Алгоритм моделирования орбит системы объектов дифференциальным уравнением кривых второго порядка

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Алгоритм моделирования орбит системы объектов дифференциальным уравнением кривых второго порядка

Штром Виктор Фёдорович

Аннотация

Краткое описание алгоритма: вычисление движения тел, через связный граф. Граф построен на решении дифференциального уравнения кривых второго порядка (смотри приложение), теоремы центра масс, перехода от последовательного ряда относительных координат к единой системе координат. Также предложены задачи на вращение тела вокруг своей оси, за счёт изменения координат центра массы тела, под действием теплового излучения второго тела.

Ключевые слова: материальная точка, эллипс, угловое ускорение, эксцентриситет, дифференциальное уравнение, связный граф, тепловое излучение.

Содержание

1. Алгоритм

2. Возникновение и необходимость вращения планет вокруг своей оси

3. Вывод дифференциального уравнения кривых второго порядка

координата граф орбита дифференциальный

1. Алгоритм

Пренебрегая размерами тел, будем пользоваться термином материальные точки, или просто точки.

Дифференциальное уравнение кривых второго порядка (вывод уравнения в Приложении):

(1)

a(t) - угол между большой осью и радиусом от точки до фокуса.

e - эксцентриситет.

1. Движение одной материальной точки вокруг относительно неподвижной второй точки

Масса первой точки много меньше массы второй.

Максимальное и минимальное расстояние между точками известно, вторая точка находится в одном из фокусов эллипса, тогда движение первой точки можно вычислить по формуле (1).

2. Движение двух точек вокруг общего центра масс

Массы точек p₁, p₂ сопоставимы и известны m₁,m₂. Известно максимальное и минимальное расстояние между точками - a₁₂,b₁₂.

Рис. 1

Центр масс совместим с началом координат. Вычислим полуоси эллипсов - a₁, b₁, a₂, b₂:

(2)

(3)

(4)

(5)

Из системы уравнений (2) - (5) находим:

; ; ; ;

Вычисляем эксцентриситеты. Точки движутся синхронно, иначе столкнутся. Рассчитываем движение точек по формуле (1).

3. Движение трёх и более точек вокруг общего центра масс со следующими условиями:

a) Масса точек m₁,m_2, m₃ известны_. Система точек имеет общий центр вращения. Совместим общий центр точек с началом координат.

b) Максимальное и минимальное расстояние между точками известно.

c) Точки вращаются по своим орбитам парно синхронно.

Алгоритм

Вычисляем орбиты данных точек. Орбита каждой точки есть сумма орбит её графа. Из исходных данных вычисляем координаты точек относительно общего центр вращения. Общий центр вращения считаем неподвижным. Формируется связный граф до общего центра вращения, через промежуточные центры вращения пар, в которых участвовала данная точка.

a) Задать начальную точку графа.

b) Другие точки группируются непересекающимися парами.

c) Вычислить координаты центров вращения пар точек и присвоить центрам массу равную сумме масс соответствующей пары точек.

d) Для каждой пары проводится вычисление по алгоритму пункта 2. Движение двух точек вокруг общего центра масс.

e) Получили новую систему точек: начальная точка + центры масс пар точек для нечётного числа, начальная точка + центры масс пар точек + 1 для чётного числа, заданной системы точек. Повторить пункты c), d), e) для новой системы точек.

f) Пункт f) повторить в цикле, пока не останется система из двух точек, начальная точка + центр масс остальных изначально заданных точек. Выполнить последний раз пункт 2.

g) Для каждой точки выполнить сложение координат относительных систем отсчёта.

Углы, угловые скорости, угловые ускорения, параметрические радиусы вычисляются по формуле (1) программой ZweiObjekte1Winkel.exe. Углы, угловые скорости, угловые ускорения, параметрические радиусы записываются в файлы ellpi*.txt.

Примеры:

Все точки имеют период вращения T = 1. Задаётся точность вычисления - число интервалов времени на траектории (в примерах вычисляется 100 интервалов на каждом эллипсе). Интервал равен T/100 = 0.01.

