Исследование планетарных волн Россби в атмосфере

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Исследование планетарных волн Россби в атмосфере



1. Исследование планетарных волн Россби в приближении бета-плоскости

волна россби перегрев планетарный

Сила Кориолиса относится к конкретной широте местности. В приближении бета-плоскости считается, что сила Кориолиса растет вдоль меридиана по линейному закону.

Классические теории распространения волн во вращающейся атмосфере, так называемых планетарных волн, развитые в приближении бета-плоскости, также не дают удовлетворительного количественного совпадения скорости волны с наблюдаемыми значениями скорости распространения барических возмущений в атмосфере. В настоящей контрольной работе теория линейных планетарных волн в приближениях мелкой воды и бета-плоскости развита с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева. Получено выражение для скорости планетарной волны, зависящее от функции перегрева. Полученное выражение для скорости волны дает лучшее совпадение с данными наблюдений в отличие от классической теории.

1.1 Постановка задачи

Как уже было отмечено, при анализе планетарных волн часто пользуются результатами теории волн в приближении мелкой воды [1, 3].

Целью настоящего раздела является применение приближения мелкой воды и бета-плоскости к теории планетарных волн с учетом зависимости плотности воздуха от функции перегрева.

1.2 Основные уравнения

Уравнение движения. Рассмотрим движение сухого воздуха, описываемого уравнением движения идеальной жидкости в неинерциальной системе отсчета, с учетом вращения Земли:

. (1)

Рассмотрим плоскость, касательную к поверхности геоида в данной точке поверхности Земли (рис. 1). Ось направим перпендикулярно поверхности геоида. Запишем уравнение (1) в проекциях на оси координат:

, (2)

, (3)

, (4)

где - угол между касательными к геоиду и к сфере в данной точке поверхности Земли. На полюсах и на экваторе касательные плоскости сферической и геоидальной модели параллельны, следовательно , а значит . На широте : .

Проекции угловой скорости вращения Земли:

, , .



В случае геоида имеет место равенство:

,

которое является условием формирования геоида. Тогда получим систему уравнений

, (5)

, (6)

, (7)

В состоянии равновесия (статики):

, ,

. (8)

Здесь - плотность воздушной частицы; - плотность окружающей воздушную частицу атмосферы; - ускорение свободного падения.

Давление можно представить в виде . Тогда уравнения (5) - (7) запишутся в виде

, (9)

, (10)

, (11)

Уравнение состояния. Параметры окружающей атмосферы мы рассматриваем как невозмущенное состояние. Из уравнения состояния сухого воздуха (уравнения Менделеева - Клапейрона для идеального газа) следует

, , (12)

где , - давление внутри и снаружи воздушной частицы; , - температура, соответственно, внутри и снаружи воздушной частицы; - удельная газовая постоянная сухого воздуха.

Будем считать, что температура окружающей атмосферы изменяется по закону:

, (13)

где - градиент температуры окружающего воздуха; - температура окружающего воздуха у земли. Будем также считать, что движение воздушной частицы происходит адиабатически. Тогда температура поднимающейся воздушной частицы будет изменяться по закону:

, (14)

где - температура поднимающейся воздушной частицы у земли; - сухоадиабатический градиент температуры. Представим

, (15)

где - функция перегрева. С учетом формул (13) - (15) функция перегрева запишется в виде:

, (16)

где - значение функции перегрева у земли; .

Сделаем следующее допущение: . В этом приближении для плотности движущейся воздушной частицы можно записать выражение:

, (17)

где - коэффициент теплового расширения воздуха, равный , .

Правую часть уравнения (11) можно представить в виде

.

Таким образом, мы получим систему уравнений

, (18)

, (19)

. (20)

Уравнение неразрывности. Запишем уравнение неразрывности

(21) в виде

. (22) При условии

, (23)

уравнение неразрывности сведется к выражению

. (24)

В проекциях на оси координат отсутствие дивергенции запишется в виде



. (25)

Уравнение поверхности запишем в виде:

. (32)

Дифференцируя обе части (32) по времени , получим:

, (33)

Линеаризуем систему уравнений (18) - (20), пренебрегая в них вертикальной скоростью по сравнению с горизонтальными проекциями скорости и вертикальными ускорениями:

, (34)

, (35)

. (36)

Линеаризуем уравнение (33):

, . (37)

Интегрируем уравнение (36) по переменной :

.

