Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Основные физические свойства жидкостей

Определение жидкости. Основные законы, используемые в механике жидкости, -- те же, что и в механике твердых тел. Однако применение этих законов к задачам механики жидкости отличается некоторыми особенностями благодаря разнице между свойствами жидкостей и твердых тел. Поэтому изучение механики жидкости целесообразно начать c определения и оценки ее основных свойств.

Жидкости (в широком смысле слова) отличаются от твердых тел легкой подвижностью частиц. B то время как для изменения формы твердого тела к нему нужно приложить конечные, иногда очень большие, силы, изменение формы жидкости может происходить под действием даже самых малых сил. Так, жидкость течет под действием собственного веса, если для этого представляется возможность.

Жидкость, как и всякое физическое тело, имеет молекулярное строение, т. e. состоит из отдельных частиц -- молекул, объем пустот между которыми во много раз превосходит объем самих молекул. Однако ввиду чрезвычайной малости не только самих молекул, но и расстояний между ними (по сравнению c объемами, рассматриваемыми при изучении равновесия и движения жидкости) в механике жидкости ее молекулярное строение не рассматривается; предполагается, что жидкость заполняет пространство сплошь, без образования каких бы то ни было пустот. Тем самым вместо самой жидкости изучается ее модель, обладающая свойством непрерывности (фиктивная сплошная среда -- континуум). B этом состоит гипотеза o непрерывности или сплошности жидкой среды. Эта гипотеза упрощает исследование, так как позволяет рассматривать все механические характеристики жидкой среды (скорость, плотность, давление и т. д.) как функции координат точки в пространстве и во времени, причем в большинстве случаев эти функции предполагаются непрерывными и дифференцируемыми. Непрерывную модель жидкости можно применять до тех пор, пока в достаточно малых объемах жидкости содержится большое количество молекул.

Интересуясь, например вопросом, как велики в данной точке давление внутри жидкости или скорость ее движения, важно знать давление и скорость лишь в некотором весьма малом объеме, a не строго в данной геометрическом точке. Этот объем действительно может быть очень малым. Так, известно, что в 1•10-6 м3 воздуха находится 2,7•1019 молекул.

Этот пример показывает, что, заменяя реальную жидкость ее моделью в виде непрерывной жидкой среды, мы действительно не делаем никакой ошибки до тех пор, пока не будем интересоваться движением молекул или состоянием жидкости внутри межмолекулярного пространства.

Жидкости c точки зрения механических свойств разделяются на два класса:

· малосжимаемые (капельные);

· сжимаемые (газообразные).

C позиций физики капельная жидкость значительно отличается от газа; c позиций механики жидкости различие между ними не так велико, и часто законы, справедливые для капельных жидкостей, могут быть приложены и к газам в случаях, когда сжимаемостью последних можно пренебречь (например, при расчeте вентиляционных каналов).

B связи с отсутствием специального термина, который обозначал бы жидкость в широком смысле слова, в дальнейшем будем использовать термины «капельная жидкость» (малосжимаемая), «сжимаемая жидкость» (газ) и «жидкость», применяя последний в широком смысле, охватывающем как капельную жидкость, так и газ (т.е. под жидкостью будем понимать всякую среду, обладающую свойством текучести).

Капельные жидкости обладают вполне определенным объемом, величина которого практически не изменяется под действием сил. Газы же, занимая все предоставляемое им пространство, могут значительно изменять объем, сжимаясь и расширяясь под действием сил. Таким образом, капельные жидкости легко изменяют форму (в отличие от твердых тел), но с трудом изменяют объем (в отличие от газов), а газы легко изменяют как объем, так и форму.

Основные свойства жидкостей, существенные при рассмотрении задач механики жидкости, -- плотность и вязкость. В некоторых случаях (при образовании капель, течении тонких струй, образовании капиллярных волн и др.) имеет значение также поверхностное натяжение жидкостей.

Единицы измерения. Прежде чем перейти к изучению основных свойств жидкости, остановимся на единицах измерения, принятых в гидравлике и аэродинамике.

За основу принята Международная система единиц измерении СИ (наряду со внесистемными единицами), однако в инженерной практике теплогазоснабжения и вентиляции используется также система МКГСС, положенная в основу технических нормативных документов (ГОСТ, СНиП и т. д.) и каталожных данных, a в ряде случаев система СGS.

Основными единицами системы СИ являются единицы длины (метр, м), массы (килограмм, кг), времени (секунда, с), термодинамической температуры (кельвин, K).

Производные единицы системы СИ, употребляемые в гидравлике и аэродинамике, приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Производные единицы Международной системы СИ
Величина	Наименование	Обозначение
Объёмный расход	кубический метр в секунду	м3/с
Массовый расход	килограмм в секунду	кг/с
Скорость течения	метр в секунду	м/с
Ускорение	метр на секунду в квадрате	м/с2
Сила	ньютон	Н
Давление, напряжение, модуль упругости	паскаль (ньютон на квадратный метр)	Па (Н/м2)
Динамическая вязкость	паскаль-секунда (ньютон-секунда на квадратный метр)	Па•с (Н•с/м2)
Кинематическая вязкость	квадратный метр на секунду	м2/с
Плотность	килограмм на кубический метр	кг/м3
Удельный вес	ньютон на кубический метр	Н/м3
Работа, энергия	джоуль	Дж (Н•м)
Мощность	ватт	Вт
Удельная газовая постоянная	джоуль на килограмм-градус	Дж/(кг•К)

До сих пор широко используются в практике инженерных расчетов измерение давления (напоров) в технических атмосферах (ат), метрах водяного и миллиметрах ртутного столба (м вод. ст. и мм рт. ст.), измерение температуры в градусах Цельсия (°C), динамической вязкости в пуазах (П) и кинематической в стоксах (Ст), работы и энергии в киловатт-часах (кВт•ч). Соотношения между наиболее употребительными единицами применяемых систем измерения приведены в тексте.

