Эволюционное уравнение продольных уединенных волн в вязкоупругой бесконечной пластине и его точное решение
Изучение дисперсионных нелинейных волн в вязкоупругих пластинах при упругих объемных деформациях. Определение компоненты вектора движения точек с помощью кинематических соотношений. Вариационный принцип перемещений. Материалы с быстро затухающей памятью.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 27.04.2017 |
| Размер файла | 46,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
УДК 539.3:534:532.5
Кубанский государственный аграрный университет
эволюционное уравнение продольных Уединенных волн в вязкоупругой бесконечной пластине и его точное решение
Аршинов Г.А. - канд. физ.-мат. наук
Уединенные нелинейные волны в нелинейных упругих пластинах исследуются в работе [1]. В работе [2] изучаются дисперсионные нелинейные волны в вязкоупругих пластинах при упругих объемных деформациях. В данной статье предлагается обобщение результатов, полученных в [2], когда вязкоупругие свойства пластины проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. дисперсионный вязкоупругий вариационный волна
Для исследования распространения нелинейных дисперсионных волн в бесконечной вязкоупругой пластине толщиной 2h, изготовленной из материала наследственного типа и свободной от внешних воздействий, построим математическую модель волнового процесса.
С помощью кинематических соотношений определим компоненты вектора перемещений точек пластины при симметричных по толщине колебаниях и невысоких частотах [2]
v; ,(1)
где и v функции, определяющие поле перемещений в срединной плоскости пластины соответственно по осям и , перемещения по оси z, время.
Конечные деформации пластины зададим соотношениями тензора Грина
(2)
предполагая, что , .
Воспользуемся уравнениями линейной вязкоупругости для описания наследственных реологических свойств пластины [3]
,(3)
где соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформаций; ? среднее напряжение, объемное расширение, ? модуль объемной деформации, параметр Ламе; - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е модуль Юнга; коэффициент Пуассона.
С помощью формулы (1) определим компоненты деформаций по формулам (2) и их вариации . Из закона состояния (3) найдем компоненты тензора напряжений .
Далее, руководствуясь вариационным принципом
,
где плотность материала пластины, вариации деформаций, вариации перемещений, точкой обозначена производная по времени,
получаем интегро-дифференциальные уравнения движения пластины:
= .
= vxvy)] + vy) .
= (4)
+ +
,
где введены следующие обозначения:
,(5)
,(6)
поправочный коэффициент.
Для наследственных материалов с быстро затухающей памятью, когда , систему уравнений (4) можно упростить. Заменим в выражениях (5) и (6) интегральные операторы дифференциальными, разлагая функции , в ряды Тейлора по степеням () и сохраняя в полученных разложениях два слагаемых.
В итоге получим аппроксимации
, ,(7)
где введены операторы
,,
действующие на функцию по правилу
, .
Введем ряд обозначений: А - амплитуда колебаний, l - длина волны и - малый параметр, позволяющий исследовать длинные волны малой амплитуды.
Заменим в системе (4) и их приближениями (7) и перейдем к безразмерным переменным:
, v = v*, , , , .(8)
Исследуем безразмерные уравнения движения пластины с помощью асимптотического метода. Неизвестные функции запишем в виде асимптотических разложений, опуская звездочки при соответствующих безразмерных переменных:
, v = (v1 + v2 +…), . (9)
Если величины , , - одного порядка малости, то разложения (9) можно подставить в безразмерные уравнения движения пластины.
Обозначенные отношения порядков позволяют для первых членов разложений составить следующую систему уравнений:
(10)
= 0, (11)
из которой следует, что
, (12)
где , .
Скорость волны найдем исходя из уравнения (10) и с учетом формулы (12):
. (13)
Далее для вторых членов разложений (9) составим систему трех уравнений:
v +
(14)
v = v+ .(15)
v) +
.(16)
В ходе интегрирования уравнения (15) по переменной и с учетом формулы (12) получим равенство:
v= .