Линеаризуем полученное выражение:

. (38)

С учетом выражения (38) система уравнений (34) - (36) запишется в виде

, (39)

, (40)

. (41)

Интегрируя уравнение неразрывности (25), считая, что горизонтальные проекции скорости не зависят от вертикальной координаты, получим

.

Вертикальная составляющая скорости у плоской поверхности земли (без учета орографии) равна нулю:

. (42)



Учитывая, что возмущения малы по сравнению с высотой атмосферы , уравнение неразрывности запишем в виде

. (43)

Таким образом, мы получаем систему уравнений (39), (40) и (43). Отличие полученной системы уравнений от выражений, приведенных, в частности, в [2], заключается в уравнениях (39) - (41), где вместо выражения получено. Заметим, что это уточнение связано с тем, что нами учтена зависимость плотности воздуха от функции перегрева.

Поступим также как и в [3], возьмем производную по переменной от (39) и по переменной от (40), но теперь в приближении бета-плоскости учтем, считая , и сложим:

.

Распишем полученное новое слагаемое:

.

Далее будем считать, что параметр остается постоянным. Это допущение называется приближением бета-плоскости.

С учетом уравнения неразрывности (43) запишем

. Введем обозначение

. (44) Тогда

. (45)

В это уравнение вошла вертикальная составляющая вихря скорости . Заметим, что, хотя уравнение (45) внешне похоже на уравнение, описывающее волны Россби в приближении бета-плоскости, но отличается оно выражением для скорости распространения волны. Согласно [3]

скорость волны зависит только от высоты слоя атмосферы, а согласно формуле (44) скорость волны зависит также от функции перегрева.

Получим уравнение переноса вихря в приближении бета-плоскости. Здесь мы учтем, что

.

Из уравнений (39), (40) и (43) получим



,

.

Взяв производную по переменной от первого уравнения и по переменной от второго уравнения, и вычтя полученные выражения получим

,

,

,

.

С учетом уравнения неразрывности (43) запишем

,

. (46)

Таким образом, задача свелась к системе уравнений (45) и (46), в которых добавились слагаемые с параметром . Будем искать решение этой системы в виде:

, , . Тогда

. Отсюда

, (47)

,

. (48)

Отсюда получаем

,

.

. (49)

Уравнения (39) и (40) запишутся в виде:

, (50)

, (51)

. (52)

Запишем систему уравнений (50) - (52) в виде системы линейных неоднородных уравнений:

, (53)

, (54)

. (55)

Дискриминант уравнения равен

.

Найдем определители для решения системы (55) - (57) по формулам Крамера:

,

,

.

, (56)

, (57)

. (58)

Подставляя (56) и (57) в (58), получим

,

.

Отсюда получаем уравнение:

. (59)

Сравнивая его с уравнением (49), запишем:

,

,

а это есть уравнение (50).

Таким образом, для случая приближения бета-плоскости задача свелась к решению уравнения (59)

.

Решение ищем в виде:

. (60)

Подставляя его в (59), получим кубическое уравнение

,

,

. (61) Введем обозначения:

, . Решение уравнения

(61*) имеет вид [4]:

,

,

, ,

. Причем

.Найдем

,

,

.



Как известно, если кубическое уравнение (61*) действительно, то оно имеет или один действительный корень и два сопряженных комплексных корня, или три действительных корня, по крайней мере, два из которых равны, или три различных действительных корня в зависимости от того, будет ли соответственно положительно, равно нулю или отрицательно.

Так как параметр считается малым, то из выражения следует, что , т.е. мы три различных действительных корня. Если , то из выражения следует, что , что тоже очевидно из выражения .

Тогда корни уравнения запишутся в виде:

,

, где

.