Плотность жидкостей. Плотностью жидкости с называется ее масса, заключенная в единице объема:

где М -- масса жидкости в объеме W.

Плотность воды при 4° С св4=1000 кг/м3 (102 кгс•с2/м4).

Если жидкость неоднородна, то формула (1) определяет лишь среднюю плотность жидкости. Для определения плотности в данной точке следует пользоваться формулой:

В практических приложениях о массе жидкости судят по ее весу. Вес жидкости, приходящийся на единицу объема, называется удельным весом:



где G - вес жидкости в объеме W.

Удельный вес воды при 4° С Н/м3 (1000 кгс/мз).

Если жидкость неоднородна, то формула (3) определяет лишь средний удельный вес жидкости. Для определения удельного веса жидкости в данной точке следует пользоваться формулой:

где ДG -- вес жидкости в объеме ДW.

Плотность и удельный вес связаны между собой известным соотношением:

где g - ускорение свободного падения.

Относительным удельным весом жидкости (или относительным весом) д называется отношение удельного веса данной жидкости к удельному весу воды при 4° С:

В отличие от удельного относительный удельный вес представляет собой безразмерную величину, численное значение которой не зависит от выбранной системы единиц измерения. Так, для пресной воды при 4 °С имеем: .

В табл. 2 в качестве примера приведены значении удельного веса и плотности некоторых капельных, а в табл. 3 -- сжимаемых жидкостей (газов).

Таблица 2

Плотность с и удельный вес г капельных жидкостей при 20° С
Жидкость	г Н/м3	с кг/м3
Анилин	9270	1040
Бензол	8590-8630	876-880
Бензин авиационный	7250-7370	739-751
Вода пресная	9790	998,2
Вода морская	10010-10090	1002-1029
Глицерин безводный	12260	1250
Керосин	7770-8450	792-840
Масло касторовое	9520	970
Масло минеральное	8000-8750	877-892
Нефть	8340-9320	850-950
Ртуть	132900	13547
Спирт этиловый безводный	7440	789,3
Хлористый натрий (раствор)	10690	1200
Эфир этиловый	7010-7050	715-719

Таблица 3

Приближённые значения плотности с и удельного веса г газов при давлении 740 мм рт. cт. и t=15° C
Газ	г Н/м3	с кг/м3
Водород	0,81	0,08
Водяной пар	7,25	0,74
Окись углерода	11,3	1,15
Азот	11,3	1,15
Воздух	11,6	1,2
Кислород	12,8	1,3
Углекислота	17,6	1,8

Плотность, а следовательно, удельный и относительный удельный вес жидкостей меняются с изменением давления и температуры. Эта зависимость существенно различна для капельных жидкостей и газов.

Сжимаемость капельных жидкостей под действием давления характеризуется коэффициентом объемного сжатия в, который представляет собой относительное изменение объема жидкости на единицу изменения давления:

где W-- первоначальный объем жидкости;

ДW-- изменение этого объема при увеличении давления на величину Др.

Коэффициент объемного сжатия в системе СИ имеет размерность Па-1.

Знак минус в формуле (7) oбусловлен тем, что положительному приращению давления р соответствует отрицательное приращение (т.е. уменьшение) объема жидкости.

Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия, называется модулем упругости жидкости:

Коэффициент объемного сжатия капельных жидкостей мало меняется при изменении температуры и давления (см., например, табл. 4); в среднем для воды в=1/(2 109) Па-1 или 1/20000 см2/кгс.

Таблица 4

Значения коэффициента объёмного сжатия воды при разных температурах и давлениях
t, °C	при давлениях Па•104
	50	100	150	390	780
0	5,4	5,37	5,31	5,23	5,15
5	5,29	5,23	5,18	5,08	4,93
10	5,23	5,18	5,08	4,98	4,81
15	5,18	5,1	5,03	4,88	4,7
20	5,15	5,05	4,95	4,81	4,6

Таким образом, при повышении давления на 9,8•104 Па (1 ат) объем вод уменьшается на 1/20000 часть первоначальной величины. Коэффициент объемного сжатия для других капельных жидкостей имеет примерно тот же порядок. B подавляющем большинстве случаев, встречающихся в практической деятельности, изменения давления не достигают больших величин, и поэтому сжимаемостью воды можно пренебрегать, считая удельный вес и плотность, не зависящими от давления.

Прочность жидкости на разрыв при решении практических задач не учитывается.

Температурное расширение капельных жидкостей характеризуется коэффициентом температурного расширения вt, выражающим относительное увеличение объема жидкости при увеличении температуры на 1 град, т. e.:

где W -- первоначальный объем жидкости;

ДW -- изменение этого объема при повышении температуры на величину ДТ.

Коэффициент температурного расширения капельных жидкостей, как это видно из табл. 5, незначителен.

