Аттракторы: понятие и виды

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный технологический университет «СТАНКИН»

Отчет по лабораторной работе на тему:

«Аттракторы»

Выполнил:

студент группы ИДБ-13-09

Котельникова А.

Москва 2016

Введение

Динамический (детерминированный) хаос - сложное непредсказуемое поведение детерминированной нелинейной системы. Оказалось, что простые системы, состоящие из малого числа компонентов и детерминированные правилами, не включающими элементов случайности, могут проявлять случайное поведение, достаточно сложное и непредсказуемое, причем случайность носит принципиальный, неустранимый характер. Такого рода случайность, непредсказуемость развития системы понимается как хаос.

Детерминированный хаос сочетает детерминированность и случайность, ограниченную предсказуемость и непредсказуемость и проявляется в столь разных явлениях как кинетика химических реакций, турбулентность жидкости и газа, геофизические, в частности, погодные изменения, физиологические реакции организма, динамика популяций, эпидемии, социальные явления (например, курс акций).

Прежде разделяли детерминированные системы, для которых был возможен прогноз на любой отрезок времени (подобно прогнозу затмений солнца) и стохастические системы, которые можно охарактеризовать лишь статистически. Теперь же появился новый класс объектов, формально детерминированных, но с поведением, прогнозируемым лишь на ограниченный отрезок времени. Оба полюса - порядок и хаос - не существуют в чистом виде, если понимать упорядоченные системы как полностью регулярные, детерминированные, предсказуемые, а неупорядоченные системы как совершенно нерегулярные, случайные, непредсказуемые. Примером систем с высокой степенью порядка и стабильности служат кристаллы; на противоположном полюсе располагается такие хаотические системы как газы.

Можно напомнить, что основы однозначного детерминизма в квантовой механике были подорваны принципом неопределенности В. Гейзенберга, устанавливающим невозможность измерения с заданной точностью одновременно координаты и импульса элементарной частицы. Тогда же, в 1927 году на конгрессе в Брюсселе происходил знаменитый спор Нильса Бора и Альберта Эйнштейна. Отрицание случайности А. Эйнштейн облек в форму известного высказывания: «Я не верю, что господь Бог бросает кости» (в несколько другой формулировке - “Godcaststhedie, notthedice”:«Бог мечет жребий, а не кости»), на что Н. Бор ответил: «Не наша печаль - предписывать господу Богу, как ему следовало бы управлять этим миром». Ответом и вызовом однозначному детерминизму послужила и появившаяся к концу века книга И. Стьюарта “DoesGodplaydice?” (Stewart, 1992), излагающая теорию катастроф.

Кажется уместным привести остроумное замечание И. Пригожина: если было бы возможно, зная состояние Вселенной в один произвольно выбранный миг, вычислить ее прошлое и будущее, как для простой предсказуемой системы, мир оказался бы грандиозной тавтологией (Пригожин, Стенгерс, 1986, с.126).

Теория динамического хаоса уничтожила разрыв между классической динамикой и статистической физикой: регулярное движение становится стохастическим вследствие всегда присутствующих небольших флуктуаций. Развитие теории динамического хаоса связано с именами А. Пуанкаре (H.Poincare), А.М. Ляпунова, А.А. Андронова, Э. Хопфа (E. Hopf), А.Н. Колмогорова, В.И. Арнольда.

Понятие аттрактора. Странный аттрактор

Аттракторы представляют собой притягивающие множества динамических систем. С 60-х годов прошлого века они находятся в центре внимания математиков, занимающихся такими системами. Несмотря на то, что большую часть результатов из этой области почти невозможно объяснить простым языком, компьютер позволяет наглядно показать, как устроены эти удивительные множества. хаос нелинейный линамический аттрактор

Аттрамктор (англ. attract -- привлекать, притягивать) -- компактное подмножество фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Аттрактором может являться притягивающая неподвижная точка (к примеру, в задаче о маятнике с трением о воздух),периодическая траектория (пример -- самовозбуждающиеся колебания в контуре с положительной обратной связью), или некоторая ограниченная область с неустойчивыми траекториями внутри (как у странного аттрактора).