Перейдем в выражении корней к исходным величинам, получим

,

,

,

, (62)

(63)

Таким образом, для возмущенной поверхности волны получим

, (64)

где вычисляется по формулам (62) и (63).



Вывод

В этой главе контрольной работы мы учли влияние функции перегрева на скорость волны в приближениях мелкой воды и бета-плоскости.



2. Теория линейных планетарных волн Россби в сферических координатах

Запишем уравнения динамики атмосферы в сферических координатах, но в геоидальном приближении, пренебрегая также слагаемыми с произведениями проекций скоростей:

, (2.2.1)

, (2.2.2)

. (2.2.3)

Для анализа устойчивости пренебрежем также нелинейными слагаемыми в выражении полной производной скорости. Кроме того, если допустить, что вертикальная составляющая скорости ветра намного меньше горизонтальных составляющих, т.е. , то уравнения запишутся в виде

, (2.2.4)

, (2.2.5)

. (2.2.6)

Перейдем к общепринятому в метеорологии обозначению широты и долготы

, , запишем

, (2.2.7)

, (2.2.8)

. (2.2.9) Или

, (2.2.10)

, (2.2.11)

. (2.2.12)

Заметим, что в приведенных формулах величина это возмущение давления относительно геострофического состояния. В этом мы видим отличие полученных нами формул от общепринятых выражений.

Пренебрегая вертикальными скоростями и ускорениями частиц воздуха, запишем

,

.

Пренебрегая нелинейным слагаемым в последнем выражении, запишем

.



Учитывая, что с высотой давление падает, используя правило знаков, запишем полученное выражение в виде:

. (2.2.13)

Таким образом, система уравнений имеет вид

, (2.2.14)

, (2.2.15)

. (2.2.16)

Уравнение неразрывности. Уравнение неразрывности есть следствие закона сохранения массы:

. (2.2.17) Или

. (2.2.18)

Так как полная производная по времени от плотности равна

. (2.2.19)

Тогда уравнение неразрывности запишется в виде:



. (2.2.20)

Уравнение неразрывности в сферических координатах записывается в виде

.(2.2.21) Или

. (2.2.22) Или

. (2.2.23)

Полагая , запишем

, (2.2.24)

, (2.2.25) интегрируем по

, (2.2.26)

, (2.2.27)

, (2.2.28)

с учетом граничных условий

, , ,

или линеаризуя, запишем граничное условие

, .

Кроме того, имеет место граничное условие:

, .

Тогда

, (2.2.29)

, (2.2.30)

, (2.2.31)

. (2.2.32) Тогда

. (2.2.33)

Система уравнений, полученная здесь, отличается от выведенной Лапласом системы лишь тем, что приливообразующие силы здесь отсутствуют. Из-за малой толщины слоя атмосферы можно считать постоянной, равной радиусу Земли.

Для малых отклонений от геострофического состояния допустима линеаризация этих уравнений в виде:

, (2.2.34)

, (2.2.35)

. (2.2.36)

Применим операцию дивергенции к уравнениям горизонтального движения (2.2.34) и (2.2.35) и воспользуемся выражением для дивергенции из (2.2.36). При этом получается

, (2.2.37)

, (2.2.38)

. (2.2.39)

; (2.2.40)

,

(2.2.41)

; (2.2.42)

; (2.2.43)

. (2.2.44) С учетом (2.2.14) запишем

; (2.2.45)

(2.2.46)

. (2.2.47)

Так как выражение для оператора лапласиана в сферических координатах записывается в виде

, (2.2.48)

в горизонтальной плоскости имеет вид

, (2.2.49) или

, (2.2.50) то

, (2.2.51)

, (2.2.52)

, (2.2.53)

где - вертикальная составляющая вихря скорости. Действительно,

, (2.2.54)

, (2.2.55)

. (2.2.56) Итак,

. (2.2.57)

Здесь , как и ранее,

, (2.2.58)

, (2.2.59)

вертикальная составляющая завихренности определяется из соотношения

, (2.2.60)

а - лапласиан, который в данном случае берется по горизонтальным переменным (изменениями по вертикали пренебрегаем), т. е.