Принимая во внимание последнее равенство и формулу (12), продифференцируем уравнение (16) по и приведем его к виду:
. (17)
Приравнивая сумму последних трех слагаемых в уравнении (14) к левой части уравнения (17), умноженной на , с учетом выражения (13) можно записать следующее:
v++
.
В ходе тождественных преобразований последнего уравнения, используя обозначение , получим эволюционное уравнение Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса
,(18)
,
.
Найдем точное решение уравнения (18) из сингулярного многообразия вида:
,(19)
где - неизвестные функции независимых переменных.
В результате подстановки выражения (19) в уравнение Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса можно записать равенство:
, (20)
где удовлетворяет условию (20) и вычисляется следующим образом:
. (21)
Подставив функцию в равенство (20), приходим к точному решению уравнения КПБ:
,(22)
где - произвольный параметр, ,
или
,
где
. (23)
Волну растяжения, соответствующую неравенству, получим, если в формуле (23) оставим знак «+». При этом и точное решение уравнения Кадомцева - Петвиашвили - Бюргерса описывает ударно-волновую структуру.
Возвращаясь к размерным переменным, запишем функцию
,
согласно которой найдем поправку к скорости распространения волны:
.
СПИСОК Литературы
1. Потапов А.И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. Горький: Изд-во Горьк. гос. ун-та, 1985.
2. Аршинов Г.А., Могилевич Л.И. Статические и динамические задачи вязкоупругости. Саратов: Изд-во СГАУ им. Н.И. Вавилова, 2002. 146 с.
3. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972.
АННОТАЦИЯ
Эволюционное уравнение продольных уединенных волн в вязкоупругой бесконечной пластине и его точное решение. Аршинов Г.А. - канд. физ.-мат. Наук. Кубанский государственный аграрный университет. УДК 539.3:534:532.5
Выводятся уравнения движения геометрически нелинейной вязкоупругой пластины, используются неклассические кинематические уравнения. Рассмотрен общий случай, когда вязкоупругие свойства проявляются при объемных и сдвиговых деформациях. Полученные уравнения методом возмущений сводятся к эволюционному уравнению Кортевега де Вриза - Бюргерса - Петвиашвили, для которого определяется точное решение, описывающие продольные двумерные уединенные волны. Указываются условия, при которых формируются ударно-волновые структуры деформации пластины.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Параметры упругих гармонических волн. Уравнения плоской и сферической волн. Уравнение стоячей волны. Распространение волн в однородной изотропной среде и принцип суперпозиции. Интервалы между соседними пучностями. Скорость распространения звука.
презентация [155,9 K], добавлен 18.04.2013Типы волн и их отличительные особенности. Понятие и исследование параметров упругих волн: уравнения плоской и сферической волн, эффект Доплера. Сущность и характеристика стоячих волн. Явление и условия наложения волн. Описание звуковых и стоячих волн.
презентация [362,6 K], добавлен 24.09.2013Характеристика закона дисперсии высокочастотных продольных плазменных волн, математическое описание ленгмюровских колебаний и волн в условиях холодной плазмы. Понятие плазмонов. Описание ионных ленгмюровских волн простыми дисперсионными уравнениями.
реферат [59,7 K], добавлен 04.12.2012Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской и сферической волны. Принцип суперпозиции, разложение Фурье и эффект Доплера. Наложение встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Зависимость длины волны от относительной скорости движения.
презентация [2,5 M], добавлен 14.03.2016Экспериментальное получение электромагнитных волн. Плоская электромагнитная волна. Волновое уравнение для электромагнитного поля. Получение модуля вектора плотности потока энергии. Вычисление давления электромагнитных волн и уяснение его происхождения.
реферат [28,2 K], добавлен 08.04.2013Изучение динамического поведения цилиндрической оболочки (упругой или вязкоупругой), контактирующей с жидкостью. Рассмотрение задач о распространении волн в цилиндрической оболочке, заполненной или нагруженной жидкостью и обзор методов их решения.
статья [230,6 K], добавлен 09.01.2016- Распространение плоских, гармонических по времени, упругих акустических волн в периодичном волноводе
Волновые явления в периодических слоистых волноводах. Создание приложения, моделирующего процесс распространения плоских, гармонических по времени, упругих акустических волн в периодическом волноводе. Метод Т-Матриц для периодического волновода.
