Понятие рекомбинации

ln = 2 t

Потенцируем =

Или + n = · - n·

Группируем и выносим за скобки n и

n (1 + ) = ( - 1)

Отсюда n = · , мы домножили и разделили на

n = ·

Известно, что = th x - тангенс гиперболический

Учитывая это n = · th (t ) (7)

Т.е. нарастание определяется гиперболической тангенсоидой

Известно, что при x > ? th x > 1

Поэтому при t > ? th (t ) > 1.

Тогда n = n_стац =

Рассмотрим изменение концентрации электронов после выключения света. Если образец не освещён, то уравнение для электронов (4) запишется в виде

Или

но

тогда

Из начальных условий: при t = 0 n = n_стац = . Подставляя эти значения в предыдущее уравнение, получим

т.е. С =

подставляя значение С, получим

отсюда n =

или n = ·

Т.е. убыль электронов при выключении света происходит по гиперболе при больших t. Видим, что в отличие от предыдущего случая, нарастание и спад носителей происходит по разным законам. Симметрии поднятия и спада нет.

В отличие от предыдущего случая ф_n больше не является const, а изменяется со временем.

Зная n, мы можем установить, как изменяется и ф_n со временем

ф_n =

Подставив значение n

ф_n = = ?cth(t)

cth х при x > 0 убывает от + ? до 1.

Это означает, что ф_n очень велико в начальный момент времени при включении света, затем убывает по закону гиперболического котангенса. При очень больших временах, когда t > ? cth ? > 1 и ф_{n стац} =

При выключении света

n =

Тогда ф_n = = ?(1 +t)

Т.е. ф_n возрастает по линейному закону.

Графики th x и cth x:

§ 2. Рекомбинация при отсутствии уровней прилипания

Полное число возбуждённых светом носителей определяется выражением n=ф_n, где - фотовозбуждение, ф_n - время жизни. не характеризует полупроводник. Чаще всего равно числу падающих фотонов, особенно для сильно поглощаемого света. Характеристикой полупроводника является ф. Но ф не является постоянной величиной для определенного химического соединения. Оно может изменяться от образца к образцу, т.к. существенно зависит от уровня возбуждения и от температуры. Более того, при разных способах синтеза вещества ф имеет разное значение. (Например, для CdS оно может находиться в пределах от 10^-2 до 10^-10 с).

Время жизни свободных носителей ф определяется рекомбинационными процессами в полупроводнике, поэтому изучение рекомбинации лежит в основе исследований фотоэлектрических свойств. Но наряду с этим процессы рекомбинации лежат в основе исследования и люминесценции, а также механизма явлений во многих полупроводниковых приборах.

Мы будем рассматривать рекомбинационные явления, как в полупроводниках, так и в изоляторах, т.к. часто удается анализ рекомбинационных процессов для изоляторов провести в более общей форме (удобно, что концентрация равновесных носителей много меньше концентрации неравновесных).

А. Случай отсутствия уровней в запрещенной зоне

Рассмотрим вначале собственную проводимость, как простую иллюстрацию кинетики фототока в идеальном кристалле. Считаем, что имеет место как термическое, так и оптическое возбуждение из валентной зоны в зону

проводимости. И что имеет место рекомбинация свободных электронов в зоне проводимости и свободных дырок в валентной зоне.

Если полупроводник находится в темноте, то f отсутствует, имеет место лишь термическое возбуждение g и рекомбинация. Причем g совпадает со скоростью рекомбинации при установившемся равновесии. В этом случае:

.

В стационарном случае . Тогда при f = 0 , в результате

g = n₀vS_np₀

где S_n - поперечное сечение рекомбинации свободного электрона свободной дыркой; n₀ - концентрация свободных равновесных электронов; p₀ - концентрация свободных равновесных дырок.

Пусть фотовозбуждение f привело к увеличению плотности свободных носителей, т.е.

f + g=(n₀ + Дn)vS(p₀ + Дp)

но n₀ + Дn= p₀ + Дp, поэтому

f + g=(n₀ + Дn)²vS

Отсюда (1)

- это зависимость концентрации свободных носителей от интенсивности возбуждения. Время жизни пары свободных носителей в этом случае

(2)

Рассмотрим 2 предельных случая:

1. Изолятор

g « f, n₀ « Дn

Тогда

Следовательно, для случая изолятора фотопроводимость пропорциональна корню квадратному из фотовозбуждения f.

Значит, для изолятора J_ф ~ L^1/2, т.е. сублинейная зависимость фототока от интенсивности света.

Для изолятора (n₀ « Дn):

Подставим значение Дn

,

т.е. время жизни меняется обратно пропорционально корню квадратному из интенсивности света.

2. Полупроводник, n₀ « Дn

Возводя в квадрат обе части равенства (1), получим

Помня, что , получим

Отсюда

, т.к. Дn « n₀ и мы можем пренебречь им.

Т.о., для полупроводника фототок изменятся линейно с интенсивностью света, а время жизни примерно такое же, как в темноте, т.е. не зависит от освещенности.

