Силы, действующие в жидкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1. Гидростатика

гидростатический давление жидкость

На плотину из бетона (с = 2000 кг/м³) длиной L с двух сторон давит вода. Найти равнодействующую сил нормального давления грунта на плотину и точку её приложения. Определить, опрокинется ли плотина при Н = В. Построить эпюры давления воды и воздуха на плотину.

Дано:

Н = 7,5 м

h = 7 м

с = 2000 кг/м³

Найти:

= ?

k = ?

Решение:

Выберем систему координат как показано на рис. 1.

В задаче рассматривается равновесие плотины.

На плотину действуют следующие активные силы:

1) силы тяжести плотины G,

2) сила гидростатического давления жидкости в верхнем бьефе Р_ж1, приложенная по нормали к поверхности плотины;

3) сила гидростатического давления жидкости в нижнем бьефе Р_ж2, приложенная по нормали к поверхности плотины.

Связью, наложенной на плотину, является шероховатое основание. Эту связь заменяем равнодействующей силой нормального давления грунта на плотину.

Таким образом, уравнение равновесия плотины имеет вид

,

Рис. 1

или в проекции на ось y (рис. 1)

,

откуда равнодействующая сила нормального давления грунта на плотину

. (1)

Ширина подошвы плотины

.

Объем плотины

.

Сила тяжести, действующая на плотину

.

Сила тяжести приложена в центре тяжести плотины.

Определим координату центра тяжести плотины в выбранной системе координат (рис. 1):

,

м.

Силу гидростатического давления жидкости в нижнем бьефе Р_ж2 определим по формуле

, (2)

где - площадь смоченной поверхности плотины в нижнем бьефе, - избыточное давление воды в центре тяжести смоченной поверхности плотины в нижнем бьефе, - глубина погружения центра тяжести смоченной поверхности плотины в нижнем бьефе, кг/м³ - плотность воды.

Глубина погружения центра тяжести смоченной поверхности плотины в нижнем бьефе

; (3)

площадь смоченной поверхности плотины в нижнем бьефе

. (4)

Подставляя выражения (3) и (4) в формулу (2), получим

.

Точку приложения силы давления воды определим по формуле

, (5)

где - центральный момент инерции смоченной поверхности плотины в нижнем бьефе; - расстояние между центром тяжести смоченной поверхности плотины и свободной поверхностью жидкости нижнем бьефе, отсчитываемое в плоскости смоченной поверхности плотины.

Как видно из рис. 1,

. (6)

Момент инерции смоченной поверхности плотины в нижнем бьефе

. (7)

Подставляя выражения (4), (6) и (7) в формулу (5), получим

Таким образом, координаты точки приложения силы (рис. 1):

,

.

По формуле (1) определим равнодействующую силу нормального давления грунта на плотину

 Н.

Для определения точки приложения равнодействующей силы нормального давления грунта на плотину составим уравнение моментов сил относительно оси z (рис. 1):

,

откуда

.

2) Определим, опрокинется ли плотина при Н = В.

Для этого вначале определим силу давления воды на плотину в верхнем бьефе при Н = В.

Силу гидростатического давления жидкости в верхнем бьефе Р_ж1 определим по формуле

, (8)

где - площадь смоченной поверхности плотины в верхнем бьефе, - избыточное давление воды в центре тяжести смоченной поверхности плотины в нижнем бьефе, - глубина погружения центра тяжести смоченной поверхности плотины в верхнем бьефе.

Глубина погружения центра тяжести смоченной поверхности плотины в верхнем бьефе

 (9)

площадь смоченной поверхности плотины в верхнем бьефе

. (10)

Подставляя выражения (9) и (10) в формулу (8), получим

.

Точку приложения силы давления воды определим по формуле

, (11)

где - центральный момент инерции смоченной поверхности плотины в верхнем бьефе.

Момент инерции смоченной поверхности плотины в верхнем бьефе

. (12)

Подставляя выражения (9), (10) и (12) в формулу (11), получим

Таким образом, координаты точки приложения силы (рис. 1):

,

.

Коэффициент устойчивости плотины равен отношению суммы удерживающих моментов к сумме опрокидывающих моментов

.

Сумма удерживающих моментов относительно оси, проходящей через ребро плотины К:

Н •м.

Сумма опрокидывающих моментов относительно оси, проходящей через ребро плотины К:

Н •м.



Рис. 2. Эпюра давления воды и воздуха на плотину

Определим коэффициент устойчивости плотины

,

следовательно, при Н = В плотина будет устойчива, опрокидывания не произойдет.

