Нелинейные уединенные ударно-волновые структуры в вязкоупругих стержнях
Вывод уравнений движения геометрически нелинейного вязкоупругого стержня с учетом инерции поперечных движений и использования неклассических кинематических уравнений. Условия формирования ударно-волновых структур деформации сжатия и растяжения стержня.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.04.2017 |
| Размер файла | 103,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Кубанский государственный аграрный университет
нелинейные уединенные ударно-волновые структуры в вязкоупругих стержнях
Аршинов Г.А. - канд. физ.-мат. наук
Лаптев В.Н. - канд. техн. наук
Елисеев Н.И. - соискатель
Предложен вывод уравнений движения геометрически нелинейного вязкоупругого стержня с учетом инерции поперечных движений и использования неклассических кинематических уравнений. Проанализирован общий случай, когда вязкоупругие свойства проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Для эволюционного уравнения Кортевега де Вриза - Бюргерса, к которому сводятся методом возмущений полученные уравнения движения, определено точное решение, описывающее продольные уединенные волны. Определены условия формирования ударно-волновых структур деформации сжатия и растяжения стержня.
В работе [1] исследуются уединенные нелинейные волны в упругих стержнях. Дисперсионные нелинейные волны в вязкоупругих стержнях при упругих объемных деформациях рассмотрены в монографии [2]. В отличие от [2] в предлагаемой cтатье проанализирован более общий случай распространения уединенных волн, когда вязкоупругие свойства стержня проявляются при объемных и сдвиговых деформациях.
Рассмотрим бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий. Введем систему координат, направив ось вдоль линии центров тяжести поперечных сечений, а оси и расположим в одном из них. Учитывая инерцию поперечных движений, аппроксимируем перемещения точек стержня функциями [1]
деформация вязкоупругий стержень инерция
, (1)
где - соответственно перемещения по осям x, y, z, - время, - коэффициент Пуассона.
Конечные деформации стержня зададим соотношениями тензора Грина:
(2)
предполагая, что ,
Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания наследственных реологических свойств стержня [3]
, (3)
где соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций; ? среднее напряжение, объемное расширение, ? модуль объемной деформации, параметр Ламе; - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е модуль Юнга; коэффициент Пуассона.
С целью упрощения исследования интегральные операторы в уравнениях (3) заменим дифференциальным разложением функции в ряд Тейлора по степеням (), ограничиваясь при этом двумя слагаемыми, при условии >>1.
В результате получаем приближенные формулы для компонент напряжений
, (4)
где введен оператор L, определяемый равенством и действующий на функцию по правилу , а ? параметр Ламе.
Формулы (4) представим в развернутом виде:
;
;
;
Или
;
;
;
,
Где
, , ,
, , .
Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа
, (5)
где точкой обозначена производная по t, плотность материала стержня, вариации деформаций, - вариации перемещений, а тройной интеграл вычисляется по объему стержня.
Вычислим вариации деформаций стержня
,
,
,
.
Определим вариацию внутренней энергии стержня, используя формулы (4), а также вариации компонент деформации
+
+
+.
После преобразований приходим к равенству:
+.
Уравнение движения стержня получим из (5) после подстановки в него значения вариации внутренней энергии:
.
После преобразования уравнение представим в виде:
.
В последнем уравнении движения перейдем к безразмерным переменным
, , , , ,
где - амплитудный параметр возмущения; , d - соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны, - характеристика нелинейности волнового процесса.
Допустим, что - малый параметр, т.е. характерная длина волны значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечный размер стержня и реологические постоянные определяют отношения порядков
, .
Пренебрегая членами порядка выше, чем , получаем безразмерное уравнение движения стержня:
(6)
Для анализа уравнения (6) применим метод возмущений. Представим функцию в виде асимптотического разложения
. (7)
Осуществим подстановку асимптотического разложения (7) в уравнение (6), и с учетом введенных соотношений порядков в нулевом приближении получим
.
