ЗАДАЧА 1. Расчет разветвленной цепи постоянного тока с одним источником энергии

Условие задачи. Для разветвленной электрической цепи, представленной на рис. 2.2, требуется:

- на основе законов Кирхгофа составить уравнения для определения токов (решать систему уравнений не следует);

- определить токи в ветвях схемы методом контурных токов;

- определить режимы работы активных ветвей и составить баланс мощностей.

Значения ЭДС источников и сопротивлений резисторов приводятся в табл. 2.2.

Таблица 2.2. Исходные данные

Рис. 2.2. Варианты расчетных схем разветвленной цепи постоянного тока с несколькими источниками энергии

Методические указания. Для составления уравнения путем непосредственного применения законов Кирхгофа необходимо предварительно задать направления токов во всех шести ветвях схемы, а также указать направления обхода контуров.

В основу метода контурных токов положено использование понятия контурного тока, под которым понимают условный ток, замыкающийся только по своему контуру. При этом рассматривают только независимые контуры. Это позволяет уменьшить число неизвестных токов до числа независимых контуров, определяемых по формуле

n = p - q + 1,

где p - число ветвей в схеме; q - число узлов в схеме.

Для каждого из этих контуров записывается уравнение по второму закону Кирхгофа, совокупность этих уравнений образует систему линейных алгебраических уравнений, решением которой являются значения контурных токов.

Действительные токи в ветвях находят сложением всех контурных токов, протекающих в данной ветви. Если ветвь входит только в один независимый контур и по ней протекает один контурный ток, то действительный ток в этой ветви равен контурному току.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа задаются условным положительным направлением контурных токов. Направление обхода контура выбирают всегда совпадающим с направлением контурного тока. Учитывают ЭДС всех ветвей, входящих в данный контур, и падения напряжения, создаваемые как контурными токами данного контура на элементах всех его ветвей, так и другими контурными токами на элементах ветвей, входящих одновременно в несколько контуров. Если положительное направление контурного тока соседнего контура в общей ветви совпадает с положительным направлением контурного тока данного контура, то создаваемое им напряжение имеет знак плюс и наоборот.

При составлении баланса мощностей в левой части равенства записывается алгебраическая сумма мощностей, развиваемых активными элементами, со знаком «плюс», если направления действия ЭДС и тока в этом элементе совпадают. В правой части равенства записывается сумма мощностей, рассеиваемых на резистивных элементах схемы.

Пример. Требуется определить число независимых контуров и составить систему линейных алгебраических уравнений для схемы номер 1, представленной на рис. 2.2.

В данной схеме число ветвей р = 6, число узлов q = 4, а число независимых контуров

n = 6 - 4 + 1= 3.

Выбираем три контура, в каждом из которых протекают контурные токи I_I, I_II, I_III, направленные по часовой стрелке. Для каждого из этих контуров составляем уравнения по второму закону Кирхгофа, предварительно указав направление обхода, например, по часовой стрелке. Тогда система линейных алгебраических уравнений будет иметь вид:

контур I - _I (₁ + ₄ + ₃) - _{II 4} - I_{III 3} = - E₁;

контур II - _{I 4} +_II (₄ + ₅ + ₆) - _{III 6} = 0;

контур III - _{I 3} -_{II 6} + _III (₃ + ₆ + ₂) = E₂.

Решая данную систему уравнений одним из математических методов, можно определить контурные токи.

Теоретический материал и примеры расчета приводятся в [1, 1.11-1.12], [2, 3.5 - 3.6].

ЗАДАЧА 3. Расчет неразветвленной цепи синусоидального переменного тока

Условие задачи. Напряжение на зажимах цепи, представленной на рис. 2.3, изменяется по синусоидальному закону и определяется выражением u = Usin ( + _U) . Амплитудное значение U и начальная фаза U напряжения, а также значения активных , индуктивных XL и емкостных XC сопротивлений приводятся в табл. 3.2.

