Приближенное решение плоской краевой задачи для уравнения диффузии с зависящими от концентрации коэффициентами и функцией источника
Использование методики, основанной на дискретизации задачи по времени и методе базисных потенциалов, для построения приближенного решения второй двумерной задачи для уравнения диффузии с зависящими от концентрации коэффициентами и функцией источника.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.04.2017 |
| Размер файла | 238,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Кубанский государственный университет
Приближенное решение плоской краевой задачи для уравнения диффузии с зависящими от концентрации коэффициентами и функцией источника
Семенчин Евгений Андреевич д. ф. - м. н., профессор
Захаров Михаил Юрьевич
ведущий математик
ОАО «НПО «Промавтоматика»,
Краснодар, Россия
Введение
В работе c помощью методики, основанной на дискретизации исходной задачи по времени и методе базисных потенциалов, построено приближенное решение второй двумерной задачи для уравнения диффузии с зависящими от концентрации коэффициентами и функцией источника. Приведен общий вид приближенного решения данной задачи. На конкретном примере показана сходимость приближенного решения задачи к точному
Ключевые слова: метод базисных потенциалов, краевые задачи с нелинейными уравнениями, диффузия в изотропной среде, нелинейная функция источника
Известно, что коэффициенты диффузии в жидкостях могут существенным образом зависеть от концентрации диффундирующего вещества [1]. Часто коэффициент диффузии линейно зависит от концентрации, но в некоторых случаях (например, в водных растворах метанола, этанола и ацетона) с увеличением концентрации он вначале уменьшается, а затем - возрастает [1, 2]. Также и функция источника в жидкости может зависеть от концентрации диффундирующего вещества. Например, с увеличением концентрации вещества в окружающей источник среде величина его выбросов может уменьшаться.
Для описания процесса диффузии при вышеуказанных условиях используются краевые задачи для квазилинейных уравнений с дивергентной главной частью [3-6]. Условия существования и единственности классических решений краевых задач для таких уравнений приведены в [6]. Однако их численное решение наталкивается на значительные трудности [7]. В данной работе методом, описанным в [8], будет построено в явном аналитическом виде приближенное решение второй краевой задачи для уравнения с нелинейно зависящими от концентрации коэффициентами и функцией источника.
1. Постановка задачи
Задача 1. Плоская вторая краевая задача, описывающая диффузию в изотропной среде в случае, когда коэффициент диффузии и функция источника зависят от концентрации диффундирующего вещества, имеет вид:
(1.1)
где:
- концентрация диффундирующего вещества, ;
- коэффициент диффузии, ;
- функция источника, ;
- ограниченная односвязная область с достаточно гладкой границей ;
- дифференцирование по направлению внешней к нормали.
Будем предполагать, что
, , , , (1.2)
базисный потенциал уравнение диффузия
В этом случае классическое решение (1.1) существует и единственно [6].
Цель данной работы - с помощью методики, предложенной в [8], построить приближенное решение задачи (1.1).
2. Методика построения приближенного решения задачи 1
Будем дополнительно требовать выполнения условия непроницаемости границы для диффузии:
, (2.1)
оно позволяет использовать для приближенного решения нижеуказанной вспомогательной задачи (см. (2.3)) метод базисных потенциалов.
Процесс построения приближенного решения задачи (1.1) разобьем на два этапа [8].
2.1 Проведем дискретизацию задачи (1.1) по времени.
Пусть - приближение решения задачи (1.1) в момент времени , , , . Используя неявную аппроксимационную схему, запишем для определения , , следующие задачи:
(2.2)
2.2 Построим приближенное решение задачи (2.2).
Рассмотрим вспомогательную задачу:
(2.3)
где .
Приближенное решение (2.3) будем искать методом точечных (базисных) потенциалов [9]. Известно, что решение задачи (2.3) определено с точностью до постоянного слагаемого. Это слагаемое определим, исходя из условия изменения массы примеси:
(2.4)
которое вытекает из соотношения (2.1).
В дальнейшем будем считать, что в приближенном решении (2.3) постоянное слагаемое скорректировано и удовлетворяет условию (2.4).
Начальное приближение правой части уравнения в (2.3) выбираем из (). Тогда при заданном граничном условии решение (2.3) при i = 1 существует и принадлежит ([10]). Последующие приближения , , в правой части уравнения из (2.3) определяются соотношением:
(2.5)
На основании (1.2) для из (2.5), при заданном граничном условии, решение (2.3) также существует и принадлежит ([10]).
Согласно формуле Грина и (2.3) для из (2.5) должно выполняться соотношение:
(2.6)
При необходимости корректируем с помощью аддитивной постоянной так, чтобы выполнялось условие (2.6).