Эволюция системы математически описывается векторным полем в фазовом пространстве - абстрактном пространстве динамических переменных системы, векторном поле в координатах переменных. Точка фазового пространства задает состояние системы, вектор в этой точке указывает направление изменения системы. Кривые последовательных состояний процесса, создаваемые изменением положения точки в фазовом пространстве, называются фазовыми траекториями, а их совокупность - фазовым портретом системы. Траектории поля, притягивающиеся к одному из центров притяжения, образуют область, называемую областью действия (бассейном) этого центра притяжения (Р. Том, 1968). Фазовое пространство - удобное средство для наглядного представления поведения динамической системы. Установившиеся режимы движения, иными словами, множество точек (в простейшем случае - одна точка) в фазовом пространстве системы, к которым стремятся ее траектории, получили название аттракторов - они как бы привлекают, притягивают траектории в фазовом пространстве. В первом случае аттрактором оказывается неподвижная точка, во втором - предельный цикл, в третьем же - так называемый странный, или хаотический (стохастический) аттрактор. Таким образом, аттракторы - геометрические структуры, характеризующие поведение системы в фазовом пространстве после достаточно длительного периода времени.

Аттрактор Лоренца

Хаотические, странные аттракторы соответствуют непредсказуемому поведению систем, не имеющих строго периодической динамики, это математический образ детерминированных непериодических процессов. Странные аттракторы структурированы и могут иметь весьма сложные и необычные конфигурации в трехмерном пространстве.

Рис. 1. Последовательность изменений во времени (верхний ряд)

и фазовые портреты (нижний ряд) для трех различных систем

(Глейк, 2001)

Хотя в работах некоторых математиков ранее была установлена возможность существования странных аттракторов, впервые построение странного аттрактора (рис. 2) как решение системы дифференциальных уравнений осуществил в работе по компьютерному моделированию термоконвекции и турбулентности в атмосфере американский метеоролог Э. Лоренц (E.Lorentz, 1963). Конечное состояние системы Лоренца чрезвычайно чувствительно к начальному состоянию. Сам же термин «странный аттрактор» появился позже, в работе Д. Рюэлля и Ф. Такенса в (D.Ruelle, F. Takens, 1971: см. Рюэль, 2001) о природе турбуленции в жидкости; авторы отмечали, что размерность странного аттрактора отлична от обычной, или топологической.Позже Б. Мандельброт (B.Mandelbrot) отождествил странные аттракторы, траектории которых при последовательных вычислениях компьютера бесконечно расслаиваются, расщепляются, с фракталами.

Рис. 2. (Хаотические траектории в системе Лоренца). Аттрактор Лоренца (Кроновер, 2000) 

Лоренц (Lorenz, 1963) обнаружил, что даже простая система из трех нелинейных дифференциальных уравнений может привести к хаотическим траекториям В свою очередь, движение воздушных потоков в плоском слое жидкости постоянной толщины при разложении скорости течения и температуры в двойные ряды Фурье с последующем усечением до первых-вторых гармоник:

где s, r и b -- некоторые положительные числа, параметры системы. Обычно исследования системы Лоренца проводят при s =10, r =28 и b =8/3 (значения параметров).

Таким образом, системы, поведение которых детерминируется правилами, не включающим случайность, с течением времени проявляют непредсказуемость за счет нарастания, усиления, амплификации малых неопределенностей, флуктуаций. Наглядный образ системы с нарастанием неопределенности - так называемый биллиард Я.Г. Синая: достаточно большая последовательность соударений шаров неизбежно ведет к нарастанию малых отклонений от исчисляемых траекторий (за счет не идеально сферической поверхности реальных шаров, не идеально однородной поверхности сукна) и непредсказуемости поведения системы.

В таких системах «случайность создается подобно тому, как перемешивается тесто или тасуется колода карт» (Кратчфилд и др., 1987). Так называемое «преобразование пекаря» с последовательным растягиванием и складыванием, бесконечным образованием складок - одна из моделей возникновения перехода от порядка к хаосу; при этом число преобразований может служить мерой хаоса. Есть Аттрактор Айдзавы, который является частным случаем аттрактора Лоренца.

где а = 0,95, B = 0,7, с = 0,6, d = 3,5, е = 0,25, F = 0,1. Каждая предыдущая координата вводится в уравнения, полученное в результате значение , умноженное на значения времени.

Примеры других странных аттракторов

Аттрактор ВангСун

Здeсь a, b, d, e?R, c> 0 и f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.

