинамики и релятивистской механики. Он нацеливает читателей на анализ и разрешение этих трудностей. Все это Фейнман преподносит в увлекательной форме.

Совершенно по иному написана книга Ландау «Теория поля». Прежде, чем давать критические замечания, отмечу важные качества, которые отличают «Теорию поля» от аналогичных учебников.

Во-первых, обилие задач с решениями делает этот учебник ценным справочным пособием не только по конкретным вопросам теории поля. Он содержит в себе много методов и приемов исследования задач электродинамики, чего часто нет в других книгах. В книге материал по теории поля изложен достаточно полно.

Во-вторых, внешняя последовательность изложения материала создает при первом чтении иллюзию завершенности электродинамики (в отличие от книг Фейнмана). В логике изложения отсутствуют видимые изъяны, и кажется, что классическая электродинамика не имеет проблем и полностью завершена.

Природу иллюзии «логической завершенности» раскрывает физик и философ Марио Бунге [3]. Он пишет, что курс «Теоретическая физика» Ландау написан в духе раннего логического позитивизма. Сделаем краткое пояснение для тех, кто не очень осведомлен в философии естествознания. Логический позитивизм предполагает логически безупречное изложение материала, даже если приходится «лукавить», недоговаривать, умалчивать о проблемах. Фейнман насмешливо именовал такие «приемы» заметанием мусора под ковер.

Книга [1] внешне напоминает чистенький «лакированный фасад» дома, внутри которого как бы «угадываются» «королевские апартаменты». Но стоит заглянуть внутрь, осмотреть углы, балки, фундамент, и вы увидите, что это здание «еле живо». Оно готово разрушиться.

Нас всегда удивляло одно обстоятельство. Ландау не использует в своем изложении хорошо развитый математический аппарат аналитической механики, хотя хорошо с ним знаком и излагает его в книге.

Итак, мы вам представили два различных подхода к изложению фактического материала. Их продемонстрировали два великих физика, лауреата Нобелевской физики.

Небольшое замечание. Ландау критически относился к понятию «калибровочная инвариантность». В своих книгах («Теория поля», «Электродинамика сплошных сред») он нигде не использует термин «кулоновская калибровка», хотя неоднократно применяет в книге результаты кулоновской калибровки. Термин «калибровочная инвариантность» употребляется им только однажды как бы «вскользь» без подробного объяснения. Он, видимо, понимал спорность (мягко говоря) этого понятия (см. Приложение 1.1). Приступим к исследованию.

2. Функция Лагранжа для электромагнитного поля

В [1] справедливо утверждается, что функция Лагранжа, вообще говоря, не является однозначной. В физике она всегда должна иметь форму инвариантную относительно преобразования Галилея (классическая теория) или Лоренца (релятивистский вариант).

В книге построение теоретических основ электродинамики идет от функции Лагранжа для заряда. Затем получают тензор электромагнитного поля Fkl . На его основе строится тензор энергии-импульса электромагнитного поля. Далее анализ приводит к уравнениям Максвелла и теореме Пойнтинга.

Только два уравнения из четырех Ландау получает на основе релятивистского принципа наименьшего действия. Даже закон сохранения Пойнтинга не следует из 4-дивергенции тензора энергии-импульса, как это обычно имеет место в аналитической механике. Сказывается желание автора «спрятать трудности». Это свидетельствует о внутренней скрытой несогласованности электромагнитной теории.

Мы, напротив, будем широко использовать аналитические методы, чтобы выявить главные источники проблем. Мы покажем, что описание электромагнитных явлений прекрасно укладывается в рамки аналитической механики. Для этого будем анализировать основы в обратной последовательности, т.е. начнем с плотности функции Лагранжа для электромагнитного поля, продвигаясь затем от волн к полям заряда. В [1] (§33) приводится следующее выражение для плотности функции Лагранжа

(1.2.1)

Такой вид плотности функции Лагранжа неудобен для нашего исследования. Его необходимо преобразовать. Запишем выражение (1.2.1) в системе СИ.

(1.2.2)

Поскольку функция Лагранжа не определяется однозначно, преобразуем выражение (1.2.2) и придадим ему иную форму функции Лагранжа, используя интеграл действия

(1.2.3)

где: - 4-вектор плотности тока; uk = dxk /ds - 4-вектор скорости; - плотность пространственного заряда.

Раскроем подынтегральное выражение, преобразуем и проинтегрируем по частям

(1.2.4)

Во втором интеграле конечного выражения (1.2.4) пределами интегрирования является бесконечность, где при интегрировании по координатам поле исчезает. При интегрировании по времени начальные и конечные точки варьирования фиксированы, и там вариация интеграла равна нулю. Следовательно, последний интеграл в выражении (1.2.4) обращается в нуль. Таким образом, получаем новое весьма простое выражение для плотности функции Лагранжа

(1.2.5)

Выражение (1.2.5) полностью эквивалентно выражению (1.2.1). Такая форма функции Лагранжа для электромагнитного поля упоминается, например, в КЭД [4].

3. Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца

уравнение заряд движение электромагнитный

Теперь мы можем получить «уравнения движения», т.е. уравнения для нахождения потенциалов электромагнитного поля, порожденных 4-вектором тока jk. Для этого запишем функционал (интеграл действия), который будем варьировать.

 (1.3.1)

(1.3.2)

Первый интеграл по гиперповерхности Sk обращается в нуль по тем же причинам, что и последний интеграл в выражении (1.4.4). Итак, мы получаем окончательную систему уравнений для 4-потенциала Ai

, (1.3.3)

Система уравнений (1.3.3) представляет собой уравнения Максвелла в калибровке Лоренца. Ее классический вид

(1.3.4)

Таким образом, новое выражение для плотности лагранжиана приводит к правильным уравнениям электродинамики (уравнения Максвелла в калибровке Лоренца).