Таблица 5

Коэффициент температурного расширения воды
Давление Па•104	при температуре, °С
	1-10	10-20	40-50	60-70	90-100
10	0,000014	0,00015	0,000422	0,000556	0,000719
980	0,000043	0,000165	0,000422	0,000548	0,000714
1960	0,000072	0,000183	0,000426	0,000539	-
4900	0,000149	0,000236	0,000429	0,000523	0,000661
8830	0,000229	0,000294	0,000437	0,000514	0,000621

Так, для воды при изменении температуры от 10 до 20°С и при давлении 105 Па вt=0.00015 1/град.

При значительных разностях температур влияние температуры на удельный вес в ряде случаев приходится учитывать.

Плотность и удельный вес капельных жидкостей, как это следует из предыдущих рассуждений, мало изменяются с изменением давления и температуры. Можно приближенно считать, что плотность не зависит от давления и определяется только температурой. Из выражений (9) и (1) можно найти приближенное соотношение для расчета изменения плотности капельных жидкостей с изменением температуры:

Значения коэффициента в (10) находятся из таблиц в пределах заданного интервала температур (см., например, табл. 5).

Способность жидкостей менять плотность (удельный вес) при изменении температуры широко используется для создания естественной циркуляции в котлах, отопительных системах, для удаления продуктов сгорания и т. д.

B табл. 6 приведены значения плотности воды при разных температурах.

Таблица 6

Зависимость плотности с, кинематической н и динамической м вязкости воды от температуры
Температура, °С	с, кг/м3	н•104, м2/с	м•103, Па•с
0	999,9	0,0179	1,79
4	1000	0,0152	1,57
20	998	0,0101	1,01
40	992	0,0066	0,65
60	983	0,0048	0,48
80	972	0,0037	0,36
90	965	0,0033	0,31
99	959	0,0028	0,27

В отличие от капельных жидкостей газы характеризуются значительной сжимаемостью и высокими значениями коэффициента температурного расширения. Зависимость плотности газов от давления и температуры устанавливается уравнением состояния.

Наиболее простыми свойствами обладает газ, разреженный настолько, что взаимодействие между его молекулами может не учитываться -- так называемый совершенный (идеальный) газ.

Для совершенных газов справедливо уравнение Клапейрона, пoзволяющее определять плотность газа при известных давлении и температуре:

где р -- абсолютное давление;

R -- удельная газовая постоянная, различная для разных газов, но не зависящая от температуры и давления [для воздуха R=287 Дж/ (кг•К) ] ;

Т -- абсолютная температура.

Поведение реальных газов в условиях, далеких от сжижения, лишь незначительно отличается от поведения совершенных газов, и для них в широких пределах можно пользоваться уравнениями состояния совершенных газов.

В технических расчетах плотность газа обычно приводят к нормальным физическим условиям (t=0°; р=101 325 Па) или к стандартным условиям (t=20° С; р= 101325 Па).

Плотность воздуха при R=287 Дж/ (кг•К) в стандартных условиях по формуле (11) будет равна с0=101325/287/(273+20)=1.2 кг/м3.

Плотность воздуха при других условиях определяется по формуле:

На рис. 1 приведены определенные по этой формуле графики зависимости плотности воздуха от температуры при разных давлениях.

Рис. 1 Зависимость плотности воздуха от барометрического давления и температуры

Для изотермического процесса (T=const) из формулы (12) имеем:

для адиабатического процесса:



где k=сp/сн -- адиабатическая постоянная газа;

сp - теплоемкость газа при постоянном давлении;

сн -- то же, при постоянном объеме.

Сжимаемость газов зависит от характера процесса изменения состояния.

Для изотермического процесса:

для адиабатического процесса:

Из выражения (15) следует, что изотермическая сжимаемость для атмосферного воздуха составляет ~9,8•104 Па (около 1 ат), что примерно в 20 тыс. раз превышает сжимаемость воды.

Так как объем газа в большой мере зависит от температуры и давления, выводы, полученные при изучении капельных жидкостей, можно распространять на газы лишь в том случае, если в пределах рассматриваемого явления изменения давления и температуры незначительны. Значительные разности давлений, вызывающие существенное изменение плотности газов, могут возникнуть при их движении с большими скоростями. Соотношение между скоростью движения жидкости и скоростью звука в ней позволяет судить о необходимости учета сжимаемости в каждом конкретном случае. Практически газ можно принимать несжимаемым при скоростях движения, не превышающих 100 м/с.

Вязкость жидкостей. Вязкостью называется свойство жидкостей оказывать сопротивление сдвигу. Все реальные жидкости обладают определенной вязкостью, которая проявляется в виде внутреннего трения при относительном перемещении смежных частиц жидкости. Наряду с легко подвижными жидкостями (например, водой, воздухом) существуют очень вязкие жидкости, сопротивление которых сдвигу весьма значительно (глицерин, тяжелые масла и др.). Таким образом, вязкость характеризует степень текучести жидкости или подвижности ее частиц.

Пусть жидкость течет вдоль плоской стенки параллельными ей слоями (рис. 2), как это наблюдается при ламинарном движении. Вследствие тормозящего влияния стенки слои жидкости будут двигаться c разными скоростями, значения которых возрастают по мере отдаления от стенки.

