Асимптотичні методи теорії коливань

Размещено на http://www.allbest.ru/

План

Вступ

1.Витоки асимптотичних методів в теорії нелінійних коливань

2. Асимптотичні методи теорії нелінійних коливань

2.1 Осцилятор з квадратичною не лінійністю

2.2 Осцилятор Дуффінга

2.3 Метод Лінштедта-Пуанкаре

2.4 Метод багатьох масштабів

2.5 Метод Ван дер Поля

2.6 Метод Крилова - Боголюбова

3. Приклади розв'язання задач за допомогою асимптотичних методів

Висновки

Список використаної літератури



Вступ

Коливання - як процес почергового зростання та зменшення величини певного параметра фізичної системи, яку досліджують, порівняно з його стаціонарним значенням, мають свою широку різноманітність. Зокрема нелінійні коливання реалізуються у випадках, коли сила, в наслідок дії якої відбуваються коливання, є нелінійною функцією узагальненої координати та узагальненої швидкості . Проте при розв'язанні таких рівнянь виникають труднощі і отримати їх розвязок у звичній формі та загально прийнятими методами не вдається. Тому частіше усього до рівняння нелінійного осцилятора застосовують різні наближені методи його аналізу - асимптотичні методи, яким і присвячена ця курсова робота. Зокрема ми розглянемо наступні:

· Осцилятор з квадратичною не лінійністю

· Осцилятор Дуффінга

· Метод Лінштедта - Пуанкаре

· Метод багатьох масштабів

· Метод Ван дер Поля

· Метод Крилова - Боголюбова

Актуальність проблеми, яка зумовила вибір теми дослідження полягає в тому,що сучасний розвиток науки та техніки, вимагає впровадження НТР, а тому використання стандартизованих методів виявляється недостатнім. Відповідно отриманні результати не вдається отримати точно, а отже для їх розрахунку вдаються до використання асимптотичних методів, що полягають у представлені розв'язків та нелінійних функцій, що входять до рівнянь нелінійного осцилятора, у вигляді рядів за ступенями одного або кількох малих параметрів, які вибирають, виходячи з певних математичних міркувань.

Об'єкт дослідження: розвиток асимптотичної теорії нелінійних коливань, та її основні методи обрахунку.

Предмет дослідження: асимптотичні методи теорії нелінійних коливань, та їх математичний апарат .

Мета дослідження - здійснити аналіз розвитку асимптотичної теорії нелінійних коливань, та науково обґрунтувати її найбільш використовувані методи.

У відповідності з метою дослідження ставляться такі завдання:

· Показати основні витоки асимптотичних методів теорії нелінійних коливань в механіці;

· Науково та математично описати запропоновані асимптотичні методи обрахунку;

· Показати використання асимптотичних методів теорії нелінійних коливань до конкретних задач.

Логіка дослідження зумовила структуру курсової роботи: вступ, три розділи, висновки та список використаної літератури, що складається з 5 найменувань. Загальний обсяг роботи 38 сторінок.



1.Витоки асимптотичних методів в теорії нелінійних коливань

Асимптотичні методи - це методи, що дають можливість описувати поводження функцій чи розв'язків диференціальних, інтегральних, інтердиференціальних та інших рівнянь, у випадку коли деякі із параметрів, від яких вони залежать, прямують до певної границі скінченної чи не скінченої. Асимптотичні методи, що зародилися в математичному аналізі ще в XVIII ст. широко застосовувалися у працях Лагранджа, Лавер'є, які й заклали міцний фундамент теорії збурень.

Асимптотична теорія нелінійних коливань (нелінійна механіка) призвела до створення М.М.Криловим та М.М.Боголюбовим нової галузі математичної фізики - нелінійної механіки, що мала на меті розробку асимптотичних методів розв'язання нелінійних задач на основі класичних результатів А.Пуанкаре, О.М.Ляпунова, Б.Ван-дер-Поля.