. (2.2.61)

Параметр Кориолиса определен как в (3.2.58), но его производная по направлению на север теперь входит в уравнение (3.2.57), что позволяет учесть эффекты кривизны Земли.

Следующим шагом дадим вывод уравнения завихренности для случая сферической поверхности Земли. Для этого к уравнениям (2.2.34) и (2.2.35) применим операцию вихря, что дает

, (2.2.62)

, (2.2.63)

; (2.2.64)

, (2.2.65)

,(2.2.66)

, (2.2.67)

; (2.2.68)

, (2.2.69)

, (2.2.70)

,(2.2.71)

, (2.2.72)

. (2.2.73)



В этом уравнении влияние кривизны Земли также учтено посредством «-слагаемого». При подстановке выражения для дивергенции горизонтальной скорости из уравнения (3.2.36) получается уравнение потенциальной завихренности

, (2.2.74)

которое также содержит .

Итак, рассмотрим систему уравнений

, (2.2.75)

. (2.2.76)

Будем искать решение этой системы в виде:

, , . Тогда

. (2.2.77) Отсюда

, (2.2.78)

(2.2.79)

, (2.2.80)

, (3.2.81)

; (2.2.82)

, (2.2.83)

, (2.2.84)

; (2.2.85)

, (2.2.86)

, (2.2.87)

; (2.2.88)

(2.2.89)

, (2.2.90)

, (2.2.91)

. (2.2.92) Тогда

, (2.2.93)

. (2.2.94)

, (2.2.95)

, (2.2.96)

Следовательно,

Введем безразмерные величины:

, .

Величину назовем числом Блиновой. Из выражения числа Блиновой видно, что оно характеризует квадрат отношения скорости линейной волны в приближении «мелкой воды» к удвоенной скорости движения точек поверхности Земли на широте экватора. Тогда запишем

. (2.2.99)

Будем считать, что в искомой функции переменные разделяются, т.е. будем искать решение полученного уравнения в виде

. (2.2.100)

В этом выражении порядок моды определяется из равенства:

, (2.2.101)

т.е. номер моды равен количеству длин волн, укладывающихся на длине экватора. Отсюда получим дисперсионное соотношение в виде

, (2.2.102)

, (2.2.103)

. (2.2.104)

Положим, что

, (2.2.105)

тогда для частоты колебаний получим

, (2.2.106)

кубическое уравнение

,

. (2.2.107)

Отсюда, в частности, на экваторе , дисперсионное соотношение примет вид

. (2.2.108)

Решение уравнения (3.2.108) имеет вид [1]:

, ;

,

,

, ,

;

,

,

,

(3.2.109)

(2.2.110)

Так как , то и запишем приближенные выражения

,

. (2.2.111)

. (2.2.112)

Аналогично, найдем корни уравнения (3.2.107). В этом случае

, ,

,

,

,

,

Найдем минимум функции

, (2.2.113)

,

. (2.2.114)

Подставляя (3.2.114) в (3.2.113), получим

. (2.2.115)

Отсюда можно найти такое критическое значение порядка моды волны , которое соответствует случаю, когда два положительных корня уравнения (2.2.107) совпадают. При значениях будем иметь два разных положительных корня уравнения (2.2.107). На рисунке 2.1 приведен график функции (3.2.113) при и , т.е. для экватора.

Рисунок 2.1. К определению критического значения порядка моды волны.

Первый график, соответствующий критической моде построен при значении . Этому случаю соответствует один отрицательный корень и два совпадающих положительных корня . Второй график соответствует моде . Как видно, этому случаю соответствует только один отрицательный действительный корень. Третий график построен для , ему соответствует три действительных корня: один отрицательный и два положительных: , , .

Из рисунка видно, что чем больше мода, тем больше по модулю отрицательный корень. Это видно также из выражений (2.2.109) и (2.2.111). Чем больше мода, тем дальше в разные стороны расходятся корни относительно критического значения. Т.е. с увеличением моды один из положительных корней стремиться к нулю, а другой растет. Другими словами, в пределе при больших модах мы будем иметь картину, изображенную на рисунке 2.2, когда имеем три волны: одна почти стоячая и две другие с равными и противоположными по знаку частотами (рис. 2.2).