Б.Случай наличия в запрещенной зоне рекомбинационных центров одного типа

Рассмотрим теперь схему, в которой имеются локальные уровни рекомбинации одного типа. Пусть их концентрация N_r, концентрация электронов на них n_r, а дырок p_r.

Рассмотрим 2 случая:

а) Случай слабого возбуждения, т.е.

n, p « n_r, p_r

Очевидно ;

Считаем, что тепловые скорости электронов и дырок равны. Из приведенных формул видно, что времена жизни свободных электронов и дырок

и

независимы и не равны друг другу.

Посмотрим, как с освещением изменяются ф_n и ф_p. Т.к. n, p « n_r,p_{r ,} то это значит, что темновое заполнение центров рекомбинации существенно не изменяется при освещении. Для этого случая время жизни не зависит от интенсивности света, а также не зависит от температуры.

Если отсутствуют уровни прилипания, то время релаксации ф₀ (время возрастания тока на Ѕ от его стационарной величины по А.Роузу) равно бьльшему времени жизни основных носителей.

б) Случай сильного возбуждения, т.е. n, p « n_r, p_r

При этих условиях концентрации свободных электронов и дырок должны быть одинаковыми, т.к. разность n-p должна быть равна изменению заполнения центров рекомбинации, а концентрация последних мала по сравнению с n и p.

Действительно, из условия нейтральности

Величиной n_r пренебрегаем по сравнению с n, а p_r по сравнению с p

Тогда n ? p, но и , значит . Отсюда ф_n ? ф_p.

Т.о., при сильном освещении времена жизни электронов и дырок стали равными.

На свету ;

Знак (*) показывает значения числа электронов и числа дырок на уровнях рекомбинации во время возбуждения.

Учитывая, что ф_n = ф_p, можем записать

Отсюда

Воспользовавшись свойством пропорции (если , то ), можем записать

Т.е. , отсюда

Подставляя это значение n_r^* в формулу для ф_p, и учитывая, что ф_n = ф_p, получим

Если S_p « S_n, то . Если S_n « S_p, то

Т.е. скорость рекомбинации определяется меньшим поперечным сечением захвата. Например, если S_n мало по сравнению с S_p, то центры рекомбинации в динамическом равновесии будут в основном заполнены дырками, и

т.е. здесь фигурирует сечение захвата электрона центром, на котором находится дырка.

В данном случае, как и в случае низкой интенсивности света, время жизни не зависит от интенсивности света и от температуры, и равно времени релаксации. Время релаксации равно времени жизни носителей.

§ 3. Рекомбинация при наличии одного типа центров рекомбинации и уровней прилипания

Пусть у нас есть полупроводник, содержащий N_t уровней прилипания для электронов и N_r рекомбинационных уровней.

Найдем выражение, устанавливающее связь между концентрацией связанных и свободных электронов.

Поскольку уровни прилипания находятся в тепловом равновесии с зоной проводимости, то функция распределения будет Максвелла-Больцмана.

Концентрация электронов на N_t уровнях равна произведению числа мест N_r на функцию распределения.

Как это было показано раньше, эта функция в данном случае будет

где E_fn^* - квазиуровень Ферми для электронов.

Тогда

Отсюда

Известно, что концентрация электронов

где N_c - эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

Отсюда . Подставляя это значение в полученное выражение:

или

Аналогично

где P_v - эффективная плотность состояний в валентной зоне,

E_t - энергетическое расстояние квазиуровня Ферми для дырок.

а) Слабая освещенность, т.е. n + n_t и p + p_t меньше n_r и p_r

В этом случае ;

Рассуждениями, аналогичными случаю полупроводника с одним типом центров рекомбинации, легко показать, что если n+n_t и p+p_t меньше, чем n_r и p_r, то n_r и p_r при освещении практически не изменяются.

Времена жизни ф_n и ф_p по-прежнему не зависят от интенсивности света и температуры. Однако время релаксации уже не равно времени жизни, а значительно превосходит время жизни, т.к. при возбуждении электронов в зону проводимости нужно значительную долю их затратить на заполнение уровней прилипания.

Если мы хотим, например, удвоить концентрацию свободных носителей n путем увеличения интенсивности света, то потребуется ждать дополнительное время Дф_n, чтобы удвоить и число электронов n_t на уровнях прилипания.

Очевидно, отношение

Откуда

Значит время релаксации

Это же выражение определяет и время спада фототока, т.к. время релаксации фототока после прекращения освещения определяется не только захватом свободных электронов центром рекомбинации, но и процессом термического возбуждения прилипших электронов в зону проводимости с последующим захватом их центром рекомбинации.

Время релаксации ф₀ не зависит от интенсивности света. Однако, ф₀ зависит от температуры:

При Т>?; >1; и >?;

тогда >0; и ф₀>ф_n.

Чем больше в полупроводнике ловушек, тем сильнее отличается время релаксации от времени жизни основных носителей, т.к.

Если , то может быть ф_n=10^-9 сек, а ф₀=10 сек

Приведенные рассуждения справедливы в предположении, что время установления равновесия между уровнями прилипания и соответствующей

зоной меньше, чем время рекомбинации. Такое условие легко осуществляется в чувствительных полупроводниках, имеющих большое время жизни свободного носителя. Для чувствительных полупроводников ф_n?10^-3 сек, а время захвата на уровни прилипания значительно меньше (порядка 10^-6 сек). Тогда условия выполняются.