3. Определим избыточное давление воды у подошвы плотины в верхнем () и нижнем () бьефах:

Па = 73,575 кПа;

Па = 68,67 кПа;

Примем атмосферное давление .

Используя полученные данные, строим эпюры давления воды и воздуха на плотину (рис. 2).

Ответ:

1) равнодействующая силы нормального давления грунта на плотину Н, точка приложения ;

2) не опрокинется ().

Задача 2. Динамика реальной жидкости

Из резервуара, давление в свободном объеме которого p₁, через водопроводную систему, состоящую из труб разного диаметра и длины, входа в трубопровод А, резкого расширения (или сужения) В, запорного вентиля С, и конфузора (диффузора) D вода выливается в атмосферу.

Определить давление p₁, необходимое для обеспечения заданного расхода Q, а также построить графики пьезометрического и скоростного напоров.

Дано:

Н = 6 м

0,05 м

0,09 м

0,03 м

0,02 м

Стальные бесшовные новые

Найти:

р₁ = ?

Решение:



Рис. 3

Вычислим средние скорости воды на участках трубопровода

,

,

;

.

Определим числа Рейнольдса для каждого участка трубопровода

,

,

,

,

где м²/с - коэффициент кинематической вязкости воды [3].

Так как Re₁, Re₂, Re₃ и Re₄ больше 2300, то режим течения на всех участках трубопровода турбулентный.

Потери напора на трение по длине i-го участка определим по формуле Дарси

,

где - коэффициент гидравлического трения на i-ом участке трубопровода, и - соответственно длина и диаметр i-го участка трубопровода, - средняя скорость воды на i-ом участке трубопровода, g = 9,81 м/с² - ускорение свободного падения.

По таблице 3.1 [3, с. 56] определим среднюю шероховатость новой стальной бесшовной трубы: д = 0,014 мм = 0,014 • 10-³ м.

Вычислим значение комплексов

,

,

,

,

Так как , и , то на участках трубопровода диаметром d₁, d₃ и d₄ режим течения лежит в переходной области сопротивления, поэтому на этих участках коэффициент гидравлического трения определяем по формуле Альтшуля:

,

,

.

Так как , то на участок трубопровода диаметром d₂, является гидравлически гладким, поэтому коэффициент гидравлического трения на этом участке можно определить по формуле Блазиуса:

,

Вычислим потери напора по длине на каждом участке трубопровода

м,

м,

м,

м.

Местные потери напора на i-ом участке трубопровода определим по формуле Вейсбаха:

,

где - коэффициент сопротивления в i-ом местном сопротивлении.

В рассматриваемом случае местные сопротивления (рис. 3):

1) вход в трубопровод А (рис. 3) диаметром d₁ с коэффициентом сопротивления (по приложению 3 [4, с. 468]).

Потери напора на входе в трубопровод

.

2) внезапное расширение трубопровода В (рис. 1) от диаметра d₁ до диаметра d₂ с коэффициентом сопротивления

,

где и - соответственно площади сечений участков трубопровода до и после внезапного расширения.

Потери напора при внезапном расширении

.

3) запорный вентиль С (рис. 3) с коэффициентом сопротивления (при полном открытии) (по приложению 3.IV [4, с. 469]).

Потери напора в запорном вентиле

.

4) плавное сужение (конический конфузор).

Угол конусности б определим из формулы:

,

Откуда

.

Отношение диаметров конфузора

.

По приложению 3 [4, с. 468] по значению и определим коэффициент сопротивления конфузора

.

Потери напора в конфузоре

.

Суммарные потери напора в трубопроводе

,

м.

Выберем сечение 0-0 по свободной поверхности жидкости в резервуаре; сечение 4-4 - на выходе из трубопровода. Плоскость сравнения выберем, как показано на рис. 3.

Составим уравнение Бернулли для сечений 0-0 и 4-4:

, (1)

где z₀, z₄ - расстояние от центров тяжести сечений 0-0 и 4-4 до плоскости сравнения ; p₀, p₄ - давление в центрах тяжести живых сечений 0-0 и 3-3; w₀, w₄ - средняя скорость движения жидкости в живых сечениях 0-0 и 4-4; и - коэффициенты Кориолиса в живых сечениях 0-0 и 4-4; - потери напора на преодоление сил сопротивления при движении потока от сечения 0-0 до сечения 4-4; с = 1000 кг/м³ - плотность воды [3].

В рассматриваемом случае , .

Избыточное давление в центре тяжести живого сечения 0-0 равно .

Так как истечение происходит в атмосферу, то в сечении 4-4 атмосферное давление , следовательно, избыточное давление в сечении 4-4 .