Рис. 2 Распределение скоростей при течении жидкости вдоль твёрдой стенки

Рассмотрим два слоя жидкости, двигающиеся на расстоянии Ду друг от друга. Слой A движется со скоростью u, a слой В -- со скоростью u+Дu. Вследствие разности скоростей за единицу времени слой В сдвигается относительно слоя А на величину Дu. Величина Дu является абсолютным сдвигом слоя A по слою В, а Дu/Дy есть градиент скорости (относительный сдвиг). Появляющееся при этом движении касательное напряжение (сила трения на единицу площади) обозначим через . Тогда аналогично явлению сдвига в твердых телах мы получим следующую зависимость между напряжением и деформацией:



Или, если слои будут находиться бесконечно близко друг к другу,

Величина µ, аналогичная коэффициенту сдвига в твердых телах и характеризующая сопротивляемость жидкости сдвигу, называется динамической или абсолютной вязкостью. На существование соотношения (18) первое указание имеется у Ньютона, и потому оно называется законом трения Ньютона.

В международной системе единиц динамическая вязкость выражается в H•с/м2 или Па•c.

В технической системе единиц динамическая вязкость имеет размерность кгс•с•м-2. B системе CGS за единицу динамической вязкости принимается пуаз (П) в память французского врача Пуазейля, исследовавшего законы движения крови в сосудах человеческого тела, равный 1 г•см-1•с-1; 1 Па•с=0,102 кгс•с/м2=10 П.

Вязкость жидкостей в сильной степени зависит от температуры; при этом вязкость капельных жидкостей при увеличении температуры уменьшается, вязкость газов возрастает.

Это объясняется тем, что природа вязкости капельных жидкостей и газов различна. B газах средняя скорость (интенсивность) теплового движения молекул c повышением температуры возрастает, следовательно, возрастает вязкость. B капельных жидкостях молекулы не могут двигаться, как в газе, по всем направлениям, они могут лишь колебаться возле своего среднего положения. C повышением температуры средние скорости колебательных движений молекул увеличиваются, благодаря чему легче преодолеваются удерживающие их связи, и жидкость приобретает большую подвижность (ее вязкость уменьшается).

Так, для чистой пресной воды зависимость динамической вязкости от температуры опpеделяется по формуле Пуазейля:

где µ - абсолютная (динамическая) вязкость жидкости в П;

t - температура в ° С.

С увеличением температуры от 0 до 100° С вязкость воды уменьшается почти в 7 раз (см. табл. 6). При температуре 20°C динамическая вязкость воды равна 0,001 Па•с=0,01 П.

Вода принадлежит к наименее вязким жидкостям. Лишь немногие из практически используемых жидкостей (например, эфир и спирт) обладают несколько меньшей вязкостью, чем вода. Наименьшую вязкость имеет жидкая углекислота (в 50 раз меньше вязкости воды). Все жидкие масла обладают значительно более высокой вязкостью, чем вода (касторовое масло при температуре 20° С имеет вязкость в 1000 раз большую, чем вода при той же температуре). B табл. 1.7 приведены значения вязкости некоторых жидкостей.

Таблица 7

Кинематическая и динамическая вязкость капельных жидкостей (при t=20° C)
Жидкость	м, Па•с	н•104, м2/с
Вода пресная	0,00101	0,01012
Глицерин безводный	0,512	4,1
Керосин (при 15° C)	0,0016-0,0025	0,02-0,03
Бензин (при 15° C)	0,0006-0,00065	0,0083-0,0093
Масло касторовое	0,972	10,02
Масло минеральное	0,0275-1,29	0,313-14,5
Нефть при 15° C	0,007-0,008	0,081-0,093
Ртуть	0,0015	0,00111
Спирт этиловый безводный	0,00116	0,0151

Для определения величины динамической вязкости воздуха в системе МКГСС применяется формула Милликена:

что дает при t=15° С =1,82•10-6 кгс•с/м2(~1,82•10-5 Па•с). Динамическая вязкость других газов имеет примерно тот же порядок величины.

Наряду с понятием абсолютной или динамической вязкости в гидравлике находит применение понятие кинeматической вязкости; представляющей собой отношение абсолютной вязкости к плотности жидкости:

Эта вязкость названа кинематической, так как в ее размерности отсутствуют единицы силы. B самом деле, подставив размерность µ и с, получим [v]=[L2/Т].

B международной системе единиц кинематическая вязкость измеряется в м2/с; единицей для измерения кинематической вязкости в системе CGS служит стокc (в честь английского физика Стокса): 1 Ст=1 см2/с=10-4 м2/с. Сотая часть стокса называется сантистоксом (сСт) : 1 м2/с=1•104 Ст=1•106 cCт.

В табл. 7 приведены численные значения кинематической вязкости капельных жидкостей, на рис. 3 -- зависимость кинематической вязкости воды и индустриального масла от температуры. Для предварительных подсчетов величину кинематической вязкости воды v можно принять равной 0,01 см2/с=1.10-6 м2/с, что отвечает температуре 20° C.

Рис. 3 Зависимость кинематической вязкости воды и масла от температуры

Кинематическая вязкость капельных жидкостей при давлениях, встречающихся в большинстве случаев на практике (до 200 ат), весьма мало зависит от давления, и этим изменением в обычных гидравлических расчётах пренебрегают.

