Основы уравнений математической физики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Раздел 1. Теоретические основы уравнений математической физики

1.1 Основные задачи математической физики

1.2 Уравнения математической физики

Раздел 2. Уравнения математической физики на практике

2.1 Уравнения гиперболического типа. Задача о свободных колебаниях струны

2.2 Решение уравнения параболического типа. Решение однородного уравнения теплопроводности методом разделения переменных (Фурье)

2.3 Решение уравнения эллиптического типа. Решение уравнения Пуассона

Заключение

Список используемой литературы



Введение

Математическая физика - это наука о математических моделях физики. Предмет математической физики - постановка и изучение методов решения задач при рассмотрении явлений гидродинамики, аэромеханики, электродинамики, теории теплопроводности и т.д.

На данный момент с помощью уравнений математической физики моделируют не только физические и инженерные задачи, но и химические, экологические, биологические, экономические, социальные и тому подобное.

Итак, круг вопросов, которые изучает математическая физика - это дифференциальные уравнения в частных производных, краевые задачи и методы их решения.

Задачи математической физики сложные и нестандартные, что потребует дополнительных указаний и объяснений по решению.

Существует настоятельная потребность в методической литературе именно для практических занятий по этой математической дисциплины.

Цель курсовой работы - рассмотреть основы уравнений математической физики.

Основные задачи курсовой работы:

- Рассмотреть основные задачи математической физики;

- Проанализировать сведенья об особенностях и видах уравнений математической физики.

- Рассмотреть практические задачи математической физики и их решение с помощью ее уравнений.

уравнение физика гиперболический теплопроводность



Раздел 1. Теоретические основы уравнений математической физики

1.1 Основные задачи математической физики

В курсе высшей математики изучались обыкновенные дифференциальные уравнения, решениями которых являются функции относительно аргумента. Но многие задачи в математике, физике, электронике, радиотехнике и в других науках приводят к дифференциальному уравнению относительно функций двух, трех и более числа аргументов - дифференциальные уравнения в частных производных.

Существует специальная дисциплина, заключающаяся в математическом описании явлений, связанных с некоторыми физическими процессами, описываемых с помощью уравнения в частных производных и (редко) с помощью интегральных уравнений или интегро-дифференциальные уравнения. Эта математическая дисциплина называется уравнениями математической физики.

Ведущее место в уравнениях математической физики занимает теория уравнения в частных производных 2-го порядка:

где , , - заданные функции переменных .

Свойства решения этих уравнениях существенно зависят от знаков корней характеристического уравнения det (|| alk || - lE) = 0. Так для дифференциального уравнения в частных производных 2-го порядка характеристическое уравнение будет:

Интегралы этого уравнения называются характеристиками.

Это характеристическое уравнение можно записать и так:

Если интегралы характеристического уравнения

j(x, y) = и y(x, y) = действительны и различны. В этом случае говорят, что уравнение имеет гиперболический тип.

Если , то характеристическое уравнение имеет комплексные (сопряженные) общие интегралы и является уравнением эллиптического типа.

И если , то характеристическое уравнение имеет комплексные (сопряженные) общие интегралы и является уравнением параболического типа.

Уравнениям гиперболического типа приводят задачи о колебаниях сплошных сред и задачи об электромагнитных колебаниях: процессы поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаниях вала, колебаний газа и т. д.

Самым простым из них является волновое уравнение:

открытое Эйлером в 1759 году.

Уравнения параболического типа получают при исследовании таких физических явлений, как теплопроводность, диффузия, распространение электромагнитных волн в проводящих средах, движение вязкой жидкости, некоторые вопросы теории вероятностей и т. д.

Самым простым из них является уравнение теплопроводности, или уравнением Фурье:

Уравнению эллиптического типа приводит изучение различных стационарных процессов (электростанция, магнитостатика, потенциальный движение жидкости, не сжимается и т.д.). Простейшими из них является уравнение DU = 0 (Лапласа) DU = C (Пуассона), а также уравнение, рассматривал Эйлер: DU + kU = 0, и полигармоническом уравнения.