В період формування асимптотичного напряму в теорії нелінійних коливань (30-ті рр. ХХ ст.) розглядаються актуальні задачі нової гілки в загальній теорії коливань - нелінійної механіки. Вперше нові асимптотичні методи викладено їх авторами 1932 р. у монографії «Дослідження поздовжньої стійкості аероплану». Цього ж року М.М.Крилов і М.М.Боголюбов надіслали до Паризької академії наук три повідомлення, метою яких було - встановити нові методи, придатні для дослідження як періодичних, так і квазіперіодичних коливань. В доповіді на конференції в Парижі вони виклали основи нового підходу до проблем нелінійних коливань, обґрунтували створення асимптотичної теорії нелінійних коливань, або нелінійної механіки. Результати цих досліджень вмістилися також в першу спільну монографію «Нові методи нелінійної механіки» (1934), поданої до видавництва 1932 р. М.М.Крилов та М.М.Боголюбов вказали, що А.Пуанкаре і О.М.Ляпунов повинні розглядатися як засновники цього нового розділу механіки.

В монографії «Про деякі формальні розклади нелінійної механіки» (1934) М.М.Крилов та М.М.Боголюбов з'ясували причини появи секулярних членів в розкладах за степенями малого параметра, для випадку коливальних систем з одним степенем вільності розглянули явища нелінійного резонансу та процеси, які його супроводжують, узагальнили даний метод для обчислення нестаціонарних розв'язків коливальних систем з багатьма степенями вільності. В наступній монографії «Застосування методів нелінійної механіки до теорії стаціонарних коливань» (1934 р.) вони зробили якісний аналіз автоперіодичних коливальних систем другого порядку, встановивши наявність квазіперіодичних розв'язків і описавши їх властивості стійкості.

М.М.Крилов і М.М.Боголюбов довели, що рівняння першого наближення можна отримати з точних рівнянь шляхом усереднення головного члена правих частин цих рівнянь за часом, тим самим заклали основи методу інтегральних багатовидів нелінійної механіки, сформулювавши критерії існування інваріантної кривої деякого точкового відображення. Метод інтегральних багатовидів отримав подальший розвиток у монографії «Наближені методи нелінійної механіки в застосуванні до вивчення збурень періодичних рухів і до різноманітних резонансних явищ, що сюди відносяться» (1935 р.). В ній викладено теорію збурень сімей періодичних рухів та ідею одночастотного методу нелінійної механіки.

У 30-ті рр. М.М.Крилов разом з М.М.Боголюбовим розробляв нові методи нелінійної механіки та загальної теорії динамічних систем. Ці дослідження розвивалися у двох напрямках. Перший пов'язаний з застосуванням асимптотичних методів розв'язання нелінійних рівнянь на практиці, другий - з математичним обґрунтуванням цих методів. Останній почав розвиватися в 40-х рр. і був зумовлений розвитком загальної теорії динамічних систем, створення якої розпочалося в 30-х рр.

Створення асимптотичних методів було завершено в монографії М.М.Крилова та М.М.Боголюбова «Вступ до нелінійної механіки» (1937). В ній дано обґрунтування принципу усереднення, в загальному вигляді сформульовано основні принципи методу еквівалентної лінеаризації, встановлено його зв'язок з методом розкладання за степенями малого параметра за допомогою правила, яке вони назвали принципом гармонічного балансу.

Перш ніж безпосередньо перейти до розгляду коливань і коливальних систем варто зауважити, що досить часто варто представляти об'єкт як сукупність складових, що характеризують певні частини системи. Як відомо особливістю нелінійних систем є те, що в них коливання різної амплітуди можуть бути суттєво різними за своїми характеристиками. Зокрема нелінійність характеризується такими ефектами:

· Неізохронність - період коливань залежить від аплітуди;

· Автоколивання - характеристики визначаються властивостями самої коливальної системи;

· Мультистабільність - опис системи залежить від початкових умов;

· Ангармонічність.

Існує величезний клас коливань, які називаються ангармонічними. Вони описуються нелінійними диференціальними рівняннями, їх амплітуда на відміну від гармонічних коливань не є малою, а часто навіть дуже великою. Про нелінійні коливання важко зробити загальний висновок. Їх амплітуда та частота визначається не тільки параметрами системи, оскільки їх величини змінюються з часом, та відбувається генерація вищих гармонік основної частоти.