Аттрактор Рёсслера

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

, где a,b,c= положительные постоянные. При значениях параметров a=b=0.2 и

Заключение

Развитие теории динамических систем во второй половине ХХ века привело к грандиозным последствиям не только в теоретической физике и математике, но и в естествознании в целом -- открытию динамического хаоса и связанными с ним свойствами. Оказалось, что многие нелинейные системы, несмотря на полную детерминированность, т.е. отсутствие шумов, стохастических возмущений и т.п., могут демонстрировать поведение, подобное случайным процессам. Тем самым возникающая статистика поведения систем определяется исключительно особенностями динамики. И хотя предпосылки такой идеологии наметились еще более ста лет назад в работах А.М.Ляпунова и А.Пуанкаре, основные открытия и осмысление этого явления были сделаны в 60-80-х годах прошлого века. Необходимо отметить, что для изучения хаотических систем классические аналитические средства, такие, например, как ряды теории возмущений, асимптотические методы и т.п., оказались непригодными. Так, подкову Смейла, с которой в известном смысле началось современное исследование хаотических явлений, невозможно описать соотношениями в математическом стиле XIX века. Для построения и анализа таких конструкций потребовалось разработать совершенно новые методы, развитие которых и привело к крупным открытиям в теории динамических систем. Основной целью данного лекционного курса является описание различных подходов, используемых в настоящее время при анализе нелинейных хаотических динамических систем. Естественно, что целые направления остались за рамками нашего рассмотрения. В частности мы практически не затронули такие обширные разделы, как сценарии рождения хаоса, динамика одномерных отображений, пространственно-временной хаос и турбулентность, голоморфная динамика и фрактальные множества и др. Однако некоторые из них представлены в работах, учебных пособиях и монографиях, приведенных в списке литературы. Главные достижения теории хаотических динамических систем можно кратко резюмировать следующим образом. Доказано, что даже очень простые системы (как, например, система Лоренца) могут проявлять случайные свойства. Это в корне поменяло 10 Заключение 70 представление о случайности, которая, как предполагалось, может возникать только в системах с большим числом степеней свободы. Посредством анализа бильярдных задач был достигнут значительный прогресс в понимании происхождения случайности в газе твердых сфер и, как следствие, в обосновании эргодический гипотезы Больцмана. На основе теории хаотических динамических систем удалось частично решить проблему возникновения необратимости в обратимых детерминированных уравнениях движения. Доказано, что хаос может рождаться универсальными путями, независимо от природы системы. Это выдающееся открытие, подтвержденное также и экспериментально. Оно, в частности, привело к созданию метода ренормгруппы в теории динамических систем. Найдено, что случайность может быть обусловлена как внутренними свойствами, так и внешними факторами, которые влияют на рассматриваемые системы. При этом посредством исследования временных рядов наблюдаемых всегда можно отличить случайное, стохастическое поведение систем от детерминированного хаоса и тем самым установить конечномерность изучаемого процесса. Разработанные методы анализа временных рядов позволили практически использовать результаты теории динамических систем для расчета таких характеристик, как энтропия, показатели Ляпунова и размерность. Это дало возможность, используя только экспериментально полученные данные, определять горизонт прогноза рассматриваемого процесса и в определенных случаях предсказывать дальнейшую эволюцию системы. Данное направление в настоящее время приобретает все большую популярность в таких чисто прикладных областях, как финансовый анализ и медицина. Наконец, нельзя не сказать и об эстетической привлекательности полученных результатов. Благодаря публикациям книг Б.Мандельброта, Х.-О.Пайтгена и П.Рихтера компьютерные изображения фрактальных множеств, странных аттракторов и их областей притяжения открыли художественную сторону теории хаоса. Как заметил Д.Рюэль, это область исследования, в которой будут открыты новые гармонии.

Список литературы

Афраймович В С, Рейман А М, в кн. Нелинейные волны. Динамика и эволюция. Ред. А.В.Гапонов-Грехов, И.М.Рабинович (М.: Наука, 1989) с.238

Takens F, in: NonlinearDynamicsandTurbulence, eds. G.I.Barenblatt, G.Iooss, D.D.Joseph (New York: Pitman, 1983) p.314

Брур Х В, Дюмортье Ф, ванСтрин С, Такенс Ф Структуры в динамике (Москва- Ижевск: РХД, 2003) с.119

Мандельброт Б Фрактальная геометрия природы (М.: Ин-т комп. исслед., 2002) [180] Пайтген Х-О, Рихтер П Х Красота фракталов. Образы комплексных динамиче-ских систем (М.: Мир, 1993)

Ruelle D Math. Intelligencer 2 126 (1980)

Дмитриев А.С., Панас А.И., Динамический хаос: новые носители информации для систем связи, Физматлит, М., 2002

Неймарк Ю.И., Ланда П.С., Стохастические и хаотические колебания, ЛИБРОКОМ, М, 2009

Немыцкий В.В., Степанов В.В., Качественная теория дифференциальных уравнений, Едиториал УРСС, М., 2004

Размещено на Allbest.ru