Индуцированное излучение нанотрубок

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Физика низкоразмерных систем развивается быстрыми темпами. При этом основным инструментом теоретических исследований становятся методы квантовой теории поля и квантовой статистической физики в интенсивном внешнем поле. Остановимся кратко на некоторых важных результатах, полученных в работах различных групп авторов в последние годы при исследовании физических эффектов связанных с влиянием внешних электромагнитных полей на электронные свойства нанотрубок полупроводникового типа [1-27].

Проведено квантовое описание явления пространственной и временной дисперсии продольной диэлектрической проницаемости в продольном магнитном поле. На конкретных примерах продемонстрировано существенное различие физических свойств плазмы однослойной полупроводниковой нанотрубки, трехмерной плазмы и плоской двумерной плазмы. Новые результаты получены в работах, посвященных развитию теории экранирования кулоновского поля точечного заряда в намагниченном электронном газе нанотрубки. [1-15].

В нанотрубках до недавнего времени в теоретических работах по изучению проводимости нанотрубок рассматривался так называемый баллистический перенос носителей тока, когда средняя длина свободного пробега электрона велика по сравнению с длиной нанотрубки. В то же время, в настоящее время экспериментаторы получают и исследуют электронные свойства и нанотрубок, линейные размеры которых сравнимы или превосходят длину свободного пробега носителей тока[26]. Поэтому, для корректного описания электронных свойств нанотрубок наряду с баллистическим механизмом электронного транспорта, следует учесть также электрон-фононного рассеяния в сопротивление нанотрубки. Решение этой задачи впервые получено с учетом размерного ограничения фононов и влияния магнитного поля[16].

Достигнуты существенное развитие современных представлений о влиянии кривизны области занятой физической системой и внешних условий на сверхпроводящие свойства нанотрубок полупроводникового типа. В частности, изучены термодинамические свойства сверхпроводящей нанотрубки в зависимости от параметров нанотрубки и магнитного поля[17-24]. Показана зависимость ширины энергетической щели от температуры для различных значений параметра Ааронова-Бома [19]. Например, для нанотрубки с радиусом R=0.2 nm при указанных выше значениях остальных параметров критическая температура равна 20K [19] .

Используя метод функционального интегрирования, теорию сверхпроводимости Гинзбурга-Ландау и современную теорию фазовых переходов, изучена зависимость от характерных параметров системы флуктуационного вклада в термодинамические свойства намагниченного квантового цилиндра в окрестности критической температуры. В то время, как было показано в работах Леванюка, в трехмерном случае флуктуационная поправка к теплоемкости в окрестности критической температуры пропорциональна , в двумерном случае она пропорциональна , т.е. роль флуктуационных эффектов существенно возрастает с уменьшением размерности системы[19].

Важные результаты получены при изучении процесса ионизации низкоразмерных систем, связанных короткодействующими силами, во внешнем электромагнитном поле, представляющем собой суперпозицию постоянного и переменного электрических полей одинакового направления(см. , например, [27] и цитированную там литературу). При получении этих результатов на ряду с методом точных решений широко используются также квазиклассический метод мнимого времени

Для примера, показана зависимость скорости ионизации двумерной квантовой точки полем электромагнитной волны от параметра Келдыша и радиуса квантовой точки[27].

Для решения поставленных задач использован фундаментальный аппарат конечно-температурной квантовой теории поля с учетом точных решений уравнений движения частиц во внешних полях различных конфигураций[25]. Такой подход, основы которого были заложены в работах Фрадкина Е.С. , Никишова А.И., Ритуса В.И., Соколова А.А., Тернова И.М., Жуковского В.Ч., Шабада А.Е., Тютина И.В. и других авторов, позволяет с большей степенью достоверности предсказывать и объяснять физические эффекты в реальных условиях лабораторного эксперимента.

Аналогичные исследования и в настоящее время активно проводятся как у нас в стране, так и за рубежом[17].