Саме тому до рівняння нелінійного осцилятора застосовують різні наближені методи його аналізу - методи теорії послідовних наближень та методи усереднення. Спільною рисою цих методів є представлення розв'язків та нелінійних функцій f(x), що входять до рівнянь нелінійного осцилятора, у вигляді рядів за ступенями одного або кількох малих параметрів, які вибирають, виходячи з певних математичних міркувань. При цьому виконується послідовне нехтування найменшими членами ряду. Знайдений розв'язок підставляють у початкове, вихідне рівняння, для знаходження розв'язку у наступному наближенні. Такий алгоритм дозволяє шукати майже періодичні розв'язки у формі, яка є близькою до синусоїдальної. Не дивлячись на уявну простоту ідеології методів послідовних наближень, процес побудови таких розв'язків рівнянь нелінійних осциляторів, які б були однаково придатними як для великих, так і для малих значень змінної часу, часто ускладнюється. Це ускладнення обумовлено тим, що в якомусь наступному, за нульовим, наближенні серед членів ряду, який описує коливання нелінійного осцилятора, з'являються так звані секулярні доданки (від англійського слова secular - вікових). Їх ознакою є те, що величина поправки, яка знаходиться у припущенні про її малість порівняно з основним доданком ряду, який моделює розв'язок, несподівано виявляється такою, що при t>? необмежено зростає. Тим самим порушується основна математична вимога до пошуку форми наближеного розв'язку, а саме: розв'язок, який записується у вигляді ряду, не повинен розходитися. Підтвердження серйозності небезпеки появи секулярних доданків в розв'язках рівнянь нелінійних осциляторів можна побачити уже на прикладі використання самого простого з методів послідовних наближень - методу розкладання в ряд за малим параметром.



2. Асимптотичні методи теорії нелінійних коливань

2.1 Осцилятор з квадратичною не лінійністю

(Розклад в ряд по параметру нелінійності)

Існують випадки коли вдається знайти точний розв'язок в аналітичні формі, але які не підлягають загальним правилам. Тому теорія нелінійних коливань в таких випадках використовує набір наближених або асимптотичних методів.

Розглянемо осцилятор з квадратичною нелінійністю :

.

Це рівняння можна привести до універсального вигляду, що не містить параметрів. Проте для цієї мети використаємо дещо невідомий нам раніше підхід. Нехай, відомо деякий характерний масштаб коливань А. Введемо безрозмірні змінні час і координату наступним чином:

,

Опустивши штрихи в безрозмірних змінних , рівняння (1.1) набуде вигляду:

,

У цьому рівняння . Розглянемо випадок слабкої нелінійності коли , тобто рівняння містить малий параметр. В загальному необхідно зауважити, що умовою вживання будь якого асимптотичного методу являється присутність малого параметра.

Рівняння близьке до рівняння лінійного консервативного осцилятора, а відрізняється від нього малим доданком порядку . Тобто, легко бачити, що розв'язок можна представити у вигляді квазігармонічних (близьких до гармонічних) коливань. Спробуємо побудувати наближений розв'язок рівняння. Найбільш простий спосіб очевидно полягає в пошуку розв'язку у вигляді ряду по степенях малого параметра :

,

Вважаючи величинами одиничного порядку. В літературі цей метод називають методом розкладу по малому параметру або прямим розкладом.

Підставимо ряд (1.4) в рівняння (1.3) і одержимо:

,

Прирівнюючи в (1.5) члени при однакових степенях приходимо до системи взаємозалежних рівнянь:

,

,

,

Рівняння є рівнянням гармонійного осцилятора і його розв'язок записують у вигляді:

,

де амплітуда і початкова фаза - сталі, що визначаються з початкових умов. Підставимо розв'язок в рівняння щоб знайти :



,

Це рівняння формально співпадає з рівнянням лінійного консервативного осцилятора під дією зовнішньої сили. Розв'язок якого слід шукати як суму розв'язків однорідного і неоднорідного рівнянь, що записують у вигляді:

,

,

Де (1.12) розв'язок однорідного рівняння описує власні коливання осцилятора. Його амплітуда і початкова фаза і надалі визначаються з початкових умов. Другий доданок - частковий розвязок неоднорідного рівняння, який представляє собою вимушенні коливання осцилятора, тобто відповіть на зовнішній вплив щодо системи.

Як відомо з теорії лінійних коливань в спетрі вимушених коливань містяться ті частоти , що присутні в спектрі вимушеної сили. В даному випадку це нульова та друга гармоніка. Виходячи з цього одержуємо що :

,

І в результаті можемо записати, що:

,

Варто зауважити, що отриманий нами розв'язок містить чотири незалежних сталих (, ) для визначення яких відомі лише дві початкові умови. Тому дві із цих сталих можна вибрати довільним чином . Найзручніше вважати,що . В подальших розрахунках для простоти у всіх вищих порядках мализни покладатимемо сталі, що відповідають власним коливання рівними нулю.

