Движение частиц в электрическом и магнитном полях

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. В замкнутой электрической цепи, состоящей из двух разнородных металлов, возникает термо-ЭДС, если спаи имеют разную температуру (явление Зеебека). Если же по этой цепи пропустить электрический ток, то один из спаев будет нагреваться, а другой охлаждаться (явление Пельтье). Термоэлектрические свойства такой цепи зависят от природы контактирующих металлов. Для примера сравним две системы, состоящие из двух пар разнородных металлов:

I. Медь-серебро (_Cu=8,93х10³ кг/м³, М_cu=64х10^-3 кг/моль,

_Ag=10,5х10³ кг/м³, М_ag=108х10^-3 кг/моль);

II. Висмут-железо (_Bi=9,80х10³ кг/м³, М_bi=209х10^-3 кг/моль,

_Fe=7,88х10³ кг/м³, M_fe=56х10^-3 кг/моль).

Определить, полагая, что на каждый атом металла приходится один свободный электрон: концентрацию свободных электронов в железе;

Решение

По определению концентрация атомов равна отношению числа атомов к объёму , в котором они находятся: . Число атомов равняется произведению их количества в одном моле, то есть числа Авогадро , на количество вещества, равное отношению массы вещества к массе одного моля, то есть к молярной массе : . Отсюда . Учитывая, что отношение массы вещества к его объёму есть плотность вещества, получаем итоговое выражение для концентрации атомов висмута, значит и для концентрации свободных электронов в висмуте: .

Проверим, даёт ли эта формула размерность концентрации частиц :

.

Выполним вычисления

Ответ:

2. Широко применяются в электронной технике полупроводники на основе элементов четвертой группы таблицы Менделеева германия и кремния. Пользуясь зонной теорией электропроводности, определить: величину удельной электрической проводимости германия, если концентрация примесных атомов трехвалентного индия равна 4,5х10²¹ м^-3, а подвижность носителей заряда 0,18 м²/(Вс) (указать тип носителей заряда). Собственной проводимостью пренебречь; считать все атомы примеси ионизированными;

Решение

Зависимость от температуры удельной электрической проводимости чистого германия, обусловленной собственной проводимостью, выражается следующей формулой , где - постоянная Больцмана. Так же удельная проводимость, с учетом условия задачи, где носителями являются электроны:

Ответ:

3. В магнитном поле бесконечного прямого проводника с током I₁=2,0 А находится жесткая квадратная рамка со стороной а=0,20 м, обтекаемая током I₂=4,0 А, две стороны которой параллельны первому проводнику. Ближайшая к проводнику сторона рамки находится от него на расстоянии а. Приняв ₀=4х10^-7 Гн/м, определить: силу, действующую на сторону АД рамки;

Решение

Магнитная индукции в некой точке на стороне , создаваемая элементом прямого проводника , определяемого радиус-вектором , проведенным из точки , находится согласно закону Био-Савара-Лапласа , в скалярном виде , где -угол между направлениями (совпадает с направлением тока ) и , .

Разность между радиус-векторами, опущенными из точки на противоположные концы элемента прямолинейного участка, складывается из двух ортогональных частей. Первая часть, равная , обусловлена разницей в ориентации радиус-векторов. Вторая часть - разницей длин.

Так как сторона АД перпендикулярна первому проводнику с током, то

Магнитная индукция одинакова во всех точках стороны AD.

Согласно закону Ампера сила , с которой магнитное поле, создаваемое прямым проводником, действует на элемент проводника стороны , определяется формулой или скалярном виде , где - угол между направлениями магнитной индукции и тока . Найдём силу, действующую на рамку, взяв интеграл по длине рамки:

Проверим, даёт ли эта формула размерность силы :

Выполним вычисления

Ответ:

4. В центре “бесконечного” соленоида с плотной навивкой радиусом R=5 см, имеющего n=4000 витков на метр, помещена квадратная рамка с N=100 витков, сторона которой равна а=2,0 см. Рамка с током I₂=0,50 А может поворачиваться вокруг оси ОО, перпендикулярной оси соленоида, по которому течет ток I₁=5,0 А. Определить: магнитный момент рамки с током;

Решение

Магнитный момент рамки с током:

Тогда:

Ответ:

5. Тороид без сердечника квадратного сечения имеет обмотку, состоящую из N=1000 витков, по которой течет ток I=10,0 А. Учитывая, что наружный диаметр тороида D=40,0 см, а внутренний d=20,0 см, определить, сделав вывод соответствующих формул с помощью закона полного тока: максимальное значение индукции магнитного поля тороида;

