Моделирование переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата в потенциостатическом режиме

Численный анализ краевых задач для системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона, анализ применения этих краевых задач к моделированию и изучению массопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата. Анализ математических моделей переноса ионов.

Рубрика Физика и энергетика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 28.04.2017
Размер файла 1,7 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 51-71:541.13

UDC 51-71:541.13

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА БИНАРНОГО ЭЛЕКТРОЛИТА В КАНАЛЕ ОБЕССОЛИВАНИЯ ЭЛЕКТРОДИАЛИЗНОГО АППАРАТА В ПОТЕНЦИОСТАТИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ

SIMULATION OF TRANSFER OF BINARY ELECTROLYTE IN THE CHANNEL OF DESALTING OF ELECTRO DIALYSIS APPARATUS IN POTENTIAL STATIC MODE

Коваленко Анна Владимировна
к.э.н., доцент кафедры прикладной математики

Kovalenko Anna Vladimirovna
Cand.Econ.Sci., assistant professor

Уртенов Махамет Хусеевич

д.ф.-м.н., профессор кафедры прикладной математики

Urtenov Mahamet Khuseevich,

Dr.Sci.Phys.-Math., professor

Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия

Kuban State University, Krasnodar, Russia

Хромых Анна Александровна

старший преподаватель кафедры прикладной математики

Khromikh Anna Aleksandrovna

senior teacher of chair of applied mathematics

Кубанский государственный технологический университет, Краснодар, Россия

Kuban State Technological University, Krasnodar, Russia

Статья посвящена численному анализу краевых задач для системы уравнений Нернста-Планка-Пуассона (НПП), применению этих краевых задач к моделированию и изучению массопереноса в канале обессоливания электродиализного аппарата. Предлагаются различные математические модели переноса ионов в потенциостатическом режиме в виде системы квазилинейных уравнений с частными производными. Выявлены основные закономерности возникновения и развития пространственного заряда в канале обессоливания электродиализного аппарата

Article is devoted to the numerical analysis of regional problems for system of the equations of Nernst-Plank-Puasson (NPP), to application of these regional problems to modeling and studying of mass transfer in the channel desalting of electro dialysis device. Various mathematical models of the transfer of ions in potential static mode in the form of system of the quasilinear equations with private derivatives are offered. The basic rules of occurrence and development of a spatial charge in the channel desalting of electro dialysis device are revealed

Ключевые слова: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ПОТЕНЦИО-СТАТИЧЕСКИЙ РЕЖИМ, ЭЛЕКТРО-ДИАЛИЗНЫЙ АППАРАТ, ЭЛЕКТРО-МЕМБРАННЫЕ СИСТЕМЫ

Keywords: MATHEMATICAL MODELING, POTENTIALSTATIC MODE, ELECTRO DIALYSIS DEVICE, ELECTROMEMBRANE SYSTEMS

Введение

обессоливание аппарат электродиализный массоперенос

Электромебранные системы (электродиализные аппараты, электромембранные ячейки и т.д.) используют, как правило, в двух разных режимах работы: потенциостатическом режиме, когда постоянным поддерживается падение потенциала в цепи и гальваностатическом режиме, когда постоянным является ток в цепи. В данной статье исследуется потенциостатический режим. Изучение массопереноса под действием внешнего электрического поля в электродных и мембранных системах является одной из основных классических фундаментальных задач современной электрохимии [1]. В частности, эта задача имеет важное значение для понимания явлений, протекающих в мембранных системах при реализации интенсивных токовых режимов. Такие режимы являются уже общепринятой практикой проведения электродиализа с ионообменными мембранами при получении высокочистой воды.

Краевые задачи для систем уравнений НПП ставились и изучались многими авторами. Однако в имеющихся работах обычно ограничивались постановкой и рассмотрением одномерных задач [3]. В данной статье рассматривается двумерный случай.

1. Постановка задачи

Пусть и - ширина и длина камеры обессоливания, соответственно, - соответствует условной межфазной границе анионообменная мембрана/раствор, - соответствует условной межфазной границе катионообменная мембрана/раствор, - входу, а - выходу из камеры обессоливания, - заданная скорость прокачивания раствора. Скорость течения раствора имеет форму параболы Пуазейля или моделируется по другому.

Для математического моделирования явлений переноса для бинарного электролита используются следующие уравнения [1]:

(1)

(2)

(3)

(4)

Здесь - градиент, - оператор Лапласа, - скорость течения раствора, - характерная плотность раствора, - давление, - концентрации катионов и анионов в растворе, соответственно, - зарядовые числа катионов и анионов, - коэффициенты диффузии катионов и анионов, соответственно, - потенциал электрического поля, - диэлектрическая проницаемость электролита, - постоянная Фарадея, - газовая постоянная, - абсолютная температура, - время, - коэффициенты кинематической вязкости

Эта система уравнений удобна для моделирования потенциостатического режима, так содержит уравнение для потенциала (3). После решения соответствующей краевой задачи для системы из 7 уравнений (1)-(3) для семи неизвестных функций плотность тока находится по формуле (4). Напряженность и потенциал электрического поля связаны соотношением .

