Задача на перколяцію. Теорія протікання

Размещено на http://www.allbest.ru

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет ім. Івана Франка

Кафедра загальної фізики

План-конспект лекції

для студентів ІІІ курсу фізичного факультету на тему:

«ЗАДАЧА НА ПЕРКОЛЯЦІЮ. ТЕОРІЯ ПРОТІКАННЯ»

Виконав:

Студент групи ФзТм-61

Мандрика Ігор

Перевірила

доц. Конопельник О.І.

Львів 2016

Тема: Задача про перколяцію. Теорія протікання. Поріг перколяції на квадратній гратці. Критичні показники. Ренорм група. Функції, що характеризують перколяцію, та їх якісна поведінка. Теорія протікання поріг протікання. Окупуюча перколяція. Дифузія у невпорядкованих середовищах. Регулярні фрактали і самоподібність.

Тип лекції: тематична лекція.

Мета лекції: пояснити важливість геометричнихфазових переходів, їх простоту, зручність при компютерному моделюванні і можливості графічного аналізу, зв'язок між фізикою і геометрією у рамках теорії протікання, а також поняття масштабування, критичні показники і ренорм-група.

Студенти повинні знати: що таке критичні точки, методи вивчення властивостей кристалів, геометрію кристалічних граток, поняття фазового переходу.

Студенти повинні вміти: навести приклади коміркових кластерів, наводити приклади звязності, протікання, та застосування цих явищ у техніці.

Завдання викладача.

Освітні: дати системні знання про явища протікання і їх застосування при вивченні кристалічної структури , головні поняття теорії протікання, порогу перколяції, ронорм-групи.

Розвиваючі: розвинути у студентів цікавість до вивчення кристалічної структури за допомогою моделювання і теорії протікання, аналізувати та прогнозувати деяких властивостей на основі цих теорій, роботи з додатковою літературою, використання програмних пакетів для моделювання подібних задач.

Виховні: сприяти розвитку дедуктивного мислення у студентів, можливостей для огляду проблему в загальному, робити логічні кроки та висновки, ставити запитання до викладача щодо вивченого матеріалу і можливостей його програмної реалізації, створювати проблемі ситуації, ускладнення вже існуючих завдань.

Методи і форми організації: виклад нового матеріалу викладачем, евристична бесіда, фронтальне опитування.

Література: Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. 2002. 112 с.

Б.И.Шкловский, А.Л.Эфрос, Электронные свойства легированных полупроводников, Глава 5. М.: Наука, 1979.

перколяція поріг протікання дифузія

Структура лекції

Назва і номер етапу	Тривалість	Зміст етапу	Засоби навчання
1.Вступ до теми	5 хв	Обговорення актуальності теми	Демонстрація на проекторі кластерів
2.Організаційна частина	5 хв.	Організація студентів до вивчення нового матеріалу	-
3.Вивчення нового матеріалу	55 хв.	Повідомлення теми і мети лекції. Пояснення нового матеріалу	Демонстрація на проекторі
4.Закріплення знань	8 хв.	Фронтальне опитування	Записи на дошці, демонстрація на проекторі
5.Підсумок лекції. Завдання додому. Література	7 хв.	Узагальнення викладеного матеріалу. Вказівки для самостійної роботи.	Записи на дошці, демонстрація на проекторі кластерів



План

1. Актуальність. (2хв)

2. Перколяція (просочування). (10хв)

3. Поріг перколяції.(13хв)

4. Маркування кластерів (15хв)

5. Ренорм-група.(15 хв)



1. Актуальність

Фізичні властивості завжди нерозривно пов'язані з геометрією. Наприклад, фізичні властивості кристалів визначаються геометрією кристалічних граток. Так само ряд властивостей системи, що знаходиться поблизу критичної точки, визначається "геометрією безладу). Найцікавіше те, що завдяки великим розмірам блоків, ця геометрія фактично не залежить від атомної структури речовини і тому має універсальні властивості, однакові для багатьох, абсолютно різних систем. Звідси слідує універсальність фізичних властивостей, що проявляється в околиці критичних точок. Такого роду зв'язок між фізикою і геометрією можна прослідкувати у рамках теорії протікання.

