Размещено на http://www.allbest.ru/

ответы к экзамену

по дисциплине "Уравнения математической физики"

для студентов 3-го курса по специальности "Прикладная математика"

1. Линейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Уравнения в частных производных порядка m для функции Называется уравнение вида

(метод характеристик).

Рассмотрим ЛДУ первого порядка вида . Уравнением характеристик называется система обыкновенного дифференциального уравнения вида .

решая систему получим



решением этой системы является функция вида называемых первыми интегралами.

Общее решение система называется полным интегралом. Кривые в пространстве на которых называется характеристиками.

Задача Коши. Чтобы выбрать из общего решения частное, надо добавить к уравнению начальное условие, которое задается на начальной гиперповерхности размерность .

Теорема о существовании единственности решения задачи Коши. Решение задачи Коши в окрестности точки существует и единственно, если проходящая через точку характеристика трансверсальна поверхности (говорят, что кривая трансверсальна поверхности, если она пересекает поверхность под не нулевым углом).

2. Квазилинейное однородное уравнение в частных производных первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши

Квазилинейное однородное ДУ первого порядка, метод характеристик.

.

Задача Коши. Чтобы выбрать из общего решения частное, надо добавить к уравнению начальное условие, которое задается на начальной гиперповерхности размерность .

Теорема о существовании единственности решения задачи Коши. Решение задачи Коши в окрестности точки существует и единственно, если проходящая через точку характеристика трансверсальна поверхности (говорят, что кривая трансверсальна поверхности, если она пересекает поверхность под не нулевым углом).

3. Канонический вид уравнений второго порядка

1.

- линейное уравнение относительно старшей производной (лин. Ур. 2 порядка).

Пусть

- уравнение характеристик.

.

Рассмотрим решение этого уравнение в некоторой точке :

a) исходное уравнение называется уравнение параболического типа. Решение

- каноническая форма;

b) - гиперболического типа решение

- первая каноническая форма для уравнение гиперболического типа,

- вторая каноническая форма для уравнение гиперболического типа;

c) - эллиптического типа,

- канонический вид.

2.

рассмотрим ур. в точке квадратичную форму можно привести к диагональному виду:

a) Если все одного знака, то уравнение называют уравнением эллиптического типа.

b) Если среди хотя бы один из коэффициентов равен 0, то уравнение называется параболического типа.

c) Если знак одного из коэффициентов отличается от остальных, то уравнение имеет гиперболический тип.

d) Если m коэффициентов одного знака, а m-n другого, то уравнение называется ультрагиперболического типа.

4. Уравнение колебаний струны (вывод), краевые условия (вывод)

- поперечное отклонение струны от положения равновесия.

- плотность внешних сил на единицу длины вдоль . ,

,

,

- коэффициент температуропроводности.

5. Уравнение теплопроводности (вывод для одномерной геометрии), краевые условия (вывод)

, ,

где - количество объема, - плотность, с - теплоемкость.

- количество теплоты, которое подается из вне.

C=1. D=const.

постановка краевой задачи аналогична уравнению гиперболического типа для ограниченной области. Возможна постановка задачи Коши и задачи без начальных условий.

6. Типичные физические задачи, приводящие к уравнениям второго порядка: волновое уравнение, уравнение теплопроводности (диффузии), уравнения Лапласа и Пуассона. Постановка краевых задач математической физики

a) Уравнение малых поперечных колебаний струны.

.

Плотность внешних сил на единицу массы

,

где - скорость распространения волны, - напряжение, - плотность.

b) Одномерное волновое уравнение

c) Телеграфное уравнение (прохождение тока, напряжения в проводах) ,

,

- ток, напряжение.

d) Продольные малые колебания стержней и струны. - продольное смещение

1. Волновое уравнение в пространстве.

, .

2. Одномерное уравнение теплопроводности.

a) - температура стержня, - плотность внешних тепловых источников.

- коэффициент температурапроводности.

b) - концентрация. Процесс диффузии

,

где D - коэффициент диффузии, - коэффициент пористости.

3. Трехмерные уравнения теплопроводности.

4. Уравнение Пуассона.

,

- стационарный режим для уравнения теплопроводности при наличии источников.

