Операторный метод расчета переходных процессов
Особенность определения изображения заданной функции в соответствии с прямым преобразованием Лапласа. Анализ расчета операторного сопротивления катушки индуктивности и конденсатора. Основная характеристика законов Ома и Кирхгофа в операторной форме.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 30.03.2017 |
| Размер файла | 153,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Операторный метод расчета переходных процессов
Сущность операторного метода заключается в том, что функции вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование - делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода - оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.
Изображение заданной функции определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:
В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:
Следует отметить, что если оригинал увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.
В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.
Таблица 1. Изображения типовых функций
|
Оригинал |
А |
||||||
|
Изображение |
Некоторые свойства изображений
1. Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:
.
2. При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:
.
С использованием этих свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что
.
Изображения производной и интеграла
В курсе математики доказывается, что если , то , где - начальное значение функции .
Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать
или при нулевых начальных условиях
.
Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности
.
Аналогично для интеграла: если , то .
С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:
.
Тогда
или при нулевых начальных условиях
,
откуда операторное сопротивление конденсатора
.
Закон Ома в операторной форме
Пусть имеем некоторую ветвь (см. рис. 1), выделенную из некоторой
сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.
Для мгновенных значений переменных можно записать:
.
Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:
Отсюда
где
- операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.
Следует обратить внимание, что операторное сопротивление соответствует комплексному сопротивлению ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .
Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.
Законы Кирхгофа в операторной форме
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю
.
Второй закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура
.
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде. изображение преобразование катушка индуктивность
.
В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3 для двух случаев: 1 - ; 2 - .
В первом случае в соответствии с законом Ома.
Тогда
.
Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:
откуда ; и .
Переход от изображений к оригиналам
Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:
1. Посредством обратного преобразования Лапласа
,
которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:
.
На практике этот способ применяется редко.
2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями
В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.
Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать
.
Тогда в соответствии с данными табл. 1
,
что соответствует известному результату.
3. С использованием формулы разложения
Пусть изображение искомой переменной определяется отношением двух полиномов
,
где .
Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей
где - к-й корень уравнения .
Для определения коэффициентов умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):
При
.
Рассматривая полученную неопределенность типа по правилу Лопиталя, запишем
.
Таким образом,
.
Поскольку отношение есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем
Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду
.
В заключение раздела отметим, что для нахождения начального и конечного значений оригинала можно использовать предельные соотношения
которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.
Литература
1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. -5-е изд., перераб. -М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. -7-е изд., перераб. и доп. -М.: Высш. шк., 1978. -528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. -М.: Энергия- 1972. -240с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Прямое преобразование Лапласа. Замена линейных дифференциальных уравнений алгебраическими уравнениями. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Метод переменных состояния. Особенности и порядок расчета переходных процессов операторным методом.
презентация [269,1 K], добавлен 28.10.2013Решение линейных дифференциальных уравнений, характеризующих переходные процессы в линейных цепях. Прямое преобразование Лапласа. Сущность теоремы разложения. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Схема замещения емкости. Метод контурных токов.
презентация [441,7 K], добавлен 28.10.2013Использование электрических и магнитных явлений. Применение преобразования Лапласа и его свойств к расчету переходных процессов. Переход от изображения к оригиналу. Формулы разложения. Законы цепей в операторной форме. Операторные схемы замещения.
реферат [111,9 K], добавлен 28.11.2010Основные свойства преобразования Лапласа. Нахождение изображений функции времени. Теорема смещения. Свойство линейности. Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме. Операторные схемы замещения реактивных элементов при ненулевых начальных условиях.
лекция [130,7 K], добавлен 23.03.2009Порядок определения независимых начальных условий. Отображение операторной схемы, которая рассчитывается любым методом в операторной форме. Методика и этапы вычисления напряжений и токов переходного процесса в функции времени по теореме разложения.
презентация [233,1 K], добавлен 28.10.2013Основные свойства преобразования Лапласа. Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме. Соотношения в элементах электрических цепей. Операторные схемы замещения элементов при ненулевых начальных условиях. Нахождение реакций при ненулевых начальных условиях.
