Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Основные теории прочности

1.2 Общие положения теории прочности

1.3 Вторая теория прочности

1.4 Третья теория прочности

1.5 Условия совместности деформаций Сен - Венана

1.6 Разрешающие уравнения. Плоское деформированное и плоское напряженное состояния

2. Практическая часть

2.1 Решение по третьей теории прочности

Введение

Среди методов решения задач теории упругости неоднородных тел особую группу составляют обратные методы, суть которых заключается в определении таких функциональных зависимостей механических характеристик от координат, при которых напряженно - деформированное состояние тел либо совпадает с аналогичным в однородном теле, либо позволяет относительно просто получить решение задачи.

В данном курсовом проекте рассматривается обратный метод, в котором разыскивается такая зависимость модуля упругости от радиуса, при котором напряженное состояние цилиндра равно заданному. Идея такого метода основана на многочисленных результатах расчета неоднородных тел, в которых показано, что если в некоторой области тела модуль упругости меньше, чем в однородном материале, то напряжения в этой области так же уменьшаются, и наоборот.

Из решения задачи Ляме следует, что в однородном кольце или толстостенном однородном цилиндре, как при внутреннем, так и при внешнем давлении, наибольшие напряжения ?? возникают вблизи отверстия. Поставим задачу отыскания такой зависимости Е(r), при которой напряженное состояние будет заданным. В зависимости от теории прочности для данного материала могут быть поставлены две задачи. Если, например, справедлива первая теория прочности (максимальных нормальных напряжений) и при изменении модуля упругости предел прочности материала не меняется, то кольцо будет равнопрочным при условии ?max = ?? = const. Если же предел прочности так же является функцией от радиуса, то кольцо можно назвать равнонапряженным. В случае, когда справедлива третья теория прочности (максимальных касательных напряжений), то функция Е(r) должна разыскиваться из условия фmax = (?? - ?r)/ 2 = const.

Существует методика практического создания таких цилиндров из дисперсно наполненных полимеров. Эта методика заключается в смешении полимерной массы с тонкомолотым минеральным наполнителем. В дальнейшем полученный композиционный материал помещался в цилиндрическую форму, которая вращалась в процессе отверждения полимера. При этом, твердая фаза, смещаясь к периферии за счет сил инерции, неравномерно распределялась по радиусу цилиндра, что приводило к изменению модуля упругости. Варьируя тип и процентный состав наполнителя, также скорость вращения формы, можно получить некоторый спектр зависимостей Е(r), что позволяет приблизить эту функцию к необходимой.

Строго говоря, в созданных таким образом неоднородных цилиндрах изменяются не только упругие, но и релаксационные характеристики материала. Однако, поскольку решение обратной задачи для вязкоупругого материала достаточно сложно, ограничимся решением обратной упругой задачи, полагая при этом дополнительно н = const.

1. Теоретическая часть

1.1 Основные теории прочности

Первая теория прочности -- Теория наибольших нормальных напряжений.

Вторая теория прочности -- Теория наибольших деформаций.

Третья теория прочности -- Теория наибольших касательных напряжений.

Четвертая теория прочности (энергетическая) -- Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения.

Теория прочности Мора -- Теория предельных напряжённых состояний (V теория прочности).

Из всех вышеперечисленных теорий прочности наиболее полной, точной и всеобъемлющей является теория Мора. Все её положения были проверены экспериментально. Она подходит как для проверки прочности хрупких материалов (чугун, бетон, кирпич), так и для проверки на прочность пластичных материалов (низкоуглеродистая сталь). Теория наибольших нормальных напряжений и теория наибольших деформаций подходит только для прочностного анализа хрупких материалов, причём только для каких-то определённых условий нагружения, если требовать повышенную точность расчёта. Вот поэтому первые две теории прочности сегодня применять не рекомендуется. Результаты теории наибольших касательных напряжений и теории наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения можно получить в некоторых частных случаях нагружения при применении теории Мора.

1.2 Общие положения теории прочности

В зависимости от условий нагружения материал может находиться в различных механических состояниях: упругом, пластическом и в состоянии разрушения. Под предельным подразумевают такое напряженное состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала -- переход от одного механического состояния к другому. Для пластических материалов предельным считается напряженное состояние, соответствующее заметным остаточным деформациям, а для хрупких -- такое, при котором начинается разрушение материала.

При линейном напряженном состоянии предельное значение единственного в этом случае главного напряжения может быть непосредственно определено из опыта (ут -- для пластических материалов и ув -- для хрупких). Поэтому оценка прочности в этом частном случае проста. В случае сложного напряженного состояния (объемного или плоского) при оценке прочности необходимо учитывать наличие двух или трех отличных от нуля главных напряжений. При этом опасное состояние материала зависит не только от величин главных напряжений, но и от соотношений между ними.

Из-за невозможности экспериментального определения критериев опасного состояния материала при сложном напряженном состоянии пользуются гипотезами, формулирующими условия перехода материала в опасное состояние. Па основании таких гипотез построены теории прочности. Эти теории исходят из предпосылок о том, что сложное и линейное напряженные состояния считаются эквивалентными (по прочности), если они при пропорциональном увеличении главных напряжений в одно и то же число раз одновременно становятся опасными. Поэтому оценка прочности материала при любом напряженном состоянии основывается на результатах опытов при простом растяжении (сжатии), и исследуемое напряженное состояние сравнивается с линейным. Для материалов с выраженной пластичностью за опасное (предельное) состояние принимается такое, при котором начинают развиваться остаточные деформации. Для материалов, находящихся в хрупком состоянии, опасным считается такое состояние, которое предшествует началу появления трещин.