Решение

Выберем замкнутый контур в виде круга, перпендикулярного оси симметрии тороида, с центром на этой оси, границы которого лежат внутри тороида, и радиуса . Согласно закону полного тока циркуляция вектора напряжённости магнитного поля по замкнутому контору равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром: . Указанный контур охватывает количество токов, равное числу витков: . По правилу правой руки напряжённость, создаваемая одним витком, направлена перпендикулярна плоскости витка. В силу симметрии суперпозиция напряжённостей, создаваемых всеми витками в плоскости одного витка, также будет направлена перпендикулярна этой плоскости, значит параллельно , и величина напряжённости на границе контура будет одинакова, поэтому , учитывая, что длина окружности , получаем, , . Величина напряжённости обратно пропорциональна радиусу выбранного контура и будет максимальна, когда радиус минимален, то есть, когда равна

.

Зависимость индукции и напряженности магнитного поля:

Проверим, даёт ли эта формула размерность индукции магнитного поля Тл: магнитный индукция поле плотность

Выполним вычисления

Ответ:

6. В однородном магнитном поле индукцией В=1,0х10^-3 Тл с частотой =314 рад/с вращаются две замкнутые изолированные рамки, жестко связанные между собой. Рамки размерами: 1-я - (2,0х3,0) см², 2-я - (1,5х3,0) см², содержат по N=100 витков тонкой проволоки сопротивлениями R₁=6,0 Ом и R₂=4,5 Ом соответственно. Они могут вращаться вокруг общей оси ОО, перпендикулярной линиям индукции. Плоскости рамок взаимно перпендикулярны. Полагая, что в начальный момент плоскость первой рамки параллельна линиям индукции внешнего поля, определить как функцию времени: потокосцепление, связанное со 2-й рамкой;

Решение

Потокосцепление равно магнитному потоку, сцепленному со всеми витками: . Магнитный поток определяется следующей формулой , где - угол между нормалью к плоскости рамки и направлением магнитной индукции. Угловая скорость есть первая производная от угла поворота по времени , отсюда, взяв интеграл по времени , получим. В начальный момент времени линии индукции внешнего поля параллельны плоскости первой рамки, то есть перпендикулярны нормали к плоскости рамки: и , , .

Проверим, даёт ли эта формула размерность магнитного потока : .

Выполним вычисления

Ответ:

7. Соленоид, выполненный в виде картонного каркаса длиной в=0,50 м и диаметром D=2,50 см с однослойной обмоткой из медной проволоки (=1,7х10^-8 Омм) диаметром d=0,20 мм с плотно прилегающими друг к другу витками включен в электрическую цепь ЭДС источника =4,24 В с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением. Считая незначительным сопротивление подводящих проводов, определить: мгновенное значение объемной плотности энергии магнитного поля соленоида в момент времени =7,7 мкс после замыкания ключа К в положение 1;

Решение

Объемная плотность энергии:

где - индуктивность соленоида. - площадь поперечного сечения соленоида, равняется площади круга . Длина соленоида равна произведению диаметра проволки на число витков : , отсюда , ,

При замыкании цепи мгновенное значение силы тока определяется формулой , где - сопротивление обмотки, - площадь поперечного сечения проволоки, их которой сделана обмотки, длина проволоки равна произведению длины одного витка, то есть длины окружности соленоида , на число витков : , отсюда , ,

Проверим, даёт ли эта формула размерность магнитного потока :

Ответ:

8. В однородное магнитное поле индукцией В=1,0х10^-3 Тл влетают под углом =30⁰ протон (р) и электрон (е) с одинаковыми скоростями, равными v=4,0 км/с. Учитывая, что элементарный заряд е=1,60х10^-19 Кл, и массы протона и электрона соответственно равны: m_p=1,67х10^-27 кг, m_e=9,11х10^-31 кг, определить: шаг винтовой линии электрона;

Решение

На движущейся протон в магнитном поле действует сила Лоренца . Согласно второму закону Ньютона . Направим ось сонаправлено с , ось в плоскости векторов и перпендикулярно . Тогда для компонент основного уравнения динамики получаем . Так как , скорость в направлении осей и не изменятся. Если перейти в систему отсчёта, движущейся со скоростью в направлении оси , то протон будет вращаться по окружности постоянного радиуса со скоростью с центростремительным ускорением , то есть , . Учитывая, что , получаем , .

Шаг спирали равен смещению протона вдоль оси за время одного оборота , где период обращения равен отношению длины окружности к линейной скорости обращения , : .

Проверим, даёт ли эта формула размерность длины : .

Выполним вычисления

Ответ:

Размещено на Allbest.ru