Требуется определить: 1) полное сопротивление в цепи; 2) показания приборов, указанных на схеме; 3) закон изменения тока в цепи; 4) закон изменения напряжения между точками, к которым подключен вольтметр; 5) активную, реактивную и полную мощность, потребляемую цепью из сети; 6) построить векторную диаграмму.

Таблица 2.3. Исходные данные

Методические указания. Для решения задачи рекомендуем рассмотреть теорию электрических цепей синусоидального переменного тока с последовательным соединением активных, индуктивных и емкостных сопротивлений, а также надо познакомиться с особенностями построения векторных диаграмм.

Рис. 2.3. Варианты расчетных схем неразветвленной цепи cинусоидального переменного тока

Показание амперметра вычисляют на основе закона Ома после определения полного сопротивления цепи

z =; U = U /, = U / z,

где - активное сопротивление цепи, Ом; х - реактивное сопротивление цепи, Ом; z - полное сопротивление цепи, Ом.

Активное и реактивное сопротивления определяются арифметической суммой соответствующих сопротивлений, а если включены индуктивное и емкостное сопротивления, то разностью этих сопротивлений

r = r₁ + r₂, x = x_L1 + x_L2, x = x_c1 + x_c2, x =x_L - x_c.

Показание вольтметра определяется произведением тока на сопротивление данного участка цепи. Если участок содержит активное и реактивное сопротивления, то предварительно вычисляют полное сопротивление данного участка.

При определении закона изменения тока необходимо помнить, что он определяется законом изменения напряжения и при активно-ем кост ной нагрузке ток опережает вектор напряжения на угол

i = sin ( + _U + ),

а при активно-индуктивной нагрузке отстает от вектора напряжения на угол

i = sin ( + _U - ),

где = - амплитуда тока, А;

= arс tg ( x/r ) - угол между вектором тока и напряжения, град.

Закон изменения напряжения между точками, к которым подключен вольтметр определяется законом изменения тока. Амплитуда напряжения определяется произведением амплитуды тока на соответствующее сопротивление, а фаза напряжения зависит от характера сопротивления данного участка и определяется следующими выражениями:

_U = _i - 90

при емкостном сопротивлении,

_U = _i + 90

при индуктивном сопротивлении,

_U = _i

при активном сопротивлении,

_U = _i - ₂

при активно-емкостном сопротивлении,

_U = _i + ₂

при активно-индуктивном сопротивлении. Начальная фаза тока _i и угол между током и напряжением на участке цепи определяются выражениями:

_i = _U ; ₂ = arс tg (x₂/r₂).

С учетом вышеизложенного, закон изменения напряжения между точками, к которым подключен вольтметр, можно представить в виде уравнения

u = U sin ( + _U).

Для вычисления мощности, потребляемой цепью из сети, рекомендуем воспользоваться формулами

S = U = ²z, BA; P = U cos = ²r, B; Q = U sin = ²x, вар.

Построение векторной диаграммы для расчетной схемы проводится на основе уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа. Выбрав масштаб тока и напряжения, откладываем в произвольном направлении вектор тока и далее - соответствующие вектора напряжений на участках цепи, учитывая, что на активном сопротивлении вектор тока и напряжения совпадают по фазе, на индуктивном - вектор напряжения опережает ток на 90, а на емкостном - отстает от вектора тока на 90. Результирующий вектор - это напряжение на зажимах цепи, а угол между вектором тока и напряжения должен быть равен углу .

Пример. В цепь переменного тока на рис. 2.4 последовательно включены активное сопротивление r = 5 Ом, индуктивное сопротивление
x_L = 6 Ом и емкостное сопротивление x_С = 2 Ом. Показание амперметра 5 А. Определить напряжения на участках цепи и построить векторную диаграмму.