Общая запись условия прочности при сложном напряженном состоянии имеет вид:

упр ? [R], или упр ? [у]

где упр -- расчетное или приведенное напряжение при сложном напряженном состоянии.

Формулы приведенных напряжений устанавливаются теориями прочности в зависимости от принимаемых гипотез.

Первая теория прочности -- теория наибольших нормальных напряжений.

1.3 Вторая теория прочности

Вторая теория прочности -- теория наибольших относительных удлинений исходит из гипотезы о том, что разрушение связано с величиной наибольших относительных удлинений. Следовательно, опасное состояние материала наступает тогда, когда наибольшая по модулю относительная линейная деформация достигает значения, соответствующего опасному состоянию при простом растяжении или сжатии.

В этом случае приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

при плоском напряженном состоянии:

Вторая теория, как и первая, недостаточно подтверждается опытами, что объясняется не учетом особенностей строения реальных тел. Первая и вторая теории прочности отображают хрупкое разрушение путем отрыва (в первой это связывается с умакс, во второй -- с емакс). Поэтому эти теории рассматриваются только как грубое приближение к действительной картине разрушения.

1.4 Третья теория прочности

Третья теория прочности -- теория наибольших касательных напряжении. В основу теории положена гипотеза о том, что два напряженных состояния -- сложное и линейное -- эквиваленты в смысле прочности, если наибольшие касательные напряжения одинаковы. Приведенные напряжения при объемном напряженном состоянии:

При плоском напряженном состоянии:

Третья теория прочности отображает наступление текучести в материале, а также разрушение путем сдвигов. Она хорошо подтверждается опытами с пластическими материалами, одинаково сопротивляющимися растяжению и сжатию при условии, что главные напряжения имеют разные знаки.

Четвертая теория прочности -- энергетическая.

Используемые часто при решении задач механики условия совместности (неразрывности, сплошности) имеют относительно простой вид лишь в декартовых и полярных координатах. В плоской задаче они представляются соотношениями:

Следует отметить, что при переходе к осесимметричной плоской задаче в полярных координатах рационально пользоваться условиями совместности, которое имеет более низкий порядок, чем уравнение, получающееся из (2).

1.6 Разрешающие уравнения. Плоское деформированное и плоское напряженное состояния

При наличии осевой симметрии в плоской задаче без кручения с учетом равенства нулю касательных напряжений уравнение записывается следующим образом:

Соотношения Коши при имеют вид:

Третье соотношение Коши при ПДС переходит в равенство .

Закон Гука в цилиндрических координатах с учетом зависимости механических характеристик и вынужденных деформаций от радиуса:

При рассмотрении задачи о ПДС следует предположить , а при ПНС .

Вывод разрешающего уравнения для случая плоской деформации, если в качестве разрешающей функции выбрано напряжение .

Полагая в третьем соотношении (6) и выражая напряжения через и , а затем исключая из (4) для и можно получить выражения:

Подстановка (7) в первые два равенства (6) дает следующие выражения для деформаций:

Разрешающее уравнение получается при подстановке (8) в (3).

, где

Таким образом, определение напряжений сводится к решению уравнения (9) с соответствующими граничными условиями.

2. Практическая часть

2.1 Решение по третьей теории прочности

Третья теория прочности - теория максимальных касательных напряжений. напряжение деформация энергия прочность

Условие:

Уравнения равновесия

; при R = 0 получим:

;

; ;

Определим и C из граничных условий:

;

.

Разрешающее уравнение:

;

;

;

;

Найдем постоянную интегрирования А из начального условия: r = a; E = E0;

;

Подставляя константы интегрирования и С получим:

2.2 Решение по второй теории прочности

ПНС

Уравнение равновесия:

Условие:

;

; r = x; ;

Неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решение методом вариаций произвольных постоянных.

Решение однородного уравнения:

;

Поиск частных решений:

Замена

.

Нахождение констант интегрирования и С из ГУ:

Разрешающее уравнение:

Константа интегрирования А находится из условия: E = E0; r = a

Заключение

В данном курсовом проекте были представлены решения обратных задач для получения математической модели равнонапряженного толстостенного цилиндра на основе второй и третьей теории прочности (теории наибольших относительных удлинений и теории максимальных касательных напряжений).

Приведенные расчеты показали, что искусственное создание неоднородных тел может привести к существенному экономическому эффекту. В частности, при создании толстостенных цилиндрических оболочек их толщена может быть значительно уменьшена.

Список литературы

1. В. И. Андреев «Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел». Издательство АСВ. Москва 2002 г. - 288 стр.

2. В. И. Андреев, И. А. Потехин «Оптимизация по прочности толстостенных оболочек». МГСУ, Москва 2011 г. - 85 стр.

3. Г. С. Варданян, В. И. Андреев, Н. М. Атаров, А. А. Горшков «Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности». Издательство АСВ. Москва 1995 г. - 572 стр.

Размещено на Allbest.ru