Расчеты проведены при следующих значениях параметров нанотрубки: R=5 nm, линейная концентрация электронов N_L=28.1·10⁹ m^-1, ?=1.51442 meV, энергия Ферми E_F=0.214 eV в свободном случае ,когда магнитный поток Ф=0, h²/mg =0.231.В этом случае электроны наряду с продольным движением совершают и вращательное движение, а максимальное значение азимутального квантового числа n=11,т.е.электроны заполняют достаточно большое число подзон энергии поперечного движения.

Существенный интерес с точки зрения возможных практических приложений представляют экспериментальные и теоретические исследования процессов индуцированного излучения и поглощения электромагнитного излучения нанотрубками [28-32].

Целью настоящей работы является построение теории вынужденного излучения электрона, движущегося по цилиндрической поверхности в электромагнитном поле, образованном суперпозицией постоянного магнитного поля, направленного вдоль оси цилиндра и электростатического поля того же направления.

Второй параграф является вводным. Здесь рассматривается квантование свободного электромагнитного поля и изложены основы квантовой теории излучения. Дан вывод формул для вероятности спонтанного и вынужденного переходов с излучением и поглощением света. В 3 параграфе находятся спектр энергии и ортонормированные волновые функции стационарных состояний уравнения Шредингера для электрона на цилиндрической поверхности во внешнем поле, представляющем собой суперпозицию магнитного и электрического полей одинакового направления. Вычисляются вероятности процессов вынужденного излучения и поглощения света электроном на цилиндрической поверхности, находятся правила отбора и соответствующие частоты излучения, а также получена формула для вычисления мощности индуцированного излучения нанотрубки при конечной температуре. В 4 параграфе находится решение стационарного уравнения Дирака для электрона на цилиндрической поверхности в суперпозиции продольного магнитного поля и потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками и получены правила отбора. В 5 параграфе исследована зависимость энергии Ферми вырожденного нерелятивистского газа от числа частиц, радиуса нанотрубки, частоты осцилляций и параметра Ааронова-Бома. нанотрубка электрон излучение индуцированный



1. Квантовая теория излучения

В этом параграфе приведем, следуя в основном работе [33] , основные положения квантовой теории излучения. Известно, что поле фотонов описывается вектор - потенциалом, который подчиняется уравнению Даламбера

Решение (1) будем искать в виде ряда Фурье:

где, с учетом условие периодичности

волновой вектор задается формулой

где L - длина периодичности.

Подставляя (2) в (1), для коэффициентов Фурье ряда (2) получаем уравнение



Решение выглядит следующим образом

Для того, чтобы векторный потенциал был вещественным, необходимо положить

где символ означает комплексное сопряжение. Это условие получается, если решение (3) подставить в (2), а потом в сумме из коэффициентов сделать замену

Тогда с учетом (9), получаем

В используемой кулоновской калибровке потенциалы электромагнитного поля имею следующий вид:

Полная энергия фотонов поперечных электромагнитных волн равняется

H=1/8р ??(E^2+H^2 ) d^3 x,?

где вектора электрической и магнитной напряженности



Перепишем полную энергию. Для этого подставим в (6) формулы(7)-(5) и учтем, что

Получим

Согласно условию (4), решение (3) можно записать в виде:

Преобразуем гамильтониан, вычислим частную производную:

Из условия поперечности поля фотонов следует, что

С учетом (8), гамильтониан имеет вид



Из поперечности электромагнитного поля вытекает, что мы не можем считать три компоненты вектор - потенциала независимыми переменными. Из трех составляющих амплитуд независимыми с учетом условия поперечности остаются только две. Поэтому, следует компоненты амплитуд вектор - потенциалов выразить через две независимые составляющие, при условии, чтобы выполнялось условие поперечности:

,

Здесь амплитуды, такие, что

Введем также обозначения



где символом обозначаются эрмитово - сопряженные величины.

Подставим выражения (10) в гамильтониан (9):

Далее воспользуемся уравнением движения операторов квантовой механики в представлении Гейзенберга:

Учитывая равенства (11) и воспользовавшись формулой (13), имеем

Аналогично, имеем

Подставим гамильтониан (18) в (20),



Данное равенство имеет место, если положить

причем из (15) следует, что

Данные соотношения (16), (17) определяют вторичное квантование электромагнитного поля. Вторичное квантование электромагнитного поля позволяет описать квантовую систему с переменным числом фотонов. В равенстве (15), амплитуды не будут коммутировать друг с другом, только в том случае, если

Из (18) видно, что не могут быть числами, а должны быть операторами. Для удовлетворения равенства (18), положим в качестве эрмитово сопряженные бесконечные матрицы.