Согласно условию , из последнего уравнения найдем скорость распространения продольной волны в линейно-вязкоупругом стержне
. (8)
Из формулы (8) при , т.е. отсутствии свойства вязкости, вытекает известная формула для скорости распространения продольной волны в линейно-упругом стержне:
.
Для разрешимости уравнения относительно неизвестной функции в разложении (7), полученном из первого приближения, необходимо, чтобы u удовлетворяло известному уравнению Кортевега де Вриза - Бюргерса:
, (9)
где , , .
При исследовании продольных волн в линейно-вязкоупругих стержнях были введены малый параметр и отношение порядков из которого следует ~ d2.. Таким образом, для возникновения уединенной волны в стержне требуется условие, связывающее характерный линейный размер стержня, амплитуду и длину волны.
В работе [4] представлено подробное описание точного решения этого уравнения (9):
, (10)
Где
,
Или
,
Где
, .
Используя следующие обозначения
, , ,
получим выражение:
.
При запишем неравенства вида , и найдем коэффициенты с1, с2, с3:
, ; , имеет знак ,
, .
Если в уравнениях выбран верхний знак “+”, то с учетом и уравнение примет вид:
Где
.
Согласно условию , получим ,
Где
, а .
При
.
Производную представим следующим выражением:
.
Из уравнения найдем критические точки функции. В ходе преобразований получаем: . Функция будет максимальна в точке, определенной значением , являющимся корнем уравнения:
.
Тогда максимальное значение функции найдем по формуле
,
которую можно записать в виде
.
Вышеприведенный анализ показывает, что при ранее указанных условиях решение уравнения (9) будет иметь структуру ударной волны, т.е. в линейно-вязкоупругом стержне образуется ударная волна растяжения .
D
Зависимость деформаций от перемещений
На рисунке представлена зависимость деформации от перемещения и введены обoзначения:
Возвращаясь к размерным переменным
),
определим поправку к скорости распространения волны, согласно выражению:
.
Список литературы
1. Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. Горький: Изд-во Горьк. гос. ун-та, 1985.
2. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ им. Н.И. Вавилова, 2002.
146 с.
3. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972.
4. Кудряшов Н.А. Точные решения нелинейных волновых уравнений, встречающихся в механике // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. Вып. 3. С. 450-453.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Использование теоремы об изменении кинетической энергии при интегрировании системы уравнений движения. Получение дифференциальных уравнений движения диска. Анализ динамики ускорения движения стержня при падении. Расчет начальных давлений на стену и пол.
презентация [597,5 K], добавлен 02.10.2013Понятие растяжения как вида нагружения, особенности действия сил и основные характеристики. Различия между сжатием и растяжением. Сущность напряжения, возникающего в поперечном сечении растянутого стержня, понятие относительного удлинения стержня.
реферат [857,3 K], добавлен 23.06.2010Основные формы уравнений Максвелла, дифференциальная форма уравнений. Свойства уравнений Максвелла. Общие представления о колебательных и волновых процессах. Гармонические колебания, их характеристики и использование. Теоремы векторного анализа.
презентация [114,1 K], добавлен 24.09.2013Изучение теории диэлектрического прямоугольного волновода. Вычисление параметров волновых систем путем решения уравнений Максвелла и Гельмгольца. Решение дисперсионного и трансцендентного уравнений для нахождения значений поперечных волновых чисел.
контрольная работа [277,7 K], добавлен 06.01.2012Главные оси инерции. Вычисление момента инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр масс. Вычисление момента инерции тонкого диска или цилиндра относительно геометрической оси. Теорема Штейнера и главные моменты инерции.
лекция [718,0 K], добавлен 21.03.2014Виды и категории сил в природе. Виды фундаментальных взаимодействий. Уравнения Ньютона для неинерциальной системы отсчета. Определение силы электростатического взаимодействия двух точечных зарядов. Деформация растяжения и сжатия стержня, закон Гука.
