Математическая модель продольных колебаний для нелинейно-вязкоупругого стержня
Условия возникновения уединенных продольных волн в физически и геометрически нелинейных вязкоупругих стержнях. Характеристика и анализ структуры ударных волн при растяжении. Определение деформации стержня тензором Грина и его реологических свойств.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.04.2017 |
| Размер файла | 36,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Математическая модель продольных колебаний для нелинейно-вязкоупругого стержня
Аршинов Г.А.
В бесконечном стержне, свободном от внешних воздействий, отнесенном к системе координат с осью x, расположенной вдоль осевой линии стержня, и осями y, - в одном из поперечных сечений, перемещения точек стержня аппроксимируются функциями
,,,(1)
где - соответственно перемещения по осям x, y, z; - время, - коэффициент Пуассона,
.
Деформации стержня задаются тензором Грина:
(2)
где
Реологические свойства стержня определяются уравнениями квадратичной теории вязкоупругости [1]:
,(3)
где , - параметры Ламе, - объемное расширение, - символы Кронекера
- компоненты девиатора деформаций, -реологические константы материала,
- интенсивность деформаций.
Интегральные операторы в уравнениях (3) заменяются дифференциальными путем разложения функций
в ряд Тейлора по степеням .
При условии быстрого затухания памяти материала в разложениях можно сохранить два слагаемых ряда и записать
где введены операторы
,,
действующие на функцию по правилам
,.
Компоненты девиатора деформаций:
,
,
,
,
где
.
Уравнение движения стержня выводится из вариационного принципа так же, как в работе [2], и преобразуется к безразмерным переменным
, , , , ,
где - амплитудный параметр возмущения, , d - соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны,
- характеристика нелинейности волнового процесса.
Если длина волны l значительно превосходит амплитудный параметр А, т. е.
- малый параметр, а поперечные размеры стержня и реологические постоянные определяют отношения порядков
, , ,
где - характерный размер поперечного сечения,
то безразмерное уравнение движения стержня примет вид:
+(4)
+,
где
,
а звездочки отброшены.
Функцию представим в виде асимптотического разложения:
и подставим в уравнение (4). Из нулевого приближения следует уравнение:
,
где - модуль упругости.
Так как то скорость распространения волны
Из первого приближения вытекает модифицированное уравнение Кортевега де Вриза - Бюргерса:
,(5)
где
,, , .
Точное решение уравнения (5) находится из сингулярного многообразия
,(6)
где - неизвестные функции независимых переменных.
Подстановка (6) в уравнение (5) дает
,
где функция удовлетворяет уравнению (5).
В результате
.
Подстановка в последнее равенство функции
приводит к точному решению уравнения (5) в виде:
, (7)
где
- произвольный параметр.
Далее исследуются случаи, когда полученное решение описывает структуру ударных волн.
Пусть
и ,
тогда
и
.
В итоге
.
Если , то при выбранных условиях в стержне возникает уединенная ударная волна растяжения , если - волна сжатия .
Пусть
и ,
тогда
и
.
В результате
.
Если или , то при указанных условиях в оболочке возникает ударная волна растяжения .
Если или , то при выбранных условиях - ударная волна сжатия .
Из проведенного исследования следует: как при , так и в случае выполнения условия в физически и геометрически нелинейном вязкоупругом стержне возникает уединенная ударная волна растяжения. Если выполняется условие , то образуется ударная волна сжатия.
Как и в линейном случае [2], при переходе к размерным переменным получается поправка к скорости распространения волны .
физический геометрический реологический грин
Список литературы
1. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972.
2. Аршинов Г.А. Математическая модель продольных колебаний и эволюционные уравнения для линейно-вязкоупругого стержня // Научный журнал КубГАУ. 2004. № 3 (5). http: // ej. kubagro. ru.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Характеристика закона дисперсии высокочастотных продольных плазменных волн, математическое описание ленгмюровских колебаний и волн в условиях холодной плазмы. Понятие плазмонов. Описание ионных ленгмюровских волн простыми дисперсионными уравнениями.
реферат [59,7 K], добавлен 04.12.2012Решение задачи на построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений ступенчатого стержня. Проектирование нового стержня, отвечающего условию прочности. Определение перемещения сечений относительно неподвижной заделки и построение эпюры перемещений.
задача [44,4 K], добавлен 10.12.2011Типы волн и их отличительные особенности. Понятие и исследование параметров упругих волн: уравнения плоской и сферической волн, эффект Доплера. Сущность и характеристика стоячих волн. Явление и условия наложения волн. Описание звуковых и стоячих волн.
презентация [362,6 K], добавлен 24.09.2013Определение частоты и сложение колебаний одного направления. Пропорциональные отклонения квазиупругих сил и раскрытие физической природы волны. Поляризация и длина продольных и поперечных волн. Общие параметры вектора направления и расчет скорости волны.
