Электрические цепи постоянного тока

1. На основании законов Кирхгофа составим систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы

Сначала упростим для расчёта данную схему (рис. 1), для этого исключим из неё источник тока J2, преобразовав его и источник ЭДС E2 в эквивалентный источник ЭДС E'2:

E'2 = J2*R2+E2 =12 В.

Далее пронумеруем узлы схемы, зададимся условными положительными направлениями токов в ветвях, выберем на расчетной схеме независимые контуры и зададимся их положительными направлениями обхода.

Составим на основе первого и второго законов Кирхгофа систему уравнений для расчёта токов во всех ветвях цепи, по схеме на рис. 2.

Определим число уравнений для 1 и 2 законов Кирхгофа:

n1 = N - 1 = 4 - 1 = 3;

n2 = M - N + 1 - MJ = 6 - 4 + 1 - 0 =3,

где n1 -- число уравнений по 1 закону Кирхгофа,

n2 -- число уравнений по 2 закону Кирхгофа,

N -- число узлов в цепи,

M -- число ветвей,

MJ -- число ветвей, содержащих источники тока.

Уравнения по 1 закону Кирхгофа:

Для узла 1: I6 - I1 - I5 = 0;

Для узла 2: I3 - I2 - I6 = 0;

Для узла 3: I4 - I3 + I5 = 0;

Уравнения по 1 закону Кирхгофа:

Для 1 контура: I4R4 + I3R3 + I2R2 = E'2 - E3;

Для 2 контура: I1R1 - I2R2 + I6R6 = - E'2;

Для 3 контура: I5R5 - I4R4 - I1R1 = 0.

Решая совместно полученные системы алгебраических уравнений можно найти все неизвестные токи ветвей данной цепи.

2. Определим токи во всех ветвях схемы методом контурных токов

Для этого определим число независимых контуров, полагая, что в каждом из них течёт свой контурный ток. Зададимся положительными направлениями обхода контуров и направлениями контурных токов и обозначим их на схеме.

Схема на рис. 3 имеет 3 независимых контура, в каждом из которых протекает свой контурный ток I11, I22, I33.

Составим систему уравнений для расчета контурных токов:

I11R11 + I22R12 + I33R13 = E11;

I11R21 + I22R22 + I33R23 = E22;

I11R31 + I22R32 + I33R33 = E33,

где R11, R22, R33 -- контурные сопротивления, R12, R21, R13, R31, R23, R32 -- взаимные сопротивления, E11, E22, E33 -- контурные ЭДС.

По известным исходным данным рассчитаем эти величины:

R11 = R2 + R3+ R4 = 67 Ом;

R22 = R1 + R2+ R6 = 45 Ом;

R33 = R1 + R4 + R5 = 58 Ом;

R12 = R21 = - R2 = - 20 Ом;

R13 = R31 = - R4 = - 36 Ом;

R23 = R32 = - R1 = - 15 Ом;

E11 = - Е'2 - E3 = 12 - 8 = 4 В;

E22 = - Е'2 = -12 В;

E33 = 0 В.

Подставив рассчитанные значения контурных и взаимных сопротивлений и значения E11, E22, E33, решим систему:

67 I11 - 20 I22 - 36 I33 = 4;

- 20 I11 + 45 I22 - 15 I33 = - 12;

- 36 I11 - 15 I22 - 58 I33 = 0;

Решая систему по формулам Крамера, получим значения I11, I22, I33:

Д = 56680;

Д1= - 10860; I11= Д1/Д= - 0,192 А;

Д2= - 24280; I22= Д2/Д= - 0,428 А;

Д3= - 13020; I33= Д3/Д= - 0,23 А.

Вычислим, по рассчитанным контурным токам, значения токов в ветвях: ток контурный эквивалентный генератор

I1 = I22 - I33= - 0,198 A;

I2 = I11 - I22 = 0,236 A;

I3 = I11 = - 0,192 A;

I4 = I11 - I33= 0,038 A;

I5 = I33 = - 0,23 A;

I6 = I22 = - 0,428 A;

Выполним проверку расчёта по 2 закону Кирхгофа:

1 контур: I4R4 + I3R3 + I2R2 = 4 В; <=> В;

2 контур: I1R1 - I2R2 + I6R6 = - 12 В; <=> В;

3 контур: I5R5 - I4R4 - I1R1 = 0 В; <=> В;

3. Определим токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов

Для этого пронумеруем узлы схемы, примем потенциал одного из них равным нулю, (то есть заземлим этот узел), и зададимся условными положительными направлениями токов в ветвях.

Составим, на основе первого закона Кирхгофа, систему уравнений для расчёта потенциалов других узлов цепи (ц1, ц2, ц3):

ц1G11 + ц2G12 + ц3G13 = J1;

ц1G21 + ц2G22 + ц3G23 = J2;

ц1G31 + ц2G32 + ц3G33 = J3,

где G11, G22, G33 -- собственные проводимости узлов, G12, G21, G13, G31, G23, G32 -- взаимные проводимости узлов, J1, J2, J3 -- узловые токи.

