Продольные нелинейные волны в вязкоупругих стержнях, пластинах и цилиндрических оболочках

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кубанский государственный аграрный университет

Продольные нелинейные волны в вязкоупругих стержнях, пластинах и цилиндрических оболочках

Аршинов Г.А. - канд. физ.-мат. наук



Рассмотрим бесконечный стержень неизменного поперечного сечения, свободный от внешних объемных и поверхностных воздействий. Введем систему координат, направив ось вдоль линии центров тяжести поперечных сечений, а оси и расположим в одном из них. Учитывая инерцию поперечных движений, аппроксимируем перемещения точек стержня функциями [1]

, (1)

где - соответственно перемещения по осям x, y, z, - время, - коэффициент Пуассона.

Конечные деформации стержня зададим соотношениями:

(2)

предполагая, что ,

В отличие от [2] рассмотрим общий случай, когда вязкоупругие свойства стержня проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания наследственных реологических свойств стержня [3]

, (3)

где соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций; ? среднее напряжение, объемное расширение, ? модуль объемной деформации, параметр Ламе; - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е модуль Юнга; коэффициент Пуассона.

С целью упрощения исследования интегральные операторы в уравнениях (3) заменим дифференциальными разложением функций в ряд Тейлора по степеням (), ограничиваясь при этом двумя слагаемыми, при условии >>1.

В результате получаем приближенные формулы для компонент напряжений

, (4)

где введенный оператор действует на функцию по правилу , а ? параметр Ламе.

Формулы (4) представим в развернутом виде:

,

,

,

или

,

,



,

,

, , ,

, , .

Уравнение движения стержня получим из вариационного принципа

, (5)

где точкой обозначена производная по t, плотность материала стержня, вариации деформаций, - вариации перемещений, а тройной интеграл вычисляется по объему стержня.

Вычислим вариации деформаций стержня

,

,

,

.

Определим вариацию внутренней энергии стержня, используя формулы (4), а также вариации компонент деформации



+

+.

После преобразований приходим к равенству:

+.

Уравнение движения стержня получим из (5) после подстановки в него значения вариации внутренней энергии:

.

После преобразования уравнение представим в виде:



.

В последнем уравнении движения перейдем к безразмерным переменным:

, , , , ,

где - амплитудный параметр возмущения; , d - соответственно характерные длина волны и поперечный размер стержня, скорость волны, - характеристика нелинейности волнового процесса.

Примем допущение, что - малый параметр, т.е. характерная длина волны значительно превосходит амплитудный параметр , а поперечный размер стержня и реологические постоянные определяют отношения порядков

, .

Пренебрегая членами порядка выше, чем , получаем безразмерное уравнение движения стержня:

(6)

Для анализа уравнения (6) применим метод возмущений. Представим функцию в виде асимптотического разложения

(7)

Осуществим подстановку асимптотического разложения (7) в уравнение (6). С учетом введенных соотношений порядков в нулевом приближении получим

.

Согласно условию , из последнего уравнения найдем скорость распространения продольной волны в линейно-вязкоупругом стержне

(8)

Из формулы (8) при , т.е. отсутствии свойства вязкости, вытекает известная формула для скорости распространения продольной волны в линейно-упругом стержне:

.



Для разрешимости уравнения относительно неизвестной функции в разложении (7), полученном из первого приближения, необходимо, чтобы u удовлетворяло известному уравнению Кортевега де Вриза - Бюргерса:

,

, , .

С целью исследования распространения нелинейных дисперсионных волн в бесконечной вязкоупругой пластине толщиной 2h, изготовленной из материала наследственного типа и свободной от внешних воздействий, построим математическую модель волнового процесса.

С помощью кинематических соотношений определим компоненты вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях и невысоких частотах [2]

v; , (9)

где и v функции, определяющие поле перемещений в срединной плоскости пластины по осям и соответственно, перемещения по оси z, время.

Зададим физические соотношения между напряжениями и деформациями уравнениями линейной наследственной теории вязкоупругости (3), содержащими экспоненциальное разностное ядро, обобщая результаты [2] на тот случай, когда вязкоупругие свойства среды проявляются при объемных и сдвиговых деформациях.

С помощью формулы (9) определим компоненты деформаций по формулам (2) и их вариации . Из закона состояния (3) найдем компоненты тензора напряжений .

Далее, руководствуясь вариационным принципом

,

где плотность материала пластины, вариации деформаций, вариации перемещений, точкой обозначена производная по времени, получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:

= .

= vxvy)] + vy) .

= (10)

+ +

,

где введены следующие обозначения:

, (11)

, (12)

поправочный коэффициент.