2. Перколяція (просочування)

Розглянемо геометричні фазові переходи. Головною привабливою силою геометричних фазових переходів є їх ігрові аспекти та інтуїтивна простота. Крім того, ці моделі служать прекрасним введенням в комп'ютерне моделювання і вказують на важливість методів графічного аналізу. Тут розглянемо такі важливі поняття, як масштабування, критичні показники і ренорм-группа.

З'ясуємо концепцію просочування (перколяції). Уявіть собі велику шахову дошку. Нехай кожен квадрат дошки може знаходитися в двох станах: "зайнято" або "пусто". Кожен квадрат займається з імовірністю р незалежно від стану сусідніх квадратів. Ця модель називається комірковою перколяцією. Зайняті комірки або ізольовані один від одного, або утворюють групи, що складаються з найближчих сусідів. Ми визначимо кластер як групу зайнятих комірок, зв'язаних з найближчим сусідом по стороні квадрата (рис. 1). Дві зайняті комірки належать одному кластеру, якщо вони сполучені шляхом, що складається із зайнятих комірок.

Рис. 1. Приклад коміркового перколяційного кластера на квадратних комірках. Дві найближчі зайняті комірки у випадку:

а) є частиною одного кластера;

б) зайняті комірки не є сусідніми квадратами і тому не належать одному кластеру.

Один з простих способів вивчення перколяції ґрунтується на використанні генератора випадкових чисел. Уся процедура зводиться до того, щоб згенерувати випадкове число, а потім зайняти комірку, якщо випадкове число менше р. Якщо ймовірність займання комірки мала, то можна чекати, що будуть присутніми тільки невеликі ізольовані кластери (рис. 2). Якщо р ~ 1, то більшість зайнятих комірок утворюють один великий кластер, який простягнеться від однієї сторони дошки до іншої (рис. 2, г). Такий кластер називають з'єднуючим кластером. У границі нескінченої дошки існує цілком певна "порогова" р така, що:

- Для р >= р_с існує один з'єднуючий кластер, або шлях;

- для р < р_с немає жодного сполучного кластера і усе кластери скінченні.



Рис. 2. Приклади коміркових перколяційних кластерів на квадратних гратці із стороною 8 для значень р = 0.2, 0.4, 0.6 і 0.8. У середньому доля зайнятих кластерів (зафарбовані квадрати) дорівнює р. Помітимо, що для значення р = 0,6 існує кластер, який "сполучає" сторони гратки у вертикальному напрямі, але не в горизонтальному; за значення р = 0,8 кластер сполучає сторони гратки і по вертикалі, і по горизонталі.

Характерною особливістю перколяції, являється зв'язність. Перехід зі стану, що не містить сполучний кластер, в стан з одним з'єднувальним кластером є фазовим переходом.

Прикладом застосування перколяції є електропровідність складних систем, що складаються з провідних та непровідних матеріалів.

Явища протікання можна також спостерігати на шматку дротяної сітки. Експеримент Уотсона і Лиса, які вимірювали електропровідність великого шматка однорідної металевої сітки залежно від долі вирубаних комірок. Координати комірок, які вирубуватимуться, визначаються за допомогою генератора випадкових чисел. Уотсон і Лис встановили, що вимірювана електропровідність є швидко спадною функцією частини р комірок, що залишились і прагне до нуля за значень, нижче критичного порогового.

Рис. 3. Схема експерименту Ватсона і Лиса, а) Початкова сітка. Кількість вузлів на малюнку сильно зменшена; б) шматок сітки з блокованими вузламі. Блоковані вузли показані чорними кухлями, а неблоковані - світлими; в) чорний вузол означає розрив контакту між чотирма проволоками, які зв'язує вузол, світлий вузол зберігає контакт. Через чорні вузли електричний струм не тече ні в якому напрямі, через світлі вузли струм тече у будь-якому напрямі.

Ясно, що у міру збільшення числа блокованих вузлів електропровідність сітки зменшувалася. Більше того, якщо позначити через х відношення числа неблокованих вузлів до повного числа вузлів (1372), то при деякому значенні х, яке ми надалі називатимемо пороговим (критичним) значенням або порогом протікання і означати через х_с, електропровідність перетворювалася на нуль. Це відбувалося, коли перерізувалася остання дорога, що зв'язує лівий і правий електроди. Визначення величини х_с, і було одним із завдань експерименту. Було знайдено, що х_с = 0,59.

Застосування явищ протікання відносяться до переходів метал-ізолятор, провідності електричної сітки (ланцюг резисторів випадковий), для опису поширення епідемій в популяції, поведінки магнітів, що містять домішки, опису гелів.