презентация [157,4 K], добавлен 29.09.2013Построение эпюры нормальных сил и напряжений. Методика расчета задач на прочность. Подбор поперечного сечения стержня. Определение напряжения в любой точке поперечного сечения при растяжении и сжатии. Определение удлинения стержня по формуле Гука.
методичка [173,8 K], добавлен 05.04.2010Определение равнодействующей плоской системы сил. Вычисление координат центра тяжести шасси блока. Расчёт на прочность элемента конструкции: построение эпюр продольных сил, прямоугольного и круглого поперечного сечения, абсолютного удлинения стержня.
курсовая работа [136,0 K], добавлен 05.11.2009Физические основы ультразвука — упругих колебаний, частота которых превышает 20 КГц , распространяющихся в форме продольных волн в различных средах. Явление обратного пьезоэлектрического эффекта. Медицинские области применения ультразвуковых исследований.
контрольная работа [88,0 K], добавлен 06.01.2015Определение продольной силы в стержнях, поддерживающих жёсткий брус. Построение эпюры продольных усилий, нормальных напряжений и перемещений. Расчет изгибающих моментов и поперечных сил, действующих на балку. Эпюра крутящего момента и углов закручивания.
контрольная работа [190,3 K], добавлен 17.02.2015Понятие продольных колебаний и порядок определения квадрата их скорости. Составление дифференциального уравнения. Математическая модель, уравнение Кортевега-де Фриза. Кубическое уравнение Шредингера. Теоремы неопределенности в гармоническом анализе.
статья [241,8 K], добавлен 03.01.2011Нахождение показателя преломления магнитоактивной плазмы. Рассмотрение "обыкновенной" и "необыкновенной" волн, исследование их свойств. Частные случаи распространения электромагнитных волн в магнитоактивной плазме. Определение магнитоактивных сред.
курсовая работа [573,6 K], добавлен 29.10.2013Понятие растяжения как вида нагружения, особенности действия сил и основные характеристики. Различия между сжатием и растяжением. Сущность напряжения, возникающего в поперечном сечении растянутого стержня, понятие относительного удлинения стержня.
реферат [857,3 K], добавлен 23.06.2010Понятие и общая характеристика, а также основные свойства ударных волн. Анализ их термодинамики, происхождения, структуры. Факторы, влияющие на скорость распространения. Гидродинамическая теория и механизм детонации. Модель Зельдовича и Неймана.
реферат [67,5 K], добавлен 16.05.2015Построение эпюры продольных сил, напряжений, перемещений. Проверка прочности стержня. Определение диаметра вала, построение эпюры крутящих моментов. Вычисление положения центра тяжести. Описание схемы деревянной балки круглого поперечного сечения.
контрольная работа [646,4 K], добавлен 02.05.2015Анализ гравитационных волн методом электромеханической аналогии. Теоретическое обоснование некоторых экспериментов Козырева, опыт по растворению сахара вблизи весов с гироскопом. Возможный факт существования гипотетических гравитационно-временных волн.
реферат [82,6 K], добавлен 04.09.2010Интерференция и дифракция волн на поверхности жидкости. Интерференция двух линейных волн, круговой волны в жидкости с её отражением от стенки. Отражение ударных волн. Электромагнитные и акустические волны. Дифракция круговой волны на узкой щели.
реферат [305,0 K], добавлен 17.02.2009Оптический диапазон длин волн. Показатель преломления среды. Вектор напряженности электрического поля, его модуль амплитуды. Связь оптических свойств вещества с его электрическими свойствами. Интерференция световых волн. Сложение когерентных волн.
презентация [131,6 K], добавлен 24.09.2013Подходы к построению физических моделей. Физический принцип регистрации землетрясений. Теория деформации, основанная на физических закономерностях о сжимаемости и деформируемости. Распространение сейсмических волн при влиянии неидеальной упругости среды.
дипломная работа [6,8 M], добавлен 14.07.2015Основные методы описания распространения электромагнитных волн в периодических средах с использованием волновых уравнений. Теории связанных волн, вывод уравнений. Выбор метода для описания генерации второй гармоники в периодически поляризованной среде.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 17.03.2014Преобразование исходной системы уравнений к расчётной форме. Зависимость длины волны от скорости распространения. Механизмы возникновения волн на свободной поверхности жидкости. Зависимость между групповой скоростью волн и скоростью их распространения.
курсовая работа [451,6 K], добавлен 23.01.2009Определение понятия свободных затухающих колебаний. Формулы расчета логарифмического декремента затухания и добротности колебательной системы. Представление дифференциального уравнения вынужденных колебаний пружинного маятника. Сущность явления резонанса.
презентация [95,5 K], добавлен 24.09.2013