Для наследственных материалов с быстро затухающей памятью, когда , систему уравнений (10) можно упростить. Заменим в выражениях (11) и (12) интегральные операторы дифференциальными, разлагая функции , в ряды Тейлора по степеням () и сохраняя в полученных разложениях два слагаемых.

В итоге получим аппроксимации

, , (13)

где введены операторы

, ,

действующие на функцию по правилу

, .

Введем ряд обозначений: А - амплитуда колебаний, l - длина волны и - малый параметр, позволяющий нам исследовать длинные волны малой амплитуды.

Заменим в системе (10) и их приближениями (13) и перейдем к безразмерным переменным:

, v = v*, , , , . (14)

Исследуем безразмерные уравнения движения пластины с помощью асимптотического метода. Неизвестные функции запишем в виде асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:

, v = (v1 + v2 +…), . (15)

Если величины , , - одного порядка малости, то разложения (15) можно подставить в безразмерные уравнения движения пластины.

Обозначенные отношения порядков позволяют для первых членов разложений составить следующую систему уравнений:

(16)

= 0, (17)

из которой следует, что

, (18)

, .

Из уравнения (16) найдем скорость волны с учетом формулы (18):

. (19)

Далее для вторых членов разложений (15) составим систему трех уравнений:



v +

(20)

v = v+ . (21)

v)+

. (22)

В ходе интегрирования уравнения (21) по переменной и с учетом формулы (18) получим равенство v= .

Принимая во внимание последнее равенство и формулу (18), продифференцируем уравнение (22) по и приведем его к виду:

+ (23)

.

Приравнивая сумму последних трех слагаемых в уравнении (20) к левой части уравнения (23), умноженной на , с учетом выражения (19) можно записать следующее:



v++

.

В ходе тождественных преобразований последнего уравнения, используя обозначение , получим эволюционное уравнение Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса:

,

,

.

Выведем эволюционное уравнение для бесконечной однородной цилиндрической оболочки толщиной и радиуса , выполненной из линейного вязкоупругого материала и работающей в условиях гипотезы Кирхгофа -Лява и отсутствия инерции вращения. Оболочку отнесем к цилиндрической системе координат, направляя ось по образующей оболочки, - по касательной к осевому сечению, - по нормали к срединной поверхности оболочки, и допустим отсутствие объемных и поверхностных сил.

Гипотеза Кирхгофа - Лява приводит к компонентам деформаций [4]:



.

.

(24)

,

где компоненты перемещения точек срединной поверхности соответственно по осям ; верхний индекс z указывает на то, что компоненты деформаций определены в слое, удаленном на расстоянии z от срединной поверхности; - кривизна оболочки.

Связь между компонентами напряжения и деформаций зададим уравнениями линейной теории вязкоупругости, учитывающей линейную упругость объемных деформаций:

,

, (25)

где - модуль Юнга, - параметр Ламе, - коэффициент Пуассона, - время; - параметры вязкоупругости, - компоненты девиатора деформаций.

Разлагая функции в ряд Тейлора по степеням , при условии быстрого затухания памяти материала и сохранения двух членов разложения, из соотношений (25) получим приближенные уравнения состояния:

, , ,

где введены обозначения

,

и оператор , действующий на функцию по правилу

Используя последние формулы для напряжений, вычислим усилия и моменты, действующие на выделенный элемент оболочки по формулам [4]

, , ,

, , ,

и подставим усилия и моменты в уравнения движения оболочки

.



.

,

где - плотность материала.

Введем безразмерные переменные

, . (26)

Рассмотрим волны малой амплитуды и большой длины. Будем считать толщину оболочки h малой по сравнению с радиусом кривизны и малыми безразмерные параметры:

, . (27)

Допустим, что эквивалентны , тогда как эквивалентно .

Перейдем в уравнениях движения к безразмерным переменным (26). Совершим замену переменных

,

где - неизвестная величина,

и одновременно представим в виде следующих асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:

Тогда, полагая параметр эквивалентным , в нулевом приближении из уравнений движения получим:

. (27)

. (28)

, (29)

.

В силу уравнения (29) из уравнения (27) получаем скорость волны:

(30)

При скорость - ненулевая, действительная величина. Из неравенства следует, что Последнее неравенство выполняется, если или что возможно при соответствующем выборе .

В первом приближении получим систему уравнений, условием разрешимости которой является уравнение Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса для :

,

где введены обозначения:

,

.



Список литературы

физический напряжение деформация вязкоупругость

1. Работнов Ю.М. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

2. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972.

3. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ им Н.И. Вавилова, 2002. 146 с.

4. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.

Размещено на Allbest.ru

...