Процесс диффузии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Процесс диффузии

Введение

диффузия термодинамический тепловой движение

В термодинамически равновесных системах, как известно, интенсивные параметры не зависят от пространственных координат, то есть, например,

grad T =0, grad P =0, (1)

где: T - температура, P - давление. Если (1) не выполняется, то в системе возникают необратимые процессы переноса. В случае появления в системе потоков тепла говорят о теплопроводности, при переносе зарядов - об электропроводности. Явление, связанное с перемещением вещества вследствие теплового движения, называют диффузией От латинского diffusio - распространение, растекание.. Необходимо обратить внимание читателя на очевидное, но иногда игнорируемое, обстоятельство принадлежности понятия "диффузия" к науке, которая называется “Неравновесная термодинамика”. Не считаться с этим фактом нельзя потому, что это может привести к неправомерным выводам при обсуждении результатов экспериментального исследования или теоретического изучения рассматриваемого явления. Например, к появлению “равновесного” коэффициента самодиффузии [1]. Необходимо подчеркнуть, что для исследования любой проблемы, решения любой задачи, прежде всего, следует обусловить сам объект исследования, то есть определить пространство, в котором будет рассмотрена проблема, и методы и способы работы с параметрами - координатами пространства. В данной работе диффузия будет рассматриваться в рамках линейной неравновесной термодинамики. Это означает, что, хотя в целом состояние системы неравновесно, отдельные ее малые части квазиравновесны и имеют медленно изменяющиеся во времени и от точки к точке интенсивные термодинамические параметры. Размеры этих малых равновесных частей неравновесной системы и времена изменения термодинамических параметров в них определяются экспериментально. Свойства неравновесной системы при этом определяются локальными термодинамическими параметрами, которые зависят от пространственных координат и времени только через характеристические термодинамические параметры, для которых справедливы уравнения термодинамики. Причем при малых отклонениях от равновесия связь между потоками I_i и термодинамическими силами X_k (интенсивные параметры термодинамической системы такие, как температура, давление, напряженность электрического поля, химический потенциал и т.д.) линейна

. (2)

Коэффициенты L_ik в этом линейном законе называются кинетическими коэффициентами. Для более детального знакомства с основами неравновесной термодинамики заинтересованному читателю можно рекомендовать учебник И.П. Базарова [2], снабженный большим количеством задач, интересных примеров и подробной библиографией.

1. Уравнение диффузии

Рассмотрим систему, содержащую k компонентов, при этом допустим, что i-ый компонент имеет градиент химического потенциала, который, в свою очередь, обусловлен градиентом концентрации этого компонента. По определению поток Векторные величины в работе выделены "жирным" шрифтом. j_i(x,y,z) равен количеству частиц, которое пересекает в единицу времени поверхность единичной площади, то есть

, (3)

где x, y, z -пространственные координаты, t -временная координата, c_i(x,y,z) - концентрация i-ого компонента, а v_i(x,y,z) - его средняя скорость, которую выразим через подвижность u_i(x,y,z) - и вызвавшую поток силовую характеристику системы f_i(x,y,z) -, следующим образом

(x,y,z,t) = . (4)

Прежде, чем продолжить вывод уравнения диффузии, необходимо небольшое отступление, связанное с физическим смыслом величины f_i(x,y,z).

Из курса общей физики известно, что если в пространстве определено распределение электрического потенциала ц(x,y,z), то в этом пространстве определена и его силовая характеристика E_i(x,y,z) - напряженность электрического поля, причем

= - grad (5)

или

= - , (5a)

где - оператор набла, который в декартовой системе координат имеет вид

=, (5b)

где, в свою очередь, i, j, k - ортогональные единичные векторы, определяющие декартову систему координат. Справедливость равенства правых частей выражений (5) и (5а) легко показать. Действительно

=·=

= grad.

Здесь же следует напомнить, что скалярное произведение оператора набла и некоторого вектора b(x,y,z) = b_x(x,y,z) + b_y(x,y,z) + b_z(x,y,z) определяет скалярную величину, которую называют дивергенцией

·· =

= div.