Как известно, плотность тока определяется скоростью движения объемной плотности зарядов j = сv. Плотности тока и плотности заряда отвечает уравнение непрерывности

(1.3.5)

Теперь можно получить условие калибровки Лоренца для уравнений (1.3.4). С этой целью мы подействуем оператором на уравнение для векторного потенциала А в системе (1.3.5), а также подействуем оператором на уравнение для скалярного потенциала в системе (1.3.5). После сложения получим:

Из этого выражения вытекает, в частном случае, условие калибровки Лоренца . Более общий случай оставляем для анализа читателям.

Выражения Ai /xi = 0 (калибровка Лоренца) и ji /xi = 0 (уравнение непрерывности для 4-тока) необходимо добавить к уравнениям (1.3.3). В результате мы имеем полную систему уравнений Максвелла. Разве этот вывод уравнений Максвелла в калибровке Лоренца сложнее, чем в [1]? Напротив, оно проще и компактнее.

Заметим, что отсюда следует понятие «градиентная инвариантность», упоминающаяся в «Теории поля» Ландау и Лифшица. В книге справедливо замечено, что условие Лоренца Ai /xi = 0 позволяет исключить одно из 4-х скалярных волновых уравнений («градиентная инвариантность»).

4. Обобщенный закон сохранения энергии-импульса Пойнтинга

Аналитическая механика дает способ построения тензора энергии-импульса по заданной функции Лагранжа. Этот способ описан в [1]. Тензор энергии-импульса равен

 (1.4.1)

Вычисления дают следующее выражение для тензора энергии-импульса

(1.4.2)

Нетрудно заметить, что тензор энергии-импульса симметричен Tik = Tki. Известно, что 4-дивергенция этого тензора для свободного пространства (когда поля описываются за пределами источников) равна нулю, т.е. Tik /xk = 0.

Из этого выражения вытекают законы сохранения энергии и импульса волны. Мы запишем результаты для свободного от источников полей пространства.

Закон сохранения плотности потока S электромагнитного поля волны

(1.4.3)

Закон сохранения плотности энергии w электромагнитного поля волны

(1.4.4)

(1.4.5)

(1.4.6)

Мы получили аналитически обобщенные законы сохранения Пойнтинга, которые описывают не только закон сохранения плотности энергии электромагнитной волны, но и закон сохранения плотности потока.

Представим векторный потенциал А в виде суммы вихревого А1 и безвихревого А2 потенциалов. А = А1 + А2 . Выражения, соответствующие (1.4.5) и (1.4.6) занесем в Таблицу 1.1.

Таблица 1.1. Энергетические компоненты волновых полей

Поперечные волны векторного потенциала
Продольные волны векторного потенциала
Продольные волны скалярного потенциала

Из полученных соотношений следуют весьма интересные выводы.

Во-первых, в общем случае уравнения Максвелла в калибровке Лоренца описывают три различных вида потоков. Это очевидно, поскольку уравнения Максвелла в калибровке Лоренца описываются векторным и скалярным волновыми уравнениями.

· Первый поток энергии есть известный поток поперечных электромагнитных волн, описываемый вектором Пойнтинга. Его плотность равна , где Е и Н вихревые составляющие электромагнитных полей!

· Второй поток - поток продольных электрических волн векторного потенциала А2. Его плотность равна .

· Третий поток - поток продольных волн, образованный скалярным потенциалом . Его плотность равна .

Во вторых, плотность энергии и плотность потоков S1 и S2 , образованных векторным потенциалом А, положительны, а плотность энергии и плотность потока S3 , созданного скалярным потенциалом , отрицательны. Это отнюдь не новый факт. Об этом знают некоторые специалисты по квантовой теории поля. Но этот факт, как обычно, мало известен физикам, которые специализируются в других направлениях. Здесь логический позитивизм утаил истину.

В третьих, из выражений (1.4.3) и (1.4.4) вытекает новое интересное следствие. В свободном пространстве плотности потоков и плотности энергий должны удовлетворять волновому уравнению, т.е. плотность потока и плотность энергии тоже являются запаздывающими, подобно потенциалам полей электромагнитной волны.

(1.4.7)

Это означает, что решение некоторых задач, например, по дифракции волн, связанных с решением векторных волновых уравнений, можно свести к тем же задачам, но описываемым волновым уравнением для скалярной плотности энергии w.

В четвертых, полученные результаты нетрудно распространить на любые волновые процессы, описываемые волновым уравнением. Мы получили законы сохранения для электромагнитных волн в свободном пространстве. Закон сохранения энергии Пойнтинга можно обобщить, включив плотность мощности источников полей.

В пятых, предельный переход от волновых явлений к явлениям квазистатическим принципиально невозможен из-за отрицательной энергии поля скалярного потенциала. Одновременно невозможно решить проблему электромагнитной массы в рамках запаздывающих потенциалов.

Эти принципиально новые результаты меняют многое в понимании явлений электродинамики и позволяют избавиться от заблуждений и предрассудков. Знал ли Ландау об этом варианте? Полагаем, что читатель не столь наивен, чтобы подозревать в этом Ландау. Ландау прекрасно все это знал. И не только он. Другие (например, Пуанкаре) наверняка пробовали применить методы аналитической механики к анализу электродинамики. Но из-за необычных результатов ученые отказывались проводить анализ дальше. По этой причине Г. Голдстейн в книге «Классическая механика» прямо относит электродинамику к «немеханическим» дисциплинам [5].

На нескольких научных конференциях нам приходилось задавать этот вопрос специалистам по КЭД и элементарным частицам. Оказалось, что о рассмотренном выше варианте и его следствиях большинство физиков не имеют представления. Специалисты, кто знаком с изложенным подходом, не хотели обсуждать этот вопрос, ссылаясь на то, что в КЭД используется практически только кулоновская калибровка. Но ведь считается, что калибровки эквивалентны. Поэтому проблема электромагнитной массы оказывается принципиально неразрешимой, если использовать запаздывающие потенциалы.