Таким чином, остаточний вигляд розв'язку з точністю до членів порядку матиме вигляд:

,

Як видно із виразу в спектрі коливань появляються вищі гармоніки, нульова та друга амплітуди, яких мають порядок тобто, набагато менше амплітуди основної складової. Можна продовжити цей процес для одержання і більш високих порядків мализни. Після такого уточнення в розв'язку появляться і інші гармоніки третя, четверта і т.д. Проте, їх амплітуди будуть ще менші (порядку де n- номер гармоніки). Дійсно, оскільки нелінійність являється слабкою, то амплітуди вищих гармонік повинні швидко зменшуватися із зростанням їх номера.

Залишається тільки обчислити константи . Нехай початкові умови мають вигляд:

,

,

,

,

Отримана система є системою трансцендентних рівнянь і отримати її точний розв'язок в загальному випадку не вдається . Проте, враховуючи, що в міститься малий параметр, то розв'язок можна представити у вигляді ряду:

,



,

В розкладах необхідно враховувати те ж число членів що і в (1.15) . Намагатися знайти з більш високою степеню точності немає сенсу.

Підставимо в систему і виділимо члени однакових порядків мализни. В нульовому порядку по отримаємо:

,

,

Звідси легко знайти , що:

,

,

Члени порядку в дають:

,

,

Отримана система лінійних рівнянь (1.21) відносно , , знайти розвязок якої легко.

2.2 Осцилятор Дуффінга

(Розклад в ряд по параметру не лінійності)

Такий простий підхід, як прямий розклад за ступенями малого параметра, не завжди виявляється успішним. Щоб показати це розглянемо осциллятор Дуффінга ( осциллятор з кубічною нелінійністю):

,

Як і в попередньому розділі використаємо заміну змінних. І це призведе до такого вигляду рівняння:

,

Де, . Знову розглядатимемо випадок слабкої нелінійності тобто . Шукаючи розвязок у вигляді (1.1) , то замість рівнянь 1.6 - 1.8 отримаємо:

,

,

В нульовому порядку по , як і раніше отримаємо рівняння гармонійного осцилятора, розвязок якого має вигляд (1.9). Спробуємо знайти . Після підстановки виразу для (1.9) то рівняння (2.4) набуває вигляду:

,

Необхідно знайти розв'язок цього рівняння, де варто врахувати відповідні доданки, що містять вимушені коливання в членах вищого порядку. Оскільки нелінійність кубічна, то в цьому випадку в спектрі зовнішнього впливу міститься перша і третя гармоніка.

Розв'язок будемо шукати у вигляді суперпозиції, що одержується в наслідок відповіді на цей вплив:



,

Де задовільняють рівняням:

,

,

Розв'язок рівняння знаходиться легко і має вигляд гармонічних коливань на частоті вимушуючої сили:

,

Що з стосується рівняння то в ньому зовнішній вплив має частоту рівну частоті власних коливань осцилятора. Як відомо з теорії лінійних коливань в такому випадку виникає резонанс, що виражається в зростанні амплітуди коливань за лінійним законом. Відповідний розв'язок має вигляд:

,

Ми отримали так званий секулярний або віковий член (термін бере своє походження з небесної механіки). Остаточний вигляд розв'язку з точністю до членів другого порядку мализни має вигляд:

,

Зауважимо, що якби параметр був малим, то враховуючи, що з плином часу другий порядок в (2.11) неперіодично зростає та стає більшим за перший. Таким чином справедливість розкладу (1.4) при великих t порушується, або розклад не являється рівномірно доцільним по t. І це не є фізичним результатом, адже як відомо рівняння Дуффінга мають вигляд періодичних нелінійних коливань і ніякого приросту амплітуди з часом немає. Причиною такого недоцільного розв'язку є те, що коливання осцилятора Дуффінга виявляються неізохронними , тобто їх період залежить від амплітуди. Розклад (1.4) принципово не враховує неізохроність: в спектрі коливань може появитися тільки власна частота лінійних коливань і її гармоніка.

2.3 Метод Лінштедта-Пуанкаре

У цьому випадку необхідно модифікувати схему розв'язку таким чином, щоб можна було врахувати неізохронність. Найбільш простий спосіб був запропонований А. Лінштедтом (1883) і А. Пуанкаре (1892).