А теперь обратим внимание на следующие словосочетания: электрический потенциал, термодинамический потенциал, потенциал Гиббса. Общим для этих выражений является слово "потенциал". Этот факт не случаен и означает он не что иное как: подвергая указанные выше параметры однотипным преобразованиям, мы должны получать однотипные по физическому смыслу результаты (величины). То есть, воздействуя оператором набла на электрический потенциал, мы получаем, как было показано выше, характеристику поля, являющуюся движущей силой процессов, происходящих с заряженными частицами. Аналогично, действуя оператором набла на термодинамический потенциал, мы непременно должны получить подобный параметр. Единственно надо помнить о том, что в термодинамике количества теплоты и работы являются функциями процессов (адиабатный, изохорический, изобарический и т.д.). Поэтому, например, в изолированной системе при квазиизохорическом процессе за все изменения ответственен градиент температуры: (dU) = (?U/?S)_V,N dS = T dS, а в квазиадиабатном - градиент давления: (dU) = (?U/?V)_S,N dV = -P dV (здесь U - внутренняя энергия, S - энтропия, V - объем, N - число частиц в системе и P - давление).

В нашем случае, как мы условились ранее, поток i-ого компонента обусловлен градиентом химического потенциала м_i, поэтому

Здесь и далее для краткости записи аргументы функций опущены за исключением тех случаев, когда это может, по мнению автора, привести к недоразумениям.= - ·. (6)

Подставив (6) в (4), а результат подстановки в (3), получим

= - . (7)

Собственно говоря, (7) и есть первый закон Фика, записанный в самом общем виде и справедливый как для реальной, так и для идеальной систем. А теперь установим зависимость изменение количества i-ого компонента N_i от времени t в некотором локальном объеме ?V в результате истечения частиц через поверхность ?S, ограничивающую ?V,

. (8)

В уравнении (8) знак минус поставлен вследствие того, что количество частиц в рассматриваемом объеме уменьшается со временем и, соответственно, левая часть последнего выражения должна быть меньше нуля, а под dS имеется ввиду

, (9)

где - единичный вектор, направленный нормально к элементу поверхности dS изнутри исследуемой области. Зная пространственное распределение компонентов системы c_i(x,y,z), легко рассчитать N_i

. (10)

Подставим (10) в (8)

. (11)

Используя теорему Остроградского-Гаусса, в правой части (11) перейдем от интегрирования по поверхности к интегрированию по объему

. (12)

Поскольку область интегрирования в (12) выбрана произвольно и ее размер в левой и правой частях одинаков, то равенство будет выполняться всегда в случае, когда

(13)

или, используя оператор набла,

. (14)

Формулы (13) - (14) выражают второй закон Фика.

Но уравнения (7) и (13) - (14) в литературе не связывают с именем немецкого ученого Фика, поскольку указанные формулы получены для любых (идеальных и неидеальных систем), а Фиком сформулирован закон диффузии для идеальных систем, в соответствии с которым “количество соли, проходящее за известное время в направлении убывающей концентрации через некоторый элемент поверхности, пропорционально величине этого элемента, промежутку времени, величине убывания концентрации на месте нахождения элемента поверхности по направлению течения”[3].

Покажем допущения, которые необходимо сделать, чтобы от (7) и (14) перейти к традиционным уравнениям диффузии, названными законами Фика. Имея в виду, что зависимость химического потенциала от температуры Т и активности i-ого компонента имеет вид Во всех последующих формулах посредством k_Б обозначена постоянная Больцмана.

, (15)

преобразуем (7) и (14) к

(16)

и

= (17)

соответственно. Применяя правила действий с дифференциальными операторами [4], получим из (17)

=. (18)

Для того, чтобы решить уравнение (18) относительно концентрации i-ого компонента, то есть установить зависимость от времени пространственного распределения указанного компонента для заданных начальных и граничных условий, необходимо как минимум знать пространственное распределение коэффициента активности и подвижности компонентов, образующих систему, что само по себе очень трудоемкие и в основном экспериментальные задачи. Очевидно, именно поэтому уравнение (18) не используют для указанной цели. И только для идеальных систем, когда коэффициент активности равен единице, уравнение имеет аналитические решения и то для достаточно ограниченного числа начальных и граничных условий. В случае идеальной системы выражение (7) трансформируется в

. (19)

Три первых сомножителя в правой части (19) объединяют общим названием “Коэффициент диффузии”, то есть

. (20)

В литературе равенство (20) известно как формула Эйнштейна. С учетом (20) уравнение (19) принимает ту форму записи, которую и называют первым законом Фика

, (21)