3. Поріг перколяціїі

Розглянемо квадратну гратку із стороною L і присвоїмо кожній комірці цієї гратки випадкові числа від 0 до 1. Комірка займається, якщо присвоєне їй випадкове число менше р. Програма, роздрук якої наведений нижче, генерує коміркову перколяційну конфігурацію.

Поріг перколяції р_с визначається як така ймовірність р, за якої з'являється перший нескінченний кластер на нескінченній гратці. Проте для скінченних ґраток із стороною L. яку ми можемо змоделювати на комп'ютері, завжди існує ненульова ймовірність того, що з'являтиметься з'єднувальний кластер, що зв'язує одну сторону гратки з іншою. Для малих значень р ця ймовірність порядку р^L (рис. 3). Зі збільшенням L ця величина прагне до нуля, і для досить малих значень р існуватимуть тільки скінченні кластери.

Оскільки необхідно застосувати правило "протікання" для кінцевих граток, визначають р_с як середнє значення р, за якого вперше з'являється з'єднувальний кластер. Для скінченних граток визначення протікання довільне і, відповідно, розраховане значення р_с залежить від критерію протікання.

Усі критерії протікання повинні приводити до одного і того ж екстрапольованого значенню р_с за L 0. У наступному нижче завданні ми отримаємо наближене значення р_с з точністю 10%. Точніший аналіз, який називається скінченномірним масштабуванням, дозволяє екстраполювати результати р_с на граничний випадок L 0.



Рис. 4. Приклад з'єднувального кластера, що з'являється з імовірністю р на кінцевій решітці з L = 8.

ЗАВДАННЯ. Поріг перколяції для квадратних граток.

Скористайтеся програмою для генерування коміркової перколяції на квадратних гратах. Оцініть р_с, знаходячи таке значення р, за якого вперше з'являється з'єднувальний кластер. Спочатку розгляньте випадок з L = 4 і розпочніть зі значення р, для якого ви упевнені, що маловірогідна наявність з'єднувального кластера. Потім збільшуйте значення р з кроком 0,025 до появи з'єднувального кластера. Запам'ятайте значення р, за якого вперше з'являється з'єднувальний кластер для кожного критерію протікання. Пам'ятайте, що кожному випробуванню відповідають різні набори випадкових чисел. Повторіть цю процедуру для десяти випробувань. Оцінка р_с є середнім значенням по десяти випробуваннях для L = 4. Чи співпадають ваші значення р_с з передбачуваними значеннями для кожного критерію протікання?

Повторить обчислення для значень L= 16 і 32. Чи є розкид чисельних значень р_с менший за L = 4? Через історичні причини під розміром кластера розуміють число комірок у кластері, а не його просторова протяжність.

Отже існує поріг перколяції р_с і появляється з'єднувальний кластер при р р_с. Більш повну інформації можна отримати з розподілу середнього розміру кластерів n_s(p):



, (1)

де s - середнє число кластерів розміром s; N - повне число комірок гратки.

За р р_с з'єднувальний кластер виключається з n_s. Оскільки - це повне число комірок, а то, а sn_s - кількість занятих комірок в кластері розміром s, величина

(2)

є ймовірністю того, що вибраний випадковим чином зайнятий вузол,належить кластеру розміром s. Тому середній розмір кластера S визначають так:

. (3)

Середній розмір кластера, що відповідає восьми кластерам на рис. 12.3,а, дорівнює S = 27/13.

Іншою величиною, що характеризує перколяцію, є ~ ймовірність того, що зайнята комірка належить з'єднувальному кластеру:

, (4)

де N - число комірок в з'єднувальному кластері; N - повне число зайнятих комірок.

У разі нескінченних гратки при р < р_с і при р = 1. Вивчення рис. 2 показує, що .

Завдання.

1. Розрахуйте розподіл розмірів кластерів n_s(p) на квадратній гратці з L = 16 і р = 0,4, р = р_с, р = 0,8. Покладіть р_с = 0,5927. Проведіть по п'ять випробувань для кожного значення р і усередніть n_s(p) по цих п'яти випробуваннях. Результати, що узгоджуються, можна отримати, відкинувши конфігурації із сполучними кластерами для випадку р < р_с і конфігурації без сполучних кластерів для випадку р P р_с. Побудуйте графік функції n_s(p) залежно від s для кожного значення р і якісно поясните отриману залежність.