В общем случае для состояния с одинаковыми фотонами получаем

Аналогично, для эрмитово сопряженных матриц имеем



Операторы и соответственно называются оператором поглощения и испускания фотона. Также имеют место следующие соотношения:

Данные равенства можно рассматривать как задачу на отыскание собственных значений равные для или для Учтем, соотношения перестановок (16) для амплитуд , а также равенства амплитуд вектор - потенциалов (10). В результате получим перестановочные соотношения для амплитуд фотонов

Для одинакового импульса , имеем

где единичный вектор.

Чтобы удовлетворить равенству (19), очевидно, надо положить

Из (9) и (20) имеем



В случае, если реальные фотоны отсутствуют и получаем нулевую энергию

которая соответствует энергии вакуума электромагнитного поля.

Переходы, обусловленные квантованным электромагнитным полем, оказываются возможными даже в том случае, когда реальные фотоны отсутствуют. При наличии реальных фотонов возникают индуцированные переходы, как сверху вниз, так и снизу вверх, характеризуемые коэффициентом Эйнштейна В.

Пусть величины пропорциональные малы. Воспользуемся следующим соотношением:

С учетом условия поперечности электромагнитного поля получаем, что операторы и:

Тогда уравнение (21) примет вид



а потенциальная энергия равна

Далее вместо вектор - потенциала в формуле (22) воспользуемся выражением

где используются введенные выше операторы рождения и уничтожения фотонов с импульсом ,действующие на функцию от числа фотонов ,которую включаем для сокращения записи в электронную волновую функцию , полагая

.

В рамках теории возмущений решение уравнения Шредингера представляется в виде ряда по его решениям без поля излучения. Коэффициенты этого ряда ищутся в виде [33]

причем в первом приближении имеет место формула:



Где

Что касается функции от числа фотонов , то ее влияния учитывается перестановочными соотношениями (19) для билинейных комбинаций операторов рождения и уничтожения фотонов.

Зная формулы (22) и (23) , можно записать:

Отметим важный факт, что если мы изучаем излучение фотонов, то оставляем член пропорциональный , а если поглощение, то оператор уничтожения Тогда имеем:

где частота волны

Из квантовой теории излучения известно (подробнее см. в работе [33]), что вероятность вынужденного перехода электрона за единицу времени из квантового состояния n в состояние n можно представить в виде



где коэффициенты Эйнштейна для спонтанного и вынужденного перехода соответственно, а спектральная плотность фотонов. Имеем

где матричный элемент перехода

.

Выполним переход в формуле (30) от суммы к интегрированию с помощью равенства

Заметим также, что при имеет место следующая формула:

Покажем справедливость формулы (26). Умножим обе части на пробную функцию и проинтегрируем по интервалу



Далее выполним замену в формуле (27):

С учетом данной замены, формула (27) примет вид:

Перейдем к пределу при Данный интеграл представляет известный интеграл Эйлера - Пуассона, который равняется:

Таким образом, формула (26) справедлива.

Формула (26) при дает нам постулат Бора: ,

где частота перехода

Так как мы рассматриваем излучение света, то происходит переход с верхнего уровня на нижний ( .

Будем предполагать, что внешнее излучение изотропно, а именно число частиц с заданным импульсом не зависит от углов и ,т.е. Далее, проведя интегрирование с помощью дельта - функции Дирака, вероятность перехода представляем в виде:



где определяются по формулам (34), (35).

Так как вероятность перехода представляется в виде :

то в качестве вероятности перехода при следует положить следующее соотношение:

а для коэффициента вынужденного перехода получается формула:

Теперь необходимо найти вероятность перехода с поглощением света. Для этого мы поменяем уровни и местами в формуле для и оставим член пропорциональный Получаем выражение

Если сравнить формулы для и , они представляют собой сопряженные выражения.