Кинематическая вязкость газов зависит как от температуры, так и от давления, возрастая с увеличением температуры и уменьшаясь с увеличением давления (табл. 8).

Кинематическая вязкость воздуха для нормальных условий (температура 20° С, давление ~1ат) v= µ/с =1,57•10-5 м2/с, т.е. примерно в 15 раз больше, чем для воды при той же температуре. Это объясняется тем, что в знаменатель выражения для кинематической вязкости (21) входит плотность, которая у газов значительно меньше, чем у капельных жидкостей. Для вычисления кинематической вязкости воздуха при разных температурах и давлениях можно пользоваться графиком (рис. 4).

Таблица 1.8

Значения кинематической н и удельной газовой постоянной К для некоторых газов
Газ	н•104, м2/с при температуре в °С	R, Дж/(кг•К)
	0	20	50	100
Воздух	0,133	0,151	0,178	0,232	287
Метан	0,145	0,165	0,197	0,256	520
Этилен	0,075	0,086	0,104	0,138	296

Рис. 4 Зависимость кинематической вязкости воздуха от давления и температуры

Экспериментально вязкость жидкостей определяют вискозиметрами.

Многофазные системы. Как уже указывалось, в гидравлике и аэродинамике реальная жидкость обычно заменяется моделью в виде непрерывной среды. Однако в некоторых особых случаях приходится сталкиваться c нарушением сплошности (непрерывности) жидкости. В таких случаях можно, как правило, выделить границы раздела, отделяющие одну непрерывную среду (фазу) от другой, причем при переходе через такие границы свойства жидкости меняются скачкообразно.

Системы, состоящие из нескольких фаз, называются многофазными (полифазными). Простейшим случаем многофазной системы являются двухфазные системы.

Для примера можно назвать следующие многофазные системы:

· газ - твердые частицы (пневмотранспорт, пылеулавливание);

· газ - капли жидкости (распылители, сушилки, газовое охлаждение, испарение);

· жидкость - пузырьки пара (испарители, эрлифты);

· жидкость -- твердые частицы (гидротранспорт, осаждение).

Во всех этих примерах первая из указанных фаз (основная) условно называется непрерывной, вторая -- дискретной. При некоторых условиях многофазные системы могут переходить в однородные (гомогенные) и наоборот. Например, в воде при обычных условиях находится растворенный воздух.

При снижении давления и повышении температуры воздух начинает выделяться, образуя воздушные пузыри значительных размеров; иными словами, наблюдается переход однофазной системы (вода) к двухфазной (вода + газ). жидкость вязкость температура гидростатика

C образованием двухфазных систем связаны процессы фазовых переходов. Так, в воде при повышении давления и понижении температуры зарождаются кристаллы льда, т.e. образуется двухфазная система -- вода + твердые частицы. Наоборот, при понижении давления жидкости до уровня так называемого давления насыщенного пара pн.п жидкость вскипает, образуя пузыри, заполненные насыщенными парами воды.

Аномальные жидкости. K жидкостям, не подчиняющимся закону вязкости Ньютона (18), так называемым «неньютоновским» (или аномальным) жидкостям, можно отнести, например, литой бетон, глинистый раствор, употребляемый при бурении скважин, нефтепродукты при температуре, близкой к температуре застывания, коллоиды и др.

Опытами установлено, что движение неньютоновских жидкостей начинается только после того, как касательные напряжения достигнут некоторого предельного минимального значения (так называемое начальное напряжение сдвига); при меньших напряжениях эти жидкости не текут, а испытывают только упругие деформации.

Идеальная жидкость. B механике жидкости для облегчения решения некоторых задач используется понятие об идеальной (совершенной) жидкости.

Под идеальной жидкостью понимают воображаемую жидкость, обладающую следующими свойствами:

· абсолютная подвижность (т.е. отсутствие вязкости);

· абсолютная несжимаемость;

· абсолютная нерасширяемость с изменением температуры;

· абсолютная неспособность сопротивляться разрыву.

Таким образом, идеальная жидкость представляет собой некоторую модель реальной жидкости. Выводы, полученные исходя из свойств идеальной жидкости, приходится, как правило, корректировать, вводя поправочные коэффициенты.

Пример 1. Определить плотность воздуха при избыточном давлении

р=4900 Па и температуре t=200° C.

Решение. Находим абсолютное давление воздуха

pабс = 98100+4900 = 103 000 Па.

Определяем абсолютную температуру воздуха

T = 273 + 200=47З K.

Находим плотность воздуха из уравнения состояния

Пример 2. Для периодического аккумулирования прироста воды, получающегося при изменении температуры, в системах центрального водяного отопления устраивают расширительные резервуары, которые присоединяются к системе в верхней ее точке и сообщаются с атмосферой. Определить наименьший объем расширительного резервуара, чтобы он полностью не опорожнялся. Допустимое колебание температуры воды во время перерывов в топке Дt=95-70=25°. Объем воды в системе W=0,55 м3. Коэффициент температурного расширения воды вt=0,0006 1/град (при t=80° С).

Решение. Наименьший объем расширительного резервуара должен быть равен изменению объема воды при изменении ее температуры на 25°. Изменение объема воды из формулы (1.11).

ДW = вtWДt = 0,0006•0,55•25 = 0,0083 м3 = 8,3 л.