Так как сечение 0-0 выбрано по свободной поверхности жидкости в резервуаре больших поперечных размеров, то средняя скорость воды в сечении 0-0 пренебрежимо мала, т.е. принимаем .

Средняя скорость воды в сечении 4-4 равна средней скорости воды на участке трубопровода диаметром d₄, т.е. .

Так как режим течения турбулентный, то коэффициент Кориолиса .

Подставляя значения величин в уравнение (1), получим:

,

откуда избыточное давление на свободную поверхность жидкости в резервуаре:

= 2,611 • 10⁵ Па = 0,2611 МПа.

Таким образом, для того чтобы обеспечить расход воды Q = 1,5 л/с через заданный трубопровод, на свободной поверхности жидкости в резервуаре необходимо создать избыточное давление = 0,2611 МПа.

Для построения графиков пьезометрического и скоростного напоров на расстоянии

выше свободной поверхности жидкости в закрытом резервуаре проведем линию начального напора.

От линии полного напора откладываем последовательно рассчитанные выше потери напора и проводим напорную линию (рис. 4). Так как большинство потерь очень маленькие, то выполним построение без соблюдения масштаба (рис. 4).

Рис. 4. Графики скоростного и пьезометрического напоров

Так как на всех участках трубопровода режим течения турбулентный, то коэффициенты Кориолиса = 1, , и .

Для построения пьезометрической линии вычислим скоростные напоры на каждом участке

;

;

;

.

Пьезометрическую линию проводим ниже линии полного напора на величину соответствующего скоростного напора (рис. 4).

Ответ: избыточное давление = 0,2611 МПа.

Задача 3. Истечение жидкости из отверстий и насадков

Истечение воды из закрытого резервуара происходит через насадок, а из открытого - через отверстие в тонкой стенке. Диаметры выходного отверстия насадка и отверстия в тонкой стенке одинаковы. Определить расход воды через систему и избыточное давление p₀ в закрытом резервуаре.

Дано:

схема б

Н₃ = 0,4 м

d =15 мм = 0,015 м

Н₁ = 1,4 м

Н₂ = 2,2 м

Внешний цилиндр. насадок

Найти:

Q = ?

р₀ = ?

Решение:

Рис. 5

Так как на свободную поверхность воды в открытом резервуаре действует атмосферное давление, и истечение из незатопленных отверстий диаметром d так же происходит в атмосферу, то расход Q₂ через отверстие в дне открытого резервуара (рис. 5) и расход Q₃ через отверстие в боковой стенке открытого резервуара будут соответственно равны:

,

,

где H₂ - установившийся уровень воды над центром отверстия в дне открытого резервуара, Н₃ - установившийся уровень воды над центром отверстия в боковой стенке открытого резервуара; - коэффициент расхода при истечении через малое отверстие в тонкой стенке [2, с. 109]; - площадь отверстия.

Проведем вычисления:

,

.

При установившемся режиме истечения (т.е. когда уровни воды в отсеках бака становятся постоянными) расход жидкости через внешний цилиндрический насадок будет равен расходу воды Q через систему:

м³/с = 1,026 л/с.

С другой стороны, расход жидкости через затопленный внешний цилиндрический насадок диаметром d можно определить по формуле:

, (1)

где - коэффициент расхода при истечении через внешний цилиндрический насадок (по приложению 39 [3, с. 246]); - площадь сечения насадка, H₁ - установившаяся разность уровней воды в закрытом и в открытом резервуарах, р₀ - избыточное давление на свободную поверхность жидкости в закрытом резервуаре, с = 1000 кг/м³ - плотность воды [3].

Выразим из формулы (1) избыточное давление на свободную поверхность жидкости в закрытом резервуаре:

= 11,4 кПа.

Ответ л/с; избыточное давление р₀ = 11,4 кПа.

Литература

1. Методичка.

2. Башта Т.М. Гидравлика, гидромашины и гидроприводы. Учебник для машиностроительных вузов /Т.М. Башта, С.С. Руднев, Б.Б. Некрасов и др. 2-е изд., перераб. - М.: Машиностроение, 1982.-423 с.

3. Примеры расчетов по гидравлике: учеб. пособие для строит. спец. вузов/ А.Д. Альтшуль [и др.]. - М.: Стройиздат, 1976. - 256 с.

4. Сборник задач по машиностроительной гидравлике /Д.А. Бутаев, З.А. Калмыкова, Л.Г. Подвидз и др. - М.: Машиностроение, 1972. - 472 с.

Размещено на Allbest.ru

...