Методика расчета линейных электрических цепей постоянного тока

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Задание

1. Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы;

2. Определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;

3. Определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения;

4. Составить баланс мощностей для заданной схемы;

5. Результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить;

6. Определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора;

Таблица 1

2. Определение токов во всех ветвях цепи с применением законов Кирхгофа

кирхгоф генератор электрический

Метод узловых и контурных уравнений основан на применении первого и второго законов Кирхгофа. Он не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчета любой цепи.

При расчете данным методом произвольно задаем направление токов в ветвях I1, I2, I3, I4, I5.

Составляем систему уравнений. В системе должно быть столько уравнений, сколько цепей в ветвях (неизвестных токов).

В заданной цепи пять ветвей, значит, в системе должно быть пять уравнений (m=5). Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Для цепи с п узлами можно составить (n-1) независимых уравнений. В нашей цепи четыре узла (А,В,С,D), значит, число уравнений: n-1 =4 - 1=3. Составляем три уравнения для любых 3-х узлов. например, для узлов 1 и 2.

Всего в системе должно быть пять уравнений. Два уже есть. Три недостающих составляем для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимыми, в каждый следующий контур надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущую.

Задаемся обходом каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

Контур А'ДВА' - обход против часовой стрелке:

Е1= I1(R1+R6+r01)+I5R5+I3R3.

Контур В'CДВ' - обход по часовой стрелке:

Е2=I2(R2+r02)-I5R5.

Контур А'ВСА' - обход по часовой стрелки:

E2=I2 (R2+r02)+I3R3+I4R4.

ЭДС в контуре берется со знаком "+", если направление ЭДС совпадает с обходом контура, если не совпадает - знак "-".

Падение напряжения на сопротивлении контура берется со знаком "+", если направление тока в нем совпадает с обходом контура, со знаком "-", если не совпадает.

I3=I1+I4

I3=I2-I5

Е1= I1(R1+R6)+I5R5+I3R3

Е2=I2R2-I5R5

E2=I2R2+I3R3+I4R4

Решив систему, определим величину и направление тока во всех ветвях схемы.

Если при решении системы ток получается со знаком "-", значит его действительное направление обратно тому направлению, которым мы задались.

E1=I1(R1+R6+r01)-(I2-I3)R5+I3R3

Е2=I2R2-(I2-I3) R5

E2=I2R2+I3R3+I3-I1R4

3. Определение токов во всех ветвях цепи с использованием метода узловых и контурных уравнений

Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на n - 1.

Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока -- контурного тока, являющегося расчетной величиной.

Итак, в заданной цепи можно рассмотреть три контура-ячейки (АДСВА, АВА'А, А'СВА') и ввести для них контурные токи Ik1, Ik2, Ik3.

Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры -- это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.

Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учетом их направления.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в левой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в правой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а также учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.

На основании вышеизложенного порядок расчета цепи методом контурных токов будет следующим:

стрелками указываем выбранные направления контурных токов Ik1, Ik2, Ik3 в контурах-ячейках. Направление обхода контуров принимаем таким же; составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.

E1=I1(R6+r01+R1)+I5R5+I3R3

E2=I2(R2+r02)-I3R5

E2=I2(R2+r02)+I3R3+I4R4

Подставляем в уравнение численные значения ЭДС и сопротивлений.

30=I1(52+3+16)+I525+I334

40=I2(63+2)-I525

40=I2(63+2)+I334+I442

Или

30=I171-I225+I359

40= I10+I240-I325

40=I165-I234+I342

4. Определение токов во всех ветвях цепи на основании метода наложения

По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждой ЭДС в отдельности.

Решаем задачу методом "свёртывания".

