Затухание гравитационных волн

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Московский физико-технический институт

(государственный университет)»

Факультет проблем физики и энергетики

Кафедра проблем безопасного развития современных энергетических технологий

Курсовая работа

по предмету: Качественные методы гидродинамики

Затухание гравитационных волн

Выполнил: студент 186 группы

Шараборин Евгений Львович

Преподаватель: д.ф.-м.н.

Крайнов Владимир Павлович

Москва 2015



1. Гравитационные волны на поверхности жидкости

Рассмотрим малые колебания границы раздела двух жидкостей под действием сил тяжести. Эти колебания называются гравитационными волнами. Будем считать, что их амплитуда много меньше длины волны.Скорость волны должна определяться ускорением свободного падения, в общем случае может зависеть от длины волны .

Сначала рассмотрим гравитационные волны на глубокой воде. Направим ось по вертикали вверх с началом отсчета на невозмущенной горизонтальной границе и обозначим и - плотности жидкостей занимающей полупространства и , соответственно. Будем считать, что жидкость снизу более тяжелая, чем сверху, . Поскольку течение жидкости из-за малости амплитуды колебаний является потенциальным, давление согласно уравнению

в пренебрежении малым квадратичным по скорости вкладом определится выражением:

Обозначим - вертикальное смещение свободной поверхности, обусловленное гравитационной волной. Тогда требование равенства давления по разные стороны границы приобретает вид:

Будем полагать, что все зависимости от координат в плоскости невозмущенной границы и от времени имеют форму

(вектор лежит в горизонтальной плоскости). Тогда потенциал скорости, удовлетворяющий уравнению и требованию быть конечнымпри, определится выражениями

Из условия непрерывности нормальной к границе компоненты скорости имеем

Дифференцируя равенство по времени с учетом соотношений , и очевидного равенстваполучим:

Это есть дисперсионное уравнение для гравитационных волн.Из можно найти фазовую и групповую скорость волны:

поверхность жидкость гравитационный волна



Здесь - длина волны.

Теперь оценим скорость гравитационных волн на поверхности мелкой жидкости, глубина которой .

В пределе очень больших длин волн, т.е. в пределе очень малых частот , зависимость скорости волны от исчезает. Отметим, что разложение по степеням содержит только четные степени ряда Тейлора, так как знак частоты является произвольным и скорость волны не должна зависеть от него.

Итак, мы должны составить величину размерности скорости из ускорения свободного падения и глубины жидкости :

Отметим, что числовой фактор в этой записи равен 1. Отсюда следует, что в мелкой жидкости в отличие от глубокой гравитационные волны не имеют дисперсии, т.е. скорость волны не зависит от .

Далее, для частоты волны находим

В общем виде закон дисперсии зависит следующим образом, если положить :



Рис. 1. Зависимость для водоема с глубиной h=100м

Рис. 2. Зависимость для водоема с глубиной h=100м

2. Затухание гравитационных волн

Рассмотрим колебательное движение у поверхности жидкости(Н-р, гравитационные волны). Предположим, что выполняются условия:

(заметим, что число Reпри этом отнюдь не должно быть малым). Действительно, оценим член . Т.к. вблизи поверхности тела скорость направлена в основном по касательной и тогда она меняется заметно лишь на протяжении размеров тела, тогда и сравним их. Оказывается, при

В роль размеров играет длина волны :

( - амплитуда волны, - ее частота). Тогда можно утверждать, что решение будет вихревым лишь в тонком слое у поверхности жидкости, а в основном ее объеме движение будет потенциальным - таким, каким оно было бы у идеальной жидкости.

Чтобы исчезли определенные комбинации производных от скорости по координатам надо потребовать, чтобы движение вязкой жидкости удовлетворяло у свободной поверхности граничными условиями

Где - тензор напряжений, а - тензор вязких напряжений, - единичный вектор нормали.

Движение же, получающееся в результате решения уравнений гидродинамики идеальной жидкости, этому условию не удовлетворяет. Для скорости в тонком слое у поверхности жидкости соответствующие производные скорости будут быстро убывать. Важно отметить, что градиент скорости не будет при этом аномально большим, как было это вблизи твердой поверхности.

Вычислим диссипацию энергии в гравитационной волне. Будем говорить о диссипации не кинетической энергии, а о диссипации механической энергии .