Пример 1. Рис. 1. Две точки.

В следующих примерах для упрощения расчетов полагаем, что на всех эллипсах движение против часовой стрелки и все эллипсы имеют одинаковый эксцентриситет.

Пример 2. Рис. 2

Имеем три объекта равной массы m1:m2:m3 = 1:1:1. Все орбиты - эллипсы. Расстояние между объектами задано, p1p2 = p2p3 = p3p1 = 8. Задан эксцентриситет e = 0.6. Строим граф орбит. Центры вращения вычисляются по правилу центров масс. Имеем три варианта: (p1(p2,p3)), (p2(p1,p3)), (p3(p1,p2)). Ввиду симметрии системы, графы эквивалентны. Возьмём граф (p3(p1,p2)) = (p3,O12). Знак равенства означает, что каждое звено графа заменено центром масс точек звена, например (p1,p2) = O12. Вычисления начинаются с внутренних скобок.

Рис. 2

Вычисляем большие и малые оси. Вычисляем скорости движения объектов в точках орбит с заданным интервалом по времени. Полученные углы, угловые скорости, угловые ускорения, параметрические радиусы записаны в файлы ellpi*.txt. Программа Objecte3-1-1-1 вычисляет орбиты объектов по описанному алгоритму. Видеоролик Objectes3-1-1-1.swf.html. Исполняемый файл Objecte3-1-1-1.exe, файлы данных ellpi*.txt в папке Objectes3-1-1-1.

Видеоролики в папке ObjectesVideosHTML.

В виду симметрии все три объекта должны иметь одинаковые орбиты и иметь симметрию относительно центра вращения. Что и видно на рис. 3.

Пример 3. Рис. 4.



Рис. 3

Рис. 4

Зададим массы m1:m2:m3 = 1:2:3, Имеем координаты объектов относительно центра вращения. Все орбиты - эллипсы. Задаём эксцентриситет e = 0.3. Строим граф орбит. Имеем три варианта: (p1(p2,p3)), (p2(p1,p3)), (p3(p1,p2)). Возьмём граф (p1(p2,p3)) = (p1,c23). Вычисляем большие и малые оси. Все объекты имеют период вращения T = 1, этим обеспечивается синхронность движения. Вычисляем скорости движения объектов в точках орбит с шагом по времени 0.01*T. Данные углов, угловых скоростей, угловых ускорений, параметрических радиусов находятся в файлах ellpi*.txt. Программа Objecte3-1-2-3 вычисляет орбиты объектов по описанному алгоритму. Видеоролик Objectes3-1-2-3.swf.html. Исполняемый файл Objecte3-1-2-3.exe, файлы данных ellpi*.txt в папке Objectes3-1-2-3.



Рис. 5. Орбиты объектов примера 3.

Пример 3а. Рис. 6.

Рис. 6

Повторим пример 3 с другим графом орбит (p3(p1,p2)) = ((p3,c12)). Данные углов, угловых скоростей, угловых ускорений, параметрических радиусов находятся в файлах ellpi*.txt. Программа Objecte3-1-2-3a вычисляет орбиты объектов по описанному алгоритму. Видеоролик Objectes3-1-2-3a.swf.html. Исполняемый файл Objecte3-1-2-3a.exe, файлы данных ellpi*.txt в папке Objectes3-1-2-3a.

Рис. 7. Орбиты объектов примера 3а.

Видим, что рис. 5 и рис. 7 подобны, т.е. орбиты примеров 2 и 2а качественно схожи. Требуется найти функцию подобия графов (p1(p2,p3)) и (p3(p1,p2)). Возможно, необходимы более точные вычисления.

