Основи механіки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Матеріальна точка здійснює прямолінійний рух (вздовж осі Ох), кінематичне рівняння руху якої має такий вигляд, де , , . Визначити координату точки, миттєву швидкість та прискорення для моменту часу після початку руху, де - номер варіанту.

Дано:

Розв'язування.

Координату точки знаходимо,в рівняння руху підставляємо час : .

Миттєву швидкість знаходимо, продиферинціювавши координату за часом (взяти похідну): Знак мінус вказує на те, що в заданий момент часу точка рухається в від'ємному напрямку координатної осі Ох.

Миттєве прискорення в довільний момент часу, знаходимо, взявши другу похідну від координати за часом або першу похідну від швидкості за часом: . Знак мінус вказує на те, що в заданий момент часу прискорення направлено в від'ємному напрямку координатної осі Ох.

Відповідь: 4м, -4м/с, -6 м/с².

Задача 2

Матеріальна точка здійснює обертальний рух, кінематичне рівняння руху якої має такий вигляд , де , , . Визначити кутову координату точки, миттєву кутову швидкість та кутове прискорення для моменту часу після початку руху, де - номер варіанту.

Дано:

Розв'язування.

Кутову координату точки знаходимо, в рівняння руху підставляємо час : .

Миттєву кутову швидкість знаходимо, продиферинціювавши кутову координату за часом (взяти похідну):

Миттєве кутове прискорення в довільний момент часу, знаходимо, взявши другу похідну від кутової координати за часом або першу похідну від кутової швидкості за часом: .

Відповідь: 4рад, -4рад/с, -6 рад/с².



Задача 3

Тіло обертається навколо нерухомої осі. Залежність кута повороту тіла від часу задана рівнянням , де , . Знайти модуль повного прискорення точки , розміщеної на відстані від осі обертання, в момент часу, де - номер варіанту.

Дано:

Розв'язування.

Повне прискорення точки , яка рухається по кривій лінії, можна знайти як геометричну суму тангенціального прискорення , направленого по дотичній до траєкторії, та нормального прискорення , направленого до центра кривизни траєкторії:

(1)

Оскільки вектори взаємно перпендикулярні, то модуль повного прискорення :

. (2)

Тангенціальне та нормальне прискорення точки тіла, що обертається, виражаються за формулами:

, ,

де -кутове прискорення тіла; - кутова швидкість тіла.

Замінимо у формулі (2) і на відповідні вирази. Тоді знайдемо:

. (3)

Кутову швидкість обчислюємо за першою похідною від кута повороту за часом :

.

Кутове прискорення знаходимо, взявши першу похідну від кутової швидкості за часом :

.

Кутове прискорення заданого руху є сталим, тобто не залежить від часу. Підставимо значення і та задане значення у формулу (3):

=0,1.

Відповідь: 1,65 м/с².



Задача 4

Матеріальна точка масою рухається по колу радіусом в площині ХОУ, причому рух її заданий такими кінематичними рівняннями: ; . Визначити силу , яка діє на цю точку в момент часу , де N - номер варіанту.

Дано:

Розв'язування.

За відомими кінематичними рівняннями руху точки , , та її масою знайти силу, що діє на точку в будь-який момент часу.

Розв'язок цієї задачі одержуємо безпосередньо з другого закону Ньютона в диференціальній формі. Для цього знаходимо проекції сили на осі координат:

, , ,

за проекціями сили визначаємо модуль сили : , а також її напрямок у будь-який момент часу .

Із заданих рівнянь знаходимо проекції прискорення на осі координат:

,.

Помноживши ці рівняння на масу матеріальної точки, дістанемо проекції сили на ці осі:

, .

Модуль шуканої сили визначимо за формулою:

.

Після підстановки числових значень отримаємо:

.

Визначимо напрямок сили . Для цього знайдемо напрямні косинуси:

;

.

Одночасно напрямні косинуси радіуса-вектора можна виразити так:

;

.

Отже, ці вектори спрямовані по одній прямій, але в різні боки. Тому силу визначають за такою формулою: . З цього рівняння видно, що сила притягувальна, оскільки її напрямок протилежний до напрямку радіуса-вектора і вона пропорційна масі точки та її відстані до центра притягання, який знаходиться в центрі кола.

Відповідь: 2366,3 Н.

Задача 5

рух матеріальний координата швидкість

Обчислити дефект маси та енергію зв'язку ядра хімічного елемента, порядковий номер якого збігається із номером в списку за журналом обліку студентів.

Приклад розв'язування задачі.

Обчислити дефект маси та енергію зв'язку ядра хімічного елемента бору .

Дано:

Розв'язування.

Дефект маси ядра визначають за формулою:

.

Після підстановки числових значень отримаємо:

Енергія зв'язку ядра визначається за формулою:

,

де .

Після підстановки числових значень отримаємо:

.

Відповідь: , .Задача 5.

Задача 6

Матеріальна точка масою кинута з початковою швидкістю під кутом до горизонту. Знайти рух цієї точки в просторі під дією сили земного тяжіння, тобто визначити модуль вектора переміщення для моменту часу та знайти рівняння траєкторії.

Дано:

Розв'язування.