Итак, мы использовали стандартные методы вывода уравнений Максвелла в калибровке Лоренца и стандартные методы получения законов сохранения, выработанные математиками и механиками. Результаты, которые мы получили, радикальным образом отличаются от общепризнанных. Вот некоторые из них.

· Энергия поля запаздывающего скалярного потенциала отрицательна. Это означает, что электромагнитная масса покоящейся частицы будет не положительная, а также отрицательная. Проблема электромагнитной массы не имеет решения, если потенциалы запаздывающие.

· Если мы подсчитаем полную энергию движущейся с постоянной скоростью частицы (сумму потенциальной и кинетической энергии), то обнаружим удивительный факт. Кинетическая энергия такой частицы с отрицательной массой - положительна!

· Из законов сохранения следует, что произвольно движущиеся заряды обязаны испускать продольные волны скалярного потенциала с отрицательной энергией и продольные волны векторного потенциала с положительной энергией. О них мы поговорим в следующем параграфе.

· Таким образом, выбранный путь не позволяет решить проблему электромагнитной массы. Более того, даже описание квазистатических явлений в рамках запаздывающих потенциалов принципиально невозможно! Например, как правильно записать функцию Лагранжа для взаимодействия двух зарядов, если потенциальная энергия взаимодействия отрицательна?

· Тот же вывод можно сделать и для теории тяготения, если мы считать гравитационный потенциал массы запаздывающим и т.д.

Историческая справка. Теперь мы можем кратко описать версию кризиса физики в конце 19 - начале 20 веков. Со времен механики Ньютона велись дискуссии о дальнодействии и близкодействии. Ошибка, допущенная Максвеллом [7], который «потерял» в своих уравнениях мгновенное действие на расстоянии (квазистатику), имела серьезные последствия.

Крупные ученые, столкнувшись с невозможностью использовать аппарат классической механики, как было показано выше, объявили, что главной причиной трудностей является «отсталость» методов классического анализа, обусловленная мгновенным действием на расстоянии.

Сторонники близкодействия начали дружно «клеймить» классические теории и их основу - мгновенное действие на расстоянии. Именно тогда родились идеи Пуанкаре о «конвенционализме», возник «махизм» и др. философские течения позитивистского толка, физики и философы начали отрицать преемственность знания (кумулятивный характер науки) . Примечательно высказывание М.Планка о том, что новые теории отвергают старые, и теории отмирают, когда умирают их апологеты.

Так открылся путь логически противоречивым конструкциям, которые трудно назвать теориями: СТО, ОТО, логически противоречивая идея «корпускулярно-волнового дуализма» и т.д. Пуанкаре примерно так высказался об этом периоде: если с появлением релятивистских теорий классические теории еще представляли собой здание, то с появлением квантовых теорий от них остались руины. Материализм был «повергнут».

Теперь мы можем понять причину, по которой Ландау выбрал иной («обходной») путь изложения материала. У нас нет никаких причин обвинять Ландау в какой-либо сознательной «фальсификации», хотя математику обмануть невозможно, даже используя некорректные методы. Можно только «спрятать» трудности от наивного читателя. И это не единственный «огрех» в книге.

Ландау - человек своего времени, он яркий представитель господствовавшего в тот период (и в настоящее время) позитивистского мировоззрения. Он собрал имеющийся в то время фактический материал по электродинамике. При изложении материала, чтобы обойти логические и физические проблемы, явно бросающиеся в глаза, он воспользовался обходными путями («задворками»), но сделал это с таким умом и талантом, что его книга «Теория поля» до настоящего времени пользуется большой популярностью и вызывает невольное восхищение. Первое издание книги вышло в 1941 г. и выдержало 8 переизданий.

Мы же выбрали прямой путь. Наша задача непосредственно убедиться в том, что классическая электродинамика прекрасно согласуется с классическими теориями, например, с механикой Ньютона, если устранить логические противоречия и математические ошибки из современной электродинамики.

Это, как вы понимаете, не простая задача. Она сложна и по той причине, что мы не будем предлагать какие-либо гипотезы, а будем опираться логику и на известные методы аналитической механики. Продолжим исследование.

5. Убираем продольные волны из решения уравнений

Как известно, продольные волны до сих пор не были обнаружены экспериментально. Очевидно, что продольные волны не будут существовать в решении уравнений Максвелла в калибровке Лоренца, если в этих уравнениях не будет источников, возбуждающих эти волны.

Для решения задачи мы рассмотрим правую часть уравнений Максвелла в калибровке Лоренца для потенциалов А2 и . Именно они описывают продольные волны векторного и скалярного потенциалов. Наша задача облегчается тем, что энергии этих двух продольных волн и потоки имеют противоположные знаки. Запишем для анализа необходимые уравнения.

; (1.5.1) rotA2 = 0; rotj2 = 0;

; (1.5.2) (1.5.3)

Можно использовать здесь идею Ландау Л.Д. [1] о возможности исключить одно из четырех уравнений (см. гл. 3, параграф 18, «Градиентная инвариантность»). Например, можно исключить уравнение для скалярного потенциала, чтобы привести два волновых уравнения (1.3.4) к одному векторному.

Для этой цели в (1.5.1) продифференцируем уравнение для A2 по времени, а в (1.5.2) подействуем оператором градиента на всех слагаемые. Теперь сложим полученные результаты. Мы получили волновое уравнение для продольного электрического поля Епр

 (1.5.4)

В правой части выражения (1.5.4) содержатся источники продольного электрического поля. Чтобы поле Eпр = 0, необходимо, чтобы источники этого поля отсутствовали, т.е. необходимо, чтобы

. (1.5.5)

К выражению (1.5.5) мы можем добавить уравнение непрерывности для j2 (по определению div j1 = 0):

(1.5.6)

Выражения (1.5.5) и (1.5.6) приводят к волновым уравнениям для токов и зарядов

(1.5.7)

Здесь мы обнаруживаем интересный факт: продольные волны будут отсутствовать тогда и только тогда, когда плотность зарядов и плотность безвихревого компонента тока удовлетворяют волновому уравнению. Другими словами, плотности токов и плотности зарядов будут «запаздывающими» или же «опережающими»!