Запровадимо в (2.2) нову часову змінну . Оскільки то, отримаємо:

,

Де штрихами позначили похідну по . Будемо шукати розвязок (3.1) у вигляді розкладу в степеневий ряд як для змінної так і для частоти :

,

,

Перший член в розкладі для повинен представляти собою частоту лінійних коливань, яка при нормуванні дасть одиницю. А наступні поправки та описуватимуть ефекти неізохронності.

Підставимо розклад (3.2) в рівняння (3.1) і отримаємо:

,

Виконаємо перетворення для рівняння (3.3), і запишемо його у вигляді:

,

Прирівняємо до нуля члени нульового і першого порядку мализни і отримаємо:

,

,

Розв'язок для рівняння (3.5) запишемо у вигляді:

,

Підставимо співвідношення (3.7) у праву частину рівняння (3.6) і знайдемо, що:

,

Тепер завдання полягає у правильності вибору , таким чином щоб знищилися члени пропорційні , які призводять до секулярного зростання розвязку для . Очевидно що для цього слід покласти :

,

Тепер згідно розв'язок запишеться у вигляді:

,

Його розв'язок:

,

Отриманий результат не містить секулярних складових і розклад залишається правильним при всіх значеннях .

В кінцевому результаті вигляд знайденого нами розвязку з точністю до членів порядку такий:

,

,

Якщо параметр то частота коливань зростає із зростанням амплітуди , а при частота навпаки зменьшується.

Зауважимо, що навідміну від осциллятора з квадратичною нелінійністю в спектрі коливань в першу чергу зявляється не друга, а третя гармоніка. Якщо і на далі продовжувати розклад, то можна переконатися, що в спектрі міститимуться лише непарні гармоніки. Це є наслідком симетрії рівняння Дуффінга відносно заміни . Аналогічний результат отримується при розгляді коливань математичного маятника.

2.4 Метод багатьох масштабів

Наближений розв'язок і отриманий методом Ланштедта - Пуанкаре можна представити у вигляді:

,

,

Залежність від часу у цей вираз входить як складна функція . Оскільки вважається малим параметром, то залежність від можна представити як повільну зміну параметрів коливання. Продовжуючи розклад до більш високих порядків мализни ми приходимо до представлення розв'язку у вигляді . Запровадимо позначення: асимптотичний нелінійний коливання квадратичний

,

Залежність від кожного наступного характеризує зміни. які проявляються на послідовно зростаючих масштабах часу.

Ідея переходу від одиничного часу t до набору змінних в (4.2) лежить в основі методу багатьох масштабів ( або в методі багаточисельних розкладів), що дозволяє отримати розв'язок широкого класу задач теорії коливань . Покажемо його застосування на прикладі рівняння Дуффінга (2.2).

Для загальності враховуватимемо у ньому також і слабкі затухання:

,

Тут вважатимемо, що . Зауважимо, що метод Ланштедта- Пуанкаре не можна застосовувати у випадку з урахуванням затухання, так як в ньому із самого початку запроваджують припущення, що амплітуда і частота коливань є постійними, а ефекти зменшення амплітуди описати не вдається.

При переході до нових змінних оператори диференціювання перетворюються наступним чином:

,

,

У рівності (4.5) для спрощення введено позначення: . Розв'язок для змінної як і раніше будемо шукати у вигляді степеневого ряду:

,

Підставляючи розклади (4.4) - (4.6) в рівняння (4.3) отримаємо:

,

,

Прирівнюючи до нуля члени порядку і відповідно, отримуємо наступні рівняння:

,

,

Розв'язок рівняння гармонійного осцилятора як і раніше запишемо у вигляді:

,

Але тепер будемо вважати і не сталими, а функціями що залежать від малозмінних параметрів:

,

Дійсно рівняння (4.3) в границі переходить в рівняння гармонійного осцилятора, тому не дивно, що розв'язок в нульовому порядку по являє собою квазігармонічні коливання з малозмінною амплітудою і фазою.

Підставимо розв'язок (4.10) в праву частину рівняння (4.9). При чому потрібно враховувати що оператор діє тільки на аргумент тригонометричних функцій , а оператор - на малозмінні параметри і

,

В праві частині рівняння (4.12) варто прирівняти до нуля секулярні члени пропорційні ,та . Це дає змогу отримати рівняння:

,

,

Таким чином, ми отримали диференціальні рівняння, що дозволяють описати динаміку малозмінних параметрів , . Відповідно одержанні рівняння (4.13) та (4.14) називають спрощеними.