2. Индуцированное излучение электрона на цилиндрической поверхности в суперпозиции электрического и магнитного полей

Магнитное поле задается векторным потенциалом

где напряженность поля,радиус нанотрубки,полярный угол цилиндрической системы координат. Потенциальную энергию электрона в электростатическом поле выберем в виде

Здесь заряд электрона, постоянная и имеет размерность см Приведенный вид потенциальной энергии соответствует движению электрона в электростатическом поле, которое используется также при анализе работы магнетрона. Найдем волновую функцию электрона в суперпозиции продольного магнитного поля и продольного электростатического поля. Запишем уравнение Шредингера:

где - оператор Гамильтона:



оператор импульса, заряд электрона, скорость света, постоянная Планка.

Стационарные состояния электрона будем искать в виде:

Ш(z,ц,t)=e^(- iEt/?) ш(z,ц).

В цилиндрической системе координат набла-оператор выглядит следующим образом:

Учитывая, что у нас получаем

Подставляя (32) в формулу (30) имеем:

Преобразуем выражение , учитывая, что

p_ц-e/c A_ц=1/R (L_z-eФ/2рc)

где - магнитный поток через сечение цилиндра, - оператор проекции момента импульса на ось



Для более удобного представления формулы (34), мы воспользуемся определением кванта магнитного потока:

Тогда выражение (34) можно записать в более компактном виде:

где отношение

называется параметром Ааронова-Бома.

Подставляя выражение (35) в (33) получаем:

Применяя метод разделения переменных, будем искать решение уравнения(36) в виде:

В системе на функцию наложили условие периодичности.

Найдем функцию . С учетом явного вида оператора , имеем:

В качестве решения возьмем выражение:

Подействуем функцией на оператор:

Отсюда непосредственно получаем спектр энергии

где пробегает как положительные, так и отрицательные значения:

Спектр энергии обнаруживает явную зависимость от параметра Ааронова - Бома, а величина называется энергией размерного конфайнмента. Вернемся к рассмотрению теперь уравнения относительно функции :



Принимая во внимание вид оператора запишем уравнение в виде:

Отсюда получаем

где параметр определяется следующим образом:

Сравним уравнение (46) с уравнением гармонического осциллятора:

где потенциальная энергия гармонического осциллятора:

Мы видим, что наше уравнение (40) сводится к уравнению гармонического осциллятора.

Поэтому, учитывая, что энергетический спектр гармонического осциллятора задается равенством

,

Из уравнения (40), находим спектр

Аналогично, приравнивая выражения для потенциальных энергий двух уравнений Шредингера

находим частоту продольных гармонических колебаний и соответствующую энергию колебаний:

Заметим, что для устойчивости движения электрона вдоль оси энергия должна быть принимать только положительные значенияНайдем далее волновые функции стационарных состояний продольного движения электрона, которые описываются уравнением (40). Соответствующие волновые функции для гармонического осциллятора имеют вид [33]:



где

Проводя опять сравнение, получим нормированные собственные функции нашего уравнения (46):

Таким образом, складывая полученные ранее спектры энергий для и ,получаем энергию стационарных состояний электрона на поверхности нанотрубки:

где орбитальное квантовое число: и главное квантовое число, определяющее энергию продольных гармонических колебаний электрона, заряд электрона, радиус цилиндра.

Волновая функция стационарных состояний принимает вид:



где и определяются по формулам (38), (43).

Данная волновая функции является ортонормированной, т.е.

Таким образом, электрон в рассматриваемой конфигурации внешнего электромагнитного поля совершает финитное движение на поверхности нанотрубки вдоль винтовой линии. Это движение представляет собой суперпозицию гармонического колебания с частотой в продольном направлении и вращательного движения на поверхности трубки с энергией, определяемой формулой (39) и зависящей от параметра Ааронова-Бома.

Вычислим вероятность вынужденных переходов из состояния в состояние . Формула для вероятности переходов имеет вид (см. также параграф 2):

где заряд электрона, скорость света, постоянная Планка, длина периодичности, есть единичный вектор в направлении распространения фотона, число частиц, матричные элементы:



В этой формуле знак перед в показателе экспоненты соответствует вынужденному излучению, а знак поглощению излучения .