Если же полупроводник нечувствителен, и время жизни свободного носителя ф_n меньше времени захвата (электрон быстрее рекомбинирует, чем захватывается), то время релаксации практически равно времени жизни, т.е. ф₀=ф_n. Если выключить свет, то практически все электроны исчезнут за время, определяемое центрами рекомбинации, и лишь последняя часть спада фототока будет определяться уровнями прилипания.

б) Случай больших освещенностей, т.е. n + n_t и p + p_t больше n_r и p_r.

Для этого случая имеет место знакомый нам результат:

Время релаксации и не зависят от интенсивности света, и при увеличении температуры стремятся к одному значению ф₀ = ф_n = ф_p.

Итак, время жизни в рассматриваемых случаях определяется, в основном, центрами рекомбинации. Уровни прилипания играют косвенную роль. Они обуславливают появление времен релаксации, значительно превосходящих времена жизни.

§ 4. Линейная зависимость фототока от интенсивности света

Если осветить полупроводник светом определенной длины волны, но разной интенсивности, то можно измерить зависимость фототока от интенсивности света. Как показал эксперимент, обычно I_ф ~ L^а.

где показатель степени может быть:

а < 1 сублинейная зависимость;

а = 1 линейная;

а > 1 сверхлинейная.

Рассмотрим случай линейной зависимости: I_ф~L. Т.е. считая, что изменение тока происходит лишь за счет концентрации носителей, можем сказать, что в этом случае n~L. Но , ~L, значит в этом случае ф=const

Линейная зависимость I_ф(L) наблюдается у многих высокочувствительных полупроводников, в том числе в CdS.

Этот случай может быть объяснен с помощью следующей модели. Предполагается наличие большой концентрации уровней рекомбинации N_r. Кроме того, имеются более или менее однородно распределенные уровни прилипания, причем N_t « N_r. Переход носителей с одного уровня на другой возможен лишь через зоны. Для простоты рассуждений считаем, что n_r ? p_r. Пусть n_r ? p_r = 10¹⁶ см^-3.

В этом случае демаркационные уровни будут совпадать с квазиуровнями Ферми. Действительно, демаркационные уровни связаны с уровнями Ферми соотношением

, поскольку n_r = p_r

Но ln 1 = 0, значит .

Сечения захвата для электронов и дырок могут значительно отличаться. Так, для случая CdS S_p?10^-15 см², S_n?10^-20 см². Следовательно, при облучении светом дырки будут захватываться на рекомбинационные центры и концентрация свободных электронов будет значительно превосходить концентрациию свободных дырок.

Для численной оценки ф_n и ф_p пусть N_t = 10¹¹ см^-3 в интервале энергий kT.

1. В случае малой интенсивности света.

Пусть интенсивность света такая, что фотовозбуждение f = 10¹⁰ см^-3с^-1.

Часть уровней N_t окажется ниже квазиуровня Ферми, который в данном случае играет роль демаркационного уровня, т.е. уровни будут играть роль центров рекомбинации. Но N_t « N_r, поэтому переход части уровней из класса уровней прилипания в класс уровней рекомбинации не способно изменить темп рекомбинации.

Подставляя конкретные значения сечений захвата S_n и S_p, а также концентрации электронов и дырок на рекомбинационных центрах n_r и p_r, получим для случая слабой интенсивности света

Т.е. дырки обладают очень малым временем жизни. Концентрации свободных носителей таковы

Т.е. электроны действительно являются основными носителями.

Время релаксации

2. Посчитаем те же параметры при большой интенсивности света.

Пусть . Найдем ф_n и ф_p:

ф_n=10^-3 с; ф_p=10^-8 с

т.к. по-прежнему N_t»N_r и значит n_r и p_r, входящие в формулы для ф_n и ф_p остались прежними (т.е. время жизни такое же).

Но концентрации n и p возрастут на 4 порядка. Действительно

Изменится и время релаксации

Итак, время жизни ф_n не зависит от освещенности, т.к. вводимое новое количество центров рекомбинации незначительно по сравнению с имеющейся концентрацией центров рекомбинации. Поскольку ф_n= const, то n = const·f; n ~ f. Значит I_ф ~ L. Однако время релаксации уменьшается с ростом интенсивности освещения.

При повышении температуры происходит сближение квазиуровней Ферми. При этом время жизни существенно не изменяется. Значит, в рассматриваемой модели фототок не зависит от температуры при f=const.

§ 5. Сублинейная зависимость фототока от интенсивности света

Зависимость I_ф ~ L^а, где а<1, очень часто встречается на практике. Типичным примером такой зависимости является Sb₂S₃, используемый в телевизионных трубках. В этом случае I_ф ~ L^0.68 в широкой области изменений интенсивности света.

Известно, что

Если p_r ~ n, т.е. p_r = An (A - коэффициент пропорциональности), то

Отсюда , т.е n ~ f^1/2

Т.о. этот случай реализуется при условии, если концентрация дырок на рекомбинационных центрах пропорциональна числу электронов в зоне проводимости.