В каждом из этих типов уравнения искомая функция U зависит от двух переменных. Рассматриваются также соответствующие уравнения и для функции с большим числом переменных. Так волновое уравнение с тремя независимыми переменными имеет вид:

Уравнения теплопроводности с тремя независимыми переменными имеет вид:

Уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными имеет вид:



1.2 Уравнение математической физики

Уравнение с частными производными - уравнение, содержащее неизвестную функцию двух или более независимых переменных и некоторые частные производные этой функции. Обозначим через D - область n-мерного евклидова пространства точек x = (, . . . , ) 1 , n > 2. Пусть F(x, . . . , ,...,in , . . .) -- заданная гладкая действительная функция точек x области D и действительных переменных с неотрицательными целочисленными индексами и, по крайней мере, одна из производной которой:

отлична от нуля.

Определение 1

Равенство вида:

называется дифференциальным уравнением с частными производными порядка m относительно неизвестной функции u(x), x ? D. Уравнение с частными производными первого порядка может быть записано в виде:

Уравнение с частными производными второго порядка имеет вид:



Будем говорить, что мы решили уравнение с частными производными, если найдены все функции u, удовлетворяющие (9) (возможно, лишь в классе функций, удовлетворяющих вспомогательным граничным условиям на некоторой части границы ?D). Когда мы говорим, что решение найдено, в идеальном случае это означает, что найдены простые явные формулы для решения или, если такое невозможно или слишком сложно, доказано существование решения и установлены его некоторые свойства.

Определение 2

Определенная в области D задания уравнения (9) действительная функция u(x), непрерывная вместе со своими частными производными, входящими в это уравнение, и обращающая его в тождество, называется классическим решением (или регулярным решением).

Определение 3

Если u(x) регулярное решение уравнения (9), то поверхность u = u(x) в пространстве переменных (x, u) называется интегральной поверхностью уравнения (9).

Определение 4

Уравнение с частными производными (9) называется линейным, если функция F(x, . . . , pi1,...,in , . . .) является линейной относительно всех

переменных pi1,...,in ,

Уравнение вида:



есть линейное уравнение первого порядка, а уравнение:

является линейным уравнением второго порядка относительно неизвестной функции u(x).

Определение 5

Если функция:линейна относительно переменных при:

то уравнение (9) называется квазилинейным.

Уравнение:

есть квазилинейное уравнение первого порядка

A уравнение:

-квазилинейное

уравнение второго порядка относительно неизвестной функции u(x). Система уравнений с частными производными -- совокупность нескольких уравнений с частными производными относительно нескольких неизвестных функций.

Определение 6

Равенство вида:

где задана, а неизвестна, называется системой уравнений с частными производными m-го порядка. Мы будем рассматривать системы, у которых число уравнений s совпадает с числом неизвестных . Обычно рассматриваются именно такие системы, хотя случаи, когда число уравнений меньше или больше числа неизвестных, также исследуются. Очевидно, что можно классифицировать системы по признаку линейности и квазилинейности. Не существует общей теории, устанавливающей разрешимость всех уравнений с частными производными.

Весьма сомнительно, что создание такой теории вообще возможно ввиду большого многообразия физических, геометрических и вероятностных явлений, которые моделируются уравнениями с частными производными. Поэтому исследования концентрируются вокруг некоторых конкретных уравнений, важных для приложений, как в рамках самой математики, так и для смежных дисциплин, с надеждой, что интуитивное понимание истоков этих уравнений с частными производными подскажет путь к их решению. Перечислим некоторые важные в современных исследованиях уравнения с частными производными, с тем, чтобы иметь хотя бы начальное представление (название и вид) об этих хорошо известных уравнениях. Ниже мы обсудим происхождение для уравнений из приведенного ниже списка. Всюду далее x ? D, где D -- область пространства R n , и t > 0 -- время.

1) При изучении различных видов волн -- упругих, звуковых, электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к волновому уравнению:



где c -- скорость распространения волны в данной среде, f(x, t) -- внешняя сила.

2) Процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, так же как и явления диффузии, описываются уравнением теплопроводности:

где a -- коэффициент температуропроводности, g(x, t) -- плотность тепловых источников.

3) При рассмотрении установившихся колебательных явлений или стационарного теплового состояния в однородном изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона:

При h x = 0 уравнение (9) переходит в уравнение Лапласа:

Потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля также удовлетворяют уравнению Лапласа, в котором отсутствуют массы и соответственно электрические заряды. Уравнения (18)-(21) часто называют основными уравнениями математической физики. Их подробное изучение дает возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач.

Каждое из уравнений (18)-(21) имеет бесчисленное множество частных решений. При решении конкретной физической задачи необходимо из всех этих решений выбрать то, которое удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, вытекающим из её физического смысла. Итак, задачи математической физики состоят в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям. Такими дополнительными условиями чаще всего являются так называемые граничные условия, т. е. условия, заданные на некоторой части границы рассматриваемой среды, и начальные условия, относящиеся к одному какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления.



Раздел 2. Уравнения математической физики на практике

2.1 Уравнения гиперболического типа

Задача о свободных колебаниях струны

Струной называется гибкая упругая натянутая нить, не оказывающая сопротивления изгибу.

Пример

Найти закон колебания струны длиной , если в начальный момент струне придана форма кривой

а затем струна отпущена без начальной скорости. Струна закреплена на концах. Внешние силы отсутствуют.

Решение.

Задача сводится к решению однородного волнового уравнения при однородных граничных условиях:

И начальных условиях:

Где- заданные функции, описывающие соответственно отклонения и скорости точек струны в начальный момент времени.

Для рассматриваемого случая, очевидно, , так как согласно (2) Подставляя в

после двукратного интегрирования по частям находим:

Подстановка (5) в

с учетом приводит к решению задачи в виде:

2.2 Решение уравнения параболического типа. Решение однородного уравнения теплопроводности методом разделения переменных (Фурье)

Решение начально-краевой задачи строится методом разделения переменных так же, как и решение волнового уравнения. Искомая функция u(x,t) представляется в виде:

u(x,t) = X (x)T(t) ? 0.



Подстановка этого выражения в уравнение приводит к равенству:

из которого после обычных рассуждений, характерных для метода разделения переменных, следует, что обе части равенства не зависят ни от x, ни от t , следовательно, являются постоянными

Обозначая, как и выше, эту постоянную через - (л > 0), то есть принимая:

получим два независимых обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнения:

В отличие от волнового уравнения здесь для функции T(t) получается уравнение первого порядка (2).

Итак, для определения функции X(x) приходим к задаче на собственные значения что и при решении волнового уравнения. Собственные значения лn и собственные функции этой задачи определяются соответственно по формулам:



Подставляя (4) в (2), приходим к линейному дифференциальному уравнению первого порядка:

Разделяя переменные в уравнении (6) и интегрируя, находим его общее решение в виде

Где, произвольная постоянная

Находим общее решение однородного уравнения теплопроводности:

Произвольную постоянную находим далее из условия U( x,0) =

Тогда,

Как видно из (8), решение уравнения теплопроводности носит по времени апериодически затухающий характер, что соответствует выравниванию температуры в стержне с течением времени.

Пример.

Пусть требуется найти закон распределения температуры в однородном стержне длиной (боковая поверхность которого теплоизолирована), если в начальный момент времени распределение температуры по длине стержня подчиняется заданному закону

На концах стержня поддерживается постоянная нулевая температура.

Решение

Задача сводится к решению однородного уравнения теплопроводности при однородных граничных условиях и начальном условии (11).

Из выражения (10) с учётом (11) находим:

Подставляя (12) в (8), получим

2.3 Решение уравнения эллиптического типа. Решение уравнения Пуассона

Уравнением Пуассона называется неоднородное уравнение Лапласа. Рассмотрим его решение на следующем примере.

Пример.