2. Використайте конфігурацію з п.1 "а" для обчислення залежності середнього розміру кластера 5 від р. Не забудьте, що при р > рс сполучаючі кластери не враховуються.

3. Обрахуйте для випадку з L = 16 і різних значень р > р_с. Побудуйте графік функції Р(р) і якісно обговоріть її поведінку.

4. Маркування кластерів

Розглянемо метод багатократного маркування кластерів Кошена и Копельмана. Алгоритм краще всього описати на прикладі. Розглянемо конфігурацію, зображену на рис. 4. Ми привласнюємо осередкам кластерні мітки, рухаючись з нижнього лівого кута управо. Оскільки осередок( 1Д) зайнятий, ми привласнюємо їй кластерну мітку 1. Наступний осередок порожній, тобто не маркується. Наступним зайнятим осередком в першому рядку є осередок(3,\). Оскільки сусідній осередок ліворуч порожній, ми привласнюємо їй наступну допустиму кластерну мітку, тобто мітку 2. Так само привласнюються кластерні мітки іншим осередкам першого рядка. Потім ми поновлюємо процедуру з осередку( 1,2) в другому рядку. Оскільки він зайнятий і найближчий сусідній осередок з першого рядка має мітку 1, ми привласнюємо осередку ( 1,2) мітку 1. Продовжуємо в тому ж дусі, рухаючись зліва направо по другому рядку і перевіряючи зайнятість кожного осередку. Якщо осередок зайнятий, то ми перевіряємо на занятість її найближчих сусідів в попередніх рядку і колонці Якщо cусідні осередку порожні, то ми привласнюємо їй наступну доступну кластерну мітку. Якщо тільки один з сусідніх осередків зайнятий, то присвоюємо їй мітку зайнятого осередку. Наприклад, осередку(2,2) привласнюємо мітку 1, оскільки сусідній зайнятий осередок(\2) має мітку 1.

Рис. 4. Перколяційна конфігурація на квадратній гратці L = 7. Координати комірок визначаються відносно лівого нижнього кута (1,1): а - показані неправильні кластерні мітки, за допомогою модифікованого алгоритму Хошена-Копельмана; б - показані правильні кластерні мітки.

ЗАВДАННЯ. Наочна ренорм-група

Скористайтеся програмою і оцініть величину порогу перколювання. Наприклад, покажіть, що для невеликих значений р, наприклад р " 0.4, рекормированиая грати зазвичай преобразуется в иесоединяющий кластер. Що станеться у разі великих р, иапрнмер р " 0.8? Як можна використати властивості ренормованих грат для обчислення р ?

Хоча візуальне виконання методу ренорм-группы дозволяє нам грубо оцінити р, воно ие дає можливості оцінити критичні докизатели. Надалі ми проведемо аналіз, заснований иа методі ренорм-групи

5. Ренорм-група

У розд. 12.4 ми скористалися властивостями пов'язаних між собою величин в завданнях перколяції за різних масштабів довжини для обчислення значень критичних показників. Ідею вивчення деяких фізичних величин в околі критичних точок на різних масштабах довжини можна застосовувати не тільки для скінченномірного масштабування, але і взяти за основу в методі ренорм-групи, який, є одним з найважливіших нових методів теоретичної фізики за останнє двадцятиріччя. Перше пояснення критичних явищ за допомогою методу ренорм-групи було опубліковане К. Ж. Вільсоном в 1971 р. В 1981 р. автор був удостоєний Нобелівської премії по фізиці за вклад в розробку методу ренорм-групи. Хоча уперше цей метод був використаний в теорії термодинамічних фазових переходів, простіше познайомитися з ним на прикладі завдань перколяції.

Цей прямий метод отримання критичних показників з використанням методів Монте-Карло часто є набагато потужнішим засобом, ніж звичайні методи Монте-Карло.

Для ознайомленні з цим методом розглянемо фотографію перколяційної конфігурації, згенерованої для значення р = р₀ < p_с. Що ми побачимо, якщо розглядатимемо фотографію зі все більшої віддалі? Отже, за р₀ < p_с. розташована вдалині фотографія буде схожа на перколяційну конфігурацію, згенеровану для значення р₁ такого, що р₁ < р_с. Крім того, довжина зв'язності (р₁) кластерів, що залишилися, буде менша, ніж ніж (р₀). Якщо ми відійдемо ще дальше, то кластери на фотографії будуть здаватись іще меншими і відповідатимуть значенню р = р₂, причому р₂ < р₁.