Более сложный случай, когда I_ф ~ f^а, где 0,5 < а < 1. Этот случай может быть объяснен следующей моделью: Пусть в темноте все уровни рекомбинации заняты электронами, т.е. p_r = 0 или p_r « n_r.

Пусть уровни прилипания N_t экспоненциально распределены по энергиям, т.е.

где T₁ - формальный параметр, регулирующий изменение концентрации N_t с энергией. Предполагаем, что T₁?T, где T-температура окружающей среды.

В отсутствии освещения зонная схема полупроводника имеет вид

Пусть общее число центров рекомбинации будет больше общего числа уровней прилипания, т.е.

При освещении зонная схема приобретает вид:

С увеличением интенсивности света все большее количество уровней N_t превращается из уровней прилипания в уровни рекомбинации. Следовательно, p_r растет от 0 до какой-то величины, зависящей от W. Поскольку растет p_r, то время жизни электронов уменьшается.

Очевидно, p_r равно числу уровней прилипания, заключенных в энергетическом интервале от уровня Ферми в темноте (см. 1-ый рисунок) до электронного демаркационного уровня E_dn на свету (см. 2-ой рисунок). Эти уровни, бывшие ранее пустыми, становятся теперь уровнями рекомбинации.

Вообще говоря, нужно интегрировать от уровня Ферми до демаркационного уровня, но т.к. было оговорено, что p_r»n_r, то мы берем не E_dn, а E_fn, потому что в этом случае разность E_fn^*- E_dn мала (по Роузу, если p_r= n_r, то E_fn^*- E_dn ? 0,1 эВ). Подставим значение N_t(W)

По абсолютной величине « kT₁, но в то же время величина отрицательная, т.к. она считывается вниз от дна зоны проводимости W_c. Поэтому , второе слагаемое в квадратной скобке пропадает. Учитывая это, окончательно получим

Но W_c-W_fn = E_fn^*, поэтому

Подставляя значения для p_r в выражение для n, получим

(*)

Но, по определению

Разделим и умножим на T₁ показатель при экспоненте

Отсюда

Подставляем это значение для экспоненты в формулу (*), получим

Отсюда

Откуда

Итак, n ~

Если, как было предположено ранее, T₁?T, то

Таким образом, n ~ f^а, где 0,5 ? а ? 1.

Для чего необходимо экспоненциальное распределение ловушек? Чтобы получить быстрое изменение p_r с интенсивностью света и получить заметное уменьшение ф с увеличением интенсивности. Достаточно, чтобы такое распределение ловушек было лишь в узком интервале энергий, в котором происходит перемещение E_fn^*. Кроме того, распределение может быть лишь приближенно экспоненциальным в этом энергетическом интервале. Следовательно, почти любое распределение должно приводить к показателю 0,5?а?1. Лишь при T₁>? распределение ловушек приближается к однородному, а люксамперная характеристика приближается к линейной (а=1).

§ 6. Очувствление фотопроводника путем введения новых рекомбинационных уровней

Мы знаем, что введение новых уровней рекомбинации в полупроводник, время жизни электронов и дырок в котором одинаковы, приводит к уменьшению времени жизни свободных носителей ф, а следовательно приводит к снижению фоточувствительности.

Сейчас мы рассмотрим случай, когда ведение новых рекомбинационных центров будет способствовать возрастанию времени жизни, а значит вызывать очувствление полупроводника. Он реализуется в полупроводниках, времена жизни электронов и дырок в которых неодинаковы (например, CdS: ф_n?10^-3c, ф_p?10^-8c). Если в таком полупроводнике увеличить концентрацию уровней рекомбинации того же типа, который уже присутствовал в полупроводнике (предполагается наличие только одного типа уровней рекомбинации), то это, как и в предыдущем случае, может только уменьшить время жизни носителей.

Совсем другое дело, если осуществлять введение уровней рекомбинации другого типа, отличного от типа уже имеющихся уровней.

Нарисуем зонную схему фотопроводника с одним типом, или классом, центров рекомбинации, сечения захвата которых для электронов и дырок одинаковы. Пусть для центров I класса N_r1=10¹⁵ см^-3 и S_n1=S_p1=10^-15 см²

Т.к. сечения захвата электрона и дырки равны, то на свету концентрации носителей обеих знаков на уровнях тоже будут равны n_r1 = p_r1 ? 10¹⁵см^-3

Определим время жизни электрона и дырки

Введем в исходный полупроводник примесные центры II класса, характеризуемые тем, что они имеют очень малые сечения захвата для электронов, и такие же сечения захвата для дырок, как и уровни I класса (S_n2 « S_p2). Пусть

N_r2=10¹⁶см^-3 ; S_n2=10^-20 см², а S_p2=S_p1=10^-15 см²

В темноте эти центры лежат ниже уровня Ферми, поэтому почти полностью заполнены электронами (см. рис.).

Осветим такой полупроводник фотоактивным светом. Уровень E_fp^* смещается вниз и центры II класса становятся центрами рекомбинации. Рекомбинация идет через два канала.