У випадку консервативного осциллятора () рівняння (4.13) та (4.14) дають змогу одержати результат, що є аналогічним до результату отриманого методом Ланштедта- Пуанкаре:



,

Де і сталі, що визначаються з початкових умов. Величина очевидно є поправкою до частоти, що появляється із-за нелінійних ефектів.Для цього ми отримали рівняння аналогічне (3.9).

При знайти розвязок спрощених рівнянь також не важко:

,

,

Співвідношення (4.16) описує експоненціальне затухання амплітуди , але при цьому поправка до частоти також зменшується. В границі вони переходять в (4.15).

Після виключення секулярних членів рівняння (4.12) приймає вигляд:

,

Очевидно, що (4.17) співпадає із рівнянням (3.10) аналіз якого проводили в попередньому пункті. Тому відразу можемо записати кінцевий результат рівняння:

,

Залежність амплітуди і фази від малозмінного часу задається співвідношенням.

Проте при використанні методу багатьох масштабів більш зручно користуватися комплексною формою запису. Представимо розв'язок (4.10) для у вигляді:

,

Де -це комплексно спряжений вираз, А - повільно змінна комплексна амплітуда, модуль і аргумент якої описує малі зміни, амплітуди і фази коливань відповідно. Тоді рівняння (4.9) запишеться у вигляді:

,

Тут «*» означає операцію комплексного спряження. В правій частині рівності (4.20) необхідно вимагати знищення секулярних членів пропорційних . Це призводить до одного комплексного рівняння:

,

Вводячи вагомі амплітуду і фазу і розділивши змінні в (4.21) на уявну і дійсну частину приходимо до рівнянь (4.13),та (4.14). Оперувати комплексними змінними зручніше ніж тригонометричними функціями, а тому на практиці вони використовуються частіше.

2.5 Метод Ван дер Поля

Метод Ван дер Поля являє собою найпростіший варіант методу усереднення. Він був розроблений Б. Ван дер Полем (1920) для дослідження коливальних процесів в ламповому генераторі. Математичні основи цього методу були запропоновані Л.І.Мальдештамом і Н.Д.Папалексі (1934). Подальший розвиток методу усереднення отримав у працях Н.М.Крилова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольського і інші.

Розглянемо рівняння Дуффінга , та запишемо у вигляді:

,

Формально малий параметр ми не вводимо проте вважатимемо , що , тобто система близька до рівняння лінійного консервативного осцилятора. В загальному випадку наближеність до лінійної консервативної системи є умовою використання методу Ван дер Поля. Це дозволяє представити розвязок у вигляді:

,

Де мало змінюється порівняно з , і - комплексна амплітуда (в зв'язку з тим, що цей метод також називають методом малої змінни амплітуд). Не важко обчислити, що:

,

Зауважимо, що замість однієї залежної змінної запроваджено дві нові і .

Тому можна між цими змінними запровадити додатковий зв'язок. Зручно вимагати, щоб:

,

Тоді рівняння (5.3) спрощується до:

.

Продиференціюємо це рівняння ще раз:

,

Із врахуванням співвідношення рівняння приймає вигляд:

,

Підставляючи вирази (5.5) і (5.7) в вхідне рівняння (5.1) після численних обрахунків отримуємо наступне рівняння:

,

Зауважимо, що в рівнянні (5.8) всі члени одного порядку мализни, тобто вони або містять похідні від мало змінної амплітуди А, або пропорційні малим параметрам .

Поділимо рівняння (5.8) на :

,

Тепер усереднимо рівняння (5.9) за періодом основної частоти. Операція усереднення виконується наступним чином:

,

Де - період коливань( в даному випадку . Оскільки - малозмінна функція, то при усередненні її можна винести за знак інтегралу. Тоді, не важко помітити, що швидко осцилюючі члени (тобто всі члени, що містять комплексні експоненти) в рівнянні (5.9) дає нуль, в результаті ми отримуємо спрощене рівняння:

,

Це рівняння з точністю до позначень співпадає з рівнянням (4.21), отриманим методом багатьох масштабів.