Теперь мы сделаем прямые (честные) выводы, не оглядываясь на современные объяснения физических явлений:

· Чтобы исключить продольные электромагнитные волны, нам пришлось привести систему уравнений Максвелла к одному векторному волновому уравнению для вихревого векторного потенциала. Скалярный потенциал и безвихревая составляющая векторного потенциала исчезли из системы уравнений (взаимно уничтожили друг друга). Сохранилась только поперечная электромагнитная волна векторного потенциала (divE = 0 и divH = 0).

· Продольные волны будут отсутствовать только в том случае, если плотность пространственного заряда и безвихревая составляющая плотности тока, в правых частях волновых уравнений, удовлетворяют однородному волновому уравнению. По физическому смыслу это некие «виртуальные» заряды и токи, не обладающие инерцией.

· Можно сказать, что проводимость, обусловленная такими токами, является классическим аналогом «сверхпроводимости». Следовательно, классическая теория электронной проводимости (Друде) не является полной и корректной и требует уточнения.

· «Виртуальные» заряды хорошо объясняют сверхбыстрое выполнение граничных условий. Инерциальные электроны проводимости не способны столь быстро реагировать на изменение поля из-за большой инерции.

· Интересный факт: с такими зарядами и токами постоянно работают специалисты по технике СВЧ. Они имеют дело с поверхностными токами в волноводах, объемных резонаторах, антеннах, коаксиальных и двухпроводных линиях и т.д.

· Заметим, что решение задачи об излучении диполя Герца (калибровка Лоренца) будет содержать продольные волны, если скорость движения зарядов в «усах» диполя будет отличаться от скорости света.

Итак, мы свели все уравнения Максвелла к одному векторному уравнению для вихревого потенциала. Исчезли инерциальные заряды (электроны, протоны…), но вместо них появились «виртуальные» заряды. Неужели мы пришли к тупику? Нет!

Самое необычное только начинается.

6. Закон сохранения энергии-импульса Умова

Докажем для уравнений Максвелла в калибровке Лоренца имеет место закон сохранения энергии-импульса Умова [6]. Перепишем уравнения (1.3.3):

(1.6.1)

(1.6.2)

.

Покажем, что для уравнения (1.6.1) существует закон сохранения Умова для равномерно движущегося заряда. Но сначала сделаем предварительное замечание: величины и берутся в системе отсчета, связанной с зарядом (v = 0).

Для доказательства закона Умова умножим выражение (1.6.1) на и преобразуем полученный результат.

Правая часть.

Правая часть обращается в нуль, поскольку потенциал берется в собственной системе отсчета, где он не зависит от времени, на заряд не действуют внешние силы, и он не испытывает ускорения ().

Левая часть

(1.6.3)

Здесь в левой части мы получили выражение для дивергенции тензора плотности энергии-потока для поля заряда. Если компоненты этого тензора разделить на квадрат скорости света и проинтегрировать по пространственному объему, то получим выражение для тензора энергии-импульса Tik релятивистской частицы с электромагнитной массой me. 4-дивергенция тензора Tik определяется приведенным в [1] выражением:

(1.6.4)

Из полученного выражения следует, что релятивистский импульс электромагнитной массы Ре постоянен, т.е. . Это очевидно, поскольку силы на заряд не действуют, и заряд перемещается с постоянной скоростью.

Из (1.6.3) также вытекает закон сохранения энергии Умова, имеющий стандартную форму.

, (1.6.5)

плотность потока и плотность энергии поля заряда.

Нетрудно видеть, что полученное выражение (1.6.5) соответствует классическому выражению с точностью до релятивистского множителя. Мы видим, что проблема электромагнитной массы получила строгое решение.

Возникает вопрос: почему уравнениям Максвелла отвечают два разных закона сохранения энергии-импульса?

Оба доказательства закона сохранения энергии-импульса корректны. В них нет произвольных допущений, некорректных приемов и фальсификации.

Суть в том, что потенциалы в законе Пойнтинга и в законе Умова различны.

И вновь проблема: почему потенциалы, отвечающие одному и тому же волновому уравнению (см. (1.3.3) и (1.6.1)), отличаются друг от друга, в чем причина? Ее мы обсудим ниже.

Отметим, что закон сохранения энергии-импульса Умова описывает сохранение плотности энергии и импульса для мгновенно действующих потенциалов. Закон сохранения энергии-импульса Пойнтинга применим только для запаздывающих потенциалов! Это положение является ключевым для понимания явлений электродинамики.

7. Условие «жесткой связи» потенциалов

Формулируя принцип «градиентной инвариантности» Ландау пишет в [1], что можно, используя эту инвариантность, исключить одно из уравнений. Этим мы воспользовались, чтобы «убрать» из решений продольные волны.

Однако он не увидел второй вариант. Мы можем исключить из всех уравнений частные производные по времени. Иными словами, мы можем, используя условие калибровки Лоренца, «обратить» волновые уравнения в уравнения пуассоновского типа. Им отвечают мгновенно действующие потенциалы. Мгновенно действующим потенциалам мы будем присваивать индекс «0». Покажем это.

Запишем условие калибровки Лоренца

 (1.7.1)

Мы не нарушим условие (1.7.1), если свяжем потенциалы А0 и ф0 уравнением

(1.7.2)

Это и есть условие «жесткой связи» потенциалов (его релятивистский аналог ). Условие (1.7.2) как раз и решает поставленную задачу, т.е. позволяет исключить производные потенциала по времени. Отметим, что для уравнений пуассоновского типа нет необходимости задавать начальные условия. Скалярные потенциалы не рождаются и существуют сколь угодно долго, как и их источники (заряды).