В стационарном случае интенсивности захвата уровнями рекомбинации свободных дырок и электронов должны быть равны, т.е.

vS_n1np_r1=vS_p1pn_r1I

vS_n2np_r2=vS_p2pn_r2II

Из I-го равенства . Из II-го

Приравниваем левые части

т.к. сечения захвата для электронов и дырок у центров I-го класса равны, в дроби слева они сокращаются.

Отсюда (**)

До введение уровней II класса было n_r1=p_r1.

Теперь n_r1 ? p_r1 и связь их выражается уравнением (**)

Дырки будут накапливаться на центрах II класса благодаря малому сечению захвата электронов этими уровнями S_n2. В пределе дырки практически исчезают с центров I класса, т.е. центры оказываются занятыми электронами: n_r1>N_r1

Дырки же накапливаются на центрах II класса и их там столько, сколько электронов перешло на центры первого класса (так как они раньше занимали N_r1 - рекомбинационные центры, а теперь перешли на центры второго класса): p_r2>N_r1

Кроме того, n_r2 ? N_r2 ,т.к. N_r2>N_r1 (10¹⁶>10¹⁵), число ушедших электронов не сильно отражается на заполненности этих центров.

Учитывая это, выражение (**) перепишется в виде (подставляем соответствующие значения): ;

т.е. раньше центры I-го класса были заполнены дырками наполовину. Теперь же часть их заполнена дырками.

Время жизни электронов будет равно

Т.о. время жизни электронов увеличилось со значения 10^-7с до 10^-2с, т.е. фоточувствительность возросла на 5 порядков.

Очувствление происходит за счет перераспределения электронов и дырок между двумя классами уровней рекомбинации. Дырки, находившиеся ранее на уровнях N_r1 с бьльшим сечением захвата электронов, переходят на уровни N_r2, для которых сечение захвата меньше на 5 порядков.

В терминологии Лошкарёва рекомбинационные центры второго класса - медленные уровни рекомбинации. Их ещё принято называть центрами фоточувствительности или очувствляющими центрами.

§ 7. Сверхлинейность ЛАХ

Нередко на опыте наблюдается зависимость

I_ф ~ L^а, где а > 1

Обычно это наблюдается в некоторой области интенсивностей. Вне этой области ЛАХ линейна. Бьюбом получено ряд ЛАХ для CdSe, снятых при различных температурах. Они имеют вид, показанный на рисунке. Сверхлинейная зависимость фототока от интенсивности находит свое объяснение с учетом наличия двух типов центров рекомбинации.

Вычертим зонную модель полупроводника, содержащего оба типа центров.

По мере повышения интенсивности света дырочный демаркационный уровень для центров II класса смещается вниз. При этом все большее число R-центров переходит в разряд центров рекомбинации.

Роль медленного канала рекомбинации возрастает. Возрастает время жизни и кристалл становится более чувствительным. Кристалл в этом случае проявляет сверхлинейную зависимость ЛАХ.

Если все уровни II-го класса оказываются выше демаркационного дырочного уровня, то ф снова остается постоянным с интенсивностью, т.е. фототок изменяется пропорционально первой степени интенсивности.

Температурный сдвиг области сверхлинейности на ЛАХ также легко объясняется с точки зрения предложенной модели.

Известно, что с повышением температуры квазиуровень Ферми двигается вверх от края валентной зоны. Поэтому при более высокой температуре требуется бульшая интенсивность света, чтобы квазиуровень Ферми опустился ниже уровней класса П.

§ 8. Температурное и инфракрасное гашение фототока

а) Температурное гашение.

Если есть фотопроводник, содержащий рекомбинационные центры II класса (очувствляющие центры), то он обладает высокой фоточувствительностью.

Если такой полупроводник, возбуждаемый светом определенной интенсивности, нагревать, то дырочный демаркационный уровень смещается вверх от валентной зоны. При этом уровни II класса превращаются из уровней рекомбинации в уровни прилипания для дырок. Роль медленного канала рекомбинации уменьшается. Начинает превалировать рекомбинация через центры I класса. Чувствительность фотопроводника уменьшается. Фототок падает. Это явление получило название явления температурного гашения. Бьюбом были получены следующие экспериментальные кривые для CdSe.

Было замечено, что если освещать полупроводник светом различной интенсивности, то по мере возрастания интенсивности света, гашение фототока начинает наблюдаться при более высокой температуре. Это объясняется тем, что повышение интенсивности света смещает дырочный демаркационный уровень в

сторону валентной зоны, и теперь, чтобы сместить его вверх до положения уровней II класса, нужно нагреть кристалл до более высокой температуры.

Условием перехода от высокой фоточувствительности к низкой является равенство темпа термического выброса дырки с уровней П класса и темпа рекомбинации этой дырки и свободного электрона на уровне П класса.

Чем больше интенсивность света, тем больше n. Здесь T - температура точки перегиба (температура, при которой начинается гашение). Из формулы

видно, что бьльшему n соответствует бьльшая температура перехода. Если через точки перехода провести прямую, то угол наклона ее дает E_r2/k. Так можно определить энергетическое положение рекомбинационных центров II класса.

Для CdS: E_r2 ? 1эВ.

Пересечение прямой с осью ординат при 1/T =0 дает величину .