а уравнение (18) при дополнительном условии, что коэффициент диффузии не зависит от пространственных координат, принимает вид, который общепринято называть 2-м законом Фика или уравнением диффузии

=. (22)

С учетом (20)

=. (23)

В последних двух выражениях посредством символа ? (дельта) обозначен оператор Лапласа, который в декартовой системе координат имеет вид

. (24)

Для того, чтобы все же учесть неидеальность системы, зависимость коэффициента активности и подвижности от пространственных координат переносят на коэффициент диффузии. Схема получения уравнения диффузии в этом случае следующая. Уже в (7) полагают, что = D_i(x,y,z) - функция пространственных координат x, y, z. А затем уравнение (7) подставляют в (17), которое принимает вид

=. (25)

Однако аналитическое решение уравнения (25) получить не удается. В лучшем случае решение (25) можно получить в виде суперпозиции решений, отвечающих на разных пространственных интервалах различным коэффициентам диффузии. В этой связи далее будут показаны решения уравнения диффузии численными методами.

2. Решение уравнения диффузии

Рассмотрим следующую задачу. Дана пластина, рис. 1, на которой сформировали маскирующий слой (допустим оксид кремния на кремниевой пластине), в котором, в свою очередь, образовали окно шириной 2l и длиной, соизмеримой с линейными размерами пластины. При этом ширина окна много меньше его собственной и диффузионной длин. Диффузант поступает из источника неограниченной емкости.

Преобразуем уравнение диффузии (23) для трехмерного декартова пространства -x,y,t, в случае идеальной однокомпонентной системы



Рис. 1. Схема процесса диффузии

= (26)

с начальными и граничными условиями:

c(x,y,0)=0, x(0,+L₁), y(-L₂,+L₂), (27)

c(0,y,t)=f(y), y(-l, +l), (28)

где

2l - ширина щели маски (ширина окна),

L₁ - линейный размер области поиска решения в направлении оси x,

2L₂ - линейный размер области поиска решения в направлении оси y.

Задачу будем решать численными методами. Шаблон представлен на рис. 2, где индекс k - номер узла на временной координате, индекс i - номер узла на пространственной координате x и индекс j - номер узла на пространственной координате y.

В конечных разностях первую производную по времени в уравнении (26) запишем

, (29)

а вторые производные по пространственным координатам представим в виде

и (30)

. (31)

В (29) - (31) посредством ф обозначен шаг по времени, а h₁ и h₂ - по пространственным координатам и соответственно. С учетом (29) - (31) уравнение (26) с граничными и начальными условиями (27) - (28) примет вид

=D (+), (32)

c⁰_i,j=0, i=, j=, (33)

c^k_0,j=f(j h₂), k=, j=, (34)

где посредством |...| обозначена целая часть числа, а T_п - время диффузии.

Основной проблемой при реализации численного решения (32) - (34) является выбор величин ф, h₁ и h_2, то есть проблема устойчивости решения. Для уравнения диффузии, как показано в работе [5], эта задача решается выполнением следующих условий:

 и (35)

. (36)

Рис. 2. Шаблон решения задачи (26)-(28)

С целью уменьшения времени вычислительного процесса предположим, что , а сами величины (35) - (36) -равными 0.25. В этом случае в уравнении (32) слагаемые, содержащие , уничтожатся и выражения (32) - (34) примут вид

=0.25 (+), (37)

c⁰_i,j=0, i=, j=, (38)

c^k_0,j=f(j h), k=, j=, (39)

Таким образом, чтобы определить концентрацию диффузанта в узле с пространственными координатами (,) в момент времени (k + 1)•ф, необходимо лишь просуммировать концентрации диффузанта в сопряженных узлах в момент времени kф и полученную сумму разделить на четыре.

В качестве иллюстрации на рис. 3 показаны решения задачи (26) - (28) в моменты времени t=0, , 2 и 3 при следующих допущениях:

L₁/h=L₂/h=4;

f(j h)=const=1.6 - постоянный источник;

T_п / =4.

k=0 а.	k=1 б.
k=2 в.	k=3 г.