Пример 3. В отопительный котел поступает вода в объеме W=50 м3 при температуре t=70° C. Сколько кубометров воды W1 будет выходить из котла, если доводить нагрев до температуры t2=90° C (коэффициент температурного расширения воды вt=0,00064 1/град)?

Решение.

ДW=0,00064•50•20=0,64 м3;

W1=W+ДW=50,64 м3.

2. Основы статики и динамики жидкости

Равновесное состояние жидкости и действующие силы

Если на некоторую массу жидкости не действовали и не действуют внешние силы, то каждая частица этой массы или остается неподвижной относительно данной системы координат, или движется прямолинейно c одинаковой для всех частиц скоростью, так что взаимное расположение частиц этой массы жидкости остается неизменным. Такое механическое состояние массы жидкости называется равновесным. При действии внешних сил рассматриваемая масса жидкости может или сохранить равновесное положение, или перейти в состояние движения. Для равновесия необходимо, чтобы эти силы удовлетворяли некоторым условиям, которые будут рассмотрены далее.

Внешние силы могут быть поверхностными и объемными (массовыми).

Поверхностные силы -- это силы, действующие в точках граничной поверхности данной массы. Они пропорциональны размеру площадки Дщ, взятой на этой поверхности, для которой можно написать равенство:

где ДР -- действующая поверхностная сила, p -- коэффициент пропорциональности, физический смысл которого очевиден из отношения р=ДР/Дщ, т.e. этот коэффициент представляет собой так называемое «напряжение».

Объемные (или массовые) силы -- это внешние силы, пропорциональные объему жидкости (если данная масса однородна, т.e. плотность ее одинакова во всем объеме). Для объемных сил справедлива зависимость:

где k -- коэффициент пропорциональности, физический смысл которого заключается в условии k=сj (здесь с -- плотность, j -- ускорение данной объемной силы).

Условия действия поверхностных сил при равновесии жидкости.

Рассмотрим условия, которым должны удовлетворять поверхностные силы при равновесии жидкости.

Представим некоторую массу жидкости, находящуюся в равновесном состоянии (рис. 5). Пусть в некоторой точке М ее граничной поверхности действует сила R. Разлагая эту силу по направлению нормали и касательной к граничной поверхности в этой точке, мы найдем две силы: силу N -- нормальную к указанной поверхности и силу T -- касательную к той же поверхности.

Рис. 5 Условия действия поверхностных сил

Сила N сжимает частицу M, и, поскольку жидкость сопротивляется сжатию; в этой точке (где расположена частица) может возникнуть реакция, которая уравновесит силу N; следовательно, частица М останется в равновесии. Сила Т -- касательная сила - стремится сдвинуть частицу M. Чтобы сдвига не произошло и равновесное состояние не нарушалось, необходимо соблюдение условия T=0, или, иначе, для равновесия частицы М необходимо, чтобы равнодействующая сила R, действующая на частицу M, была направлена (по внутренней нормали n) к граничной поверхности, т.e. была сжимающей, a не растягивающей силой. Отсюда следует вывод -- для сохранения равновесия массы жидкости необходимо, чтобы внешние силы, действующие в точках ее граничной поверхности, были направлены только по внутренним нормалям к этой поверхности.

Взаимодействие между частицами покоящейся жидкости. Рассмотрим силовое взаимодействие между частицами внутри массы жидкости. C этой целью пеpeсечем пространство, занятое покоящейся жидкостью, произвольной поверхностью Q (см. рис. 5); которая разделит массу жидкости на две части -- верхнюю нижнюю. Рассмотрим затем равновесие, например, нижней части.

Поверхность Q в пределах сечения является граничной поверхностью этой части. Поэтому на частицу M', лежащую на этой поверхности, окружающие ее частицы верхней части действуют c некоторой сжимающей силой N'. Ввиду произвольности выбор секущей поверхности Q можем (проводя через точку M' произвольные поверхности Q1, Q2 и т. д.) сделать вывод, что все частицы внутри покоящейся массы жидкости испытывают всестороннее сжатие.

Гидростатическое давление в точке

Рассмотрим площадку Дщ, на которую действует сила ДР (рис. 6). Отношение р=ДР/Дщ, очевидно, представляет собой «напряжение», т.e. силу, приходящуюся на единицу площади.

Рис. 6 К понятию гидрастического давления

Так как при равновесии жидкости ДР является сжимающей силой, то p представляет собой среднее для данной площадки напряжение сжатия, которое называют средним гидростатическим давлением на площадке. Для получения точного значения p в данной точке надо определить предел этого отношения при Дщ, что и определит гидростатическое давление в данной точке:

Размерность [p] равна размерности напряжения, Па.

Основная теорема гидростатики.

Величина гидростатического давления в данной точке не зависит от ориентации в пространстве площадки, на которой она расположена:



где px, py, pz --гидростатические давления по направлению координатных осей, рn -- то же, по произвольному направлению n.

Для доказательства выберем внутри массы жидкости, находящейся в равновесии, объем в форме тетраэдра (рис. 7) и, полагая его отвердевшим, напишем для него (как для твердого тела) условия равновесия в виде трех уравнений проекций действующих сил и трех уравнений моментов:

Рис. 7 К теореме о независимости гидростатического давления от направления

При уменьшении объема тетраэдра в пределе до нуля система действующих сил преобразуется в систему сил, проходящих через одну и ту же точку, и, таким образом, уравнения моментов теряют смысл.

