Расчет электрических фильтров

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство связи

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Курсовая работа

по дисциплине «Теория электрических цепей»

Тема: Расчет электрических фильтров

Выполнил: Кергилов Э.В.

Группа: ЗС-31

№ студенческого билета: 7113007

Новосибирск 2015

1. Техническое задание

На входе полосового фильтра действуют периодические прямоугольные радиоимпульсы (рис. 1) с параметрами:

tи = 48 мкс - длительность импульсов;

Ти = 120 мкс - период следования;

Тн = 12 мкс - период несущей частоты;

Umн = 13 В - амплитуда несущего колебания, имеющего форму гармонического uн(t) = Umнcos ?нt.

Требуется рассчитать двусторонне нагруженный пассивный полосовой LC-фильтр и активный полосовой RC-фильтр для выделения эффективной части спектра радиоимпульсов, лежащей в полосе частот от (fн - 1/tн) до (fн - - 1/tн) (главный «лепесток спектра»).

Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева. Сопротивление генератора радиоимпульсов Rг и сопротивление нагрузки Rн пассивного фильтра одинаковы: Rг = Rн = R = 600 Ом.

радиоимпульс фильтр амплитудный

2. Расчет полосового LC-фильтра

Согласно заданию на курсовую работу на входе полосового фильтра действуют периодические радиоимпульсы (рис.1) с параметрами: период следования импульсов Ти = 120 мкс; длительность импульсов tи = 48 мкс; период несущей частоты Тн = 12 мкс; амплитуда колебаний несущей частоты Umн = 12 В. Фильтр должен обеспечить максимально допустимое ослабление в полосе пропускания Amax = ?A = 3 дБ. Полное ослабление на границах полос непропускания Апол = 19 дБ. Характеристика фильтра аппроксимируется полиномом Чебышева.

Рисунок 1 Периодические прямоугольные радиоимпульсы с несущим колебанием uн(t) = 13cos ?нt

Сопротивления нагрузок фильтра слева и справа Rг = Rн = R = 600 Ом (рис. 2).



Рисунок 2 Схема подключения фильтра к источнику сигнала

2.1 Расчет амплитудного спектра радиоимпульсов

Необходимо определить частотный состав сигнала, поступающего на вход фильтра, т.е. рассчитать и построить график амплитудного спектра периодических радиоимпульсов.

Несущая частота:

Гц = 83,3 кГц.

Рассчитываются частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса:

кГц;

кГц;

кГц;

кГц.

Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте , находится по формуле:

В. (2.1)

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот (рис.3).

Рисунок 3 График модуля спектральной функции U(f)=|U(jf)| радиоимпульса

Внутри огибающей находятся спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами, где i - номер гармоники. Они располагаются симметрично относительно несущей частоты, зависят от периода следования импульсов и находятся по формуле:

.

Учитывая, что

кГц,

рассчитываем частоты гармоник, лежащих только справа от :

кГц;

кГц;

кГц; кГц; кГц и т.д.

Частоты гармоник, лежащих слева от :

кГц;

кГц;

кГц; кГц; кГц и т.д.

Амплитуды напряжения i-ых гармоник находится по формуле:

(2.2)

где = 4 - количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе.

Из анализа рис. 3 видно, что главный «лепесток спектра» занимает диапазон частот от 62,5 до 104,1 кГц.

После расчета амплитуд по (2.2) их значения отражаются в виде дискретных составляющих внутри огибающей спектра (рис.3).

2.2 Формирование требований к полосовому фильтру

Примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 66,7 до 100 кГц (т.к. эффективная часть спектра находятся между второй и третьей гармониками). Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра fп1 и fп2 соответственно. Граничную частоту полосы непропускания fз2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты кГц. Этой частотой является частота кГц. Следовательно, fз2 кГц.

Находим центральную частоту ПП:

81,7 кГц.

Граничная частота fз1 ПН:

fз.1 = кГц.

Минимально допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник f1 и f3 спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной Апол - полного ослабления:

Апол = +Amin = 19 дБ, (2.3)

(2.4)

исходная разница амплитуд третьей и пятой гармоник в децибелах, найденная в ходе расчета спектра радиоимпульсов.

Согласно (2.2):

= 0,2934 В.

= 0,2195 В.

По (2.4) находим:2,5 дБ.

По (2.3) находим: Amin = Апол - = 19 - 2,5 = 16,5 дБ.

Следовательно, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему: fп2 = 100 кГц; fп1 = 66,7 кГц;

fз2 = 108,3 кГц; fз1 = 61,6 кГц;

Amin = 16,5 дБ; Amax = ?A = 3 дБ;

Rг = Rн = 600 Ом.

Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена с помощью полинома Чебышева.

2.3 Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

Требования к характеристикам полосового фильтра пересчитываются в требования к его НЧ-прототипу. Находим граничные частоты ПП И ПН НЧ-прототипа:

fп.нч = fп2 - fп1 = 100 - 66,7 = 33,3 кГц,

fз.нч = fз2 - fз1 = 108,3 - 61,6 = 46,7 кГц.

Зная требования к ослаблению можно пересчитать их в требования к АЧХ или, как это принято в теории фильтров, в требования к квадрату АЧХ . Нормированная частота , где - нормирующая частота, в качестве которой выбирают граничную частоту ПП ФНЧ. Тогда

Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 4.

Рисунок 4 Требования к НЧ-прототипу

Зависимость рабочего ослабления фильтра Чебышева от нормированной частоты:

(2.5)

Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП из рассмотрения (2.5) при и когда

.

Порядок фильтра Чебышева находится из рассмотрения (2.5) при A = Amin и , т.е. ослабление рассматривается в полосе непропускания, в которой полином Чебышева поэтому

(2.6)

При вычислении функции arch x используем соотношение

.

После подстановки в (2.6) исходных данных и вычислений получаем m = 2,85. Следовательно, порядок фильтра m = 3.

Полюсы нормированной передаточной функции НЧ-прототипа при ?A = 3 дБ:

(2.7)

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде:

,

где - полином Гурвица, который можно записать через полюсы:

.

Производя вычисления, получим:

. (2.8)

2.4 Реализация LC-фильтра

Для получения схемы НЧ-прототипа используется метод Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рис.2) составляется выражение для входного сопротивления:

(2.9)

Для фильтра Чебышева третьего порядка полином h(p) равен:

(2.10)

Подставляя в (2.9) значение из (2.8) и значение из (2.10), после преобразований получим:

(2.11)

Формула (2.11) описывает входное сопротивления двухполюсника (т.к. на рис.2 фильтр, нагруженный на сопротивление RН это двухполюсник). Зная выражение для входного сопротивления, можно по методу Кауэра построить схему двухполюсника. Для этого ZВХ(p) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя, поэтому (2.11) преобразуется к виду:

(2.12)

после чего производится ряд последовательных делений. Вначале числитель делится на знаменатель:

Первый делитель делим на первый остаток:



Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток:

В итоге получено четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: рС, 1/pL, 1/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому выражение (2.12) записывается в виде цепной дроби:

(2.13)

По формуле (2.13) составляется схема на рис.5, на которой С1н = 3,349; L2н = 0,712; С3н = 3,349; Rг.н = Rн.н = Rнор.

Рисунок 5 Схема НЧ-прототипа (ФНЧ)

Денормируем элементы НЧ-прототипа, используя соотношения:

(2.14)

где - нормирующая частота; RГ - нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Получаем реальные значения схемы НЧ-прототипа:

26,7 нФ;

2,04 мГн;

26,7 нФ;

Ом.

2.5 Реализация пассивного полосового фильтра

Между частотами НЧ-прототипа и частотами полосового фильтра существует соотношение:

(2.15)

где .

На основании (2.15) индуктивное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами

(2.16)

а емкостное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами

(2.17)

Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рис.5 построена схема полосового фильтра (рис.6).

Рисунок 6 Схема полосового LC-фильтра

Элементы этой схемы рассчитываются по формулам (2.16) и (2.17):

Гн =

= 0,073 мГн.

26,7 нФ;

2,04 мГн;

Ф = 4,63 нФ;

На этом расчет полосового LC-фильтра заканчивается.

3. Расчет активного полосового фильтра

3.1 Расчет полюсов ARC-фильтра

Требования к полосовому ARC-фильтру остаются теми же, что и к полосовому LC-фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами LC-фильтра, полученными в разделах 2.12.3. Пользуясь полюсами нормированной передаточной функции (2.7) и формулой пересчета полюсов НЧ-прототипа в полюсы полосового фильтра:

(3.1)

можно найти полюсы денормированной передаточной функции ПФ.

Вначале находим:

рад/с;

104562 рад/с;

рад/с.

Затем находим сами полюсы:

(3.2а)

р3 ПФ = -18441 + j615985; р4 ПФ = -12783 - j426977; (3.2б)

р5 ПФ = -12783 + j426977; p6 ПФ = -18441 - j615985; (3.2в)

Расчет показывает, что вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра, причем денормированной. Их значения сведены в таблицу 3.1.