Зауважимо, що метод багатьох масштабів взагалі кажучи дозволяє досягти кращих результатів ніж метод Ван дер Поля, оскільки з його допомогою ми не лише визначили еволюцію малозмінних амплітуди і фази, але й знайшли компоненту на частоті третьої гармоніки. Крім того, ми могли б продовжити розклад до більш високих порядків мализни, кожного разу все більше уточнюючи розв'язок. Проте, метод усереднення також містить відповідні узагальнення - це так званий метод Крилова-Боголюбова.

2.6 Метод Крилова - Боголюбова

Покажемо застосування методу Крилова-Боголюбова на прикладі рівняння, що описує загальну коливальну систему близьку до лінійної консервативної:

,

Тут, як і раніше - малий параметр, а деяка нелінійна функція. Розвязок рівняння (1.6) очевидно має бути близьким до гармонічних коливань тому шукатимемо його у вигляді:

,

Де, амплітуда і фаза задовольняють спрощеним рівняням, які варто знайти. Їх також варто шукати у вигляді рядів за степеннями :

,

,

Відносно величин , n=1, 2,…., в розкладі зробимо наступне припущення: оскільки, вони повинні описувати поведінку вищих гармонік,то вважатимемо, що вони являються періодичними функціями , але при цьому їх спектр не містить основної частоти , тобто :

,

Відповідно їх можна представити у вигляді рядів Фур'є:

,

Де

Знайдемо розв'язок з точністю до членів порядку . Продиференціюємо рівняння (6.2) і вичислимо :

,

Підставимо сюди і із співвідношення (6.3):

,

Продиференціюємо вираз (6.5) та одержимо:



,

Оскільки, ми шукаємо розв'язок з точністю до членів порядку , то в квадратній дужці можна покласти, що і ми отримаємо:

,

Підставимо вирази і у вихідне рівняння. При цьому з точністю до порядку в правій частині можна припустити, що:

,

Як результат запишемо наше рівняння у вигляді:

,

Представимо у вигляді ряду Фурє:

,

Де і можна знайти задавши конкретний вигляд функції .

Підставимо розклад (6.5) і (6.9) в рівняння:

,



В цьому рівнянні прирівняємо коефіцієнти при однакових гармоніках і одержимо:

,

,

Підстановка отриманих співвідношень в вираз (6.2) дає результат:

,

Де і знаходять із спрощених рівнянь (6.3) , які відповідно приймають вигляд :

,

Очевидно, що описаний алгоритм дій дозволяє отримати результат з точністю до будь-якого порядку щодо малого параметра .



3. Приклади розв'язання задач за допомогою асимптотичних методів

Отримати оцінку для частоти слабко лінійних коливань із точного розвязку .

У випадку для періоду справедлива формула

.

Замінивши в цій формулі , знайдемо що :

.,

І аналогічно

.

Де - повний еліптичний інтеграл першого роду. З урахуванням мализни отримаємо, що .

Отримаємо приблизний розвязок для при малих значеннях . В цьому випадку:

,

Останній інтеграл легко обчислюється і дає результат :



,

Підстановка одержаного результату у формулу для періоду дає результат:

,

Очевидно, що частота співпадає з формулою для частоти слабко лінійних коливань.

У випадку для періоду справедлива формула

,

З урахуванням розкладу для отримаємо формулу періоду:

,

Очевидно що формула для частоти аналогічна до першого випадку.

Задача 2

Знайти поправку першого порядку до частоти слабко нелінійних коливань для осцилятора з квадратичною не лінійністю.

,

Отриманий розв'язок порівняти із точним.

Перейдемо до нової змінної і шукатимемо розв'язок у вигляді:

,

В першому порядку мализни очевидно отримаємо рівняння гармонійного осцилятора:

,

Розв'язок для вибираємо у вигляді . В другому наближені матимемо :

,

Що після підстановки розв'язку для отримаємо:

,

Звідси, маємо що при тобто нелінійна поправка до частоти матиме порядок . Це погоджується з результатами отриманими на основі прямого розкладу. У розвязку для буде міститись нульова і перша гармоніка:

,

Тепер запишемо рівняння для членів порядку :

,

Не важко побачити, що в правій частині цього рівняння міститься перша і третя гармоніка. Прирівнюючи до нуля секулярні члени , що пропорційні , знаходимо що , а отже:

,

Таким чином із зростанням амплітуди частота коливань осцилятора з квадратичною нелінійністю зменшується, а період збільшується.

Бачимо, що позначивши , , , отримуємо рівняння аналогічне до отриманого точним розв'язком .