Составим уравнение проекций сил на ось Ox.

На рассматриваемый тетраэдр действуют четыре поверхностные силы (по числу граней тетраэдра), направленные по нормалям к соответствующим граням, и объемная сила dF. Проектируя эти силы на ось 0x, получим:



так как представляет собой проекцию площадки на плоскость, перпендикулярную оси 0х.

Объемная сила

где dm -- масса тетраэдра, равная:

j -- ускорение, создаваемое этой силой.

Введем обозначение:

где Х, Y и Z -- проекции ускорения внешней объемной силы

После подстановки (28), (29), (30) с учетом (31) и (32) в (27) получим уравнение:

сокращая (33) на , найдем:

Опуская в (34) третье слагаемое как величину высшего порядка малости по сравнению c двумя первыми, получим:

Очевидно, по аналогии можем написать:

и, наконец,

что доказывает теорему.

Гидростатическое давление в точке, будучи одинаковым по любому направлению, неодинаково в различных точках пространства, т. е. р есть функция координат:

Общие дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Уравнение Эйлера. Выберем внутри покоящейся жидкости параллелепипед c ребрами, расположенными параллельно координатным осям 0x, 0y и 0z (рис. 8) и равными соответственно dx, dy и dz. Составим уравнения равновесия этого параллелепипеда в виде уравнений проекций сил (согласно предыдущим рассуждениям уравнения моментов теряют смысл):

Проектируя силы на ось 0х, согласно рис. 8 имеем:

Определим каждое из слагаемых выражения (40).

Поверхностные силы dP и dP' соответственно равны:

где p и р' -- средние гидростатические давления соответственно на площадки ABCDA и А'В'С'D'А' (рис. 8).

Рис. 8 К выводу уравнений равновесия жидкости

Так как гидрoстатическое давление является функцией координат, среднее гидростатическое давление на площадке А'В'С'D'А' будет равно:



потому что при переходе от площадки ABCDA к площадке А'В'С'D'А' изменяется только координата x. Тогда выражение (42) для поверхностной силы примет вид:

Проекция объемной силы для массы dm=сdxdydz равна:

Подставляя в (40) значeния слагаемых (41), (43), (45) запишем:

Раскрывая в (46) скобки и (после приведения подобных членов) сокращая на dх dy dz, получим уравнение проекций сил на ось 0x в виде:

Аналогично можно получить и уравнения проекций сил на оси 0у и 0z, в результате чего система трех уравнений равновесия жидкости (уравнения Эйлера) запишется в виде:

Основное дифференциальное уравнение гидростатики. Перепишем уравнения Эйлера в несколько другом порядке:



Умножив каждое из уравнений (49) соответственно на dx, dу и dz и произведя сложение правых и левых частей уравнений, получим:

Так как гидростатическое давление p зависит только от трех независимых переменных координат x, y и z, левая часть этого равенства представляет собой полный дифференциал функции

Делая подстановку, находим окончательно:

Уравнение (52) называется основным дифференциальным уравнением гидростатики, так как его использование позволяет решать основные задачи гидростатики.

Характеристическое уравнение.

В основном дифференциальном уравнении гидростатики (52) неизвестны две величины: p и с (значения X, Y и Z, а также координаты точки обычно заданы.) Таким образом, для определенности решения необходимо иметь еще одно независимое уравнение, в качестве которого используется так называемое характеристическое уравнение, определяющее собой особенности данной жидкости.

Например, рассматривая равновесие капельной жидкости и считая ее абсолютно несжимаемой, характеристическим уравнением будет условие

а для газа - уравнение (11):

В общем виде условия равновесия можно записать в виде функции, характеризующей особенности сжатия данной жидкости:

Поверхность уровня.

Поверхностью уровня называется такая поверхность, все точки которой имеют одно и то же значение рассматриваемой функции: например, поверхность равной температуры (изотермическая поверхность), поверхность равного потенциала и т. д. Для рассмотрения задач гидравлики особо важное значение имеет поверхность равного давления. Имея в виду в дальнейшем изложении именно поверхность равного давления, будем условно называть ее кратко поверхностью уровня.

Равновесие капельной жидкости в поле земного тяготения

Поверхность уровня. Рассмотрим равновесие жидкости в поле земного тяготения в пределах небольшой ограниченной области. Тогда ускорения свободного падения в различных точках этого пространства будут параллельны и направлены вертикально. Расположим координатную ось 0z вертикально; при этом ускорение свободного падения g=9,81 м/с2 будет направлено параллельно оси 0z.

Уравнение поверхности уровня и свойства этой поверхности. Так как во всех точках поверхности уровня гидростатическое давление одинаково, т.e. p=const, то dp=0 и из основного дифференциального уравнения гидростатики (52) получим:

Так как плотность то:

где X, Y и Z - функции координат.

Уравнение (56) представляет собой дифференциальное уравнение поверхности, для которой p = const, т.е. уравнение поверхности уровня.

Составим уравнение поверхности уровня, учитывая, что для данного случая равновесия жидкости величины X, Y и Z, входящие в общее дифференциальное уравнение поверхности уровня (56), будут равны соответственно:

где gx, gy, gz - проекции ускорения g по координатным осям.

Подставляя значения (58) в уравнение (56), получим дифференциальное уравнение поверхности уровня для рассматриваемых условий:

Интегрируя уравнение (59), находим:



Так как C=const -- произвольная постоянная, то это уравнение будет уравнением семейства горизонтальных плоскостей (параллельных осям 0х и 0у).