Сравним форму скалярных потенциалов при обычной связи (запаздывающие потенциалы) и «жесткой связи» (мгновенное действие на расстоянии). Здесь нас не будут интересовать энергетические соотношения. Их мы рассмотрели выше.

А. Запаздывающий потенциал (обычная связь потенциалов).

Пусть виртуальная заряженная частица, генерирующая запаздывающие потенциалы, представляет собой сферу, на поверхности которой равномерно распределен поверхностный заряд с плотностью , где а - радиус сферы. Заряд неподвижен. Уравнение для потенциала поля виртуального заряда имеет вид:

(1.7.3)

Потенциал при r = 0 должен быть ограничен. Допустим, что виртуальный заряд рождается в начальный момент времени (t = 0). Волновые уравнения позволяют описать «рождение» заряда. «Предыстория жизни» заряда для t ? 0 заложена в начальных условиях задачи Коши. Начальные условия выберем нулевые.

Мы не будем описывать стандартную процедуру решения. Описываемый уравнением (1.7.3) потенциал равен сумме двух потенциалов (рис. 1), один из которых движется от r = а в бесконечность вдоль радиуса, а второй - к центру и, отразившись от начала координат с потерей фазы на (жесткий «керн»), движется от центра, вычитаясь из первого при r > a (рис. 1). Потенциал при r > a является запаздывающим.

Для точечного виртуального заряда (при a 0) потенциал имеет вид (r > 0):

; где (1.7.4)

Рис. 1

Теперь можно отнести момент «рождения» заряда в бесконечно удаленное время. Потенциал заряда по величине будет постоянным, не зависящим от времени. Это не означает, что потенциал «статичен». В каждые последующие друг за другом бесконечно малые промежутки времени от заряда «отпочковываются» тонкие слои потенциала и уносятся друг за другом в бесконечность, убывая обратно пропорционально расстоянию от заряда r-1.

Пусть теперь заряд движется с постоянной скоростью v. Его скалярный потенциал описывается уравнением

Решение имеет вид:

(1.7.5)

Обратим внимание на характерный множитель ,

В. Мгновенный потенциал («жесткая» связь потенциалов).

Вернемся к волновому уравнению (1.7.3). В это уравнение как бы «вложено» уравнение Пуассона вида

(1.7.6)

Кажется, что формально уравнения (1.7.3) и (1.7.6) совпадают, если считать заряд покоящимся и существующим бесконечно давно. Однако решение уравнения (1.7.6)

 (1.7.8)

принципиально отличается от выражения (1.7.4) множителем , который стремится к 1 только в пределе при условии, что .

Рассмотрим теперь этот же движущийся заряд. Пусть он движется вдоль оси х с переменной скоростью. Мы преобразуем уравнение (1.7.3), используя условие «жесткой связи».

Если подставить выражение для векторного потенциала в условие калибровки Лоренца, то эти дополнительные условия совместно дадут уравнение непрерывности для скалярного потенциала

(1.7.9)

Из выражения (1.7.9) следует, что производная потенциала во времени (которую мы можем также рассматривать, как начальное условие при t = 0) не может быть задана произвольным образом. Например, она не может быть равной нулю, как это было при решении волнового уравнения (1.7.3). Более того, мы можем, используя (1.7.9), вычислить и вторую производную потенциала по времени и исключить ее из волнового уравнения.

Для иллюстрации рассмотрим движение точечного инерциального заряда вдоль оси х с произвольной скоростью. Используя (1.7.9) можно найти следующие выражения:

(1.7.10)

Если движение равномерное, то выражение (1.7.10) упрощается

(1.7.11)

Учитывая (1.7.11), легко привести волновое уравнение к уравнению пуассоновского (эллиптического) типа

(1.7.12)

Выражение (1.7.12) можно было бы сразу получить из уравнения (1.7.6), используя преобразование Лоренца. Обратите также внимание на следующий факт. Теперь нам нет необходимости задавать начальные условия, поскольку производная по времени от потенциала в уравнении (1.7.12) отсутствует!

Далее делаем замену и обращаем выражение (1.7.12) в уравнение Пуассона.

(1.7.13)

Решением этого уравнения будет потенциал, который является мгновенно действующим (уравнение Пуассона!)

(1.7.14)

Потенциал (1.7.14) есть частное решение уравнений (1.7.3) и (1.7.12) одновременно. Повторим: потенциал (1.7.14) не является запаздывающим. Он описывает мгновенное действие на расстоянии, поскольку является решением уравнения (1.7.12).

Отсюда появляется возможность удалить еще один предрассудок. Лорец-ковариантность уравнений физики не есть гарантия отсутствия мгновенного действия на расстоянии! Преобразование Лоренца это обычное алгебраическое преобразование. Оно не превращает запаздывающие потенциалы в мгновенно действующие и обратно! Добавим, что мгновенное действие на расстоянии может существовать при конечной скорости света.

Аналогичные вычисления можно было бы провести для произвольного движения заряда в трехмерном пространстве.

Замечание. Вряд ли Ландау понимал, что существует «жесткая связь», которая порождает мгновенное действие на расстоянии. Он, как и все физики его поколения, считал, что поля зарядов и поля электромагнитных волн тождественны и всегда являются «запаздывающими». Но он постоянно (и, как теперь знаем, незаконно) использовал соотношение (1.7.2) при описании явлений, например, при описании взаимодействия зарядов. Эти вопросы мы подробно рассмотрим в Части 2.

Отождествление полей зарядов и электромагнитных волн позволило Ландау «решить» две задачи:

· Во-первых, исключить из книги логически противоречивую «кулоновскую калибровку». Об этом мы выше упоминали.

· Во вторых, «легко и непринужденно» переходить от описания электромагнитных волн запаздывающего потенциала к описанию взаимодействия зарядов между собой (используя мгновенное действие на расстоянии) и обратно.