презентация [19,6 M], добавлен 13.02.2016Построение уравнений движения системы в виде уравнений Лагранжа второго рода. Изучение стационарных движений механической системы. Получение уравнения первого приближения. Составление функции Рауса. Анализ устойчивых и неустойчивых положений равновесия.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 05.01.2013Определение нормальных напряжений в произвольной точке поперечного сечения балки при косом и пространственном изгибе. Деформация внецентренного сжатия и растяжения. Расчет массивных стержней, для которых можно не учитывать искривление оси стержня.
презентация [156,2 K], добавлен 13.11.2013Внецентренное растяжение (сжатие). Ядро сечения при сжатии. Определение наибольшего растягивающего и сжимающего напряжения в поперечном сечении короткого стержня, главные моменты инерции. Эюры изгибающих моментов и поперечных сил консольной балки.
курсовая работа [2,1 M], добавлен 13.05.2013Основные методы описания распространения электромагнитных волн в периодических средах с использованием волновых уравнений. Теории связанных волн, вывод уравнений. Выбор метода для описания генерации второй гармоники в периодически поляризованной среде.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 17.03.2014Аксиоматика динамики. Первый закон Ньютона (закон инерции). Сущность принципа относительности Галилея. Инертность тел. Область применения механики Ньютона. Закон Гука. Деформации твердых тел. Модуль Юнга и жесткость стержня. Сила трения и сопротивления.
презентация [2,0 M], добавлен 14.08.2013Особенности вывода дифференциальных уравнений осесимметрических движений круглой цилиндрической оболочки. Построение частного волнового решения основной системы уравнений гидроупругости вещества. Метод решения уравнения количества движения для жидкости.
курсовая работа [125,7 K], добавлен 27.11.2012Изучение зависимости момента инерции от расстояния масс от оси вращения. Момент инерции сплошного цилиндра, полого цилиндра, материальной точки, шара, тонкого стержня, вращающегося тела. Проверка теоремы Штейнера. Абсолютные погрешности прямых измерений.
лабораторная работа [143,8 K], добавлен 08.12.2014Практические формы уравнений движения. Коэффициент инерции вращающихся частей поезда. Упрощенная кинематическая схема передачи вращающего момента с вала на обод движущего колеса. Кинетическая энергия, физхическая масса и скорость поступательного движения.
лекция [129,5 K], добавлен 27.09.2013Уравнения гиперболического типа с частными производными 2-го порядка, решение равенства свободных колебаний струны методом разделения переменных. Описание дифференциальных уравнений теплопроводности для полубесконечного стержня в виде интеграла Пуассона.
курсовая работа [480,7 K], добавлен 05.05.2011Влияние ударно-волновых и краевых эффектов на измерение проводимости продуктов детонации контактной методикой. "Деформация" восстанавливаемого распределения электропроводности в зависимости от постановки эксперимента; существование двух зон проводимости.
дипломная работа [5,1 M], добавлен 02.06.2011Физическая интерпретация свойств решений эволюционных уравнений, описывающих амплитудно-фазовую модуляцию нелинейных волн. Основные принципы нелинейных многоволновых взаимодействий. Теория нормальных форм уравнений, резонанс в многоволновых системах.
реферат [165,9 K], добавлен 14.02.2010Практические формы уравнений движения. Определение коэффициента инерции вращающихся частей поезда. Связь между скоростью движения, временем и пройденным поездом расстоянием. Угловые скорости вращающихся частей. Изменение кинетической энергии тела.
лекция [129,5 K], добавлен 14.08.2013Современная общая теория дифференциальных уравнений. Обзор основных понятий и классификации дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнение теплопроводности. Начальные и граничные условия. Численное решение уравнений математической физики.
курсовая работа [329,9 K], добавлен 19.12.2014Решение задачи на построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений ступенчатого стержня. Проектирование нового стержня, отвечающего условию прочности. Определение перемещения сечений относительно неподвижной заделки и построение эпюры перемещений.
задача [44,4 K], добавлен 10.12.2011