5. Уравнение Лапласа - стационарный режим

a) Постановка краевых задач. Эллиптические уравнения (ур. Лапласса, Пуассона):

, , .

, - граничные условия (ГУ) I-го рода.

, - граничные условия (ГУ) II-го рода.

, - граничные условия (ГУ) III-го рода.

Ур-е + ГУ = Краевая задача.

Ур-е + ГУ I-рода = Задача Дирихле.

Ур-е + ГУ II-го рода = Задача Неймона.

Ур-е + ГУ III-го рода = Смешанная краевая задача.

Замечание: могут быть и более сложные формы не линейных и .

b) Постановка краевых задач. Параболические уравнения. (ур. Диффузии, одномерной теплопроводности):

Ур-е + ГУ I, II, III рода + НУ: .

c) Постановка краевых задач. Гиперболические уравнения.

Ур-е: .

ГУ: I рода

II рода

III рода

НУ:

Решить краевую задачу для уравнения математической физики - найти решение обладающее свойствами: 1) Существенности; 2) Единственности; 3) Устойчивости.

Замечание: возможна постановка краевых задач без ГУ (задача Коши) или без НУ (установившийся режим).

7. Общее решение волнового уравнения с постоянными коэффициентами. Метод разделения переменных. Задача Штурма-Лиувилля

-=0 t>0 0<x<l

Нач. усл. U(x,0)=f(x);

(x,0)=F(x)

Гранич усл U(0,t)=U(l,t)=0

U(x,t)=X(x)*T(t)

X*T''-X''*T=0

T''/T)= X''/X=-л

1) X''+ лX=0

X(0)=X(l)=0;

Т.к. 100 раз доказывали то берем только л>0 ибо в других случаях будет только тривиальное решение

-л=0

=±i*

X(x)=*sin(x)+*cos(x)

Т.к С 2=0, то

(x)=sin(рnx/l)

2) T''+T=0

T(t)= рkat/l)+ рkat/l)]

-=0 -=0; =±ia*

U(x,t)= рnat/l)+ рnat/l)]* sin(рnx/l)

U(x,t)=

U(x,0)==f(x) |домножаем на собственную ф-ю,

(x,0)==F(x)|,

dx=0.5*dx=

*(l/2)=f(x)*dx =(2/l)f(x)*dx

*(l/2)=F(x)*dx;=F(x)*dx

Задача Штурма - Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке (0.д) уравнения Штурма - Лиувилля удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям

8. Общее решение уравнение теплопроводности с постоянными коэффициентами. Метод разделения переменных. Задача Штурма-Лиувилля

-=0 t>0 0<x<l

Нач. усл. U(x,0)=ц(x);

Гранич усл U(0,t)=U(l,t)=0

U(x,t)=X(x)*T(t)

X*T'-X''*T=0

T'/T)= X''/X=-л

1) X''+ лX=0

X(0)=X(l)=0;

-л=0

=±i*

X(x)=*sin(x)+*cos(x) ;= рn/l

Т.к С 2=0, то

(x)=sin(рnx/l)

-=0

= *exp(-t)

U(x,t)=

=(2/l) ц(?) sin(рn ? /l)d ?

U(x,t)=2/l=

ц() d

-функция грина

Если ц()=д(), то U(x,t)=

Задача Штурма - Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке (0.д) уравнения Штурма - Лиувилля удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям

9. Метод Даламбера решения краевых задач для волнового уравнения

u_tt - a²u_xx = 0 t>0

u(x,0) = f(x)

u_t(x,0) = F(x)

ц₁(x,t) = x - at

ц₂(x,t) = x + at

u(x,t) = g₁(x - at) + g₂(x + at)

u(x,0) = g₁(x) + g₂(x) = f(x)

u_t(x,0) = -agґ₁(x) + agґ₂(x) = F(x)

uґ(x,0) = gґ₁(x) + gґ₂(x) = fґ(x)

u_t(x,0) = -gґ₁(x) + gґ₂(x) =F(x)

2gґ₁(x) = fґ(x) - F(x)

2gґ₂(x) = fґ(x) + F(x)