R25=R2*R5/R2+R5=65*25/65+25=18 Ом

R235=R25+R3 =18+34=52 Ом

R2-5=R235*R4/R235+R4=52*42/42+52=23.5 Ом

Rзкв=R2-5+R1+r01+R6=23.5+68=94.5 Ом

I1=E1/Rэкв=30/94.5=0.31 А

I5=I1*R2/R5+R2=0.22 A

I2=I1-I5=0.31-0.22=0.09 A

I4=I2*R253/R4+R253=0.09*52/52+42=0.05 A

I3=I2-I4=0.09-0.05=0.04 A

Показываем направление частных токов по ЭДС Е2 и обозначаем их буквой I с двумя штрихами (“). Рассчитываем общее сопротивление цепи:

R16=R1+R6+r01=16+52+3=71 Ом

R164=R16*R4/R16+R4=71*42/71+42=26.4 Ом

R35=R3+R5=34+25=59 Ом

R13-6=R164*R35/ R164+R35=26.4*59/26.4+59=18.2 Ом

Rэкв=R13-6+R2+r02=18.2+63+2=83.2 Ом

Вычисляем ток источника:

I2”=E2/Rэкв=40/85.2=0.42 A

Применяя формулу разброса и I-ый закон Кирхгофа, вычисляем токи ветвей:

I5”=I1”*R5/R2+R5=0.42*25/65+25=0.16 A

I3”=I2”-I5”=0.42-0.16=0.24 A

I1”=I5”- I2”=0.16-0.24=-0.08 A

I4”=I3”-I1”=0.24-0.08=0.14 A

Вычисляем токи ветвей исходной цепи, выполняя алгебраическое сложение частных токов, учитывая их направление:

I1'-I1”=0.31-(-0.08)=0.39 A

I2'+I2”=0.09+0.42=0.52 A

I3'+I3”=0.04+0.24=0.28 A

I4'-I4”=0.05-0.14=-0.09 A

-I5'=-0.22 A

4. Составление баланса мощностей для заданной схемы

Источники Е1 и Е2 вырабатывают электрическую энергию, т.к. направление

ЭДС и тока в ветвях с источником совпадают. Баланс мощностей для заданной цепи запишется так:

E1I1+E2I2=I12(R1+r01+R6)+I22(R2+r02)+I32R3+ I42R4+ I52R5

Подставляем численные значения и вычисляем:

30*0.388+40*0.52=0.3882(16+3+52)+0.522(63+2)+0.292*34+0.092*42+0.232*25= 32.47=32.5

С учетом погрешности расчетов баланс мощностей получился.

Результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представлены в виде таблицы 2 и произведёно их сравнение

Таблица 2

Расчет токов ветвей обоими методами с учетом ошибок вычислений практически одинаков.

5. Определение тока во второй ветви методом эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора используется для исследования работы какого-либо участка в сложной электрической цепи. Для решения задачи методом эквивалентного генератора разделим электрическую цепь на две части: потребитель (исследуемая ветвь с сопротивлением R2, в которой требуется определить величину тока) и эквивалентный генератор (оставшаяся часть цепи, которая для потребителя R2 служит источником электрической энергии, т.е. генератором). Получается схема замещения. На схеме искомый ток I2 определим по закону Ома для замкнутой цепи:

I2=Eэ/(R2+rэ)

Где Еэ - ЭДС эквивалентного генератора, ее величину определяют как напряжение на зажимах генератора в режиме холостого хода,

Еэ=Uхх.

Rэ - внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, его величина рассчитывается как эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника относительно исследуемых зажимов.

Зная Ixx, величины сопротивлений и ЭДС, в схеме можно определить Uхх как разность потенциалов между клеммами а и б. Для этого потенциал точки б будем считать известным и вычислим потенциал точки а

Uxx=ца-цв=E2-I2R5=34.3 A

Eэ=Uxx=34.3

Для расчета внутреннего сопротивления эквивалентного генератора необходимо преобразовать активный двухполюсник в пассивный (рис. 5), при этом ЭДС из схемы исключается, а внутренне сопротивление этих источников в схеме остаются. Вычисляем эквивалентное сопротивление схемы относительно зажимов а и б.

rэ=1/(1/(R3+R5))+(1/R4)+(1/(R1+R6+r01))=1/(1/59)+(1/42)+(1/71)=18.5

Зная ЭДС и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, вычисляем ток в исследуемой ветви:

I=Eэ/R2+rэ=34.4/63+18.5=0.42 А

т.е. ток в этой ветви получится таким же, как и в пунктах 2 и 3.

Размещено на Allbest.ru