Математическая модель продольных колебаний и эволюционные уравнения для линейно-вязкоупругого стержня
Функции аппроксимации перемещения точек стержня. Анализ уравнения движения методом возмущений. Определение вариации внутренней энергии линейно-вязкоупругого стержня и скорости распространения продольной волны в нем. Зависимость деформаций от перемещений.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.04.2017 |
| Размер файла | 78,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Кубанский государственный аграрный университет
математическая модель продольных колебаний И ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ
Аршинов Г.А. - канд. физ.-мат. наук
Математическая модель продольных колебаний построена на основе вывода и анализа эволюционных уравнений для линейно-вязкоупругого стержня.
Бесконечный стержень, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий, отнесен к системе координат. Ось x расположена вдоль оси стержня, а оси y и - в одном из поперечных сечений.
Перемещения точек стержня аппроксимируются с помощью функций
,,,(1)
где - соответственно перемещения по осям x, y, z; - время, - коэффициент Пуассона.
Буквенные индексы переменных функции (1) определяют частную производную от функции по указанной переменной, т. е. , и т.д.
Конечные деформации стержня задаются тензором Грина
(2)
а физико-механические свойства - уравнениями линейной вязкоупругости:
,(3)
стержень волна деформация
где соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций; ? среднее напряжение, объемное расширение, ? модуль объемной деформации, параметр Ламе; - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е модуль Юнга; коэффициент Пуассона.
При условии >>1 интегральные операторы в уравнениях (3) заменяются дифференциальным разложением функции в ряд Тейлора по степеням () с сохранением двух слагаемых. В результате получаются приближенные формулы для компонент напряжений
,(4)
где введен оператор L, определяемый равенством и действующий на функцию по правилу , а ? параметр Ламе.
В развернутом виде:
;
;
;
,
, , , ,
, .
Уравнения движения стержня выводятся из принципа виртуальных работ:
,(5)
где точкой обозначена производная по t, плотность материала стержня, вариации деформаций, - вариации перемещений, а тройной интеграл вычисляется по объему стержня.
С учетом (1), (2), (4) определяется вариация внутренней энергии стержня
+.
Уравнение движения стержня получается из (5) после подстановки в него значения вариации внутренней энергии
и преобразуется к безразмерным переменным
, , , , ,
где - амплитудный параметр возмущения, , d - соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны, - характеристика нелинейности волнового процесса.
Допустим, что - малый параметр, т.е. характерная длина волны значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечный размер стержня и реологические постоянные определяют отношения порядков
, .
В результате сохранения членами порядка не выше получается безразмерное уравнение движения стержня:
. (6)
Для анализа уравнения (6) применяется метод возмущений. Функция представляется в виде асимптотического разложения
.(7)
После подстановки (7) в уравнение (6) и с учетом введенных соотношений порядков в нулевом приближении запишем:
.
Согласно условию , из последнего уравнения определяется скорость распространения продольной волны в линейно-вязкоупругом стержне:
.(8)
Из формулы (8) при , т. е. отсутствии свойства вязкости, вытекает известная формула для скорости распространения продольной волны в линейно-упругом стержне: .
Для разрешимости уравнения относительно неизвестной функции в разложении (7), полученном из первого приближения, необходимо, чтобы u удовлетворяло известному уравнению Кортевега де Вриза - Бюргерса:
,(9)
, , .
Точное решение уравнения (9) можно представить:
,
, , , , имеет знак , , .
При запишем неравенства вида , .
Если в уравнениях выбран верхний знак “+”, то с учетом и уравнение примет вид:
.
Из условия следует, что ,
, а .
При .
Производная .
Критические точки функции определяются уравнением
,
и функция будет максимальна в точке, определенной значением , являющимся корнем уравнения .
Тогда максимальное значение функции
.
Рис. 1. Зависимость деформаций от перемещений
Зависимость деформации от перемещения качественно представлена на рисунке, где введены обoзначения:
При переходе к размерным переменным вычисляется поправка к скорости распространения волны, равная .
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Решение задачи на построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений ступенчатого стержня. Проектирование нового стержня, отвечающего условию прочности. Определение перемещения сечений относительно неподвижной заделки и построение эпюры перемещений.
задача [44,4 K], добавлен 10.12.2011Уравнения гиперболического типа с частными производными 2-го порядка, решение равенства свободных колебаний струны методом разделения переменных. Описание дифференциальных уравнений теплопроводности для полубесконечного стержня в виде интеграла Пуассона.
курсовая работа [480,7 K], добавлен 05.05.2011Понятие и общие характеристики плоской волны, их разновидности, отличительные признаки и свойства. Сущность гармонической волны. Уравнения однородной линейно поляризованной плоской монохроматической электромагнитной волны. Определение фазовой скорости.