реферат [126,1 K], добавлен 25.04.2009Характеристика переходных процессов в электрических цепях. Классический и операторный метод расчета. Определение начальных и конечных условий в цепях с ненулевыми начальными условиями. Расчет графиков переходного процесса. Обобщенные характеристики цепи.
курсовая работа [713,8 K], добавлен 21.03.2011Характеристика методов анализа нестационарных режимов работы цепи. Особенности изучения переходных процессов в линейных электрических цепях. Расчет переходных процессов, закона изменения напряжения с применением классического и операторного метода.
контрольная работа [538,0 K], добавлен 07.08.2013Понятие переходных процессов, замыкание и размыкание ключа. Сущность законов коммутации. Использование классического метода расчета переходных процессов для линейных цепей. Определение независимых и зависимых начальных условий, принужденных составляющих.
презентация [279,4 K], добавлен 28.10.2013Причины возникновения переходных процессов. Законы коммутации. Математические основы анализа переходных процессов. Алгоритм расчета переходного процесса классическим и операторным методом, их отличительные особенности, главные преимущества и недостатки.
курсовая работа [163,7 K], добавлен 07.06.2011Расчет тока в индуктивности и напряжения на конденсаторе до коммутации по схеме электрической цепи. Подсчет реактивного сопротивления индуктивности и емкости. Вычисление операторного напряжения на емкости с применением линейного преобразования Лапласа.
контрольная работа [557,0 K], добавлен 03.12.2011Влияние величины индуктивности катушки на электрические параметры цепи однофазного синусоидального напряжения, содержащей последовательно соединенные катушки индуктивности и конденсатор. Опытное определение условий возникновения резонанса напряжений.
лабораторная работа [105,2 K], добавлен 22.11.2010Расчет токов и напряжения во время переходного процесса, вызванного коммутацией для каждой цепи. Классический и операторный методы. Уравнение по законам Кирхгофа в дифференциальной форме для послекоммутационного режима. Составляющие токов и напряжений.
контрольная работа [434,6 K], добавлен 11.04.2010Методика и особенности проверки зависимости периода колебаний от емкости и определения индуктивности катушки, а также сопротивления катушки от периода колебаний. Анализ и оценка взаимосвязи логарифмического декремента затухания от сопротивления контура.
курсовая работа [101,6 K], добавлен 21.09.2010Изучение электрических цепей, содержащих катушку индуктивности. Определение зависимости величины индуктивности от магнитной проницаемости сердечника. Измерение магнитной индуктивности катушки в электрической цепи с сопротивлением и источником тока.
лабораторная работа [24,1 K], добавлен 10.06.2019Расчет переходного процесса классическим методом и решение дифференциальных уравнений, описывающих цепь. Схема замещения электрической цепи. Определение производной напряжения на емкости в момент коммутации. Построение графиков переходных процессов.
контрольная работа [384,2 K], добавлен 29.11.2015Обратное преобразование Лапласа и теорема разложения Хевисайда. Операторные схемы замещения элементов: резистивного, индуктивного и емкостного. Законы Кирхгофа для изображений. Построение операторной схемы для цепи с учетом независимых начальных условий.
презентация [187,3 K], добавлен 20.02.2014Расчет резистивной цепи методом наложения. Система уравнений по методу законов Кирхгофа. Метод эквивалентного генератора. Матрично-топологический метод, применение. Классический, оперативный метод расчета. Графики характера тока, его изменение во времени.
курсовая работа [2,5 M], добавлен 10.06.2012Расчёт переходных процессов в электрической цепи по заданным схемам: для определения начальных условий; определения характеристического сопротивления; нахождения принужденной составляющей; и временным диаграммам токов и напряжений в электрической цепи.
курсовая работа [324,9 K], добавлен 24.01.2011Расчет переходного процесса классическим методом. Составление уравнения по законам Кирхгофа. Суть и задачи операторного метода. Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля. Значение тока и напряжения в первый момент после коммутации.
контрольная работа [660,7 K], добавлен 06.05.2012