Величина

равна частоте излучения (поглощения).

В наиболее интересном случае электрон находится в возбужденном состоянии. В этом случае энергия электрона становится мнимой величиной:

где время жизни электрона.

Интеграл в формуле для вероятности перехода

вычисляется при условии, что

Для вероятности вынужденного перехода под действием внешней электромагнитной волны частоты с волновым вектором , составляющим угол с осью (см. рис. 3) и с учетом того, что мы выбрали так систему координат, что составляющая , формула для вероятности перехода примет вид:

Формула для вычисления матричных элементов выглядит следующим образом:

Будем вычислять матричные элементы в дипольном приближении (не зависящим от членов ), а именно, когда

Вычислим как связаны между собой производные в декартовых и цилиндрических системах координат. Подставляем найденное выражение в

Найдем далее правила отбора.

Спонтанный переход возможен только по схеме:



,

а изменение энергии электрона для этого перехода

Возможны также переходы

Вынужденный переход возможен по схеме:

Найдем далее суммарную энергию вынужденного излучения и поглощения для одноэлектронных переходов с учетом правил отбора. В первом случае ,когда изменяется только орбитальное квантовое число, имеем:

(53)

В зависимости от значения орбитального квантового числа и параметра Ааронова-Бома величина может принимать как положительные значения (электромагнитные волны с частотой вынужденно излучаются), так и отрицательные значения (тогда они должны поглощаться).

Во втором случае, когда изменяется только орбитальное квантовое число, находим:

(54)

Таким образом, электромагнитные волны, частоты которых лежат вблизи частоты должны поглощаться нанотрубкой.

Мощности индуцированного излучения и поглощения электронного газа нанотрубки связаны с соответствующими формулами (формула (53)) и (формула(54) для одноэлектронных переходов следующим образом:

где квантовые числа начального и конечного состояний связаны правилами отбора

, (62)

при вычислении P и соответственно

(63)

при вычислении P.



3. Решение уравнения Дирака для электрона на цилиндрической поверхности и правила отбора для матричных элементов

Рассмотрим уравнение Дирака для электрона во внешнем электромагнитном поле

где оператор

а гамильтониан задается формулой

где - заданные матрицы Дирака

Таким образом, мы рассматриваем здесь движение релятивистского электрона на цилиндрической поверхности в суперпозиции продольного магнитного поля и потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками, в пределах которой и происходит движение электрона в продольном направлении.

Будем искать решение уравнения (64) в виде:

где - характеризует знак энергии. Перепишем уравнение (64) в матричном виде с учетом гамильтониана (65) и матриц Дирака:



После сложения вектор - столбцов, уравнение Дирака примет более компактный вид:

Отсюда непосредственным образом, получаем систему уравнений:

Подействуем волновой функцией на выражение



Аналогично для выражения

Система (67) принимает вид:

Подставляем найденное выражение (69) в уравнение (68):



Преобразуем данное выражение:

Обозначим Тогда будем иметь

Пусть ширина барьера. Решаем дифференциальное уравнение второго порядка:

Удовлетворим начальным условиям:

Имеем собственные функции:

Найдем коэффициент из условия нормировки:



Отсюда получаем, что

С другой стороны,

Тогда

Точно также можно получить решение для Нормируем также экспоненту:

Для вычисления вероятности перехода, нам необходимо найти матричные элементы матриц Дирака по формуле:



Для вычисления коэффициентов будем рассматривать в дипольном приближении, когда

Для того чтобы вычислить данный интеграл, перейдем к цилиндрическим координатам и воспользуемся, найденным решением по формуле (74):

Вычислим теперь и :

Аналогично вычисляя, получим следующее выражения для и:

Соответственно квадраты модулей равны:

Упростим слагаемое, входящее в вероятность перехода с учетом, найденных квадратов модулей и выбора координат имеем:



Правила отбора для уравнения Дирака

Таким образом, в этом случае возможны следующие переходы:

Энергия должна быть положительной, поэтому

где определяется по формуле (70).