Пример 4. Рис. 8

Рис. 8

Положим массы m1:m2:m3 = 1:2:3:4, Имеем координаты объектов относительно центра вращения. Все орбиты - эллипсы. Задаём эксцентриситет e = 0.3. Строим граф орбит. Возьмём граф (p4(p1(p2,p3))) = (p4(p1,с23))) = (р4,с123). Вычисляем большие и малые оси. Все объекты имеют период вращения T = 1, этим обеспечивается синхронность движения. Вычисляем скорости движения объектов в точках орбит с шагом по времени 0.01*T. Данные углов, угловых скоростей, угловых ускорений, параметрических радиусов находятся в файлах ellpi*.txt. Программа Objecte4-1-2-3-4 вычисляет орбиты объектов по описанному алгоритму. Видеоролик Objectes4-1-2-3-4.swf.html. Исполняемый файл Objecte4-1-2-4.exe, файлы данных ellpi*.txt в папке Objectes4-1-2-3-4.

Рис 9. Объекты - p1, p2, p3, p4. Центры вращения - c0, c12, c123.

Пример 5. Смоделируем вращение двух одинаковых тел вокруг третьего, подобных спутникам Сатурна Янусу и Эпиметею. Положим период вращения вокруг центрального тела, равен 1году, за 1 период 4 пересечения орбит. Получаем 3-х кратное взаимное вращение, вокруг центра вращения двух тел (Януса и Эпиметея).



Рис 10.

Пример 5а. Обратные условия, задаем 5 вращений первых двух тел относительно друг друга (подобно Луна с Землёй). Получаем 8 пересечений орбит за 1 период вращения вокруг центрального тела 3. 6 периодов - 10 пересечений.

N периодов = 2N-2 пересечений орбит.

И так далее для заданного числа тел получаем орбиты относительно общего центра вращения.

Данные углов, угловых скоростей, угловых ускорений, параметрических радиусов находятся в файлах ellpi*.txt. Программа Pendel3_1_2GraphOpenGl вычисляет орбиты объектов по описанному алгоритму. Видеоролик Ja-E_4p.swf.html. Исполняемый файл Pendel3_1_2GraphOpenGl.exe, файлы данных ellpi*.txt в папке Pendel3_1_2GraphOpenGl.

Заключение

Математика

a) Выявить и доказать свойства уравнения (1).

b) Доказать эквивалентность (подобие) графов системы при различных начальных точках. Примеры 3 и 3а.

Астрономия

a) Проверить и доказать (не) соответствие с реальными системам объектов, т.е. правомочность алгоритма.

b) Для движения точки по эллипсу в одном направлении, из уравнения (1) следует необходимость прецессии, так как отсутствие прецессии приводит к неопределённости продолжения движения в точках пересечения большой оси с периметром эллипса.

Данное уравнение позволяет рассчитывать траекторию движения тела по эллипсу, учитывая прецессию.

В примерах вычисление орбит производилось без учёта прецессии. Обозначим прецессию перицентра буквой d_p, тогда интегрируем уравнение (14) от 0 до р+d_p. В результате вычисления также получаем прецессию апоцентра d_a. При следующем цикле смещаем 0 на величину d_a.

Физика - физическая и компьютерная модели движения тел, демонстрирующие данный алгоритм орбит, будут описаны в следующей статье.

2. Возникновение и необходимость вращения планет вокруг своей оси

Продемонстрируем влияние температурного расширения на изменение центра массы. На Земле центр массы совпадает с центром тяжести. Возьмём две равных, по массе и длине, металлических балки P1 и P2. m1 = m2, l1 = l2. Соединим их через теплоизолирующую прокладку J. Получили балку Р. Подвесим балку Р за центр О. Рис.11, часть а). Под Р2 поместим источник тепла S. Под действием тепла длина Р2 увеличится на величину d. Рис.1, часть b). Центр массы балки Р2 сместится из точки С2 в С3. Так как (О,С3) больше (О,С1), образуется крутящий момент М. Естественно, что направление момента М в условиях Земли предсказуемо.

Рис. 11

Поместим балку Р в невесомости и повторим эксперимент. В нагретом конце балки колебание молекул более интенсивно, чем в противоположном. Можно предположить возникновение момента вращения под действием тепла. Если гипотеза верна, то можно предложить следующие задачи:

Задача 1.