Итак, поверхность уровня есть горизонтальная плоскость.

Пусть, например, резервуар заполнен водой или иной жидкостью (Рис. 2.7, а).

Рис. 9 Поверхности уровня

Так как во всех точках свободной поверхности гидростатическое давление одинаково и равно атмосферному, то свободная поверхность жидкости будет поверхностью уровня и, следовательно, будет горизонтальной плоскостью.

Проведем произвольную горизонтальную плоскость n--n. Эта плоскость также будет поверхностью уровня, и, следовательно, во всех точках этой плоскости давление будет одинаковым (что справедливо и для любой плоскости n1 --n1).

Так как плоскости n--n и свободной поверхности параллельны между собой, то все точки плоскости n--n находятся на одной и той же глубине. Следовательно, величина гидростатического давления зависит только от глубины точки погружения и на одинаковой глубине гидростатическое давление в любой точке будет одним и тем же.

Распределение гидростатического давления. Воспользуемся основным дифференциальным уравнением гидростатики (52).

В случае равновесия жидкости в поле земного тяготения основное уравнение имеет вид:

Но произведение где -- удельный вес данной жидкости.

Делая подстановку и деля обе части уравнения (61) на , перепишем его в следующем виде:

и, интегрируя, найдём (при )

Чтобы определить постоянную интегрирования С, рассмотрим резервуар, наполненный водой (рис. 10), со свободной поверхностью (атмосферное давление).

Рис. 10 К определению постоянной интегрирования

Тогда для точки A, лежащей на поверхности, р=р0 и z=z0. Подставляя эти значения в (63), находим, что произвольная постоянная интегрирования:

и уравнение (63) запишется в виде:

или:

Уравнение (66) называют основным уравнением гидростатики.

Рассмотрим уравнение (66) более подробно.

Все слагаемые, входящие в него, имеют линейную размерность: z и zo -- координаты свободной поверхности и произвольной точки М, т.e. высоты расположения свободной поверхности и точки М; ро/ и р/ -- высоты, соответствующие гидростатическому давлению на поверхности ро и p в точке M.

Постоянная интегрирования C имеет также линейную размерность; обозначим ее через H.

Величины z и р/ часто называют в гидравлике геометрической и пьезометрической высотами, тогда Н как сумма двух высот будет также высотой -- ее называют гидростатическим напором. Согласно рис. 10, величина Н представляет собой ординату горизонтальной плоскости, именуемой плоскостью гидростатического напора. Эта плоскость расположена выше плоскости свободной поверхности на высоту ро/.

Измерение давления в данной точке. Гидростатическое давление более удобно вычислять по формуле (66). Так как разность (zo-z) представляет собой глубину h погружения данной точки под уровень свободной поверхности, то можно написать уравнение (66) в виде:

Именно в такой записи и используют это уравнение для вычисления гидростатического давления.

Закон Паскаля. Из уравнения (67) видно, что в любой точке жидкости (на любой глубине h) гидростатическое давление р зависит от величины внешнего давления ро на свободной поверхности. При увеличении внешнего давления точно на ту же величину увеличится и давление в данной точке. Таким образом, жидкость обладает свойством передавать внешнее давление всем расположенным внутри ее частицам жидкости без изменения. B этом заключается закон Паскаля.

Абсолютное и избыточное давление. Вакуум

Абсолютным давлением p называется гидростатическое давление, определяемое по формуле (67).

Из этой формулы следует, что абсолютное давление слагается из двух составляющих: внешнего давления ро, передаваемого жидкостью по закону Паскаля, и давления, определяемого величиной . Последнее называют относительным или, если на свободной поверхности жидкости действует атмосферное давление, избыточным давлением.

Равновесие газов

Основные уравнения и поверхность уровня

Как отмечалось выше, газы относятся к сжимаемым жидкостям, и уравнения равновесия и движения газов отличаются от таковых для капельной жидкости лишь тем, что они должны учитывать сжимаемость газов. Поэтому полученные ранее дифференциальные уравнения равновесия являются общими для капельной жидкости и газов.

Итак, для газов справедливы:

· дифференциальное уравнение равновесия (52)

· характеристическое уравнение (54)

· уравнение поверхности уровня (56)

Рассмотрим равновесие газов в условиях земного тяготения и решим основную задачу -- распределение гидростатического давления, т.e. определим функцию .

Поверхность уровня.

Расположим координатную систему так, чтобы оси 0х и 0у были горизонтальны, a ось 0z была направлена вверх. Тогда проекции ускорения объемной силы (силы земного тяготения) соответственно равны: X=0, Y=0 и Z=-g (Рис. 3.1).

Подставляя эти значения в уравнение поверхности уровня, получим (так же, как и для капельной жидкости)

-=0

и, интегрируя это уравнение, найдем - или z=C, т. e. уравнение семейства горизонтальных плоскостей. Следовательно, в пределах любой горизонтальной плоскости, проведенной через область, занятую покоящимся газом, давление остается неизменным. При равновесии газа гидростатическое давление в точке изменяется только c высотой расположения этой точки .

Эту зависимость находится путем совместного решения основного дифференциального уравнения гидростатики (52) и характеристического уравнения (11)

Размещено на Allbest.ru

...