Проверим, коммутирует ли гамильтониан с матрицей т.е. вычислим коммутатор:

Здесь матрица Дирака, определенная ниже по формуле (76). Если коммутатор окажется отличным от нуля,, то это будет означать, что проекция спина на ось z не сохраняется.

Таким образом , гамильтониан коммутирует с проекцией полного момента импульса на ось т.е. сохраняется только проекция полного момента импульса на ось z, который равен сумме орбитального и спинового моментов импульса.



4. Зависимость энергии Ферми вырожденного электронного газа и мощности индуцированного излучения от параметров нанотрубки

Вклад в термодинамический потенциал всей системы тех частиц, которые находятся в м квантовом состоянии, определяется формулой[34]

где термодинамическая температура, химический потенциал , энергия частицы в м квантовом состоянии.

Применяя принцип Паули, согласно которому числа заполнения каждого состояния могут принимать два значения - 0 или 1(в каждом квантовом состоянии может одновременно находится не более одного фермиона), получаем

Найдем среднее число частиц в м квантовом состоянии. Для этого воспользуемся тем, что среднее число частиц в в м квантовом состоянии равно производной от потенциала (80) по :

После преобразований, имеем



Данная формула (83) есть функция распределения для идеального ферми-газа.

Связь между полным числом частиц в газе и химическим потенциалом находится из условия нормировки

где число частиц в газе. При заданных значениях отсюда находится химический потенциал .

Построим графики зависимости где число частиц, энергия Ферми, в случае нерелятивистского вырожденного электронного газа, когда функция распределения Ферми обращается в -функцию. Возможные значения квантовых чисел и n ,определяющих наряду с проекцией спина электрона на ось Оz нанотрубки стационарное состояние электрона на цилиндрической поверхности, определяются из условия

Решаем неравенство (82) относительно

Где



Здесь квадратные скобки являются символом определения целой части числа. Для упрощения обозначений величину которая будет фигурировать в прилагаемой ниже программе. Мы будем находить при соответствующем значении до тех пор, пока не будет принимать отрицательные значения. Тогда

В качестве системы единиц была выбрана система СГС (сантиметр, грамм, секунда). Программа написана в системе Mathematica:

Вызываем нашу функцию:

Будем строить график с помощью встроенной функции :



Заключение

Основные результаты проведенных в дипломной работе исследований сводятся к следующему:

1.Найдены энергии и ортонормированные волновые функции стационарных состояний электрона на цилиндрической поверхности во внешнем поле, представляющем собой суперпозицию электрического и магнитного полей одинакового направления. В выбранной конфигурации внешнего поля электрон совершает финитное движение по винтовой линии, совершая при этом гармоническое колебание вдоль оси нанотрубки.

2.В дипольном приближении исследованы процессы вынужденного излучения и поглощения света электроном на цилиндрической поверхности во внешнем поле, образованном суперпозицией магнитного и электростатического полей одинакового направления.

3.Найдены правила отбора и соответствующие частоты излучения и поглощения. Вычислена суммарная энергия индуцированного излучения нанотрубки.

4.Показано, что в случае, когда изменяется только азимутальное квантовое число, суммарная энергия излучения может принимать как положительные значения (электромагнитные волны с частотой вынужденно излучаются), так и отрицательные значения (тогда они должны поглощаться). Во втором случае, когда изменяется только продольное квантовое число, электромагнитные волны, частоты которых лежат вблизи частоты должны поглощаться нанотрубкой.

5.Исследована зависимость энергии Ферми вырожденного нерелятивистского электронного газа нанотрубки от числа частиц, радиуса нанотрубки, частоты продольных колебаний и при параметра Ааронова-Бома.

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю Павлу Алексеевичу Эминову за постановку задачи и активное руководство в поиске ее решения. Я благодарен профессору Сезонову Юрию Ивановичу за обсуждение результатов работы, а также всем сотрудникам кафедры ,,Прикладная Математика'' МИЭМ НИУ ВШЭ за внимание и поддержку.



Список литературы

1. П.А.Эминов, Ю.И.Сезонов, А.В.Альперн, Н.В.Сальников, ЖЭТФ 130, 724 (2006).

2. В.Ф Гантмахер , ФНТ 31, N3/4, 336 (2005).