По известным исходным данным рассчитаем эти величины:

G11 = 1/R1 +1/R5 +1/R6 = 0,31 См;

G22 = 1/R2 +1/R3 +1/R6 = 0,241 См;

G33 = 1/R3 +1/R4 +1/R5 = 0,262 См;

G12 = G21 = - 1/R6 = - 0,1 См;

G13 = G31 = - 1/R5 = - 0,143 См;

G23 = G32 = - 1/R3 = - 0,091 См;

J1 = 0 А;

J2 = - E'2/R2 - E3/R3 = - 1,327 A;

J3 = - E3/R3 = - 0,727 A.

Подставив рассчитанные значения собственных и взаимных проводимостей узлов и значения J1, J2, J3, решим систему:

0,31 ц1 - 0,1 ц2 - 0,143 ц3 = 0;

- 0,1 ц1 + 0,241 ц2 - 0,091 ц3 = - 1,327;

- 0,143 ц1 - 0,091 ц2 + 0,262 ц3 = - 0,727;

Решая систему по формулам Крамера, получим значения ц1, ц2, ц3:

Д = 0,0069;

Д1= - 0,02; ц1= Д1/Д= - 2,9 В;

Д2= - 0,05; ц2= Д2/Д= - 7,25 В;

Д3= - 0,0094; ц3= Д3/Д= - 1,36 В.

Вычислим значения токов в ветвях по найденным потенциалам узлов, заданным условными положительными направлениями токов, но основании закона Ома:

I1 = (ц1 - ц4) / R1 = - 0,193 A;

I2= (ц2 - ц4 + E'2) / R2= 0,238 A;

I3 = (ц3 - ц2 - E3) / R3 = - 0,192 A;

I4 = (ц4 - ц3) / R4 = 0,038 A;

I5 = (ц1 - ц3) / R5 = - 0,22 A;

I6 = (ц2 - ц1)/R6 = - 0,435 A.

Выполним проверку расчёта по 1 закону Кирхгофа:

Для узла 1: I6 - I1 - I5 = 0; <=> А;

Для узла 2: I3 - I2 - I6 = 0; <=> А;

Для узла 3: I4 - I3 + I5 = 0; <=> А;

Результаты расчётов токов, проведённые двумя методами, сводим в таблицу и рассчитываем погрешность.

Таблица 2 -- Сравнение токов.

Относительную погрешность рассчитываем по формуле

где А -- значение тока, вычисленное методом контурных токов,

А1 -- значение тока, вычисленное методом узловых потенциалов.

4. Для схемы с источником тока составляем уравнение баланса мощности

Сумма мощностей, доставляемых в цепь от источников энергии, равна сумме мощностей потребляемых в ней:

.

E'2I2+E3I3 = 4,368 Вт; Погрешность:

I21R1+I22R2+ I23R3+I24R4+I25R5+I26R6 = 4,362 Вт; д = 0,14%.

5. Определим ток I1 в заданной схеме методом эквивалентного генератора

Для этого выделим из схемы необходимую ветвь и преобразуем схему для нахождения напряжения в точках включения в цепь этой ветви, при условии что ветвь не подключена (напряжение холостого хода Uabxx). Для нахождения этого напряжения воспользуемся методом контурных токов.

Составим систему уравнений для расчета контурных токов:

I11R11 + I22R12 + I33R13 = E11;

I11R21 + I22R22 + I33R23 = E22;

где R11, R22, -- контурные сопротивления, R12, R21 -- взаимные сопротивления, E11, E22 -- контурные ЭДС.

По известным исходным данным рассчитаем эти величины:

R11 = R3 + R5 + R6 = 28 Ом;

R22 = R2 + R3 + R4 = 67 Ом;

R12 = R21 = - R3 = - 11 Ом;

E11 = E3 = 8 В;

E22 = Е'2 - E3 = 12 - 8 = 4 В;

Подставив рассчитанные значения контурных и взаимных сопротивлений и значения E11, E22, решим систему:

28 I11 - 11 I22 = 8;

- 11 I11 + 67 I22 - 15 I33 = 4;

Решая систему по формулам Крамера, получим значения I11, I22, I33:

Д = 1755;

Д1= 580; I11= Д1/Д= 0,33 А;

Д2= 200; I22= Д2/Д= 0,114 А;

Вычислим, по рассчитанным контурным токам, значения токов I4 и I5:

I4 = I22 = 0,038 A;

I5 = I11 = 0,33 A;

Зная эти токи, вычислим напряжение холостого хода:

Uabxx = I4R4 + I5R5 = 6,41 В;

Теперь преобразуем схему, для определения её эквивалентного (входного) сопротивления в точках её подключения к ветви. Для этого исключим из схемы все источники энергии, при этом оставив их внутренние сопротивления.

В данной цепи присутствует соединение резисторов R3, R4 и R5 по схеме «звезда». Поэтому, для определения эквивалентного сопротивления данной цепи, необходимо перейти от соединения резисторов R3, R4 и R5 по схеме «звезда» к соединению по схеме «треугольник» и определить эквивалентные сопротивления ветвей этого «треугольника».

Рассчитаем эквивалентные сопротивления «сторон» треугольника:

,

,

,