Решение. Определяем напряжение на каждом из сопротивлений как произведение тока на соответствующее сопротивление, В:

Г_Д= ч_Д = 56 = 30ж Г_с = ч_с = 52 = 10ж Г_к = _к = 55 = 25ю

Для заданной схемы составим уравнение по второму закону Кирхгофа

U =U_L +U_c +U_r.

Выбрав масштаб тока 1 cм = 1 А и напряжения 1 см = 10 В, откладываем соответствующие вектора и получаем векторную диаграмму, представленную на рис. 2.5.

Рис. 2.4. Расчетная схема Рис. 2.5. Векторная диаграмма

Теоретический материал и примеры расчета приводятся в [1, 2.1-2.6, 2.10]; [2, 4.1-4.12, 5.1-5.8]; [4, 2.1-2.12, 2.16-2.20].

ЗАДАЧА 4. Расчет разветвленной цепи синусоидального переменного тока

Условие задачи. В цепи переменного тока, представленной на рис. 2.6, заданы параметры включенных в нее элементов, действующее значение и начальная фаза _U напряжения, а также частота питающего напряжения f = 50 Гц (табл. 2.4).

Рис. 2.6. Варианты расчетных схем разветвленной цепи переменного тока

Таблица 2.4. Исходные данные

Требуется: 1) записать сопротивления ветвей цепи в комплексной форме; 2) определить действующее значение тока в ветвях и в неразветвленной части цепи комплексным методом; 3) записать выражения для мгновенных значений напряжения на участке цепи с параллельным соединением и токов в ветвях; 4) построить векторную диаграмму; 5) определить активную, реактивную и полную мощности, потребляемые цепью из сети; 6) составить баланс мощности.

Методические указания. Для решения данной задачи целесообразно рассмотреть особенности расчета синусоидальных цепей с использованием комплексных чисел. В соответствии с теорией комплексных чисел полное сопротивление каждого участка цепи переменного тока можно записать в алгебраической и показательной формах тока.

,

где х = х_L - реактивное сопротивление участка цепи с индуктивностью, Ом; х = -х_c - реактивное сопротивление участка цепи с емкостью, Ом;

х = х_L-х_c - реактивное сопротивление участка с индуктивным и емкостным сопротивлениями; z , - модуль и фаза полного сопротивления участка

z =; = arctg (x/r).

Определяем комплексное значение полного сопротивления параллельных ветвей и общее сопротивление всей цепи

1/z_п = z_k; z_об= z₁ + z_п,

где z_п - полное сопротивление участка цепи с параллельным соединением, Ом; z_k - полное сопротивление к-й параллельной ветви, Ом; к, n - номер и количество параллельных ветвей; z_об - полное сопротивление всей цепи, Ом.

Ток в неразветвленной части цепи и в параллельных ветвях определяется на основании закона Ома по формулам:

₁ = / z_об ; _п = ₁ z_п ; _к = _п / z_k ,

где ₁ - ток в неразветвленной части цепи, А ; = - напряжение источника в комплексной форме, В; _п - напряжение на участке с параллельным соединением ветвей, В; _к - ток в к-й параллельной ветви, А.

Мгновенные значения напряжения и токов на участке с параллельным соединением рассчитывается по формуле

u_п = U_mп sin ( + _Uп); i_к = I_кm Sin ( + _{i к}),

где U_mп = U_п - амплитуда напряжения на участке с параллельным соединением, В; _Uп , _{i к} - начальная фаза напряжения и тока на участке с параллельным соединением, значение которых определяются расчетом.

Для построения векторной диаграммы расчетные значения токов и напряжений изображают на комплексной плоскости в следующей последовательности: 1) построить в выбранном масштабе вектор напряжения на участке цепи с параллельным соединением элементов; 2) в масштабе токов построить векторы токов в ветвях; 3) на основании первого закона Кирхгофа построить вектор тока в неразветвленной части цепи; 4) построить векторы напряжений на элементах r , L, C, включенных в неразветвленную часть цепи, и, сложив их с вектором напряжения на участке цепи с параллельным соединением, получить вектор напряжения на зажимах цепи.