Найти функцию u(x, y), удовлетворяющую уравнению Пуассона:

и однородным граничным условиям на прямоугольном контуре:

Решение. Будем искать решение задачи (1), (2) в виде разложения в ряд по собственным функциям однородной задачи

При этом удовлетворяются граничные условия на вертикальных сто- ронах области x = 0 и x = a.

Функцию следует определить так, чтобы функция u(x,y) удовлетворяла уравнению (1) и граничным условиям на горизонтальных сторонах:

u(x,0) = u(x,b) = 0 .

:

В левой части уравнения имеем ряд Фурье по синусам на отрезке [0,a]. Разложим функцию в правой части (4) также в ряд Фурье по синусам на том же отрезке:

Подставляем выражение (5) с учётом (6) в правую часть уравнения (4):

В результате для определения функции приходим к обыкновенному линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами:

Общее решение уравнения (7) имеет вид:

После подстановки (8) в равенство (3) получаем:

Константы найдём из условия удовлетворения граничным условиям на горизонтальных сторонах области y = 0 и y = b . При y = 0 из условия u(x,0) = 0 имеем:

откуда в силу произвольности функции sin следует

При y = b из условия u(x,b) = 0 с учётом (10) находим

И следовательно

Из последнего равенства определяем:

Подставляя (10) и (11) в (9), приходим к решению поставленной задачи в виде:



Заключение

Математическая физика - это математический аппарат изучения физических полей - одного из центральных объектов современной физики. Термин «математическая физика» имеет и более узкий, классический, смысл. Именно под математической физикой понимают только такой математический аппарат изучения физических полей, который не связан непосредственно со сравнительно более поздними атомными, статическими, релятивистскими и квантовыми представлениями. Этот аппарат является основой теоретической гидромеханики, теории теплопроводности, теории упругости, классической части теории электромагнитного поля. Поля, рассматриваемые в этих классических разделах физики, оказывается возможным в том или ином смысле трактовать как механические системы с бесконечным числом степеней свободы, что и обусловило общность соответствующего математического аппарата.

Математическая физика является, быть может, одним из самых значительных достижений человеческого разума. Открытия огромного значения возникли благодаря математической формулировке физических явлений и математическому анализу и обобщению результатов опыта.

Математическая физика не ограничивается только получением математических соотношений, описывающих найденные из опыта зависимости между физическими величинами. Нужно подчеркнуть ее роль в формировании понятий, идей, образов. Упорные занятия математической физикой ведут к появлению своеобразной интуиции: общие свойства решений становятся столь же наглядно очевидными, как очевидно падение подброшенного камня.



Список литературы

1. Бейтман Г. Высшие трансцендентные функции. Т.1 / Г. Бейтман, А. Ердейы. - М .: Н. - 2011. 54

2. Бицадзе А.Б. Уравнения математической физики. Второй изд. / Бицадзе А.Б. М: Наука, 2012. - 336 с.

3. Боголюбов А.Н. Задачи математической физики: уч. Пособие / А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов. - М: Изд-во МГУ. - 2008. - 350 с.

4. Будак Б.М. Сборник задач по математической физике / Б. Будак, А.А. Самарский, А. Н. Тихонов. М: Наука. - 2012. - 688 с.

5. Будак Б.М. Сборник задач по математической физике / Б. Будак, А.А. Самарский, А. Н. Тихонов. М: Наука. - 2012. - 688 с.

6. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. М: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 400 с.

7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / Владимиров В.С. М: Наука, 2011.

8. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений / Голубев В.В. - М. - Л .: ГИТТЛ. 2010. - 436 с.

9. Гончаренко В.Н. Основы теории управлений с частными производными / Гончаренко В.Н. - М .: Высшая школа, 2005. - 311 с.

10. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнение в частных производных математической физики / Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М .: Высшая школа, 2010.

11. Перестюк Н.А. Теория уравнений математической физики / Н.А. Перестюк, В.В. Маринець. - М.: Просвещение, 2013. - 247 с.

12. Смирнов Н.Н. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка / Смирнов Н.Н. М: Наука, 2004. - 206с.

13. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М .: Наука, 2007. - 735 с.

Размещено на Allbest.ru

...