Рис. 3. Решения задачи (26)-(28): а. - t=0 (начальные и граничные условия), б. - t= (первый шаг по времени), в. - t=2 (второй шаг по времени) и г. - t=3 (третий шаг по времени)

3. Решение уравнения диффузии (разбор полетов)

Основная цель, которую автор поставил перед собой в предыдущем разделе, заключалась в том, чтобы показать читателю легкость, с которой численными методами может быть получено решение уравнения диффузии. Надеюсь, что цель достигнута и у читателя не возникли какие-либо трудности с восприятием алгоритма решения задачи о диффузии, а сам читатель стал в ряды сторонников решения ее численными методами. Дело все в том, что к сегодняшним практическим задачам полупроводниковой электроники [6] имеющиеся классические аналитические решения уравнения диффузии имеют весьма отдаленное отношение, поскольку в основу последних в большинстве своем заложены макросистемы, например, бесконечное или полубесконечное тело, источники диффузанта с неограниченной емкостью и т.д., что, скажем, не имеет места в технологии производства современных интегральных схем, где размеры каждого элемента соизмеримы с линейными параметрами таких величин, как дебаевская длина экранирования и толщина поверхностной фазы. Более того, явления, происходящие в областях, соизмеримых с дебаевской длиной экранирования, играют существенную роль и в процессе эксплуатации приборов, созданных на современной элементной базе. Например, актуальнейшей проблемой нынешней электроники является деградация электрофизических параметров приборов. Представляется, что решение указанной задачи в первую очередь напрямую связано и с пониманием диффузионных процессов, обусловленных электрическими полями, возникающими из-за наличия контакта разнородных материалов. Поэтому далее в настоящей работе мы получим уравнение диффузии, учитывающее влияние внутренних электрических полей на процессы переноса вещества, и покажем некоторые его решения.

Ну а сейчас вернемся к началу настоящего параграфа и обсудим, за счет чего же была достигнута простота решения уравнения диффузии? Во-первых, за счет сильного упрощения (идеализации) самой задачи, а, во-вторых, не обошлось и без некоторого лукавства. Если еще раз более внимательно проанализировать предыдущий раздел, то легко можно обнаружить, что и описание задачи (26)-(28), и рис. 1, и решения, представленные на рис. 3, содержат некоторые недомолвки - "параметры по умолчанию", но при этом вроде бы, дополняя друг друга, создают образ единой задачи. А, по сути, в (26)-(28) просто отсутствуют граничные условия за исключением области окна в маске. Рисунок 1 несколько восполняет этот недостаток своей волнистой обрамляющей, намекающей на бесконечную протяженность объекта исследования, и словом "маска", говорящему всякому, кто имеет хотя бы какое-либо отношение к технологии полупроводниковых приборов, что поток диффузанта через маску, по крайней мере, значительно ограничен по сравнению с областью окна или даже равен нулю. Предположив, что концентрация диффузанта в области маски всегда равна нулю, мы, решая уравнение диффузии, вроде бы использовали последнее более сильное условие. И в результате решили … совершенно не ту задачу. Оказывается, что область маски в решенной задаче не только препятствует проникновению диффузанта в кристалл, но и одновременно является местом стока диффузанта неограниченной емкости. Действительно, обратившись к рисунку 3, видим, что изоконцентраты закреплены у краев маски и с течением времени упорно "не хотят" перемещаться вдоль границы "маска - кристалл" несмотря на то, что градиенты концентрации у краев маски в этих направлениях, а, следовательно, и движущие силы диффузии, максимальны. А ларчик тут открывается просто. Поговорить то мы поговорили об отсутствии потоков диффузанта через маску, но ничего для того, чтобы их не было, не предприняли.

В целом наши проблемы связаны с тем, что мы неверно решали задачу. Подход к методике решения настолько плох, что, как я надеюсь, читатель и сам уже пришел к выводу, так задачи решать нельзя. За многие тысячелетия человечество сформулировало подходы, методики, алгоритмы решения проблем. Они просты и очевидны и, наверное, именно поэтому мы зачастую ими не пользуемся, не придаем им должного значения и как следствие затрачиваем огромные усилия на то, что делать и не следовало бы, но, к сожалению, об этом узнаем, когда работа уже выполнена или не узнаем вовсе. Современные представления о том, как подходить к решению той или иной проблемы можно найти в прекрасной книге профессора МИСиС М.А. Штремеля [7] и в литературе, указанной в библиографическом списке к ней. Для тех, кто занимается моделированием можно порекомендовать [8]. И, тем не менее, очень кратко сформулируем основные этапы решения задач, аналогичных решенной нами:

Постановка задачи и определение конечных целей - заключается в содержательной (физической) постановке задачи: выбор общего подхода, определение совокупности критериев, которым должна удовлетворять система, задание условий ее реализации (работы), выбор системы координат и масштабов, выбор системы единиц.