Задача 3

Осцилятор являє собою вантаж маси m прикріплений до стіни пружиною, із жорсткістю k. Вантаж може рухатися вздовж горизонтальної поверхні, при цьому сила сухого тертя між вантажем і поверхнею підпорядковується закону Кулона - Амонтона: , де коефіцієнт тертя, швидкість руху. Отримати спрощене рівняння для амплідин коливань і дослідити характер затухання.

Відомо, що коливання осцилятора підпорядковуються рівняню ( з урахуванням закону Кулона - Амонтона).

,

де , .

На далі вважатимемо коефіцієн малим, для того щоб вважати амплітуду коливань малозмінною. Використовуючи метод Ван дер Поля представимо розв'язок у вигляді квазігармонічного коливання із малозмінною амплітудою та фазою:



,

Продиференціюємо останнє співвідношення, і отримаємо:

,

Накладемо на і додаткові умови:

,

,

Диференціюючи останнє співвідношення одержимо:

,

Підставимо і у рівняння коливань і одержимо:

,

Права частина записаного рівняння представляє собою суму прямокутних імпульсів і її можна розкласти в ряд Фурє:

,

Де , де . При обчисленні будемо зневажати малими змінними фази . Отримаємо:



,

А отже рівняння для коливань запишеться у вигляді:

,

Домножимо на і використовуючи додаткову умову для і , отримаємо:

,

Усереднимо рівняння по періоду . Очевидно, що усі члени суми окрім n=0 , при усереднані дадуть 0. В рузультаті отримаємо рівняння:

,

Таким чином амплітуда затухає за лінійним законом :

,

і перетворюється в нуль за скінченний час .Тут початкове зміщення вантажу.

Зрозуміло, що цей вираз є наближеним і справедливим лише, якщо затухання проходить достатньо повільно, тобто за час набагато більший за період коливань.



Висновки

У результаті проведеного дослідження можна зробити наступні висновки:

· У першому розділі висвітлено нагромадження відомостей про коливання, дано їх періодизацію, показано виникнення і розвиток методів розв'язання нелінійних задач, формування загальної теорії нелінійних коливань. А також наведені основні відомості щодо алгоритму знаходження розв'язку нелінійних коливань, який лежить в основі кожного із розглядуваних методів.

· У другому розділі розглянули 6 основних асимптотичних методів теорії нелінійних коливань. Найперше ми розглянули одні з найпростіших методів за допомогою розкладу в ряд по параметру нелінійності, а саме осцилятор Дуффінга та осцилятор з квадратичною нелінійністю. Ускладнюючи поставлене завдання ми розглянули метод Лінштедта - Пуанкаре, та метод багатьох масштабів, у якому час є складною функцією. А також ми звернули увагу ще і на інший клас асимптотичних методів, а саме теорію усереднення і її найпростіші випадки метод Ван дер Поля, та метод Боголюбова - Крилова. У кожному з розглянутих методів ми в кінцевому результаті отримали загальний вигляд розвязку через залежності координати від параметру наближення .

· У третьому розділі ми показали застосування запропонованих методів до розв'язання конкретних задач поставлених перед нелінійною механікою.



Список використаної літератури

1. Азарєнков М.О.Теорія коливань та хвиль / М.О. Азарєнков, В.О.Гірка. - Х.: 2005. -154с.

2. Анісімов І.О. Коливання та хвилі: навчальний посібник / І.О.Анісімов. - К.: КНУ, 2011. - 210 с.

3. Кілочицька Т.В. Становлення і розвиток асимптотичної теорії нелінійних коливань(нелінійної механіки) в Україні (30-60 рр. ХХ СТ.): автореф. дис. канд. іст. наук: 15.10.08 / Кілочицька Тетяна Валентинівна. - Київ , 2008. - 19с.

4. Кузнецов А. П. Лекции по теории колебаний и волн :Нелинейние колибания / А. П. Кузнецов, С. П. Кузнецов, Н. М. Рискин. - Саратов: Саратовський государствений університет , 2011. - С.136-157

5. Моисеев Н.Н.Асимптотические методи нелинейной механике Н.Н.Моисеев, М: 1994. - 378с.

6. Фомель Б.М. Методи теории нелинейних колибаний / Фомель Б.М. Новосибірськ: 1970. - С.191-248

Размещено на Allbest.ru

...