В результате он добился внешне строгого и логически последовательного изложения теории, но две проблемы он «припрятал». Одна из них - проблема электромагнитной массы, о которой он упоминает в книге, как о «пустячке», вторая - проблема излучения ускоренного заряда («самоускорение заряда»). «Пустячок», как мы убедились, оказался отнюдь не пустяковым! Это мы тоже обсудим.

8. Главная причина проблем физики

В науке нет монополии на Истину. Перед ней все равны. Это правило часто забывают. Редакции научных журналов беспокоятся о высоком научном авторитете, поэтому рецензенты журнала, как правило, не пропускают статьи с «сомнительным» содержанием. С одной стороны, это правильный подход, позволяющий «отсечь» мало научные или ошибочные «произведения». С другой стороны, такой подход становится преградой для обсуждения новых идей, идущих вразрез с общепринятой точкой зрения, вразрез со сложившимися предрассудками.

Допустим, что по каким-то причинам (недобросовестность рецензентов, «просмотр» редакции и т.д.) были опубликованы результаты, содержащие ошибку. Читатели журнала редко перепроверяют выкладки, полагаясь на авторитет журнала и добросовестность рецензента.

Далее эти результаты используются в последующих статьях новых авторов. Ошибка, как вирус, «размножается», нанося ущерб науке. Постепенно к ошибочному результату привыкают, и он превращается в предрассудок. Предрассудок это догма, которую очень трудно «удалить».

В современной физике принято считать, что поля зарядов и электромагнитные волны есть одно и то же, т.е. эти поля ошибочно отождествляются. Анализируя уравнения Максвелла, мы с вами обнаружили, что квазистатическим полям зарядов и электромагнитным волнам отвечают два различных закона сохранения энергии-импульса. Это свидетельствует о разной природе этих полей (См. Таблицу 1.1).

Таблица 1.1 Сравнение свойств волновых и квазистатических полей

Квазистатические поля заряда	Волновые поля
Поля заряда Е и Н всегда «привязаны» к заряду и не могут существовать без заряда.	После излучения волна (поля Е и Н) распространяется и уже не зависит от источника излучения.
Магнитное поле заряда Н зависит от скорости перемещения заряда. Если заряд покоится, магнитное поле равно нулю.	Магнитное поле волны Н всегда жёстко связано с электрическим полем Е. Эти поля не могут существовать раздельно.
Электрическое поле заряда обладает инерциальными свойствами, т.е. имеется электромагнитная масса заряда (масса покоя), импульс и кинетическая энергия. Электромагнитная масса обладает всеми свойствами обычной (механической) инерциальной массы.	Плотности энергии электромагнитной волны нельзя поставить в соответствие плотность инерциальной массы. Плотность массы покоя электромагнитной волны всегда равна нулю.
Скорость перемещения полей заряда всегда равна скорости движения заряда и может быть равна нулю. Связь между электромагнитной массой и кинетической энергией полей заряда описывается законом сохранения Умова.	Скорость перемещения электромагнитной волны в свободном пространстве постоянна и всегда равна с. Связь между плотностью энергии и плотностью импульса электромагнитной волны определяется законом сохранения Пойнтинга.

Обратимся к истории.

Ошибка, связанная с отождествлением этих полей, появилась в середине 19 столетия, когда Максвелл представил научному сообществу свои уравнения. Обобщая эксперименты Фарадея, Ампера, законы Кулона и т.д., Максвелл «потерял» мгновенное действие на расстоянии [7]. Эта ошибка самым серьезным образом отозвалась на развитии физики. Она породила мнение, что все тела и поля имеют «волновую» природу, а все поля являются «запаздывающими».

Мировоззренческая борьба в науке это не некая философская абстракция. Она всегда связана с борьбой научных идей. Материалистическое мировоззрение отошло на второй план по нескольким причинам. Одной из них явилось отсутствие грамотных философов-материалистов, способных развить материалистическую теорию познания. Другой явилось большое число новых экспериментальных открытий, которые не удавалось «втиснуть» в рамки «механистического» материализма.

Хотя классические теории (с их мгновенным действием на расстоянии) были успешно подтверждены 200-летним опытом развития науки и техники, они были признаны «анахронизмом». Им на смену были предложены новые теории, теории, основанные на новых принципах. Начали подвергаться критике классические пространственно-временные отношения и мгновенное действие на расстоянии. В конце 19 века (уже в то время!) проф. О.Д. Хвольсон в своем «Курсе физики» [8] писал:

«…В настоящее время успело сделаться общим достоянием убеждение, что actio in distans не должна быть допускаема ни в одну область физических явлений. Но как ее изгнать из учения о всемирном тяготении?».

Наконец, благодаря исследованиям Лоренца, Пуанкаре и Эйнштейна возникла СТО со своими постулатами и парадоксами. Для объяснения релятивистских явлений появился пустой по содержанию термин о существовании предельной скорости распространения взаимодействий. Термин мгновенное действие на расстоянии обрел негативный смысл (приобрел негативное звучание, стал «ругательным»). Позже Пуанкаре, отмечая «успехи» новой физики, высказал мысль о том, что если с созданием СТО классическая физика сохраняла еще вид здания, то с созданием квантовых теорий от нее остались руины.

Казалось бы, что материализм, логика и здравый смысл вместе с классическими теориями уже повергнуты и не возродятся. Но жизнь показала иное. Новая физика столкнулась с принципиальными трудностями, корни которых тянутся к нерешенным проблемам классических теорий. И, тем не менее, догматизм (позитивизм), поразивший научное сообщество, продолжал и продолжает наносить вред науке. Он агрессивно мешает развитию правильного материалистического миропонимания. Чтобы показать это, процитируем одного из профессоров философии [9]:

«Уже цитированный М. Чапек (один из махровых противников материализма - Прим. В.К.) предостерегает от злоупотребления тем, что он называет нашим «ньютоно-евклидовым» подсознанием, корни которого лежат в филогенетическом сознании людей. Это сознание слишком упрямо, чтобы его можно было бы заменить голым мастерством математического формализма. «Задача эпистемолога в современной физике, - пишет Чапек, - немного похожа на задачу психоаналитика: обнаружить остатки классического мышления за словесными отрицаниями и отказами»... Дело, следовательно, состоит не только в том, чтобы изгнать «ньютоно-евклидово» подсознание, но и в том, чтобы заменить его «квантово-релятивистским» подсознанием».