презентация [276,6 K], добавлен 13.08.2013Применение расчетных формул для определения собственных частот и форм колебаний стержня (одномерное волновое уравнение) и колебаний балки с двумя шарнирными заделками. Использование теоретических значений первых восьми собственных частот колебаний.
контрольная работа [2,6 M], добавлен 05.07.2014Использование теоремы об изменении кинетической энергии. Исследование качения цилиндра с проскальзыванием и без него, со сдвинутым центром тяжести. Составление уравнения движения. Вычисление начальных давлений на стену и пол при падении стержня.
лекция [579,2 K], добавлен 30.07.2013Математическая модель невозмущенного движения космических аппаратов. Уравнения, определяющие относительные движения тел-точек в барицентрической системе координат. Исследование системы уравнений с точки зрения теории невозмущенного кеплеровского движения.
презентация [191,8 K], добавлен 07.12.2015Понятие продольных колебаний и порядок определения квадрата их скорости. Составление дифференциального уравнения. Математическая модель, уравнение Кортевега-де Фриза. Кубическое уравнение Шредингера. Теоремы неопределенности в гармоническом анализе.
статья [241,8 K], добавлен 03.01.2011Построение эпюры нормальных сил и напряжений. Методика расчета задач на прочность. Подбор поперечного сечения стержня. Определение напряжения в любой точке поперечного сечения при растяжении и сжатии. Определение удлинения стержня по формуле Гука.
методичка [173,8 K], добавлен 05.04.2010Определение положения мгновенного центра скоростей для каждого звена механизма и угловые скорости всех звеньев и колес. Плоскопараллельное движение стержня. Расчет скорости обозначенных буквами точек кривошипа, приводящего в движение последующие звенья.
контрольная работа [66,5 K], добавлен 21.05.2015Построение эпюры продольных сил, напряжений, перемещений. Проверка прочности стержня. Определение диаметра вала, построение эпюры крутящих моментов. Вычисление положения центра тяжести. Описание схемы деревянной балки круглого поперечного сечения.
контрольная работа [646,4 K], добавлен 02.05.2015Использование теоремы об изменении кинетической энергии при интегрировании системы уравнений движения. Получение дифференциальных уравнений движения диска. Анализ динамики ускорения движения стержня при падении. Расчет начальных давлений на стену и пол.
презентация [597,5 K], добавлен 02.10.2013Понятие растяжения как вида нагружения, особенности действия сил и основные характеристики. Различия между сжатием и растяжением. Сущность напряжения, возникающего в поперечном сечении растянутого стержня, понятие относительного удлинения стержня.
реферат [857,3 K], добавлен 23.06.2010Виды и категории сил в природе. Виды фундаментальных взаимодействий. Уравнения Ньютона для неинерциальной системы отсчета. Определение силы электростатического взаимодействия двух точечных зарядов. Деформация растяжения и сжатия стержня, закон Гука.
презентация [19,6 M], добавлен 13.02.2016Определение частоты и сложение колебаний одного направления. Пропорциональные отклонения квазиупругих сил и раскрытие физической природы волны. Поляризация и длина продольных и поперечных волн. Общие параметры вектора направления и расчет скорости волны.
презентация [157,4 K], добавлен 29.09.2013Определение равнодействующей плоской системы сил. Вычисление координат центра тяжести шасси блока. Расчёт на прочность элемента конструкции: построение эпюр продольных сил, прямоугольного и круглого поперечного сечения, абсолютного удлинения стержня.
курсовая работа [136,0 K], добавлен 05.11.2009Основные положения теории теплопроводности. Дерево проблем и целей. Математическая модель, прямая и обратная задача теплопроводности. Выявление вредных факторов при работе за компьютером, расчет заземления. Расчет себестоимости программного продукта.
дипломная работа [1,7 M], добавлен 04.03.2013Уравнения механики сплошных сред для затвердевающих и растущих тел. Реологические соотношения затвердевающих линейных вязкоупругих сред. Исследование цилиндрического стеклометаллокомпозита. Осесимметричное состояние затвердевающих сред, задача Ламе.
дипломная работа [594,3 K], добавлен 26.07.2011Исследование основных свойств монохроматического электромагнитного поля. Поиск комплексных амплитуд при помощи уравнения Максвелла. Графики зависимостей мгновенных значений составляющих полей от координаты. Скорость распространения энергии волны.
курсовая работа [920,3 K], добавлен 01.02.2013Расчет тангенциального и полного ускорения. Определение скорости бруска как функции. Построение уравнения движения в проекции. Расчет начальной скорости движения конькобежца. Импульс и закон сохранения импульса. Ускорение, как производная от скорости.
контрольная работа [151,8 K], добавлен 04.12.2010Знакомство с уравнениями прямолинейного движения материальной точки. Характеристика преимуществ безразмерных переменных. Рассмотрение основных способов построения общего решения неоднородного уравнения. Определение понятия дифференциального уравнения.
презентация [305,1 K], добавлен 28.09.2013