Построение математической модели - математическая формулировка задачи. Модель должна правильно (адекватно) описывать основные законы физики, функционирования объекта (системы, устройства), влияние параметров на его свойства и т.д.

Разработка (выбор) численного метода. Математическая формулировка задачи может оказаться непереводимой непосредственно на язык ЭВМ. Для того, чтобы задача была правильно решена, необходимо уравнения, функции, интегралы выразить через элементарные функции. Более того, необходимо убедиться, что никакие погрешности, содержащиеся в исходных данных или внесенные в процессе вычислений, не повлияют сколько-нибудь заметным образом на точность результатов.

Разработка алгоритма - выражение решения задачи в виде точно определенной последовательности операций вычислительной машины. Раньше алгоритм представляли графически в виде блок-схемы. Сегодня от графического представления чаще всего отказываются (особенно в случае больших задач), но словесный портрет задачи в виде последовательности операций с указанием условий переходов от пункта к пункту записывают всегда.

Программирование - изложение алгоритма на языке "понятном" ЭВМ.

Отладка программы. Очень важный этап в процессе решения задачи. С этой целью используют тестовые задачи, пошаговое выполнение программы.

Выполнение расчетов. Если это возможно, то выполняют для нескольких наборов данных.

Анализ и оформление результатов.

Самое главное в этом процессе заключается в том, что на каждом этапе необходимо постоянно обращаться к предыдущим и, в особенности к первому, задавая себе вопрос "А ту ли задачу я решаю?"

4. Решение уравнения диффузии (продолжение)

Задача 1. Полное повторение предыдущей задачи с добавлением условия отсутствия потоков на границе "маска-кристалл" и уточненными начальными и граничными условиями:

= (40)

с начальными и граничными условиями:

c(x,y,0)=0, x(0,+L₁), y[-L₂,+L₂], (41)

c(0,y,0)=0, (42)

c(0,y,t)=f(y), y(-l, +l), (43)

(44)

Решение (изоконцентраты диффузанта) задачи (40)-(44) показано на рис. 5 (для сравнения на рис. 4 изображено решение этой же задачи, но без учета (44)), а все необходимые замечания к решению представлены в комментариях в программе для ЭВМ и к программе.

Решение задачи 1 без учета (44)

Рис. 4. Решение задачи 1 без учета (44)

Рис. 5. Решение задачи 1

Программа для решения задачи 1

01 # include <stdio.h>

02 # define SizeX (23) // Размер диффузионной структуры в направлении оси X

03 # define SizeZ (12) // Размер диффузионной структуры в направлении оси Z

04 # define SizeT (12) // Количество шагов по времени

05 # define SizeXWin (5) // Размер окна в направлении оси X

06 int main(void)

07 {

08 int iZ,iX,k;

09 double *Ck, *Ck1;

10 FILE *dif_dat;

11 dif_dat = fopen(" … :\\ … \\ … \\ dif_dat.dat", "w"); // Открытие файла для записи // данных

12 int aX=(SizeX-SizeXWin)/2; // Координата начала окна в направлении оси X

13 int bX=aX+SizeXWin; // Координата конца окна в направлении оси X

14 Ck=new double [300]; // Выделение памяти для хранения данных на i-том шаге по // времени

15 Ck1=new double [300]; // Выделение памяти для хранения данных на (i+1)-м шаге // по времени

16 for (iX=0; iX<(aX-1); iX++) { // Граничные условия в области маски слева от окна

17 *(Ck+iX)=0;

18 *(Ck1+iX)=0;

19 }

20 for (iX=(aX-1); iX<(bX+1); iX++) { // Граничные условия в области окна

21 *(Ck+iX)=16;

22 *(Ck1+iX)=16;

23 }

24 for (iX=(bX+1); iX<SizeX; iX++) { // Граничные условия в области маски справа от окна

25 *(Ck+iX)=0;

26 *(Ck1+iX)=0;

27 }

28 for (iZ=1; iZ<SizeZ; iZ++) { // Начальные условия в области кристалла

29 for (iX=0; iX<SizeX; iX++) {

30 *(Ck+iX+iZ*SizeX)=0;

31 *(Ck1+iX+iZ*SizeX)=0;