Рисунок 2.2. К определению корней уравнения (3.2.108) для моды .



Вывод

В этом разделе и мы рассмотрели планетарные волны в сферических координатах в приближении мелкой воды, но с учетом влияния функции перегрева.



3. Исследование экваториальных волн Россби

Из выражения (2.2.114) найдем значение частоты волны, соответствующее минимуму функции (2.2.113), на экваторе

.

Сравнивая это выражение с формулой (3.2.112), получим

,

,

,

,

. (2.3.1)

Расчеты по формуле (2.3.1) при и числе Блиновой для критической моды дают значение .

Подставляя (2.3.1) в (2.2.112), найдем критическую положительную частоту

,

. (2.3.2)

Расчеты по формуле (2.3.2) для критической частоты волны дают значение . Аналогично, для отрицательной частоты критической моды получим

, (2.3.3)

т.е. значение по модулю в два раза большее, чем положительная частота.

Переходя к размерной частоте, запишем

, . (2.3.4)

Тогда для возмущения барической поверхности критической моды получим

, (2.3.5)

, . (2.3.6)

Запишем выражение (2.2.110) для случая действительных корней

Так как

, ,

;

;

, ,

,

,

. Итак,

, (2.3.7)

. (2.3.8)

Таким образом, получается следующая картина. Волны, мода которых меньше критического значения, движутся против часовой стрелки. К ним относятся волны с большими длинами волн. Волны, мода которых больше критического значения, образуют «тройки», одна из которых движется против часовой стрелки, а две другие по часовой стрелке.

Найдем период колебаний n-й моды ():

,

,

, (2.3.9)

. (2.3.10)

Соответственно, для скорости n-й моды получим

, (2.3.11)

. (2.3.12)

где - скорость движения точек поверхности экватора при суточном вращении Земли.

Проведем расчеты при следующих значениях параметров: , . Для первой моды:

,

,

,

период равен чуть более пяти суток , соответственно . График этого возмущения приведен для различных мод и в различные моменты времени на рисунках, приведенных ниже. Для моды возмущения в различные моменты времени имеют вид, приведенный на рисунке 3.2.1.



, ;

Рис. через сутки

, ;

Рис. через двое суток

, ;

Рис через трое суток

, ;

Рис. через четверо суток

, ;

Рис. через пятеро суток

, ;

Рис. через период

, .

Рисунок 2.3.1. Возмущение первой моды в различные моменты времени

Как видно из рисунка, при этом барическая поверхность вначале целиком смещается вправо. Затем смешенная поверхность целиком совершает оборот вокруг центра Земли против часовой стрелки. Период вращения приблизительно равен пяти суткам.

Для второй моды период вращения равен . Для второй моды возмущения в виде вытянутого эллипсоида в различные моменты времени имеют вид, приведенный на рисунке 2.3.2.

, ;

Рис. через сутки

, ;

Рис. через двое суток

, ;

Рис. через трое суток

, ;

Рис. через четверо суток

, ;

Рис. через период

Рис. , .

Рисунок 2.3.2. Возмущение второй моды в различные моменты времени

Из рисунка видно, что вторая мода носит характер приливной волны.

Для третьей моды период вращения равен . Возмущение барической поверхности в различные моменты времени представлены на рисунке 2.3.3.

В начальный момент времени



, ;

Рис. через сутки

, ;

Рис. через двое суток

, ;

Рис. через трое суток

, ;

Рис. через период

, .

Рисунок 2.3.3. Возмущение третьей моды в различные моменты времени

Для четвертой моды период вращения равен . Возмущение барической поверхности в различные моменты времени представлены на рисунке 2.3.4.

В начальный момент времени

, ;

Рси. через сутки

, ;

Рис. через двое суток



, ;

Рис. через трое суток

, ;

Рис. через период



, .

Рисунок 2.3.4. Возмущение четвертой моды в различные моменты времени

Для пятой моды период вращения равен . Возмущение барической поверхности в начальный момент времени представлено на рисунке 2.3.5.