Процесс построения приближенных решений задачи (2.3) для приближений правой части уравнения (2.3), определяемых (2.5), завершаем для заданного на lk+1 - й итерации, если выполнится неравенство
.
В этом случае полагаем
.
Используя результаты [9], приведем аналитический вид приближенного решения задачи (2.2):
(2.7)
где ; - коэффициенты, определяющие приближение неизвестной плотности логарифмического потенциала двойного слоя : ; ;
.
3. Пример
Построим вышеописанным методом (с использованием среды Borland Delphi 7 и вычислительных библиотек компилятора Compaq Fortran) приближенное решение задачи (1.1) при , .
Пусть область представляет собой круг единичного радиуса с центром в начале координат: ;
;
;
, шаг дискретизации по времени ; , , .
Значения были вычислены с помощью (2.5) (во всех узлах интегрирования по ). В качестве первого приближения правой части уравнения в (2.3) для каждого временного слоя был выбран лапласиан решения, построенный на предыдущем временном слое:
,
Где
, .
Приближенное решение (2.2) (см. (2.7)) в данном случае имеет вид:
(3.1)
где , .
Графики построенного приближенного (3.1) решения задачи (1.1) для различных моментов времени приведены на рисунках 1-6. Норма в невязки уравнения в (2.2) имеет порядок 10-2.
(Количество итераций: 7; норма в невязки: 0,07)
Рис.1. Приближенное решение задачи 1 для t=0,1
(Количество итераций: 7; норма в невязки: 0,06)
Рис. 2. Приближенное решение задачи 1 для t=0,2
(Количество итераций: 4; норма в невязки: 0,07)
Рис. 3. Приближенное решение задачи 1 для t=0,3
(Количество итераций: 2; норма в невязки: 0,04)
Рис. 4. Приближенное решение задачи 1 для t=0,4
(Количество итераций: 1; норма в невязки: 0,03)
Рис. 5. Приближенное решение задачи 1 для t=0,5
(Количество итераций: 1; норма в невязки: 0,03)
Рис. 6. Приближенное решение задачи 1 для t=1
Выводы
С помощью методики, основанной на дискретизации по времени исходной задачи и методе базисных потенциалов, предложенной в [8], построено приближенное решение нелинейной краевой задачи (1.1).
Приближенное решение (3.1) задачи (1.1) быстро сходится на рассматриваемом интервале времени: максимум модуля невязки порядка 10-2 достигается за 1-7 итераций (причем, для относительно большого шага дискретизации по времени: ).
Литература
1. Бретшнайдер, С. Свойства газов и жидкостей. Инженерные методы расчета / С. Бретшнайдер. - М. - Л.: Химия, 1966. - 535 с.
2. Шервуд, Т. Массопередача / Т. Шервуд. - М.: Химия, 1982. - 695 с.
3. Полянин, А.Д., Зайцев, В.Ф., Справочник по нелинейным уравнениям математической физики / А.Д. Полянин. - М.: Физматлит, 2002. - 432 с.
4. Годунов, С.К. Уравнения математической физики / С.К. Годунов. - М.: Наука, 1979 - 391 с.
5. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова-Кочина. - М.: Наука, 1977. - 664 с.
6. Ладыженская, О.А., Солонников, В.А., Уральцева, Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская. - М.: Наука, 1967. - 736 с.
7. Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. - М.: Наука, 1978. - 512 с.
8. Захаров М.Ю., Семенчин Е.А. Построение приближенного решения краевой задачи, описывающей рассеяние примеси в атмосфере, методом точечных потенциалов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 4. с. 20-27.
9. Захаров М.Ю. Обратная задача определения плотности логарифмического потенциала двойного слоя и применение к решению краевой задачи // Численный анализ: теория, приложения, программы. М.: МГУ, 1999. С.113-120.
10. Ладыженская, О.А., Уральцева, Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа / О.А. Ладыженская. - М.: Наука, 1973. - 576 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Расчет профиля диффузии сурьмы в кремнии, определение основных параметров этого процесса. Использование феноменологической модели диффузии. Влияние параметров на глубину залегания примеси. Численное решение уравнения диффузии по неявной разностной схеме.
курсовая работа [4,7 M], добавлен 28.08.2010Решение краевых задач методом функции Хартри. Решение уравнения теплопроводности с разрывным коэффициентом и его приложение в электрических контактах. Определение результатов первой граничной задачи с разрывными коэффициентами с помощью функции Хартри.
дипломная работа [998,8 K], добавлен 10.05.2015Постановка задачи дифракции и методы ее решения. Сведения о методах решения задач электродинамики. Метод вспомогательных источников. Вывод интегральных уравнений Фредгольма второго рода для двумерной задачи. Численное решение интегрального уравнения.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 13.01.2011Математическая формулировка и решение задачи точечной интерполяции. Вид интерполяционного полинома Лагранжа. Интерполяция полиномами нулевой, первой и второй степени. Выбор шага и оценки погрешности дискретизации. Использование неравенства Бернштейна.