U(x,t) = (f(x - at) + f(x + at)) + - формула Даламбера

10. Метод интегральных преобразований Фурье и Лапласа в решении краевых задач

Преобразований Фурье

f(x,t) = - преобразование Фурье (прямое)

F(л,t) = - (обратное)

fґ(x,t) =

F(x,t) =

f(x,t) =

Преобразование Лапласа

F(p) =

f(t) = F(p)

fґ(t) = pF(p) - f(0)

fґґ(t) = p²F(p) - pf(0) - fґ(0)

11. Фундаментальное решение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Функция Грина на прямой и полупрямой 1-го рода

Фундаментальное решение уравнения теплопроводности

Функция Грина

На прямой:

U_t - a² u_xx = 0 0<x<l

U|_x=0 = U|_x=l = 0

U(x,0) = ц(x)

U(x,t) =

На полупрямой:

U_t - a²U_xx = 0

U(x, 0) = ц(x)

U(0, t) = м(t)

U(x,t) = U₁(x,t) + U₂(x,t)

I. (U₁)_t - a² (U₁)_xx = 0

U₁(x,0) = ц(x)

U₁(0,t) = 0

II. (U₂)_t - a² (U₂)_xx = 0

U₂(x,0) = 0

U₂(0,t) = м(t)

U(x,t) =

U_{t -} a²U_xx = 0

U(x,0) = ш(t)

ц(x),x>0

ш(t) =

-ц(x),x<0

U(0,t) = 0

U(x,t) =

U₁(x,t) =

(U₂)_t - a²(U₂)_xx = 0 0<x<?

U₂(x,0) = 0

U₂(0, t) = м(t)

12. Принцип максимума в теории теплопроводности. Теорема существования и единственности решения

Пусть функция u(x,t) в пространстве

,,

Удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности

,

причем D-ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция u(x,t) может принимать любые экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области D.

Теорема существования и единственности решения. Для любого Т>0 решение однородной задачи Коши существует и единственно и непрерывно зависит от начальной функции в полосе

.

Другими словами, данная задача Коши является корректно поставленной.

13. Задача Дирихле для прямоугольника

Каждая из v_i имеет краевое условие =0 на трёх сторонах прямоуг. u0 на одной стороне прямоугольника.

14. Функция Грина трёхмерного уравнения Лапласа. Электростатическая интерпретация

Дельта функция.

Для краевой задачи

G(M,p)-функция влияния точечного источника, ищется, как решение задачи

-граничная функция в обл. Т

В точке P расположен точечный источник.

Решение ищем в точке М.

Электростатическая интерпретация.

G(M,P) - потенциал электростатического поля в т. М создаваемого внутри области Т с зарядом

,

сосредоточенным в т. Р. граничная поверхность S является идеально проводящей и заземлена, т.е. поддерживается при нулевом потенциале.

потенциал поля индуцированного зарядами на S.

15. Принцип подобия в теории теплопроводности. Автомодельные решения

Переходим к новым переменным

Опр. Подстановка вида , где либо , либо позволяющая перейти от уравнений в частных производных для ДУ для f наз. автомодельной подстановкой.

Получим этим способом решение, называемое автомодельным решением.

16. Криволинейные координаты, основные дифференциальные операторы в криволинейных координатах. Фундаментальные решения для уравнения Лапласа на плоскости и в пространстве. Гармонические функции

Функция U называется гармонической в области T, если она непрерывна в этой обл. в месте со своими производными до 2-го порядка и удовлетворяет уравнению Лапласса

Некоторые частные решения для уравнения Лапласса

а) Пространственная симметрия

U(r,)=U(r)

Пусть фундаментальные решения для уравнения Лапласа в пространстве

Цилиндрическая симметрия

U(,) -> U()

Пусть

фундаментальные решения уравнения на плоскости

17. Задача Дирихле в круге. Формула Пуассона

уравнение волновой теплопроводность диффузия

Первая краевая задача внутренняя.

При ; При

18. Решение задачи Дирихле в круге (внутренняя и внешняя задачи) методом разделения переменных.

Первая краевая задача для круга

=0

=>

=>

-целое число

Для

Для n=0,1,2,………

Общее решение задачи:

Размещено на Allbest.ru

...