Функція зв'язності

Властивості геометричних фазових переходів у задачах перколяції і термодинамічних фазових переходів якісно подібні (наприклад існування критичних точок - температури Кюрі чи критичної точки пара-газ)

Відомо, що поблизу точки фазового переходу поведінка системи пов'язана з наявністю дальнодіючих кореляцій. В околі порога протікання поведінка системи пов'язана знаявністю великих скінченних кластерів.

Поведінка довжини зв'язності (р) відповідає фізичним уявленням: з наближенням р до р_с зростає ймовірність того, що що два зайняті вузли знаходяться всередині кластера. Тому (р) сингулярна в критичній області з залежністю:

, де - критичний показник степеня

Рис.5. Якісна залежність довжини зв'язноаті від р.

Реалізація методу ренорм-группы (запропонований Рейнольдсом) розпадається на дві частини: усереднення по усіх основних змінних і точне визначення параметрів, що визначають ренормовану конфігурацію.

Групуємо b^d комірок всередині блока розміром b і замінимо цю комірку єдиною, яка відображається або ні залежно від того зв'язували або ні вхідні комірки цю комірку. Другий крок полягає у визначенні параметрів, які характеризують нову конфігурацію після усереднення.

Другий крок. Припустимо, що кожна клітина незалежна від інших і характеризується тільки значенням р' - ймовірністю того, що комірка зайнята. Оскільки перетворення, що зв'язує між собою р' і р, повинне відбивати той факт, що основною властивістю перколяції є зв'язність (т, е. наявність з'єднувального шляху); ми вважаємо клітину зайнятою якщо вона містить комірки, які "перетинають" цю комірку. Отже, якщо комірки займаються з ймовірністю р, то об'єднані комірки займаються з ймовірністю р', де р' визначається рекурсивним співвідношенням або перетворенням перенормування виду

р' = R(p), (4)

де функція R(p) - повна ймовірність того, що комірки утворюють з'єднувальний шлях. Приклад, що прояснює формальний запис (4). На рис. 4 показані сім з'єднувальних конфігурацій для випадку об'єднаної комірки з b = 2. Ймовірність р' того, що ренормована об'єднана комірка буде зайнята, дорівнює сумі ймовірностей усіх можливих варіантів :

Рис. 4. Сім вертикально з'єднаних конфігурацій для об'єднаної комірки клітини з b = 2.

Для ненормованої гратки всі довжини зменшуються в b разів порівняно з довжинами вихідної гратки:

Для знаходження зв'язку між р і р' розкладемо ренормалізоване перетворення у ряд поблизу р*:

Звідки

Тоді

Звідки b^-1 = ^-

Для b=2 =4p(1-p²)= 1.5279 при р=р*=0,61. звідки 1,635, що відповідає точним розрахункам.

Пошук шляхів протікання

Припустимо, що складений масив V, задано число / і знайдений масив До, що містить певну долю неблокованих вузлів.

Тепер ЕОМ точно знає, який вузол блокований, а якої немає, і починається другий етап програми - пошук шляхів протікання. Припустимо, що вивчається протікання зліва направо. Передусім усі одиниці, що знаходяться в найлівішому стовпці(X = 1), переименовываются в двійки. Перейменування полягає в тому, що в елементі пам'яті, що відповідає цьому елементу масиву До, стирається одиниця і записується двійка. У пам'яті ЕОМ составляется список координат вузлів, перейменованих в двійки. Затим ЕОМ вивчає кожен вузол цього списку. Вона обчислює, які вузли є найближчими сусідами вузла, що вивчається, і запрашивает у масиву До відомості відносно цих сусідів. Якщо найближчий сусід виявився одиницею, то він перейменовується в двійку, а його координати заносяться в новий список. По окончанию вивчення першого списку в пам'яті ЕОМ опиняється список двійок "другого покоління", т. е. список одиниць, перейменованийных в двійки, завдяки тому, що вони були у контакті з двійками першого покоління.

В цілях економії пам'яті ЕОМ на цьому етапі перший список стирається - він більше не потрібний, а відповідні осередки памяти звільняються. Машина переходить до вивчення другого списку і утворення списку двійок третього покоління. По закінченню стирається другий список і починається вивчення третього. Воно зпровождается складанням четвертого списку і т. д.