3. П.А. Эминов, Ю.И. Сезонов, ФТТ 50,2220 (2008).

4. M.F. Lin and K.W.K. Shung, Phys. Rev. B47, 6617 (1993).

5. M.F. Lin, K.W.-K. Shung, Phys. Rev. B48, 5567 (1993).

6. P.Longe and S.M. Bose, Phys. Rev. B48, 18 239 (1993).

7.А.И. Ведерников, А.О. Говоров, А.В. Чаплик, ЖЭТФ 120, 979 (2001).

8. Р.З. Витлина, Л.И. Магарилл, А.В. Чаплик, ЖЭТФ 133,906 (2008).

9. А.М. Ермолаев, Г.И. Рашба, М.А. Соляник, ФНТ 37(11), 1156(2011); ФТТ 53(8),1518(2011).

10.А.В.Ключник, С.Ю.Курганов, Ю.Е.Лозовик, ФТТ, 2003. Т. 45(7). С.1267- 1271.

11. П.А. Эминов, ЖЭТФ 135, 1029 (2009).

12. P.A.Eminov, Y.I.Sezonov and A.A.Uldin, Russian Journal of Mathematical Physics, V.16, p.563 (2009).

13. M.F. Lin and D.S. Chuu. Phys. Rev. B V.56, № 8, p. 4996 (1997).

14.Р.З. Витлина, Л.И. Магарилл, А.В. Чаплик, Письма в ЖЭТФ, Т.86, вып. 2, 132 (2007).

15.А.В. Чаплик, Л.И., Магарилл, Р.З. Витлина. Физика низких температур, Т.34, №10, 1094 (2008)

16. ЭминовП.А., Ульдин А.А., Сезонов Ю.И., Физика твердого тела, 2011,т.53,в.8,с.1621-1627.

17. Эминов П.А., Соколов В.В., Гордеева С.В. Микроэлектроника 2014.т.43(4),с.1-12(в печати).

18 M. Kociak, S. Gueron, B. Reutel et al., Phys. Rev. Lett. 86, 2416 (2001).

19. Эминов П.А., Сезонов Ю.И., Гордеева С.В. ФТТ,2014,т.56(3),

с.423-430.

20. П.А. Эминов, Ю.И. Сезонов, ЖЭТФ 134, 772 (2008)

21. J. Zhang, A. Tselev, Y. Yang et al., Phys. Rev., B74, 155414 (2006).

22. P.A. Eminov, A.A. Ul'din, Yu.I. Sezonov and S.V. Gordeevda. Russian Journal of Mathematical Physics, vol. 17, № 2, p.154-158, (2010).

23.П.А. Эминов, А.А. Ульдин. Физика низких температур т.37, № 4, 356 (2011).

24. А.М.Ермолаев, С.В.Кофанов, Г.И.Рашба. Вicник ХНУ, Фiзика, в.14,5 (2010).

25.А.В.Борисов, А.С.Вшивцев, В.Ч.Жуковский, П.А.Эминов. Успехи физических наук, т.167, 241(1997)

26.А.В.Елецкий. УФН, 177 (3), 233 , 2007; А.В. Елецкий, Б.М. Смирнов. УФН, 179 (3), 225, 2009.

27. Eminov P.A., Physica B: Condensed Matter, V.42 6(1),p.158-164,2013.

28. Н.Р. Садыков, Н.А. Скоркин, ЖТФ, том 230, вып.10, 52, 2013.

29. Ю. В. Стебунов, В. Г. Лейман, А. В. Арсенин, ЖТФ, том 82,вып.1,67, 2012.

30. А.А.Григорькин, С.С.Дунаевский, ФТТ, том 51, вып. 2, 2009.

31.Н.Р. Садыков, Н.А. Скоркин, Е.А. Ахлюстина, ФТП, том 47, вып. 9, 2013.

32. O.V.Kibis, M.R.Rosenao da Costa, M.E.Portnoi, Nano Lettes, 2007.

33.Соколов А.А., Тернов И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая Механика, М.: Наука, 1979.

34.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая Физика, М.: Наука, 1976.

Размещено на Allbest.ru

...