Если взаимное расположение векторов токов и напряжений на отдельных участках цепи соответствует характеру нагрузки и треугольники токов и напряжений получаются замкнутыми, значит, решение правильное.

Активную, реактивную и полную мощности, потребляемые из сети, можно определить на основе выражения для комплексных значений полной мощности

S = = S соs j S sin = P jQ,

где - сопряженное комплексное значение тока, отличающееся от знаком перед мнимой частью, А; S = U - полная мощность, ВА;

S соs - активная мощность, Вт; S sin - реактивная мощность, вар.

При активно-индуктивном характере нагрузки знак перед jQ положительный, а при активно-емкостном - отрицательный.

При составлении баланса мощностей в левой части равенства записывается комплекс полной мощности источника S. В правой части записывается сумма комплексов полных мощностей ветвей

S = _k = + j ,

где - комплекс напряжения на к-ом участке цепи, В; _k - сопряженный комплекс тока на данном участке, A;

P_k = _k² r_k - активная мощность на к-м участке цепи, Вт;

Q_k = _k² x_k - реактивная мощность на данном участке цепи, вар.

Пример. Для схемы 5 на рис. 2.6 заданы параметры цепи, Ом:

r₁ = x_L1 = 2 Ом; r₂ = 4 Ом; x_L2 = 8 Ом; r₃ = 8 Ом; x_с3 = 4 Ом.

Напряжение сети U = 100 В, начальная фаза напряжения _U = 20⁰. Определить токи и мощности на всех участках цепи. Построить векторные диаграммы.

Решение. Комплексные значения полных сопротивлений участков цепи в алгебраической и показательной формах запишутся в виде, Ом:

Z1 = 2 + j 2 = 2. 83 e ^{j 45};

Z2 = 4 + j8 = 8.94 e ^{j 63};

Z3 = 8 - j 4 = 8.94 e - ^{j 26}.

Комплексное значение полного сопротивления на участке с параллельным соединением рассчитываем по формулам:

;

.

При делении и умножении используем показательную форму комплексного числа, а при сложении и вычитании - алгебраическую. После подстановки в формулу значения сопротивлений получим

= 5.94 + j 2.05 = 6.32 e ^{j 19}, Ом.

Общее сопротивление всей цепи определится

Z_об = Z₁ + Z_п = 2 + j 2 + 5.94 + j 2.05 = 8.9 e ^{j 26} , Ом.

Комплексное, а также мгновенное значение тока в неразветвленной части цепи и напряжение на участке с параллельным соединением вычисляем по формулам:

, А;

i₁ = 11.23 sin ( - 6) = 15.83 sin ( - 6), A;

_п = Z_п = 11.23 e ^{- j6} 6.32 e ^j19 = 71 e ^j13, В.

Тогда мгновенное значение напряжения на этом участке цепи будет определяться выражением:

u_п = 71 sin ( + 13) = 100.41 sin ( + 13), В.

Комплексные и мгновенные значения токов в параллельных ветвях, А:

;

i₂ = 7.94 sin ( - 50) = 11.23 sin ( - 50);

i₃ = 7.94 sin ( + 39) = 11.23 sin ( + 39).

Построение векторной диаграммы проводится по расчетным значениям токов и напряжений, представленных на рис. 2.7 в виде векторов на комплексной плоскости.

Рис. 2.7. Векторная диаграмма токов и напряжений

Векторная диаграмма напряжений строится на основе уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа

= п + 1,

где ₁ = ₁ Z₁ = 31.78 e ^j39 - падение напряжение на первом участке цепи, а векторная диаграмма токов строится на основе уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа

₁ = ₂ + ₃.

Полная мощность источника определяется выражением

S = = P + j Q = 100 e ^j20 11.23 e ^j6 = 1008.8 Вт + j 504.4 вар .