курсовая работа [910,2 K], добавлен 30.06.2014 Исследование волоконного световода без потерь двухслойной конструкции. Уравнение передачи по световоду, порядок и принципы его составления. Нахождение постоянной интегрирования и подставление их в уравнение. Типы волн в световодах, их особенности.
реферат [91,9 K], добавлен 10.06.2011Физическая интерпретация свойств решений эволюционных уравнений, описывающих амплитудно-фазовую модуляцию нелинейных волн. Основные принципы нелинейных многоволновых взаимодействий. Теория нормальных форм уравнений, резонанс в многоволновых системах.
реферат [165,9 K], добавлен 14.02.2010Определение напряженности магнитного поля элементарного вибратора в ближней зоне. Уравнения бегущих волн. Их длина и скорость их распространения в дальней зоне. Направления вектора Пойнтинга. Мощность и сопротивление излучения электромагнитных волн.
презентация [223,8 K], добавлен 13.08.2013Свойства независимых комбинаций продольной и поперечной объемных волн. Закон Гука в линейной теории упругости при малых деформациях. Коэффициент Пуассона, тензоры напряжения и деформации. Второй закон Ньютона для элементов упругой деформированной среды.
реферат [133,7 K], добавлен 15.10.2011Основные методы описания распространения электромагнитных волн в периодических средах с использованием волновых уравнений. Теории связанных волн, вывод уравнений. Выбор метода для описания генерации второй гармоники в периодически поляризованной среде.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 17.03.2014Решение уравнений, которые описывают совокупное волновое поле, создающее напряженно-деформированное состояние в окрестности кругового отверстия на безграничной тонкой упругой пластине. Основные методы применения цилиндрических функции Бесселя и Ханкеля.
курсовая работа [792,3 K], добавлен 25.11.2011Определение частоты и сложение колебаний одного направления. Пропорциональные отклонения квазиупругих сил и раскрытие физической природы волны. Поляризация и длина продольных и поперечных волн. Общие параметры вектора направления и расчет скорости волны.
презентация [157,4 K], добавлен 29.09.2013Нахождение показателя преломления магнитоактивной плазмы. Рассмотрение "обыкновенной" и "необыкновенной" волн, исследование их свойств. Частные случаи распространения электромагнитных волн в магнитоактивной плазме. Определение магнитоактивных сред.
курсовая работа [573,6 K], добавлен 29.10.2013Расчет напряжения и токов в узлах в зависимости от времени. Графики напряжений, приходящих и уходящих волн. Метод бегущих волн и эквивалентного генератора. Перемещение и запись волн в массивы. Моделирование задачи в Matlab. Проектирование схемы в ATP.
лабораторная работа [708,4 K], добавлен 02.12.2013Колебания частиц в упругих средах, распространяющиеся в форме продольных волн, частота которых лежит в пределах, воспринимаемых ухом. Объективные, субъективные характеристики звука. Звуковые методы исследования в клинике. Положение пальцев при перкуссии.
презентация [607,1 K], добавлен 28.05.2013Физические основы ультразвука — упругих колебаний, частота которых превышает 20 КГц , распространяющихся в форме продольных волн в различных средах. Явление обратного пьезоэлектрического эффекта. Медицинские области применения ультразвуковых исследований.
контрольная работа [88,0 K], добавлен 06.01.2015Понятие электромагнитных волн, их сущность и особенности, история открытия и исследования, значение в жизни человека. Виды электромагнитных волн, их отличительные черты. Сферы применения электромагнитных волн в быту, их воздействие на организм человека.
реферат [776,4 K], добавлен 25.02.2009Понятие поперечно-магнитных и поперечно-электрических волн, решение для этих типов. Описание величин характеристик направляющей системы и распространяющихся в ней волн. Определение фазовой и групповой скорости, особенности их зависимость от частоты.
курсовая работа [918,1 K], добавлен 07.12.2010