32 }

33 }

// Решение уравнения

34 for (k=0; k<SizeT; k++){

35 for (iZ=1; iZ<(SizeZ-1); iZ++)

36 for (iX=1; iX<(SizeX-1); iX++)

37. *(Ck1+iX+iZ*SizeX)=*(Ck+iX+iZ*SizeX)+0.25*(*(Ck+iX+

(iZ+1)*SizeX)+(*(Ck+iX+(iZ-1)*SizeX))+

(*(Ck+iZ*SizeX+iX+1))+(*(Ck+iZ*SizeX+

iX-1))-(*(Ck+iX+iZ*SizeX))*4);

38 for (iZ=0; iZ<SizeZ; iZ++) // Копирование массива данных

39 for (iX=0; iX<SizeX; iX++)

40 *(Ck+iX+iZ*SizeX)=*(Ck1+iX+iZ*SizeX);

41 for (iX=0; iX<(aX-1); iX++) // Выполнение условия (44) слева от окна

42 *(Ck+iX)=*(Ck1+iX+SizeX);

43 for (iX=(bX+1); iX<SizeX; iX++) // Выполнение условия (44) справа от окна

44 *(Ck+iX)=*(Ck1+iX+SizeX);

45 }

46 for (iZ=0; iZ<SizeZ; iZ++){ // Сохранение результатов счета

47 for (iX=0; iX<SizeX; iX++)

48 fprintf(dif_dat," %7.3f",*(Ck+iX+iZ*SizeX));

49 fprintf(dif_dat,"\n");

50 }

51 delete Ck; // Освобождение выделенной памяти

52 delete Ck1;

53 fclose(dif_dat); // Закрытие файла

56 return 0;

57 }

Комментарии к программе:

Нумерация строк (цифры слева) не является атрибутом языка программирования СИ.

По сравнению с рисунком 1 в программе изменен выбор наименования осей системы координат, а само начало координат перенесено для того, чтобы отчетливей показать последовательность решения задачи. Ось X заменена осью Z, а ось Y - на X. Начало координат перенесено в левый верхний угол рисунка. В действительности выбор расположения начала координат так, как представлено на рис. 1, предпочтительнее в силу симметрии задачи относительно плоскости Y=0, что в свою очередь дает возможность решать "половину" задачи, сокращая при этом объем выделенной оперативной памяти ЭВМ и время счета соответственно в два раза. Правда, при этом необходимо несколько изменить граничные условия, не затрагивая существа задачи. Мы этого делать ни в данном случае, ни в следующих задачах не станем, оставляя возможность читателю разрешить указанную проблему самостоятельно, с которой он легко справится, внимательно проанализировав представленную выше программу.

В строке 11 открывается файл для записи результатов счета. Если читатель захочет выполнить расчеты с использованием предложенной программы, то ему необходимо вместо многоточий указать место хранения файла (путь) применительно к конкретной ЭВМ.

Следует обратить внимание на строку 37, где используется не частный случай представления уравнения диффузии в конечных разностях, формула (37), а более общий случай, который следует из (32) при h₁ = h₂ = h:

= + (+).

При этом численное значение величины D•ф / h², равное 0.25, сохранено.

В строках 41 - 44 реализовано выполнение условия отсутствия потока на границе "маска - кристалл". Концентрация примеси во всех узлах в области маски приравнивается к концентрации примеси в области кристалла в узлах, расположенных непосредственно под первыми, то есть c(x_i, 0)= c(x_i,1), где i - номера узлов в области маски вдоль оси X -ов.

Имея ввиду, как отмечалось выше, малость объектов современной электроники и как следствие необходимость учета геометрической формы этих объектов и явлений, сопровождающих диффузионные процессы в очень тонких слоях, рассмотрим задачу о диффузии, где будет использован тот факт, что в различных материалах коэффициент диффузии одной и той же примеси неодинаковый и на границах раздела фаз может быть в десятки раз больше [1], чем в объеме материала. Кроме того, в отличие от предыдущей задачи, заменим источник диффузанта бесконечной емкости на источник ограниченной емкости (например, диффузия из силикатного стекла).