Откровенно, не правда ли? Вот так материализм постоянно «выдавливается» из сознания школьников, студентов и ученых, а «вакуум» заполняется догмами и предрассудками, обрекая научные теории на застой.

Приложение 1.1 Кулоновская калибровка

Помимо калибровки Лоренца в электродинамике широко используется кулоновская калибровка. Формально последовательный вывод кулоновской калибровки из калибровки Лоренца дан в [10]. Логика доказательства следующая:

Делается замена потенциалов

. (1.П.1)

Показано, что при такой замене поля Е и Н сохраняются неизменными.

Заменяя в условии калибровки Лоренца не штрихованные величины штрихованными, находят:

. (1.П.2)

Для получения кулоновской калибровки необходимо, чтобы выполнялось соотношение

. (1.П.3)

При замене потенциалов на штрихованные волновые уравнения для скалярного и векторного потенциалов (в калибровке Лоренца) преобразуются в уравнения

 (1.П.4).

Так мы получаем кулоновскую калибровку. Кажется, что с формально-математической точки зрения здесь все корректно, и обе калибровки совершенно равноправны. Однако:

«Корректность» действительно существует, но только формально-символьная.

Покажем это.

Введем следующие обозначения: - запаздывающие потенциалы, являющиеся решениями волнового уравнения, - потенциалы соответствующие мгновенному действию на расстоянии.

Повторим выкладки.

1. Замена потенциалов

(1.П.5)

2. Заменяем в условии калибровки Лоренца не штрихованные величины штрихованными:

. (1.П.6)

3. Для получения кулоновской калибровки необходимо, чтобы выполнялось соотношение

. (1.П.7)

4. При замене потенциалов на штрихованные волновые уравнения для скалярного и векторного потенциалов (в калибровке Лоренца) преобразуются в уравнения

(1.П.8)

Обратите внимание на уравнение для скалярного потенциала . Этот потенциал должен быть запаздывающим, но он описывается уравнением Пуассона, а не волновым уравнением! Налицо противоречие. Поэтому не случайно В.Г. Левич, как бы оправдываясь, пишет следующее [9]:

При кулоновской калибровке скалярный потенциал определяется распределением зарядов так, как будто они покоились. Само собой разумеется, напряженности полей Е и Н, найденные из решений с кулоновской калибровкой и калибровкой Лоренца, совпадают.

Выражение: «как будто они покоились», (хотя заряды движутся (!)), как раз и отражает мгновенное действие на расстоянии, поскольку никакого «запаздывания» такие поля при движении точечного инерциального заряда не испытывают. Можно заниматься обманом или самообманом, но обмануть математику невозможно. Электрическое поле скалярного потенциала движется синхронно с зарядом, не имеет никакого приписываемого ему «запаздывания»!

Правда есть другой вариант объяснения. Можно предположить, что в уравнении Пуассона для правая часть может быть записана как (виртуальный заряд). Тогда формально потенциал будет казаться запаздывающим. Этот вариант требует специального математического анализа.

Ландау был прав, относясь с подозрением к «калибровочной инвариантности». Недавно нам в руки попалось 8 издание «Теории поля» Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица. Там с удивлением обнаружили, что редакторы изменили название параграфа 18. Вместо названия «Градиентная инвариантность» там напечатано «Калибровочная инвариантность». Такое «осовременивание» работ классиков науки недопустимо.

Список источников к Части 1

1. Л.Д. Ландау, Е.М Лифшиц. Теория поля. - М.: ГИФФМЛ. 1960.

2. Р.Ф. Фейнман, М.Сэндс, Р.Лейтон. Фейнмановские лекции по физике. Т 6. Электродинамика, 3-е издание, М.: Мир, 1977.

3. М. Бунге. Философия физики. Пер. с англ. Ю.Б. Молчанова. - М.: Прогресс, 1975.

4. А.И. Ахиезер, В.Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика. - М.: Наука. 1969.

5. Г. Голдстейн. Классическая механика. ГИФМЛ, Наука. М.: 1975

6. В.А. Кулигин. Гимн математике или авгиевы конюшни теоретической физики.

http://www.sciteclibrary.ru/texsts/rus/stat/st6224.pdf

7. В.А. Кулигин. Ошибка Максвелла и ее следствия для физики. http://n-t.ru/tp/ov/om.htm

8. О.Д. Хвольсон. Курс физики, Том 1. Избранное. (Констуитивы механики и измерения), с.1 - 36. Издание К.Л. Риккера, 1897.

9. В.А. Кулигин. Вавилонская башня вульгарного позитивизма. http://n-t.ru/tp/ns/vb.htm

10. В.Г.Левич. Курс теоретической физики, Т.1, ФИЗМАТГИЗ, 1962.

Часть 2. «Жесткая связь» потенциалов заряда

В Части 1 было показано, что:

1. Калибровочной инвариантности не существует.

2. Из условия калибровки Лоренца следуют два важных положения. Первое положение - «градиентная инвариантность» [1], которая позволяет исключить из решений уравнений Максвелла продольные электромагнитные волны и дать описание только поперечных волн векторного потенциала. Второе положение это условие «жесткой связи» скалярного и векторного потенциалов поля. Жесткая связь позволяет решить проблему электромагнитной массы и описать взаимодействие зарядов и их поля.

3. Из условия жесткой связи вытекает, что свойства полей заряда отличаются от свойств полей электромагнитной волны. Полям зарядов отвечает мгновенное действие на расстоянии. Это не противоречит преобразованию Лоренца (Часть 1) . Фактически из этого следует, что электродинамика четко разделена на две части, описываемые самостоятельными группами уравнений. Сказанное иллюстрируется рис. 1.