В невесомости, в вакууме, в системе координат XY, поместим тело В на расстоянии ОН от оси Х. Для простоты положим, что В твёрдый однородный шар массой m. Из центра В опустим перпендикуляр на ось Х и в точку пересечения поместим источник тепла тело S. Температура пространства (Т) меньше температуры тела S (T1), T < T1. На тело В не действуют ни какие силы, кроме теплового излучения от тела S. Рис.12.



Рис. 12

Имеем m1 = m2, m1 + m2 = m. Под действием тепла, ближняя к S, сторона тела В расшириться. В следствии чего центр массы тела В сместиться на Дy в направлении к S. Также под действием тепла в теле возникнет крутящийся момент М. Здесь неважно в какую сторону он повернёт тело В. Положим что поворот произошёл в +Х на угол б. Центр массы тела В сместился на Дy1 и Дх. Противоположная сторона В остывает. Источник S сдвигаем на Дх. Цикл повторятся, но уже с новыми координатами. Тела В и S через какой-то промежуток времени столкнутся.

Задача 2.

Изменим условия задачи 1. Источник тепла S неподвижен. Тело B движется по кривой второго порядка. Рис.13. Чтобы орбита была устойчивой необходимо, чтобы смещение центра массы тела В попадало на заданную кривую.

Предлагается найти формулы, или создать алгоритм вычисления соотношения массы тела В, коэффициентом расширения вещества тела В, интенсивности излучения тела S, и параметрами орбиты тела В.

Косвенное подтверждение существование решения, это наличие вращения вокруг своей оси у планет, и отсутствие вращения вокруг своей оси у спутников планет, например у Луны.

Рис. 13

3. Вывод дифференциального уравнения кривых второго порядка

“Для решения задач на движение материальных точек и их систем нужны дифференциальные уравнения движения. Способ получения таких уравнений не имеет значения”: [3,§11,п.3]. Рассматривается задача вывода дифференциального уравнения кривых второго порядка на исследовании движения материальной точки (дальше просто точка) по эллипсу под действием внешней силы[4 -6].

Поместим точку массой m в пространство без гравитации.

Условия - внешняя сила перемещает точку по кривой второго порядка. В данном случае по эллипсу, вокруг левого фокуса.

Совместим левый фокус с началом координат, тогда

(6)

(7)



Рис. 14. Движение точки по эллипсу вокруг левого фокуса: N - маятник. Q - обобщённая сила, действующая на маятник. F1- левый фокус. F2 - правый фокус. a(t) - угол между осью Х и точкой, против часовой стрелки.

(A, B - полуоси эллипса)

r - радиус до левого фокуса.

e - эксцентриситет эллипса

Для составления дифференциальных уравнений движения изобразим силу, действующую на точку в неподвижной декартовой системе координат.

(8)

(9)

Из (8)

(10)

подставим (10) в (9)

 (11)

Координаты точки можно представить как функцию угла отклонения б(t) и функцию радиуса r(t)

(12)

(13)

Вычислим первые, и вторые производные по времени системы уравнений (7),(8)

(14)

(15)

(16)

(17)

Подставим уравнения (16), (17) в уравнение (11) и перенесём всё в левую часть

(18)

(19)

Или

(20)

Получили дифференциальное уравнение кривых второго порядка.

При различных значениях эксцентриситета будет изменяться вид кривой.

Заключение

Одно из свойств этого уравнения постоянная секторальная скорость, что даёт возможность моделировать орбиты тел по законам Кеплера.

Для движения точки по эллипсу в одном направлении, из уравнения (15) следует необходимость прецессии, так как отсутствие прецессии приводит к неопределённости продолжения движения в точках пересечения большой оси с периметром эллипса. Данное уравнение позволяет рассчитывать траекторию движения тела по эллипсу, учитывая прецессию.

Библиографический список

1. Дистель Р. Теория графов

2. Библиотеки численного анализа НИВЦ МГУ.

3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. В 5т. Т. 1. Механика. - 4-е изд.

4. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений

5. Магнус К. Колебания

6. Исаков А. Колебательные и волновые процессы

Размещено на Allbest.ru

...