Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВА РОБОТА

на тему: "Випадкові блукання"

Дніпродзержинськ 2014

Зміст

• Вступ
• 1. Загальна частина
• 1.1 Теоретична частина
• 1.2 Фізична постановка задачі
• 1.3 Математична модель
• 2. Аналіз результатів
• Висновки
• Перелік посилань
• Вступ
• Якщо в склянку з чистою водою додати краплю фарби, то через деякий час вся вода в склянці буде рівномірно забарвлена, навіть якщо ми не будемо її перемішувати. Це явище називається дифузією. В основі цього явища лежить хаотичний рух частинок фарби під дією молекул води.
• Хаотичний рух маленьких частинок речовини можна спостерігати в мікроскоп. Першим таке спостереження зробив Р. Броун в 1827 році, тому такий рух називається броунівским. Повна теорія броунівського руху була побудована А. Ейнштейном і М. Смолуховским в 1905 - 1906 рр. .
• Молекули рідини при скінченій температурі перебувають у безперервному русі, який отримав назву теплового руху. Стороннє тіло в рідині зазнає поштовхів від молекул. Для великого тіла ці хаотичні поштовхи врівноважуються, але, якщо розміри й маса тіла невеликі, то зіткнення з молекулами носять випадковий характер, а за час між зіткненнями частинка встигає зміститися на певну відстань.
• В даній роботі ми будемо перевіряти закономірності випадкових блукань саме на русі броунівських частинок.

Випадкові блукання - це випадковий процес спеціального виду, історично пов'язаний з моделлю переміщення частинки під дією деякого випадкового механізму в довільному фазовому просторі.

Задача про випадкові блукання - одна із найдосліджуваних задач теорії ймовірностей. Одна з найбільш відомих задач з цього розділу - задача про п'яного моряка (Моряк зійшов з корабля, зайшов в паб, напився, впав, встав і пішов навмання. В результаті такого пересування моряк робить кроки, розмірами не залежними один від одного, та в довільну сторону. Невідомим буде те, на яку відстань від корабля відійде моряк за певну кількість часу.), цю задачу можна вирішувати різними методами, один з яких - метод Монте-Карло. Іншим важливим додатком методі випадкового блукання використовують для моделювання довгих полімерних ланцюгів. В дійсності - дуже багато задач можна сформулювати на мові випадкових блукань, наприклад розв'язання рівняння Шредингера. Але в даній роботі нас буде цікавити рух броунівських частин, який також добре ілюструє випадкові блукання.

Для того, щоб зрозуміти закономірності випадкових блукань ми розглянемо модель руху частинок, що імітують рух броунівської частинки в рідині.

N частинок, що в початковий момент знаходяться на осі y) зміщуються послідовно на крок вздовж осі. Кожен крок кожної частинки обирається навмання, незалежно від інших кроків. Проте, розподіл ймовірностей залишається незмінним.

Приймемо, що зміщення в протилежні сторони однаково ймовірне. Тоді значення середнього зміщення

 (1.1)

Сенс цієї рівності в тому, що середнє арифметичне зсувів Дx дуже великого числа частинок наближається до нуля зі зростанням цього числа. Такі величини називають апріорними.

Після кожного кроку частинки будуть "розповзатися" від осі y. Позначимо x (k) координату деякої частки через k кроків, тоді

(1.2)

Усереднивши цю рівність отримаємо:

(1.3)

Для середнього зміщення великої кількості частинок отримаємо:

(1.4)

що буде близьким до нуля.

Ширина смуги, по якій йде розподіл частинок після-го кроку будемо характеризувати величиною . Для того щоб визначити залежність цієї величини від кількості кроків треба піднести в квадрат і усереднити:

. (1.5)

Так як незалежні, маємо:

(1.6)

Позначимо тому

Отримане значення

, (1.7)

Змінюється пропорційно кількості кроків.

Розподіл часток у зайнятої ними смузі більш детально характеризується функцією розподілу f (x), яка визначає концентрацію частинок; dW = f (x) dx - ймовірність того, що координата j-й частинки після k-го кроку потрапить в інтервал x ? ? x + dx. Теорія випадкових блукань для досить великого числа кроків k дає розподіл Гауса:

, (1.8)

Функція розподілу яку ми спостерігаємо отримується шляхом розбиття осі x на кінцеві інтервали і підрахунку числа частинок в кожному з них.