Если известно P_v (для CdS P_v=10¹⁹см^-3), то можно экспериментально определить отношение поперечных сечений захвата S_n1/S_n2. Для CdS это отношение равно 10⁴-10⁵, т.е. центры II класса в основном заполнены дырками.

б) ИК-гашение фототока

Инфракрасное гашение фототока заключается в том, что фототок, возбуждаемый светом из области собственного поглощения, уменьшается при дополнительной подсветке излучением из длинноволновой области спектра.

Возникновение ИК-гашения объясняется следующим образом: при освещении ИК-светом электроны из валентной зоны возбуждаются на рекомбинационные центры. Это равносильно тому, что дырки переходят с этих центров в валентную зону.

Отсюда они захватываются на рекомбинационные центры I класса, на которых происходит рекомбинация, т.е. вступает в действие быстрый канал рекомбинации. Это приводит к уменьшению ф, а значит и числа носителей в зоне проводимости, т.е. к гашению фототока. Наличие второго максимума в CdS Бьюб объясняет тем, что существует еще один уровень П-го класса в кристалле. На нем дырка находится в возбужденном состоянии.

Если освещать светом энергией 1,35 эВ (0,9 м), то дырка сразу переводится из уровня II в валентную зону (переход 1) и это дает максимум гашения с л_max=0,9 м. Если же освещать светом большей длины волны, т.е. л=1,45 м, то дырка попадает на возбужденный уровень II' (переход 2) и затем термически возбуждается в валентную зону (переход 2').

Этот переход 2 дает максимум в области 1,45 мкм. Обычно в качестве гашения берут величину:

I_ф(в,г) - фототок при одновременном действии гасящего и возбуждающего света;

I_ф(в) - при действии только возбуждающего света.

Для ИК-гашения характерна сложная релаксация фототока. Кривые релаксации имеют вид:

Объясняется следующим образом. В кристалле наряду с уровнями рекомбинации существуют глубокие электронные ловушки. При включении гасящего света происходит выброс дырок с уровней II в валентную зону и одновременно выброс электронов с

глубоких ловушек N_t в зону проводимости. Второй процесс более быстрый и поэтому наблюдается вспышка фототока.

Затем и рекомбинация, и ток уменьшается. При выключении ИК-света электроны быстро захватываются ловушками. Это дает отрицательную вспышку, а затем несколько медленнее проходит заполнение дырками уровней II и увеличение тока.

§ 9. Зависимость времени жизни от положения уровня Ферми в полупроводнике (случай малой концентрации центров рекомбинации)

Пусть имеется полупроводник, содержащий примесные уровни концентрации N₁ на энергетическом расстоянии E₁ от дна зоны проводимости. Концентрация электронов на этих уровнях n₁, а концентрация дырок p₁=N₁- n₁.

Считаем, что имеет место как фото-, так и тепловое возбуждение.

Если плотность термически возбужденных носителей намного больше плотности фотоносителей, то в запрещенной зоне кристалла существует один лишь уровень Ферми (вместо двух квазиуровней Ферми).

Имеют место следующие переходы, интенсивность которых:

1 - рекомбинация электронов;

2 - тепловое возбуждение электронов;

3 - рекомбинация дырок;

4 - тепловое возбуждение дырок.

Введены обозначения и

Запишем систему кинетических уравнений, описывающих указанные переходы. Изменение концентрации свободных электронов:

(1)

Второе слагаемое справа - это темп рекомбинации электронов; третье слагаемое - это темп термических выбросов.

Изменение концентрации электронов на N₁ уровнях:

(2)

здесь справа четвёртое слагаемое - это темп термического возбуждения дырок на N₁ уровни или переход электронов с N₁ уровней в v-зону; соответственно, третье слагаемое - это темп термического возбуждения дырок в валентную зону или переход электронов из v-зоны на уровни N₁.

Изменение концентрации дырок:

(3)

Запишем условие нейтральности:

?n + ?n₁ = ?p (4)

Будем рассматривать стационарный случай, т.е.

, и . Приравняем нулю все три уравнения.

Из второго уравнения следует (записываем слева члены, содержащие S_n, справа - члены с S_p):

(5)

Раскрывая скобки в равенстве (5)

Запишем справа члены, содержащие n₁, а слева - N₁.

Отсюда

выносим N₁

(6)

Зная n₁, найдем N₁-n₁:

приведём к общему знаменателю, вынося величину N₁

(7)

Подставим полученные значения n₁ и N₁-n₁ в выражение для f, полученное из уравнения (1), равное

Подставляем

;

Вынося в числите за скобки vS_nvS_p, получим

(9)

Известно, что , тогда

Концентрация свободных электронов: n = n₀ + ?n,

где n₀ - концентрация равновесных, ?n - концентрация неравновесных.

Концентрация свободных дырок: p = p₀ + ?p.

Мы рассматриваем случай малой концентрации центров рекомбинации N₁.

Т.к. концентрация N₁ мала, т.е. N₁»?n, ?p, а значит ?n₁ « ?n, ?p, то из (4):

?n = ?p

Поэтому можем записать р = p₀ + ?n

Учитывая вышеизложенное, можем записать выражение для f в виде:

Отсюда

Покажем, что n₀ p₀ = N_cN P_vN и поэтому мы взаимно уничтожили их.