Активная мощность всех участков цепи равна действительной части комплексного значения полной мощности источника

P = r₁ + r₂ + r₃ = 11.23² 2 + 7.94² 4 + 7.94² 8 = 1008.8 Вт.

Реактивная мощность всех участков цепи равна мнимой части комплексного значения полной мощности источника

Q = x_L1 + x_L2 - x_C3 = 11.23² 2 + 7.94² 8 - 7.94² 4 = 504.4 вар.

Следовательно, задача решена верно.

Теоретический материал и примеры расчета представлены в [1, 2.1-2.10; 2, 4.1-4.12, 5.1-5.9].

ЗАДАЧА 5. Расчет трехфазной цепи переменного тока

Условие задачи. К трехфазному источнику с симметричной системой фазных напряжений подключены сопротивления, распределение которых по фазам приводится в табл. 2.6. Значения линейного напряжения U_л, активных r, индуктивных x_L и емкостных x_с сопротивлений приемников даны в табл. 2.7. При расчете цепи пренебрегаем сопротивлением линейных и нейтрального проводов.

Таблица 2.6. Характер нагрузки по фазам

Требуется: 1) нарисовать схему соединения приемников в звезду с нулевым проводом; 2) определить токи в линейных и нейтральном проводах; 3) определить активную и реактивную мощности, потребляемые цепью; 4) построить векторную диаграмму; 5) включить эти же элементы приемника по схеме треугольника, определить фазные и линейные токи.

Таблица 2.7. Исходные данные

Методические указания. Для решения задачи необходимо рассмотреть трехфазные цепи переменного тока и схемы соединения потребителей.

Расчет токов проводится с применением символического метода на основе закона Ома, предварительно выразив фазные напряжения и сопротивления каждой фазы приемника в виде комплексного числа, в котором действительной частью является активное сопротивление, а мнимой частью - реактивное сопротивление

_a = U_а e ^{j 0} ; _в = U_в e ^-j120 ; _с = U_с e ^j120,

Я = к о ч = Я у ^о ж Я = ж = фксеп (ч.к) б

_а = _а / Z_а ; _в = _в / Z_в; _с = _с / Z_с,

где U_а = U_в = U_с= U_л / - фазные напряжения на потребителе, В; r, x - активное и реактивное сопротивления в фазе, Ом; Z, - модуль и фаза сопротивления нагрузки.

Ток в нейтральном проводе определяется на основе первого закона Кирхгофа по формуле

_N = _а + _в + _с.

Активная и реактивная мощности трехфазной цепи определяются как сумма соответствующих мощностей каждой из фаз. Если в фазе включено емкостное сопротивление, то реактивная мощность берется со знаком «-», а при индуктивном сопротивлении - со знаком «+»

P = P_а + P_в + P_с = r_а + r_в + r_с ;

Q = Q_а + Q_в + Q_с = x_а + x_в + x_с ,

где P_а, P_в, P_с - активные мощности соответствующих фаз приемника, Вт; Q_а, Q_в, Q_с - реактивные мощности соответствующих фаз приемника, вар.

Для построения векторной диаграммы выбираем масштаб и строим равносторонний треугольник линейных напряжений. Соединив центр треугольника с его вершинами, получим векторы фазных напряжений. Выбрав масштаб токов, строим векторы линейных токов, ориентируя их соответствующим образом относительно векторов фазных напряжений.

При соединении этих же элементов по схеме в треугольник фазные напряжения увеличиваются до линейных. Для определения фазных напряжений за начало отсчета принимаем вектор напряжения в фазе А. Воспользуемся формулами

_ав = U_л e^j30 ; _вс = U_л e^-j90 ; _са = U_л e^j150.

Токи в линейных проводах определяются как геометрическая разность двух фазных токов

_А = _ав - _са; _В = _вс - _ав; _С = _са - _вс.

