Размещено на http://www.allbest.ru/

Тверде тіло як система матеріальних точок. Центр мас

Розглянемо самий загальний випадок руху довільної системи тіл. Довільну систему тіл завжди можна звести до системи матеріальних точок. Адже кожне тіло кінцевих розмірів завжди умовно можна розбити на настільки малі частинки, що кожну частинку можна розглядати як матеріальну точку. Таким чином, описавши закони руху для системи матеріальних точок, можна перенести ці закони на довільне тверде тіло.

На рис. зображена система пронумерованих матеріальних точок. На кожну точку діють внутрішні сили - з боку інших точок системи і зовнішні сили - з боку зовнішніх тіл, що не належать системі. Внутрішні сили будемо позначати буквою з двома індексами. Зовнішні сили - буквою з одним індексом. Наприклад, сила F_ikозначає силу, що діє на i-у точку з боку k-ї. F_i є зовнішня сила, що діє на i-у частинку.

Для кожної точки системи можна записати рівняння руху відповідно до другого закону Ньютона:

, (k ).

Усі ці рівняння можна скласти в одне рівняння: .

У правій частині рівняння подвійна сума зображує векторну суму усіх внутрішніх сил системи. Але відповідно до третього закону Ньютона кожній дії найдеться рівна і протилежно спрямована протидія. Наприклад, .

Це означає, що подвійна сума внутрішніх сил дорівнює нулеві. З іншого боку, прискорення . Тобто останнє рівняння можна переписати у вигляді

.

Тут під знаком похідної - повний імпульс системи, тому рівняння можна подати . Це рівняння виражає собою не що інше, як закон збереження імпульсу в загальному вигляді.

Якщо зовнішні сили відсутні (система замкнута), то похідна від імпульсу системи за часом дорівнює нулеві, а це означає, що імпульс системи з часом зберігається і за модулем, і за напрямком. Якщо зовнішні сили відмінні від нуля, то похідна від імпульсу за часом дорівнює сумі зовнішніх сил, діючих на систему.

Отже, систем матеріальних точок рухається як одна матеріальна точка, тобто її рух можна описувати з погляду на одну точку, яку називають центром мас. Загальна формула для центру мас довільної системи матеріальних точок:

де r_c - радіус-вектор центра мас, r_i - радіус-вектор i-й частинки з масою m_i.

Знайдемо швидкість центра мас. Для цього потрібно знайти похідну від r_c. З огляду на те, що

, одержимо , або .

Таким чином, швидкість центра мас пов'язана простою залежністю з повним імпульсом системи: імпульс системи дорівнює добуткові маси системи на швидкість центра мас.

Скориставшись вищевикладеним, останнє рівняння можна подати у вигляді:

.

Цей вираз називають рівнянням руху центра мас. Зміст цього рівняння такий:добуток маси системи на прискорення центра мас дорівнює геометричній сумі зовнішніх сил, що діють на тіла системи.

Як бачимо, закон руху центра мас нагадує другий закон Ньютона. Якщо зовнішні сили на систему не діють або сума зовнішніх сил дорівнює нулеві, то прискорення центра мас дорівнює нулеві, а швидкість його незмінна в часі за модулем і напрямком, тобто в цьому випадку центр мас рухається рівномірно і прямолінійно.

Зокрема, це означає, що якщо система замкнута і центр мас її нерухомий, то внутрішні сили системи не в змозі привести центр мас у рух. На цьому принципі заснований рух ракет: щоб ракеті надати руху, необхідно викинути гази, що утворяться при згорянні палива, у зворотному напрямку.

Поступальним рухом твердого тіла називається такий його рух, при якому будь-яка пряма, жорстко зв'язана з тілом - наприклад, пряма АВ на рис. 1.7 - переміщується, лишаючись завжди паралельною до осі A₀B₀, напрямок якої визначається початковим положенням тіла. При поступальному русі всі точки твердого тіла рухаються за однаковими траєкторіями (наприклад траєкторії АA₀ і ВВ₀ на рис. 1.7). Тут будемо розглядати абсолютно тверді тіла, які для стислості називатимемо просто твердими тілами. Поступально рухаються відносно Землі, наприклад, кабіна ліфта, різець токарного верстата, стрілка компаса при переміщенні його корпуса в горизонтальній площині тощо.

При поступальному русі твердого тіла всі його точки переміщуються цілком однаково: за малий час радіуси-вектори цих точок змінюються на одну й ту ж величину . Відповідно в кожний момент часу швидкості всіх точок тіла однакові і дорівнюють , а отже, однакові і їх прискорення. Тому кінематичний розгляд поступального руху твердого тіла зводиться до вивчення руху якоїсь із його точок. У динаміці зазвичай розглядають рух центра інерції тіла. Тверде тіло, що вільно рухається в просторі, має три поступальні ступені вільності, які відповідають його поступальному переміщенню вздовж трьох осей координат.