Значит

Можно представить в виде суммы

? время жизни электрона относительно центров N₁, если они полностью заняты дырками (известна формула ; если все N₁

уровней заняты дырками, то p_r = N₁ и тогда ).

? время жизни дырки относительно центров N₁, если они полностью заняты электронами.

Учитывая это, выражение ф запишется в виде

(10)

Время жизни т.о. зависит от: концентрации свободных носителей, интенсивности возбуждения, положения локального уровня.

Проанализируем это выражение для случая малой интенсивности света и большой интенсивности света.

1.) Освещённость кристалла мала, т.е.

?n, ?p << , , ,

Тогда, пренебрегая малыми величинами ?n и ?p, выражение для ф можем записать в виде

(11)

Величина ф не зависит от концентрации неравновесных носителей, но существенно определяется , и энергетическим положением центра рекомбинации в запрещённой зоне.

Пусть уровень находится ближе к зоне проводимости, т.е. .

Но , Поэтому, учитывая P_v ?N_c, получим >> .

Случай, когда расположен ближе к валентной зоне в принципе не отличается от рассмотренного и может быть получен из него, если поменять местами электроны и дырки.

Учитывая это, можно записать выражение для времён жизни как электронного, так и дырочного полупроводника.

а) Электронный полупроводник ( >> )

В силу >> и >> второе слагаемое в (11) пропадает

, причём, из-за >> , знаменатель упрощается.

То есть:

Подставляем значения , , получим

(12)

б) Дырочный полупроводник ( >> )

(т.к. >> >> ; )

Подставляем значения и , получим:

Причём ? 1.

Прологарифмируем эти формулы и используем их для построения зависимости ф от положения уровня Ферми. На следующем рисунке представлено изменение ln ф в зависимости от положения уровня Ферми.

1 участок. Пусть уровень Ферми расположен близко к с-зоне (между и ), т.е. . Используем формулу для электронного полупроводника

В этой формуле показатель при экспоненте очень велик и отрицателен, значит . Тогда .

Это связано с тем, что при перемещении уровня Ферми выше уровней N₁ их заселённость электронами практически не изменяется, и они остаются сильно заполненными электронами, поэтому ф определяется ф_ор и не зависит от положения уровня Ферми.

2 участок. Уровень Ферми находится дальше от чем уровень , но ближе чем тот уровень , после прохождения которого полупроводник становится дырочным, т.е. . Тогда , а значит, показатель экспоненты в формуле будет положительным и большъм по величине . Поэтому, пренебрегая первым слагаемым из-за его малости, получим

т.е. время жизни пары экспоненциально возрастает. Это происходит потому, что заполненность центров рекомбинации электронами уменьшается с опусканием уровня Ферми вниз. Следовательно, время жизни дырок увеличивается.

Рост ф будет до тех пор, пока уровень Ферми не займёт положение , здесь будет смена знака основного носителя и мы будем пользоваться формулой для дырочного полупроводника.

3 участок. Уровень Ферми опускается ниже , т.е. полупроводник становится дырочным. Пользуемся формулой для дырочного полупроводника.

При указанном положении уровня Ферми , .

Значит , а показатель степени большая положительная величина. Пренебрегая первым слагаемым, получим:

По мере сдвига уровня Ферми вниз показатель экспоненты уменьшается [уменьшается разность ]. Т.о. ф экспоненциально уменьшается. Это связано с тем, что с опусканием уровня Ферми концентрация дырок на центрах растёт. Это увеличивает темп рекомбинации электронов с дырками на уровнях, конкурирующий с тепловым забросом электронов.

4 участок. Когда , когда уровень Ферми оказывается ближе к валентной зоне, чем уровень к зоне проводимости (если , то и ). В том случае, если показатель степени - большая отрицательная величина, а . Тогда , т.е. время жизни не зависит от положения уровня Ферми.

Это связано с тем, что теперь уже, когда уровень Ферми ниже E₁, то заполненность центров дырками не зависит от его положения. Уровни сильно заполнены дырками и идёт рекомбинация электронов, время их жизни ф_n0.

Между четырьмя рассмотренными прямолинейными участками есть переходные области, ширина их порядка kT.

2.) Освещённость кристалла велика, т.е.

?n, ?p >> , , ,

Вернёмся к старому выражению

Пренебрегая малыми величинами, получим

Подставляя значения и :

Т.е. ф определяется только числом уровней и их свойствами (,) и не зависит от положения уровня Ферми.

На рисунке стрелками показаны изменения времени жизни ф при возрастании интенсивности света. При достаточно больших интенсивностях оно становится равным при любом положении уровня Ферми.

§ 10. Температурная зависимость времени жизни

В предыдущем параграфе мы рассмотрели зависимость ф от положения уровня Ферми при постоянной температуре, т.е. по сути, зависимость ф от количества и сорта примесей (не играющих, однако, роли центров рекомбинации).