В ході цього процесу число двійок в масиві До збільшується. Двійки - це неблоковані вузли, пов'язані шляхом протікання з яким-небудь неблокованим вузлом крайнього лівого стовпця, тобто двійками відзначаються шляхи протікання.

Процес пошуку шляхів протікання припиняється в двох випадках:

1. На правій стороні квадрата з'явилася хоч би одна двійка. ЕОМ фіксує, що при цьому значенні протікання існує.

2. На правій стороні квадрата двійок немає, і вивчення чергового списку не привело до утворення жодної нової двійки. Це означає, що усі шляхи порвалися і протікання немає.

4.8. Визначення порогу

Нехай при даному / протікання існує. Тоді ЕОМ зменшує / і, використовуючи той же самий масив V, знаходить новий масив До зі зменшеним числом неблокованих вузлів. Снова відбувається пошук шляхів протікання. Якщо знову фіксується протікання, то число I ще зменшується і так відбувається до тих пір, поки при деякому I не виявляється відсутність протікання. Тоді інтервал між цим значенням ^ і мінімальним значенням, при якому протікання ще було, ділиться навпіл, і при цьому проміжному значенні / здійснюється пошук шляхів протікання. Якщо тепер виявляється, що протікання немає, то интервал між цим останнім значенням і мінімальним значениїм, при якому протікання є, знову ділиться навпіл. Якщо ж протікання є, то навпіл ділиться інтервал між останнім значенням ^ і тим значенням, при якому протікання не було.

Таким чином, поріг протікання береться "у вилку", яку можна скільки завгодно звужувати. Якщо при першому вибраному значенні / протікання не було, то треба збільшувати I до тих пір, поки воно не виникне, а потім знову робити "вилку". Такий метод позволяет знайти значення /, що відповідає порогу протікання з будь-якою мірою точності. При цьому значенні ( обчислюється доля

неблокованих вузлів х, яка, як вже говорилося, близька до значення I, але не обов'язково йому дорівнює. Це значення х і объє порогом протікання, отриманим в цьому опьгге. Па мал. 4.2 показаний перший шлях протікання зліва направо, появившийся в квадраті 30 X 30. Мал. 4.2. Картина розподілу нулів, одиниць і двійок у момент возникновения протікання. Показаний шлях, по якому двійки "просочилися" з лівого боку квадрата на праву. В даному випадку ЕОМ не припинила роботу при появі першої двійки на правій стороні квадрата, а продовжувала її, поки не перестали з'являтися нові двійки.

Потім провадиться багато ідентичних дослідів, що використовують різні набори випадкових чисел в масиві V. Це відповідає зміні випадкової послідовності блокованих вузлів в експерименті з екранною сіткою. Результати цих дослідів позволяют знайти середнє значення порогу протікання х,.(Лг) при заданий-

ном числі вузлів N. (Для цього треба просто скласти все підлозіченные значення порогів і поділити на число дослідів.) Для нахождения істинного порогу протікання хс = Пт ;у->ос хХ^') треба міняти число вузлів в квадраті N і отримувати залежність хДЛ). Для цієї залежності треба підібрати аналітичне вираження вида4

хс =.г,.(ос) + (4.5)

т. е. вибрати три величини, хс(оо), І і у так, щоб выражение(4.5) якнайкраще описувало отримані за допомогою ЕОМ результати. Якщо це вдається зробити таким чином, що 7 > О, то можна сказати, що величина хс(оо) і рівна преділовому значенню хс. Дійсно, згідно з вираженням(4.5) Пт хг = хс(оо). Точність цієї процедури буде тим краще,

ЛГ-"оо

чим більше отримано даних, потрібних для встановлення зависимости хг(Лт). Це, у свою чергу, упирається в швидкодію і об'єм пам'яті використовуваної ЕОМ.

Вправа

1. Розгляньте уважно мал. 4.2 і розберіться в тому, яким способом з'являлися окремі групи двійок.