Рух твердого тіла, при якому дві його точки А і В лишаються нерухомими, називається обертанням(або обертальним рухом) тіла навколо нерухомої осі (рис.1.8). Нерухома пряма АВ називається віссю обертання тіла. При обертанні навколо нерухомої осі всі точки тіла описують кола, центри яких лежать на осі обертання, а площини перпендикулярні до неї. Подібний рух відносно Землі здійснюють, наприклад, ротори турбін, електродвигунів і генераторів, установлених нерухомо на Землі.

Тверде тіло, яке обертається навколо нерухомої осі, має одну ступінь вільності. Його положення в просторі повністю визначається величиною j кута повороту тіла з деякого певного (початкового) положення.

Для характеристики хуткості і напрямку обертання тіла навколо осі служить кутова швидкість . Усі точки твердого тіла обертаються з однаковими кутовими швидкостями. Довільна точка М твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю , описує коло радіусом із центром у точці Оў (рис. 1.9). Швидкість точки М, на відміну від кутової швидкості тіла, часто називають лінійною швидкістю. Вона напрямлена перпендикулярно як до осі обертання (тобто до вектора ), так і до радіуса-вектора , проведеного в точку М із центра кола Оў, і дорівнює їх векторному добутку: та . Тут - радіус-вектор точки М, проведений із точки О осі обертання, прийнятої за початок координат. твердий тіло вільність кінематика

Рух твердого тіла, при якому одна з його точок лишається на місці, називається обертанням тіла навколо нерухомої точки. Зазвичай цю точку приймають за початок координат нерухомої системи відліку. При обертанні навколо нерухомої точки всі точки тіла рухаються по поверхнях концентричних сфер, центри яких знаходяться в нерухомій точці. У кожний момент часу такий рух тіла можна розглядати як обертання навколо деякої осі, яка проходить через нерухому точку. Цю вісь називають миттєвою віссю обертання. У загальному випадку положення миттєвої осі обертання змінюється відносно як нерухомого укладу відліку, так і системи відліку, жорстко зв'язаної з розглядуваним тілом.

Швидкість довільної точки М тіла дорівнює та . Тут - кутова швидкість тіла, напрямлена вздовж миттєвої осі обертання, - радіус-вектор, проведений у точку М із нерухомої точки О, навколо якої обертається тіло, а - відстань від точки М до миттєвої осі.

Тіло може здійснювати три незалежних рухи: обертатися навколо кожної з трьох взаємно перпендикулярних осей, які проходять через нерухому точку О. Таким чином, воно має три ступені вільності.

Для характеристики хуткості зміни вектора кутової швидкості тіла при нерівномірному обертанні тіла навколо нерухомої осі або при його обертанні навколо нерухомої точки вводиться вектор кутового прискорення тіла, що дорівнює першій похідній від його кутової швидкості w за часом t: . Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, то вектори і спрямовані уздовж цієї осі: при прискореному обертанні ( ) вектор напрямлений в той же самий бік, що й , а при сповільненому ( )- в протилежний.

Проекція кутового прискорення на нерухому вісь обертання OZ рівна , де -проекція на ту ж вісь вектора .

Прискорення довільної точки М тіла, яке обертається навколо нерухомої точки О або нерухомої осі, що проходить через цю точку, часто називають, на відміну від кутового прискорення тіла, лінійним прискоренням. Воно дорівнює

,

де - обертальне прискорення точки, а - довісне прискорення точки, спрямоване до миттєвої осі обертання. Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі OZ (рис. 1.9), то обертальне прискорення точки М збігається з її дотичним прискоренням , а довісне - з нормальним прискоренням .

Будь-який складний рух твердого тіла можна розкласти на два простих: поступальний рух зі швидкістю деякої довільно вибраної точки А тіла і обертання навколо миттєвої осі, яка проходить через цю точку. Кутова швидкість обертання w не залежить від вибору точки А. Швидкість довільної точки М тіла

,

де та - радіуси-вектори точок М і А.

У динаміці твердого тіла зручно розглядати складний рух як сукупність двох одночасних рухів - поступального зі швидкістю центра інерції та обертання навколо центра інерції.

Найпростіший випадок складного руху тіла - плоский, або плоскопаралельний рух, при якому всі точки тіла рухаються в паралельних площинах. Такий рух здійснює, наприклад, однорідний круговий циліндр, скочуючись із похилої площини. При плоскому русі напрямок миттєвої осі обертання тіла навколо точки А не змінюється, а вектори і взаємноперпендикулярні.