Для спрощення початкове положення тіла приймемо за початок координат системи відліку, зв'язаного з поверхнею Землі. Систему координат розмістимо так, щоб початкова швидкість знаходилась у площині YOZ, вісь Zспрямуємо вертикально вгору, а вісь У - горизонтально.

На точку А діє лише сила земного тяжіння . За такого вибору системи координат проекції сили на осі координат дорівнюватимуть: , .

Початковими кінематичними характеристиками руху тіла будуть:

.

З цих умов диференціальними рівняннями руху точки є:

.

Cкоротивши ліві і праві частини наведених рівнянь на , дістанемо:

.

Проінтегруємо перше з цих рівнянь:

.

Оскільки . Тобто проекція швидкості на вісь Х є величина сталою під час руху точки. Оскільки в початковий момент часу

, то .

Врахувавши це отримаємо: , звідки . Для початкового моменту часу .

Отже, розв'язок першого диференціального рівняння - це .

З другого диференціального рівняння знаходимо .

. Проінтегрувавши останнє рівняння, отримаємо

.З початкових умов випливає, що . Тоді розв'язок другого диференціального рівняння має вигляд: .

Проінтегрувавши третє рівняння , дістанемо: . Константу визначаємо з початкових умов. При , . Отже, . Проінтегруємо отримане рівняння: . З початкових умов при /

Розвязком третього диференціального рівняння є:

.

Отже, кінематичні рівняння руху точки в параметричній формі такі:

, , .

Модуль вектора переміщення .

Виключивши з цих рівнянь параметр знайдемо рівняння траєкторії даної матеріальної точки в координатах:

.

Згідно з цим рівнянням матеріальна точка, кинута під кутом до горизонту, на яку діє лише сила земного тяжіння, рухається по параболі.

Задача 7

Людина масою зістрибнула з човна масою у бік, протилежний до напрямку його руху. Швидкість руху людини відносно води при цьому почала дорівнювати нулю. Визначити швидкість руху човна після того, як людина зістрибнула з нього, якщо до цього вона становила .

Дано:

Розв'язування.

За законом збереження імпульсу

.

Оскільки , то , звідки

.

Згідно з останнім виразом напрямок швидкості такий самий, як і швидкості .

Знайдемо величину швидкості :

.

Відповідь:.

Задача 8

Тіло кинуто з висоти в горизонтальному напрямі з швидкістю . Визначити, як залежать від часу координати тіла та його повна швидкість і визначити їх для моменту часу . Вивести рівняння траєкторії.

Дано:

Розв'язування.

Візьмемо систему координат ХОУ (рис.1.), початок якої розміщений на поверхні землі, вісь ОХ спрямована вздовж цієї поверхні в сторону початкової швидкості, а вісь ОУ - вертикально вгору і проходить через точку А, з якої кинуто тіло. Рух тіла можна уявити як суму рівномірного руху з швидкістю в горизонтальному напрямі і рівноприскореного руху без початкової швидкості у вертикальному напрямі з прискоренням , напрямленим вниз. Складові швидкості по осях координат у цьому разі

(1)

, (2)

повна швидкість

(3)

У формулу (3) підставляємо числові значення:

.

Закони руху для координат

, (4)

(5)

У формулу (4) і (5) підставляємо числові значення:

, .

Виключивши з виразів (4) і (5) час , дістанемо рівняння траєкторії:

. (6)



Це є рівняння параболи.

Задача 9

Моторний човен першу половину шляху рухався по озеру зі сталою швидкістю 36км/год, а другу - зі швидкістю 18км/год. Чому дорівнює середня швидкість моторного човна на всьому шляху?

Розв'язання:

Дано:

Середню швидкість човна на всьому шляху визначимо за формулою: , для першої половини - , для другої - . Підставимо значення у формулу для і, врахувавши , отримаємо:

.



Зробивши обчислення, отримаємо:

.

Відповідь: .

Задача 10

Яку силу слід прикласти, щоб рівномірно тягнути сани вагою в 50кг, якщо мотузка утворює з горизонтом кут 30⁰, а коефіцієнт тертя полозів об сніг ?

Розв'язання:

Дано:

m = 50кг

Размещено на http://www.allbest.ru/

На сани діють такі сили: сила тяги , напрямлена вздовж мотузки; сила тяжіння , напрямлена вертикально вниз; сила тертя , напрямлена в бік протилежний руху; сила реакції опори . Спроектуємо сили по координатні осі.

Ох: .

Oy: =>.

Отже , або )

Відповідь: F_Т = 54Н.

Задача 11

Автомобіль масою 4т рушає з місця і перші 200 метрів проходить за 10с. Знайти силу тяги двигуна автомобіля, якщо коефіцієнт опору дорівнює .

Розв'язання:

Дано:

На автомобіль діють сили: тяжіння F, сила реакції опори , сила тертя , сила тяги двигуна. Під дією цих сил автомобіль рухається з прискоренням . Запишемо другий закон Ньютона у векторній формі:

Спроектуємо на координатні осі:



Оскільки, F_тр= N = mg, тоді .

Рух рівноприскорений, і початкова швидкість рівна нулю (), то

, Отже,

Зробивши обчислення, отримаємо:

Відповідь: .

Размещено на Allbest.ru

...