Таблица 3.1

Номера полюсов	Полюсы H(p)
1,2	3,1224	51,2125
3,6	1,8441	61,5985
4,5	1,2783	42,6977

3.2 Формирование передаточной функции

ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, поэтому передаточная функция таких фильтров формируется из произведений сомножителей тоже второго порядка:

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:

(3.3)

Коэффициенты в числителе рассчитываются по формуле:

Коэффициенты в знаменателе (3.3) находятся по формулам:

(3.4)

где - значения полюсов (3.2).

;

;

;

Значения всех рассчитанных коэффициентов сведены в таблицу 3.2.

Таблица 3.2

Номер сомножителя	Значения коэффициентов
1
2
3

Подставляя найденные коэффициенты в (3.3) получим:

(3.5)

3.3 Расчет элементов схемы фильтра

В качестве типовой выбирается простейшая схема полосового фильтра на операционном усилителе (рис.7). Передаточная функция, описывающая работу схемы на рис.7:

(3.6)

Из (3.6) видно, что рассматриваемая схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции (3.5) потребуется три подобных схемы, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в формулах (3.5) и (3.6).

Рисунок 7 Активный полосовой фильтр на одном ОУ

Для первого звена полосового фильтра берутся коэффициенты из первого сомножителя (3.5):

(3.7)

В системе (3.7) пять неизвестных и только три уравнения, следовательно, система нерешаема. Поэтому зададим емкости конденсаторов C3 и C4 (в ходе настройки фильтра при его изготовлении принято использовать переменные сопротивления, т.к. переменных конденсаторов с большой емкостью нет вообще).

Если принять С3 = С4 = 2 нФ, то решая (3.7), получим:

R1 = 3,79 кОм, R5 = 16 кОм, R2 = 254 Oм.

Составляя аналогичную схему для второго звена при тех же С3 = С4 = 2 нФ, получим:

R1 = 3,79 кОм, R5 = 27,1 кОм, R2 = 146 Oм.

Аналогично для третьего звена:

R1 = 3,79 кОм, R5 = 39,1 кОм, R2 = 100 Oм.

Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений R1 и R5 в каждом звене берутся резисторы с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению. Сопротивление R2 берется составным, из последовательно соединенных постоянном и переменном резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.

4. Проверка результатов расчета

При синтезе активного полосового фильтра была найдена передаточная функция одного звена схемы фильтра (3.6). H(p) всего фильтра будет:

(4.1)

где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра.

Для проверки выполненных расчетов в (4.1) производится замена переменной вида , в результате чего получается выражение:

Находится модуль в виде:

(4.2)

Зная , можно найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

 (4.3)

(4.4)

Произведем расчет первого звена фильтра.

Из раздела 3.3 берем значения элементов:

С3 = С4 = 2 нФ, R1 = 3,79 кОм, R5 = 16,01 кОм, R2 = 254 Oм.

Подставляя эти значения в (4.2) получаем:

На частоте границы ПП fп2 = 100 кГц находим . На частоте границы ПН fз2 = 108,3 кГц находим . Также находим на частотах fп1 = 66,7 кГц и fз1 = 61,6 кГц.

Ослабления рассчитываются по формулам (4.3) и (4.4).

Аналогичные расчеты выполняются для второго и третьего звена. Ослабления рассчитываются по формулам (4.3) и (4.4). Все результаты сводятся с таблицу 4.1.

Таблица 4.1

, кГц
	61,6	66,7	100	108,3
	0,554	1,2	0,44	0,33
	0,551	0,25	3,54	0,89
	0,548	2,57	0,41	0,31
	0,167	0,769	0,639	0,091
	5,137	-1,55	7,07	8,2
	5,181	12,06	-10,99	3
	5,226	-8,21	7,77	5,9
	15,545	2,3	3,85	17,1

В ходе расчета по формуле (4.2) выявлено, что значение наиболее сильно зависит от величины сопротивления R2, поэтому это сопротивление выбирается переменным.

На рис. 8 приведена ожидаемая теоретическая кривая зависимости ослабления фильтра от частоты. На рис. 9 приведена принципиальная схема активного полосового фильтра.

Рисунок 8 Характеристика ослабления полосового фильтра в зависимости от частоты

Рисунок 9 Принципиальная схема активного полосового фильтра

R1, R2, R5 - сопротивления 1-го звена

R1, R2, R5 - сопротивления 2-го звена

R1, R2, R5 - сопротивления 3-го звена

Литература

1. Бакалов В.П., Рожков В.М., Сметанина М.И. Расчет электрических фильтров. Методические указания и задание на курсовую работу. - Новосибирск: СибГУТИ, 2002.

2. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник - М.: Радио и связь, 2000.

3. Бакалов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических цепей и электроники. Учебник. - М.: Радио и связь, 1989.

4. Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособие для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: «Высшая школа», 1990.

Размещено на Allbest.ru

...