Абсолютно тверде тіло. Ступені вільності. Кінематика твердого тіла

Тверде тіло - значить практично недеформоване. Якщо на який-небудь твердий предмет (об'ємне тіло) подіяти силою і змусити його рухатися, то відстані між будь-якими його точками залишаться незмінними. Хоча, звичайно, під дією прикладених сил у тілі виникнуть внутрішні напруги, причина яких - деформації окремих його частин. Але якщо ми говоримо про тверде тіло, то ці деформації виявляються непомітними для ока. Це і є модель абсолютно твердого тіла (надалі - просто твердого тіла).

Таким чином, тверде тіло можна розглядати як систему матеріальних точок, відносні положення яких залишаються незмінними. Іншими словами, усі макроскопічні елементи такого тіла нерухомі в системі координат, жорстко зв'язаній з тілом. Саме ця обставина дозволяє значно спростити розв'язок кінематичних задач.

Рухаючись в просторі, тверде тіло має визначену кількість ступенів вільності. Кількість ступенів вільності - це число незалежних величин, які необхідно задати для того, щоб однозначно визначити положення тіла в просторі. У різних ситуаціях число ступенів вільності твердого тіла може бути різним. Якщо диск, не обертаючись, може ковзати уздовж нерухомої в даній системі відліку осі (рис.4.2,а), то в даній системі відліку він, очевидно, володіє тільки одним ступенем вільності - оскільки, положення диска однозначно визначається координатою x його центра уздовж осі. Але якщо диск, крім того, може ще й обертатися (рис. 4.2,б), то він здобуває ще одну ступінь вільності - до координати x додається кут повороту диска навколо осі - . Якщо вісь з диском затиснута в рамці, що може повертатися навколо вертикальної осі (рис. 4.2,в), то число ступенів вільності стає рівним трьом - до x і додається кут повороту рамки - .

Яке ж число ступенів вільності твердого тіла в самому загальному випадку? Для того, щоб однозначно задати положення твердого тіла в просторі, треба зафіксувати три його точки, що не лежать на одній прямій. Одна матеріальна точка має три ступені вільності (три декартових координати x, y, z). Дві матеріальні точки, жорстко зв'язані між собою, мають 3 + 3 - 1 = 5 ступенів вільності. У цьому випадку координати точок x₁, y₁, z₁ і x₂, y₂, z₂ не є незалежними величинами, тому що рівняння зв'язку має вигляд: , де - відстань між точками.

Таким чином, у загальному випадку для твердого тіла одержуємо: 3 + 3 + 3 - 3 = 6 ступенів вільності. При цьому можна записати три рівняння зв'язку, що виражають сталість відстаней між кожною парою точок.

Відомо, що довільний складний рух того або іншого тіла може бути представлений як суперпозиція простих рухів: поступального переміщення і повороту (обертання) навколо осі. Розглянемо основні типи рухів твердого тіла.

Поступальний рух . Поступальний рух - це такий рух, при якому будь-який виділений у тілі відрізок залишається рівнобіжним сам собі. Класичним прикладом такого рух є рух кабінок колеса огляду (проаналізуйте із рис. 4.3, що, наприклад, дно кабіни в процесі руху залишається паралельним самому собі). З цього прикладу видно, що поступальний рух - зовсім не обов'язково прямолінійний. Очевидно, що число ступенів вільності тіла в цьому випадку дорівнює трьом, тому що досить описати рух якої-небудь однієї точки тіла, траєкторії всіх інших точок можуть бути отримані шляхом паралельного перенесення. Тобто, кінематика поступального руху твердого тіла в принципі нічим не відрізняється від кінематики матеріальної точки.

Обертання навколо нерухомої осі. Якщо при русі твердого тіла які-небудь дві його точки увесь час залишаються нерухомими, то через ці точки можна провести пряму, що є нерухомою віссю обертання. З таким рухом ми зіштовхуємося щодня, відкриваючи і закриваючи двері в кімнату. Очевидно, що в цьому випадку тіло володіє лише ступенем вільності, пов'язаним з кутом його повороту навколо осі. При цьому всі точки тіла рухаються колами, що лежать у площинах, які перпендикулярні осі обертання; центри кіл лежать на цій осі.

Істотно, що лінійні швидкості точок, що знаходяться на різній відстані від осі обертання, різні. У цьому можна переконатися, торкаючись сталевим дротом обертового диска точила (рис. 4.4): чим далі від осі, тим довший сніп іскор - тим більша швидкість відповідної точки диска. При цьому також видно, що іскри летятьза дотичною до кола, описуваного даною точкою диска.