У різноманітті програм, які пишуть програмісти, виділяють застосування з графічним призначеним для користувача інтерфейсом (GUI). При створенні таких програм стають важливими не лише алгоритми обробки даних, але і розробка для користувача програми зручного інтерфейсу, взаємодіючи з яким, він визначатиме поведінку застосування. Сучасний користувач в основному взаємодіє з програмою за допомогою різних кнопок, меню, значків, вводячи інформацію в спеціальні поля, вибираючи певні значення в списках і т. д. Ці "зображення" в певному значенні і формують GUI, в подальшому ми їх називатимемо виджетами (від англ. widget - "штучка").

Для мови програмування Python такі віджети включені в спеціальну бібліотеку - tkinter. Якщо її імпортувати в програму (скрипт), то можна користуватися її компонентами, створюючи графічний інтерфейс.

tkinter в Python можна імпортувати двома способами: командами import tkinter або from tkinter import *.

У сучасних операційних системах будь-яке призначене для користувача застосування поміщене у вікно, яке можна назвати головним, оскільки в нім розташовуються усі інші віджети. Об'єкт вікна верхнього рівня створюється при зверненні до класу Tk модуля tkinter. Змінну пов'язану з об'єктом-вікном прийнято називати root. Другий рядок коду :

root = Tk()

Canvas (полотно) - досить складний об'єкт бібліотеки tkinter. Він дозволяє розташовувати на самому собі інші об'єкти. Це можуть бути як геометричні фігури, візерунки, вставлені зображення, так і інші віджети (наприклад, мітки, кнопки, текстові поля). Відображені на полотні об'єкти можна змінювати і переміщувати під час виконання коду. Тому canvas знаходить широке застосування при створенні GUI-застосувань c використанням tkinter (створення малюнків, оформлення віджетів, реалізація функцій графічних редакторів, програмована анімація та ін.).

Для того, щоб створити об'єкт-полотно необхідно викликати відповідний клас модуля tkinter і встановити значення властивостей (опцій). Наприклад:

canv = Canvas(root,width=500,height=500,bg="lightblue",

cursor="pencil")

Спершу нам необхідно створити вікно, в якому ми розмістимо наше полотно 300 на 300 пікселів, куди і поміщатимемо наші фігури:

from Tkinter import * # Підключаємо модуль Tkinter у застосування

root = Tk() # Проводимо ініціалізацію графічного інтерфейсу

canvas = Canvas(root, width=300, height=300) # Ініціалізуємо Canvas розміром 300х300 пикселів

canvas.pack() # Розміщуємо Canvas у вікні нашого Tkinter-GUI

root.mainloop() # Створюємо постійний цикл

В результаті виконання цієї послідовності рядків ви матимете квадратне сіре віконце. Все полотно готове і можна приступати до малювання фігур. Спочатку намалюємо круг для цього між 4 і 5 рядком помістимо рядок наступного виду :

circle = canvas.create_oval(10,10,290,290, fill="blue")

Після запуску нашого скрипта у нас повинно з'явиться вікно із зображенням синього круга.

Цей рядок описує правило створення об'єкту oval який належить віджету canvas. Змінною circle привласнюваний canvas.create_oval(x0, y0, x1, y1, options, .). Де x0, y0, x1, y1 - координати овалу :

А option це різні параметри які має овал в нашому прикладі ми використали параметр fill (заповнення кольором) і присвоїли йому значення "blue" - синій.

За допомогою цього рядка ми намалювали багатокутник у вигляді ромба і заповнили його червоним кольором. Для того, щоб намалювати багатокутник вимагається просто задати координати його вершин canvas.create_polygon(x0, y0, x1, y1, x2, y2, x3, y3, fill="red"), усі вершини послідовно з'єднуються лінією і виходить фігура. За допомогою цього об'єкту можна малювати багатокутники будь-якої форми.

Далі помістимо в ромб квадрат, відразу після рядка diamond пишемо наступний рядок:

Далі помістимо в ромб квадрат, відразу після рядка diamond пишемо наступний рядок:

square = canvas.create_rectangle(80,80,220,220, fill="green")

І останнє додамо текст за допомогою методу create_text. Координати цього методу задаються від центру тексту, додаткові параметри також включають колір, шрифт, але головним параметром є той який і виводить текст на полотно canvas. Наступний приклад виводить напис в центрі куту полотна.

text = canvas.create_text(150,150, text="Tkinter canvas", fill="purple", font("Helvectica", "16"))

До видно з написаного рядка метод create_text теж має координати в даному випадку це центр тексту, опція text виводить саме повідомлення, опція fill як описано вище колір заповнення в даному випадку колір шрифту і опція font визначає налаштування шрифту(у нашому прикладі тип і розмір).