Пример. В трехфазной цепи на рис. 2.8 задано линейное напряжение

U_л = 220 В и значения сопротивлений приемника: r₁ = 40 Ом, x_L1 = 20 Ом, r₂ = 30 Ом, x_c2 = 30 Ом, r₃ = 80 Ом.

Рис. 2.8. Расчетная схема

Требуется: 1) определить линейные токи и ток в нулевом проводе; 2) построить векторную диаграмму при подключении нагрузки по схеме звезда; 3) определить фазные и линейные токи при подключении потребителей по схеме в треугольник.

Решение. Запишем напряжения в фазах приемника в комплексной форме

U_ф = U_л / = 220 / =127 В,

_а = 127 е ^о0б Иж _в = 127 е^{- о120}б Иж _с = 127 е ^{о 120}б Ию

Модуль и фаза сопротивления приемника в фазе А определяются выражениями

Z_а = = 44.72 Ом ; _а = arc tg (20/40) = 26.6 ⁰,

Z_а = z_а e ^{j а} = 44.72 e ^{j 26.6}, Ом.

Модуль и фаза сопротивления приемника в фазе В

Z_в = = 42.42 Ом; _в = arc tg (-30/30) = - 45 ⁰,

Я_в = я_в у ^{о в} = 42ю42 у -^{о 45}б Омю

Модуль и фаза сопротивления приемника в фазе С

Z_с = = 80 Ом ; _с = arc tg (0/80) = 0 ⁰,

Z_с = z_с e ^{j с} = 80 e ^{j 0}, Ом.

При соединении приемника в звезду токи линейные равны токам фазным и определяются по закону Ома формулами, А:

= 2.84 e^{-j 26.6} = 2.53 - j 1.27;

= 2.99 e^{-j 75} = 0.78 - j 2.88;

1.58 e ^{j 120} = - 0.77 + j 1.35.

Ток в нулевом проводе определяется на основе первого закона Кирхгофа для узла n

_N = _а + _в + _c = 2.53 - j 1.27 + 0.78 - j 2.88 - 0.77 - j 1.35 = 3.78 e - ^{j 47.8}, А.

Векторная диаграмма для заданных параметров схемы приводится на рис. 2.9, где вектор тока в нейтральном проводе равен геометрической сумме линейных токов.

Рис. 2.9. Векторная диаграмма

При соединении нагрузки в треугольник фазные напряжения определяются формулами, В:

_ав = 220 e ^{j 30}; _вс = 220 e - ^{j 90};

_са = 220 e ^{j 150}, В.

Токи в фазах приемника определяются на основе закона Ома формулами, А:

= 4.92 e ^j3.4 = 4.91 + j 0.065;

= 5.18 e - ^j45 = 3.66 - j 3.66 ;

= 2.75 e ^{j 150} = - 2.38 + j 1.38.

Токи в линейных проводах рассчитываются по формулам, А:

_А = _ав - _са = 4.91+ j 0.065+ 2.38 - j 1.38 =7.29 - j 1.315 = 7.32 e^{- j 10} ;

_В = _вс - _ав = 3ю66 - о 3ю66- 4ю91- о 0ю065 = -1ю25 - о 3ю725 = 3ю8 у^{- о111} ж

_С = _са - _вс = -2.38+ j 1.38 - 3.66+ j 3.66 = -6.04+ j 5.04 = 7.85 e ^{j 159}.

Сравнительный анализ линейных токов в расчетной трехфазной цепи для различных схем соединения при заданных сопротивлениях в фазах приемника приводится в табл. 2.8.

Таблица 2.8. Анализ линейных токов

Вывод. При соединении элементов приемника по схеме в треугольник токи в линейных проводах увеличиваются.

Теоретический материал и примеры расчета приводятся в [1, 3.1-3.4; 2, 7.1-7.6].

ЗАДАЧА 6. Решение задачи по теме «Двигатели постоянного тока»