Задача 2. Решить уравнение диффузии

= (45)

где

D₁ - коэффициент диффузии в области диффузанта,

D₂ - коэффициент диффузии на границе "диффузант-маска",

D₃ - коэффициент диффузии в области кристалла,

D₄ - коэффициент диффузии на границе "маска-кристалл",

с начальными и граничными условиями:

c(x,0,t)=0, x[0,L₁], t[0, T_пр.], (46)

c(x,z,0)=c_0д, x[0,L₁], z(0,(L₂-l₂)*0.5], (47)

c(x,z,0)=c_0д, x[(L₁-l₁)*0.5, (L₁+l₁)*0.5), z((L₂-l₂)*0.5,(L₂+l₂)*0.5], (48)

c(x,(L₂+l₂)*0.5,0)=0, x[0, (L₁-l₁)*0.5), (49)

c(x,(L₂+l₂)*0.5,0)=0, x[(L₁+l₁)*0.5), L₁), (50)

c(x,z,0)=0, x[0,L₁], z((L₂+l₂)*0.5), L₂] (51)

z[0, L₂], (52)

z[0, L₂], (53)

z((L₂-l₂)*0.5,(L₂+l₂)*0.5], (54)

z((L₂-l₂)*0.5,(L₂+l₂)*0.5], (55)

x[0,(L₁-l₁)*0.5], (56)

x[0,(L₁-l₁)*0.5], (57)

x[(L₁+l₁)*0.5,L₁], (58)

x[(L₁+l₁)*0.5,L₁], (59)

где

T_пр. - время диффузии,

L₁ - линейный размер структуры в направлении оси x,

L₂ - линейный размер структуры в направлении оси Z,

l₁ - линейный размер щели маски (ширина окна) в направлении оси x,

l₂ - линейный размер маски (толщина маски) в направлении оси Z,

c_0д - начальная концентрация примеси в диффузанте.

Схема процесса диффузии показана на рисунке 6.

Решение (изоконцентраты диффузанта) задачи 2 показано на рис. 8. Для сравнения на рис. 7 изображено решение аналогичной задачи, но без учета повышенной скорости диффузии на границах раздела, а на рис. 9 - решение уравнения диффузии с учетом повышенной скорости диффузии на границах раздела при наличии в кристалле незаряженной стенки. В комментариях полученные решения, как мне представляется, не нуждаются, но все же следует напомнить должно быть известное читателю из курса общей физики положение о том, что повышенная плотность изоконцентрат свидетельствует о более высоких градиентах концентрации и следовательно о повышенных скоростях диффузии в этих областях. На рисунках 7-9 не показаны решения в области диффузанта выше маски, поскольку для данных задач они не представляют значительного интереса (изоконцентраты - прямые линии, которые располагаются перпендикулярно оси Z) и при этом существенно увеличивают объем рисунков. Все необходимые замечания к решению представлены в комментариях в программе для ЭВМ и к программе.

Рис. 6. Схема процесса диффузии. Задача 2



Рис. 7. Решение задачи 2 без учета повышенной скорости диффузии на границах раздела

Рис. 8. Решение задачи 2

Рис. 9. Решение задачи, аналогичной задаче 2 при наличии стенки в кристалле в области окна

Программа для решения задачи 2

01 # include <stdio.h>

02 # define SizeX (46) // Размер диффузионной структуры в направлении оси X

03 # define SizeZ (46) // Размер диффузионной структуры в направлении оси Z

04 # define SizeT (128) // Количество шагов по времени

05 # define SizeXWin (14) // Размер окна в направлении оси X

06 # define SizeZWin (6) // Размер окна в направлении оси Z

07 # define C0d (104) // Начальная концентрация примеси в диффузанте

08 # define C0k (0) // Начальная концентрация примеси в кристалле

09 # define DtauD (0.625) // Параметр DtauD=D₁*tau/(h*h) в области диффузанта

10 # define DtauDW (0.0625) // Параметр DtauDW=D₂*tau/(h*h) на границе "диффузант - маска"

11 # define DtauK (0.025) // Параметр DtauK=D₃*tau/(h*h) в области кристалла

12 # define DtauKW (0.25) // Параметр DtauKW=D₄*tau/(h*h) на границе "маска-кристалл"

13 int main(void)

14 {

15 int iZ,iX,k;

16 double *Ck, *Ck1;

17 FILE *dif_dat;

18 dif_dat = fopen(" … :\\ … \\ … \\ dif_dat.dat", "w");

19 if (dif_dat == NULL){

20 printf("Файл dif_dat.dat не открыт.\n");

21 return 1;

22 }

Размещено на Allbest.ru

...