Рис 1.1

Результат підрахунку представляється графічно ступінчастою кривою - гістограмою.

Рис 1.2 Розподіл частинок при дифузії (гістограма і теоретична крива)

Теоретична крива на рис 1.2 являє собою щільність розподілу для нормального закону. Формула (1.8). Вона може бути різного вигляду (більш гостра, або більш розтягнута вздовж осі абсцис, але площа під цією кривою завжди дорівнює одиниці, так як це значення повної ймовірності. Приклади таких кривих можна побачити на рис 1.3.

Рис 1.3

1.2 Фізична постановка задачі

Наведемо оцінки для реального броунівського руху. Середня швидкість хаотичного руху броунівської частинки визначається так само, як і середня швидкість молекули, співвідношенням

(1.9)

де m - маса частинки, - постійна Больцмана, - абсолютна температура середовища. Якщо швидкість частинки , то її рух визначається рівнянням,

(1.10)

де - сила тертя. Частинка гальмується, і час , за яке її швидкість істотно зменшиться, можна оцінити, підставивши отримаємо:

, (1.11)

звідси:

, (1.12)

Якщо ж швидкість частинки близька до теплової, , то і сила набагато менша, а відхилення її від середнього значення суттєві.

Саме ці відхилення відповідальні за невпинне хаотичний рух частинки. Якщо мова йде про такий рух, то з останнього рівняння можна розуміти як оцінку часу, через який частинка " забуває" початковий напрямок руху. Але така величина дає грубу оцінку інтервалу часу, протягом якого частинка "пам'ятає" напрямок руху.

За час частинка проходить шлях, рівний по порядку величині

, (1.13)

Зсуву частки за різні інтервали часу порядку ми можемо розглядати як випадкові, подібно розглядалися раніше , тільки направлені не вздовж осі X, а в довільному напрямку. Рух частинки за час можна розбити на таких кроків. Зсув частинки за час t оцінюється аналогічно:

, (1.14)

Цей результат зазвичай представляють у вигляді

, (1.15)

де D - коефіцієнт дифузії.

, (1.16)

Якщо спочатку частинки були зосереджені в якомусь малому об'ємі, то з часом вони поширюються все далі, займаючи область розміру .

1.3 Математична модель

молекула броунівський дифузія рідина

Нехай: - крок, - координата деякої частинки через кроків,

масштаб кроку.

Розподіл величини рівномірний в інтервалі то

(1.17)

Середній квадрат зміщення

Також для розв'язання задачі на потрібно таке поняття, як функція

розподілу . В нашому випадку ймовірність того, що частинка потрапить в інтервал

З умов центральної граничної теореми: розподіл випадкової величини, значення якої являється сумою великої кількості випадкових величин, прагне до нормального закону розподілу. Для процесу дифузії частинок наша функція розподілу буде у вигляді:

(1.18)

Ця функція розподілу є теоретичною кривою.

2. Аналіз результатів

Рис 1.4

На рисунку 1.4 ми бачимо рух точок моделюючих випадкові блукання. Ці частинки рухаються відповідно до закону розподілу по формулі (1.17). Отримавши цей результат ми підтвердили те, що при великій кількості кроків розподіл частинок наближається до нормального. Про що вже йшлося в розділі 1.1.

Рис 1.5

На рисунку 1.5 ми бачимо гістограму, яка відповідає за ймовірність потрапляння частинки в інтервал. Чим більше частинок на інтервалі, тим вище стовпчик гістограми. Цим ми підтверджуємо попередні данні отримані нами на рис. 1.4.

Рис 1.6

На рис. 1.6 ми бачимо гістограму обмежену теоретичною кривою. Теоретична крива показує відхилення наших отриманих значень від теоретичних. В нашому випадку площа під гістограмою майже збігається з площею під теоретичною кривою.

Висновки

Дана курсова робота виконана на тему "Випадкові блукання". Описавши фізичну та математичну постановку задачі і дослідивши модель даної задачі було досягнуто певних результатів.

В даній роботі ми підтвердили закономірності випадкових блукань на прикладі руху броунівських частинок. Кожен крок частинок, що ми спостерігали є довільним і незалежним від інших.

При русі частинок на перших кроках розподіл не збігається з Гаусовим розподілом, але при збільшенні кількості кроків він починає наближатися до нього. При цьому, чим більша кількість кроків, тим більш розподіл наближається до нормального закону.

Перелік посилань