Ви напевно звернули увагу, що ми привласнювали значення змінним у вигляді створених об'єктів на полотні. Кожна створена фігура на полотні має свій ідентифікатор, це необхідно для того, щоб надалі ми могли управляти ними.

Можете видалити будь-яку фігуру з полотна використовуючи canvas.delete, наприклад:

canvas.delete(square)

canvas.delete(text)

Лістинг програми:

# -*- coding: koi8-r -*-

__author__ = 'ttm'



import numpy, math, random

n = 20 # зада?мо розм?р масиву - число л?н?йок

m = 20 # зада?мо розм? масиву - число стовпц?в

p = 0.7

sum = 0 #початкове значення суми елемент?в матриц?

r = [[0 for x in range(m)] for x in range(n)] # матриця координат

s = [[0 for x in range(m)] for x in range(n)] # матриця зайнятих ком?рок

x = [0 for x in range(m)]

y = [0 for x in range(m)]

for i in range(0, n):

for j in range(0, m):

r[i][j] = random.random() # випадкове число от 0 до 1.

x0 = 10

y0 = 10

dx = 20

dy = 20

x1 = 30

y1 = 30

from Tkinter import *

root = Tk() # Проводимо ?н?ц?ал?зац?ю нашого граф?чного ?нтерфейсу

canvas = Canvas(root, width=500, height=500) # ?н?ц?ал?зували Canvas розм?ром 300х300 п?ксел?в

canvas.pack() # Розм?щу?мо Canvas у в?кн? нашого Tkinter-GUI

canvas.pack(fill=BOTH)

for i in range(0, n):

for j in range(0, m):

if r[i][j] < p:

s[i][j] = 1

square = canvas.create_rectangle(x0, y0, x1, y1, fill="green")

text = canvas.create_text((x0+x1)/2,(y0+y1)/2, text="1", font=("Helvectica", "8"))

else:

s[i][j] = 0

square = canvas.create_rectangle(x0, y0, x1, y1, fill='white')

text = canvas.create_text((x0+x1)/2,(y0+y1)/2, text="0", font=("Helvectica", "8"))

y0 += dy

y1 += dy

y0 = 10

y1 = 30

x0 += dy

x1 += dy

root.mainloop()

print('\nr {0}'.format(r))

print('\ns {0}'.format(s))

for i in range(0, n):

for j in range(0, m):

sum = sum + s[i][j]

sum1 = float(sum)

number = float(n*m)

percol = sum1/number

print ('summa = %s persolation=%.2f' %(sum1,percol))

Фронтальне опитування

Чис існує залежність між великими розмірами блоків і атомарною структурою?

(Відповідь: завдяки великим розмірам блоків, геометріякристалічних граток фактично не залежить від атомної структури речовини)

Що таке коміркова перколяція?

(Відповідь: Це модель у якій кожна комірка займається з імовірністю Р незалежно від стану сусідніх квадратів)

Що таке поріг перколяції?

(Відповідь: поріг перколяції р_с визначається як така ймовірність р, за якої з'являється перший нескінченний кластер на нескінченній гратці)

Скільки існує частин при реалізації методу ренорм-груп?

(Відповідь: Реалізація методу ренорм-групи (запропонований Рейнольдсом) розпадається на дві частини: усереднення по усіх основних змінних і точне визначення параметрів, що визначають ренормовану конфігурацію)



Висновок: на лекції ми розглянули загальні поняття теорії протікання, а також її програмну реалізацію на Python у випадку розгляду фізичних властивостей геометричних фазових переходів . Це дало нам змогу отримати чудовий приклад введення у компютерне моделювання та можливості методів графічного аналізу.

Завдання на самостійне опрацювання:

· опрацювати конспект сьогоднішньої лекції;

· для більш детальнішого розгляду матеріалу опрацювати матеріали по перколяції;

· для ознайомлення з наступною лекцією зробити короткий можливостей візуалізації у Python;

· для отримання бонусних балів рекомендую написати свої міркування на тему ''Можливості програмного пакету Python для реалізації графічних методів дослідження''.



Література

1. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. 2002. 112 с.

2. Б.И. Шкловский, А.Л. Эфрос, Электронные свойства легированных полупроводников, Глава 5. М.: Наука, 1979.

Размещено на Allbest.ru

...