Рис. 1

Левая ветвь отвечает запаздывающим полям электромагнитной волны. Правая ветвь открывает путь к описанию полей зарядов и взаимодействия зарядов в рамках уравнений Максвелла в калибровке Лоренца.

Появление мгновенного действия на расстоянии кардинально меняет философию физики. Меняет смысл термин «взаимодействие». Лишаются смысла такие понятия, как «скорость распространения взаимодействий» и некоторые другие (см. Приложение 2.1). Здесь мы хотим подчеркнуть приоритет электродинамики по отношению к последующим теориям (СТО, ОТО, КЭД, космология и т.д.). Если меняется электродинамика, автоматически должны быть пересмотрены теории, опирающиеся на нее. На это обращал внимание Р.Фейнман.

В данной статье мы рассмотрим следствия, отвечающие правой ветви на рис. 1. Мы покажем, как из релятивистского принципа наименьшего действия без специальных гипотез вытекают уравнения, описывающие взаимодействие электрических зарядов.

1. Действие для свободного заряда

Не будем повторять то, что уже изложено в учебниках. Здесь мы предложим свой вариант, который позволяет последовательно описать взаимодействие зарядов.

Как известно, действие для релятивистской частицы массой m имеет стандартный вид, предложенный М. Планком:

(2.1.1)

Масса покоящейся заряженной частицы, как доказано в Части 1, равна

, где dV - элемент объема.

Подставляя это выражение в (2.1.1), получим

(2.1.2)

где: - 4-вектор плотности тока; - 4-потенциал заряда. Величины и берутся в системе отсчета, где заряд покоится. В выражении (2.1.2) мы воспользовались тождеством .

Обращаем внимание на то, что формула это условие «жесткой связи» векторного и скалярного потенциалов. Его классическим аналогом является выражение .

Выражение (2.1.2) является исходным для описания взаимодействия зарядов.

2. Действие для двух взаимодействующих зарядов

Пусть наш заряд распадается на две части. Нам не важен знак каждого из зарядов, но важно, чтобы при распаде выполнялся закон сохранения заряда. Нас будет интересовать случай, когда расстояние между зарядами много больше размеров каждого из зарядов. Для удобства мы введем электрический момент заряда. Запишем подынтегральное выражение

(2.2.1)

Величина есть дифференциал плотности электрического момента заряда.

Для удобства мы будем приписывать характеристикам заряда цифровой индекс: 1 или (1) для первого заряда и 2 или (2) для второго заряда. Обратимся к выражению (2.1.2). В нем под знаком интеграла мы будем иметь произведение суммы двух 4-потенциалов, умноженных на сумму двух плотностей электрического момента

(2.2.2)

Физический смысл 4-потенциалов следующий. Потенциал Ai(2) создается вторым движущимся зарядом для первого заряда в точке, где находится заряд 1 в (сопутствующей системе отсчета). Подобным образом определяется 4-потенциал Ai(1). Поскольку результат, который необходимо получить, важен, мы будем проводить подробные выкладки.

(2.2.3)

Теперь проинтегрируем каждый член по объему V, содержащему заряды. Как и прежде имеем:

и

Теперь рассмотрим второй член в выражении (2.2.3). Учитывая, что размеры заряда много меньше расстояния между зарядами, можно считать потенциал постоянным для первого заряда.

(2.2.4)

Аналогично можно проинтегрировать четвертый член выражения (2.2.3). Итак, имеем

(2.2.5)

Учитывая, что получим

(2.2.6)

Для удобства вывода уравнения движения выражению (2.2.6) нетрудно придать другие формы, используя равенство

(2.2.7)

(2.2.8)

Итак, мы записали интеграл действия для двух взаимодействующих зарядов, не используя гипотезы. Напомним, что условие «жесткой связи», использование нами, отражает мгновенное взаимодействие зарядов.

3. Уравнение движения заряда в поле другого заряда

Теперь мы должны получить уравнение движения одного из зарядов при действии на него поля второго заряда. Для этого нам удобно воспользоваться интегралом действия (2.2.7).

Мы будем варьировать 4-координаты первой частицы, считая, что вторая частица «заморожена»:

(2.3.1)

Первые два члена проинтегрируем по частям.

(2.3.2)

Второй член этого равенства равен нулю, так как интеграл варьируется при заданных значениях координат на пределах .

Вариация 4-потенциала и его дифференциал равны

(2.3.3)

Осталось привести члены к стандартной форме:

.

В последнем члене суммы в подынтегральном выражении (2.3.3) мы поменяем местами индексы i и k . Запишем окончательный вариант

(2.3.4)

Отсюда в силу произвольности получаем уравнение движения первого заряда при воздействии на него поля второго заряда.

(2.3.5)

Если убрать индексы 1 и 2, мы получаем стандартное уравнение движения, которое приводится во всех учебниках по электродинамике. Уравнение движения для второй частицы легко вывести тем же путем, используя для удобства выражение (2.2.8). Еще проще это уравнение можно записать, заменив индексы 1 на 2, а 2 на 1.

Физический смысл полученных результатов легко продемонстрировать на примерах нерелятивистского взаимодействия зарядов, когда v значительно меньше с.

4. Нерелятивистский вариант взаимодействия зарядов

Мы, прежде всего, аккуратно получим классический интеграл действия из его релятивистского варианта. Запишем (2.2.6)

(2.4.1)

При малых скоростях мы имеем:

(2.4.2)

Заметим, что скалярное произведение двух 4-векторов скоростей есть истинный скаляр. Это произведение инвариантно относительно выбора инерциальных систем отсчета. Для малых скоростей имеем:

(2.4.3)

где: V12 - относительная скорость зарядов, вычисленная по теореме сложения релятивистских скоростей; v1 - скорость первого заряда; v2 - скорость второго заряда.

Учитывая выражения (2.4.2) и (2.4.3), преобразуем соотношение (2.4.1).

...