Кутове переміщення всіх точок твердого тіла за той самий час буде однаковим. Ця обставина дозволяє ввести загальну кінематичну характеристику - кутовушвидкість

де - кут повороту тіла за час

Знаючи легко визначити лінійну швидкість будь-якої точки твердого тіла. Уведемо радіус-вектор деякої точки А твердого тіла, помістивши його початок у точку О на осі обертання (рис. 4.5). - вектор, проведений у точку А від осі обертання, тобто перпендикулярно осі. Вектор швидкості можна пов'язати з векторами і :

.

При цьому величина швидкості . Зрозуміло, що точку О на осі обертання можна вибрати довільно, але значення залишиться тим же.

Тоді, прискорення точки А:

Таким чином, прискорення є сумою двох величин:, причому всі три вектори лежать у площині, перпендикулярній осі обертання.

- це тангенціальне прискорення, - доцентрове прискорення.

Плоский рух. Плоский рух - це такий рух твердого тіла, при якому траєкторії всіх його точок лежать у рівнобіжних площинах. Якщо в тілі провести деяку пряму O₁O₂, перпендикулярну цим площинам (рис. 4.6), то всі точки цієї прямої будуть рухатися з однаковими швидкостями та прискореннями, зберігаючи свою орієнтацію в просторі. Таким чином, при плоскому, або, як його іноді називають, плоско-рівнобіжному, русі твердого тіла досить розглянути рух одного з перетинів тіла.

Класичним прикладом плоского руху є кочення циліндра без просковзування. Розглянемо один з перерізів циліндра площиною, перпендикулярною його осі (рис. 4.7). Центр колеса рухається прямолінійно, траєкторії інших точок являють собою криві - циклоїди.

При відсутності просковзування миттєва швидкість самої нижньої точки колеса (точки М) дорівнює нулеві. Це дозволяє розглядати кочення колеса як суперпозицію двох рухів: поступального зі швидкістю осі й обертального з кутовою швидкістю , де - радіус колеса. Ясно, що в цьому випадку .

Швидкість будь-якої точки А тіла (рис. 4.8.) геометрично складається зі швидкості якої-небудь іншої точки O, прийнятої за центр мас, і швидкості обертального руху навколо цього центра. Система координат XYZ на рис. 4.8 - нерухома; початок системи x₀y₀z₀ поміщено в деяку точку О тіла (нехай, центр мас), а сама система x₀y₀z₀ рухається відносно XYZпоступально, причому так, що осі Oy₀ і Oz₀залишаються в площині рисунка. Розглянута точка А тіла також рухається в площині рисунка.

Радіус-вектор точки А .

Тоді швидкість точки А .

Звідси можна зробити висновок, що в будь-який момент часу повинна існувати така точка M, швидкість якої в системі XYZ дорівнює нулеві: (рис. 4.9). Ця точка не обов'язково повинна належати тілу, тобто може знаходитися і поза ним.

Таким чином, плоский рух твердого тіла в даний момент часу можна представити як обертання навколо осі, що проходить через точку M - така вісь називається миттєвою віссю обертання. Важливо, що у випадку кочення диску, миттєва вісь МО співпадає з лінією дотику диску до площини (рис.4.10).

При цьому швидкості усіх частин диска для кожного моменту часу можна легко знайти, пов'язавши з обертанням відносно відповідної миттєвої осі.

Зокрема, для колеса, що котиться площиною без просковзування (рис. 4.7), миттєва вісь обертання проходить через точку М зіткнення колеса з площиною.

Істотно, що в різні моменти часу миттєва вісь обертання проходить через різні точки твердого тіла, зберігаючи свою орієнтацію в просторі.

Знаючи кутову швидкість і положення миттєвої осі обертання, можна легко визначити швидкість будь-якої точки тіла при його плоскому русі. Так, у випадку колеса, що котиться площиною зі швидкістю без просковзування (рис. 4.11), швидкість точки В: . Вектор перпендикулярний відрізкові |МВ|, що з'єднує точку В с точкою М, через яку проходить миттєва вісь обертання. Природно, можна представити і як геометричну суму двох швидкостей: - швидкості поступального руху осі колеса і - швидкості обертального руху навколо цієї осі, причому||=||.

Визначимо тепер прискорення точок тіла при плоскому русі. Диференціюючи вираз для швидкості точки А за часом, одержимо для прискорення точки А

Це прискорення складається з трьох частин (рис. 4.12): прискорення точки O, прийнятої за полюс, тангенціального прискорення та нормального прискорення.

Звідси, зокрема, випливає, що прискорення будь-якої точки колеса, що котиться без просковзування по площині з постійною швидкістю , спрямоване до центра колеса і дорівнює , де - відстань розглянутої точки до центра колеса. У цьому прикладі як полюс зручно вибрати центр колеса О, тоді , тому .

Размещено на Allbest.ru