Очевидно, что диссипацию энергии не может влиять факт наличия или отсутствия поля тяжести, поэтому определяется:

При вычислении данного интеграла для гравитационных волн надо воспользоваться тем фактом, что в поверхностном слое:

· градиент скорости не аномально велик

· объем этого слоя достаточно мал

Следовательно, интегрирование должно производиться по всему объему жидкости, в котором жидкость движется как идеальная. Но движение в гравитационной волне в идеальной жидкости потенциально:

И потому:

Потенциал имеет вид, где :

Сразу выясним, чему равна производная :

Среднее по времени для sin(x) или cos(x)равны ?. Доказательство дано ниже:

Итого:

Физически измеряются только средние значения:

Воспользуемся тем фактом, что при малых колебаниях в механике средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной. Поэтому полная средняя механическая энергия равна удвоенной кинетической энергии: :

Используя и , получаем упрощенную формулу:

Затухание волн удобно характеризовать коэффициентом затухания , определенным как отношение

Со временем энергия волны спадает как , а интенсивность спадает как

Благодаря и выражение для коэффициента затухания:

Воспользовавшись явным видом закона дисперсии гравитационных волн для глубокого водоема , при:

Получим коэффициент затухания:

В общем случае же используя закон дисперсии получаем зависимость . Аналитически нельзя представить в виде , но благодаря численным методам это удалось.

Результат представлен на рисунке 3.

Рис 3. Зависимость для глубокого и мелкого водоема



3. Качественное объяснение затухания гравитационных волн

Оценим мощность, поглощаемую в вязкой жидкости, при колебании ее поверхности. Характерным размером выступает длина волны,площадью ,амплитуду колебаний будем обозначать аналогично , частоту , амплитуду скорости . Пусть число Рейнольдса мало. Мы взяли характерным размером длину волны, так как в колебательном движении при распространении гравитационных волн вовлекается слой жидкости толщиной порядка .

Рассмотрим уравнение Навье-Стокса. Так как число Рейнольдса мало, пренебрежем инерционным членом . Слагаемое не может быть велико по сравнению , иначе получится стационарная задача. Как известно, затухание обязано последнему члену . Итого поучаем качественное уравнение

Оценим вклад в диссипацию энергии, превращающийся из кинетической энергии колебаний в теплоту из-за вязкости от области с характерным размером .Энергия движения жидкости, содержащийся в единичном объеме, имеет порядок величины . Изменение этой энергии за 1 с имеет порядок величины:

Используя преобразуем к виду:



Мы можем оценить как , тогда принимает вид:

Коэффициент затухания определяется как отношение диссипируемой мощности к энергии жидкости (все значения для единичного объема жидкости). На основе получаем

Подставляя закон дисперсии для гравитационных волн в случае глубокого водоема, находим

Итак, коэффициент затухания гравитационной волны пропорционален 4 степени частоты.

Поймем, при каких условиях данная оценка применима. Ясно, что следует потребовать: за период колебаний жидкость диссипировала только малую часть энергии (иначе само понятие волнового движения отсутствует). Формульно это означает

где T - период колебаний, который по порядку равен . Подставим в:



Выражая черезс помощью закона дисперсии для глубокого водоема , окончательно находим

Это условие ограничивает вязкость жидкости значениями, выше которых гравитационные волны на поверхности жидкости невозможны вследствие мгновенной диссипации энергии волн в теплоту, приводящую к апериодичности колебания.

Что же произойдет в противоположном случае, когда глубина водоема мала . Применение закона дисперсии для мелкой воды приводит к коэффициенту затухания

Замечаем, что при этом коэффициент затухания пропорционален не 4-ой степени частоты, а всего лишь 2-ой.

Условие применимости приобретает вид:

При, как и должно быть, совпадают, принимая вид

А коэффициент затухания, согласно , имеет оценку

Отметим, что общее условие того, что волна не затухала за пару периодов: .

Результат справедлив при выполнении условия , (следствие )

- Толщина слоя, в котором происходит поглощение энергии.

Если же , то мощность , диссипируемая в единичном объеме жидкости, определяется оценкой .Пусть сначала при этом . Тогда мощность диссипации , отнесенная к единичной площади дна, порядка . Деля ее на энергию колебательного движения мелкой жидкости, отнесенную также к единичной площади дна, получаем коэффициент затухания для случая , т.е. :

Он обязан трению жидкости о дно. Условие применимости , заключающееся в неравенстве , имеет вид

Что уже предполагалось выше.

Если же , то и волна в мелкой жидкости распространяться не может, так как апериодично затухает.



Список использованной литературы

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: учебн. пособие.: Для вузов. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. - 5-е издание, стереотипное -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 736 с. - ISBN 5-9221-0121-8 (Т. VI)

2. Крайнов В.П. Качественные методы в физической кинетике и гидрогазодинамике: Учеб. пособие для физич. спец. вузов.- М.: Высш. шк., 1989. - 224 с.: ил.

3. Крайнов В.П. Лекции по избранным проблемам механики сплошных сред: Учебное пособие - Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2014. - 120с.

4. П.С. Кондратенко. Теоретические основы гидродинамики и конвективного теплопереноса. ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ БЕЗОПАСНОГО РАЗВИТИЯ АТОМНОЙ ЭНЕРГЕТИКИ. Москва, 2003. 68с

5. Гравитационно-капиллярные волны на поверхности жидкости: (учебно- методическое пособие издание второе) Б.П.Безручко, Т.В. Диканев, А.М. Захаревич. -- Саратов, Издательство ГосУНЦ «Колледж», 2003. 17 с

Размещено на Allbest.ur

...