Теперь установим зависимость ф от температуры. С этой целью рассмотрим примесный полупроводник, например n-типа, для которого зависимость концентрации носителей n₀ от температуры имеет вид, представленный на рисунке. Здесь участок кривой 1 - рост температурной концентрации носителей в примесной области, 2 - область полной ионизации примесей, 3 - область быстрого роста концентрации при достижении собственной проводимости.

При изменении температуры в области 1 уровень Ферми лежит между донорными примесными центрами и зоной проводимости, т.е. выше уровня рекомбинационных центров : , где - энергетическое расстояние от с-зоны до рекомбинационных центров.

Так как и , то в этом случае

Пользуясь формулой для электронного полупроводника (): получим (участок «а? «).

Когда уровень Ферми в результате повышения температуры опускается ниже донорного уровня, имеет место полная ионизация доноров и . Величина растёт с температурой экспоненциально. Но пока ещё < , по-прежнему пренебрегая будет(участок «а»)

Когда уровень Ферми снижается до уровня рекомбинационных центров (), в этом случае становится равным и уже пренебречь нельзя по сравнению с .

С дальнейшим увеличением температуры остаётся постоянным, а уже превосходящее его растёт. Т.к. теперь то, пренебрегая единицей по сравнению с , получим: = (подставим значение ) =

С увеличением температуры отрицательный показатель экспоненты уменьшается, значит, наблюдается общее возрастание функции, причём основной вклад вносит именно экспонента, как более быстроменяющийся компонент.

Изображая эту зависимость в масштабе или точнее , получим прямую линию с наклоном равным (участок «б»).

Рост ф на участке, где уровень Ферми опускается вниз от уровня , объясняется тем, что заселённость электронами уменьшается с ростом температуры. При этом увеличивается время жизни неравновесных дырок, которое определяет измеряемое время жизни ф.

Рост ф с увеличением температуры продолжается вплоть до перехода к собственной проводимости.

В области собственной проводимости (участок 3)

Учитывая это и подставляя соответствующие значения и в выражение для ф:

получим:

Сократив и вынеся за скобки (1/2), получим

Если уровень далеко отстаёт от середины запрещённой зоны и температура низкая, то . Тогда в выражении остаётся лишь тот член, где положительно, (т.к. , пренебрегаем и единицами) т.е.:

или, учитывая N_c ? P_v : (участок «в»)

Таким образом, после того, как уровень Ферми пройдёт через середину запрещённой зоны (участок 3), ф будет уменьшаться с температурой (за счёт резкого увеличения концентрации носителей в зонах, см.участок «в»), причём наклон спадающего участка временной кривой определяет разность . Следовательно, сумма наклонов участков кривой возрастания и спада ф даст , т.е. половину ширины запрещённой зоны.

С дальнейшим ростом температуры, когда кТ растёт, а уровень Ферми по-прежнему остаётся локализованным посередине запрещённой зоны, скоро достигается неравенство

Тогда показатели при экспонентах обращаются в нули. Но . Поэтому

Так как , то

(участок «г»)

Т.е. получен такой же результат как при случае высоких интенсивностей света.

Таким образом, при достаточно высоких температурах ф определяется только числом уровней и их свойствами (сечениями захвата и ).

§ 11. Зависимость стационарного времени жизни от положения уровня Ферми для случая большой концентрации центров рекомбинации

Этот случай часто осуществляется в не очень хорошо проводящих полупроводниках с большим числом примесных центров, играющих роль уровней рекомбинации.

Если в случае малых концентраций (§9) из условия нейтральности вытекало, что ?n = ?p и отсюда (т.к. и ), то теперь ?n ? ?p и времена жизни электронов и дырок разные:

,

причём они не зависят от освещения, т.к. заселённость не зависит от освещения (>>?n, ?p при малых интенсивностях).

Вспомним выражение для концентрации электронов на уровнях. Оно равно произведению концентрации этих центров на функцию распределения:

учтено и

окончательно ;

Аналогично можно записать, что

Добавим и отнимем Е₀ в показателе экспоненты:

;

учтено и

;

Подставляя соответствующие значения и в выражения для и , получим:

Подставляя значения и , получим

.

Построим графики зависимости полученных значений и от положения уровня Ферми.

Для : если уровень Ферми находится выше уровня , то . При удалении от дна зоны проводимости уменьшается экспоненциально

.

При приближении уровня Ферми к уровню: . Когда , , тогда .

Если уровень Ферми ниже , то . А значит - малая величина и ею можно пренебречь по сравнению с единицей. Тогда при всяком положении уровня Ферми ниже будет .

Для : если уровень Ферми расположен выше , тогда E_f - E₁ < 0. В этом случае мало по сравнению с единицей в выражении для . Пренебрегая им, имеем при всех положениях уровня Ферми выше уровня

Когда E_f=E₁, то . При опускании уровня Ферми ниже (E_f-E₁>0)

величина будет экспоненциально расти.

Точка пересечения кривых для и соответствует случаю, когда , т.е. ,

то есть, когда уровень Ферми занимает такое положение, что

.

Из приведенных равенств видно, что если времена жизни электронов и дырок не сильно отличаются по величине, то в случае, когда уровень Ферми выше рекомбинационных центров, неравновесная проводимость определяется в основном временем жизни электронов, а если ниже - то временем жизни дырок.