лекция [79,6 K], добавлен 19.08.2013Определение реакции связей, вызываемых заданными нагрузками. Решение задачи путем составления уравнения равновесия рамы и расчета действующих сил. Сущность закона движения груза на заданном участке, составление уравнения траектории и его решение.
задача [136,1 K], добавлен 04.06.2009Сущность и особенности явления диффузии как беспорядочного хаотического движения молекул. Исследование зависимости скорости диффузии от температуры в твердых веществах, сущность явления капиллярности. Проявление диффузии в природе и ее применение.
презентация [688,1 K], добавлен 13.05.2011Дифференциальное уравнение теплопроводности. Поток тепла через элементарный объем. Условия постановка краевой задачи. Методы решения задач теплопроводности. Численные методы решения уравнения теплопроводности. Расчет температурного поля пластины.
дипломная работа [353,5 K], добавлен 22.04.2011Знакомство с уравнениями прямолинейного движения материальной точки. Характеристика преимуществ безразмерных переменных. Рассмотрение основных способов построения общего решения неоднородного уравнения. Определение понятия дифференциального уравнения.
презентация [305,1 K], добавлен 28.09.2013Вычисление реакции объекта равновесия и грузов, удерживающих стержни. Аналитическая проверка результатов. Графическое представление уравнения. Решение частного уравнения в плоской системе. Проверка полученных частных данных аналитическим методом.
контрольная работа [11,3 K], добавлен 03.11.2008Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений. Поперечные колебания. Метод разделения переменных или метод Фурье. Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
дипломная работа [365,5 K], добавлен 08.08.2007Условия существования разности потенциалов (напряжения) между полюсами источника тока. Понятие и методика определения электродвижущей силы (ЭДС) источника. Измерение и сравнение ЭДС двух батарей с помощью компенсационной схемы, проверка их исправности.
лабораторная работа [346,3 K], добавлен 13.01.2013Рассмотрение способов определения коэффициентов амбиполярной диффузии. Общая характеристика уравнения непрерывности. Анализ пространственного распределения частиц. Знакомство с особенностями транспортировки нейтральных частиц из объема к поверхности.
презентация [706,1 K], добавлен 02.10.2013Рассмотрение алгоритма решения задач о равновесии плоской и пространственной систем сил. Нахождение уравнения траектории точки для заданного момента времени; определение ее скорости, касательного и нормального ускорения, а также радиуса кривизны.
контрольная работа [303,8 K], добавлен 26.04.2012Характеристика методов определения концентрации химических элементов в сложных соединениях. Методики определения концентрации железа (III) и выбор оптимального метода его определения в полиэлектролитных микрокапсулах и магнитоуправляемых липосомах.
дипломная работа [942,6 K], добавлен 25.07.2015Конкретизация условий, построение и анализ модели задачи. Нахождение принципиального решения технической задачи для первой подсистемы. Модель задачи для подсистемы управления передаточным отношением. Выявление и разрешение противоречий.
статья [521,8 K], добавлен 30.07.2007Диффузии, как взаимное проникновение молекул одного вещества в межмолекулярные промежутки другого вещества в результате их хаотического движения и столкновений друг с другом. Условия протекания диффузии. Твердые тела. Жидкости. Диффузия в жизни человека.
презентация [1,5 M], добавлен 03.04.2017Изучение характеристик модели, связанных с инфильтрацией воздуха через материал. Структура материалов тела. Анализ особенностей механизма диффузии. Экспериментальное исследование диффузии, а также методика расчета функции состояния системы с ее учетом.
научная работа [1,3 M], добавлен 11.12.2012История открытия физического явления диффузия. Экспериментальное определение постоянных Больцмана и Авогадро. Закономерности броуновского движения. Схема диффузии через полупроницаемую мембрану. Применение физического явления диффузия в жизни человека.
реферат [336,4 K], добавлен 21.05.2012Явления при испарении двойных смесей. Критические явления при растворении в двойных смесях. Критические явления и устойчивость к диффузии. Геометрическая интерпретация условия устойчивости по отношению к диффузии. Растворимость в твердом состоянии.
курсовая работа [412,8 K], добавлен 03.11.2008Феноменологическая и микроскопическая теория диффузии. Диффузионная релаксация Сноека, Зинера, магнитнаяа также сущность эффекта Горского. Магнитострикция чистых металлов и бинарных сплавов. Рентгенографический метод измерения коэффициента диффузии.
курсовая работа [481,3 K], добавлен 17.05.2014