, .

Рисунок 2.3.5. Возмущение пятой моды в начальный момент времени.

Рассмотрим теперь критическую моду, для которой характерно наличие двух волн, одна из которых движется против часовой стрелки, а другая по часовой стрелке.

В начальный момент времени

, .

Видим, что две волны совпадают. Через сутки

, .

Видим, что отрицательная мода движется против часовой стрелки, а критическая мода по часовой стрелке. Через двое суток, видим, что волны почти совпали

, .

Через период по отношению к отрицательной моде

, .

Выше мы не учитывали, что при наложении волн происходит их интерференция, то есть возникают области усиления и ослабления волн. Рассмотрим теперь картину наложения этих волн.

В начальный момент времени

, .

Видим, что волны при наложении усилили друг друга. Через сутки

, .

Видим, что волны в результате интерференции ослабили друг друга. Через двое суток



, .

Опять наблюдаем усиление волн. Через трое суток

, .

Опять наблюдаем ослабление волн. Через четверо суток



, .

Снова наблюдаем усиление. Таким образом, картина будет повторяться, волны будут то усиливать друг друга, то ослаблять.

Таким образом, в данном разделе развита теория планетарных волн в приближении мелкой воды с учетом зависимости плотности воздуха от температуры. Показано, что учет зависимости плотности воздуха от ее плавучести, связанной с тем, что теплый воздух легче окружающей среды, позволил получить значения скоростей планетарных волн близкие к наблюдаемым значениям, в отличие от теории планетарных волн в однородной атмосфере.



Вывод

В этом заключительном разделе контрольной работы мы провели расчеты скорости и периода колебаний различных мод планетарной волн. Нашли форму возмущенной изобарической поверхности для волн различной моды.



Заключение

1. Теория линейных планетарных волн развита в приближении Буссинеска. Получена система уравнений, описывающих линейные планетарные волны в бароклинной атмосфере.

2. Получено выражение для скорости линейных планетарных волн, отличное от скорости планетарных волн в однородной атмосфере.

3. Получено дисперсионное соотношение для частоты планетарных волн.

4. Получено выражение для частоты планетарных волн на экваторе. Из данных выражений найдены соответственно период вращения и скорость движения различных мод вокруг экватора. Порядок моды определяет число длин волн, укладывающихся на экваторе.

5. Установлено, что Волны, мода которых меньше критического значения, движутся против часовой стрелки. К ним относятся волны с большими длинами волн. Волны, мода которых больше критического значения, образуют «тройки», одна из которых движется против часовой стрелки, а две другие по часовой стрелке. Период их вращения зависит от функции перегрева.

6. Учет зависимости плотности воздуха от температуры, а точнее плавучести воздуха, связанной с тем, что теплый воздух легче окружающей среды, позволил получить значения скоростей планетарных волн близкие к наблюдаемым значениям, в отличие от теории планетарных волн в однородной атмосфере.

7. Первая мода представляет собой смещенную относительно центра Земли сферу, которая вращается относительно центра Земли. Вторая мода представляет собой вытянутый эллипсоид, вращающийся по часовой стрелке вокруг центра Земли. Вторая мода носит характер приливных волн. Третья и более моды носят характер обычных планетарных волн, представляющих собой чередование циклональных и антициклональных областей возмущения барической поверхности.



Список литературы

1. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. - М.: Мир, 1986, Т. 1, 399 с.; Т. 2, 416 с.

2. Грицаева М.Н., Волочай М.А., Закинян Р.Г. Влияние центробежной силы инерции на градиентный ветер в крупномасштабных вихревых процессах. Материалы 54-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону». - Ставрополь: СГУ, 2009, С. 78 - 79.

3. Динамическая метеорология. Теоретическая метеорология. /Под ред. Д. Л. Лайхтмана. - Л.: Гидрометеоиздат, 1976, 607 с.

4. Матвеев Л.Т. Физика атмосферы. - СПб: Гидрометеоиздат, 2010, 779 с.

5. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. - М.: Мир, 1984, т.1, т.2, 811 с.

Размещено на Allbest.ru

...