Эти уравнения после некоторых преобразований можно записать в виде, удобном для численного решения:

, , (5)

, (6)

2. Модель переноса симметричного бинарного электролита

Важным частным случаем является симметричный бинарный электролит. Когда . Не нарушая общности рассуждения в этом случае можно положить и , тогда уравнения (5), (6) упрощаются и принимают вид:

(7)

(8)

(9)

3. Начальные и краевые условия

К системе декомпозиционных уравнений должны быть добавлены соответствующие краевые условия, которые ставятся в зависимости от целей конкретного исследования процессов переноса в электродиализных аппаратах, от режима их эксплуатации гальваностатического или потенциостатического, и т.д. В этой работе мы будем рассматривать потенциостатический режим, которому соответствует условие:

, (10)

означающее, что величина падения потенциала в канале постоянна. Поскольку важно только величина падения потенциала, то, не нарушая общности можно положить, например , тогда . Каждому значению падения потенциала соответствует своя плотность тока

, (11)

являющейся функцией от времени, но не зависящая от .

Все граничные условия должны быть согласованы со свойствами мембран и с величиной («интенсивным» или «мягким» токовым режимом).

Наряду с условием (7) будем использовать следующие граничные условия:

1). На поверхности анионообменной мембраны будем считать граничную концентрацию анионов равной фиксированному заряду внутри мембраны:

(12)

Кроме того, предположим анионообменную мембрану идеально селективной, т.е. непроницаемую для катионов:

(13)

2). На поверхности катионообменной мембраны будем считать граничную концентрацию катионов равной фиксированному заряду внутри мембраны:

(14)

Кроме того, предположим катионообменную мембрану идеально селективной, то есть непроницаемой для анионов:

(15)

3). На входе в рассматриваемую область будем полагать:

(16)

(17)

4). На выходе из рассматриваемой области будем использовать «мягкие» условия на концентрации и на потенциал:

(18)

(19)

5). Начальные условия при примем согласованными, по возможности, с остальными граничными условиями:

(20)

Для функции в качестве начального условия можно взять, например, линейную функцию, независящую от :

(21)

Для решения краевой задачи применяется метод конечных элементов [2].

4. Характерные данные

Нами были проведены численные эксперименты для раствора NaCl в широком спектре таких параметров, как начальная концентрация, межмембранное расстояние, длина канала, значение тока в цепи , и определены основные закономерности распределения электрохимических (концентрация, напряженность и потенциал электрического поля, и т.д.) полей. Ниже представлены некоторые результаты численных экспериментов при следующих входных параметрах: ширина канала обессоливания мм или меньше, длина канала мм, средняя скорость вынужденного течения раствора варьировалась от м/с до м/с, а падение потенциала от В до В, начальная концентрация раствора принимает значения от моль/м3 до моль/м3 , температура раствора K, начальная плотность раствора кг/м3, коэффициент кинематической вязкости м2/с, коэффициент диффузии катиона и аниона, соответственно, м2/с и м2/с.

5. Переход к безразмерному виду и оценка безразмерных параметров

Для перехода к безразмерному виду используем «естественные» безразмерные величины (индекс u означает, что соответствующая величина безразмерная):

, , , , , , , , ,

где, например, , или м2/с, , , .

Кроме того, введем в рассмотрение безразмерные параметры:

- безразмерное падение потенциала, - число Пекле, , где - Дебаевская длина [1].

Эти безразмерные параметры имеют следующие характерные пределы изменения: , , меняется от 5 до 25, число пекле линейно зависит от начальной скорости и при изменении меняется от 1 до , меняется от до в зависимости от значений . Таким образом, можно считать малым параметром. В безразмерных переменных исходная система уравнений (1-4) имеет вид (индекс «u» для упрощения записи опущен):

Соответственно изменяются и системы уравнений (5-6) и (7-9), например система уравнений (5) примет следующий безразмерный вид:

(21)

(22)

Для системы уравнений (21), (22) безразмерные краевые условия примут вид:

1). При :

; ; (23)

2). При :

; ; (24)

3). При :

(25)

4). При :

(26)

5) При

, (27)

Наличие малого параметра не позволяет решать краевую задачу (21)-(27) в исходных переменных при меньше , поскольку в области погранслоя необходимо деление хотя бы с шагом порядка /10.

Например, если имеет порядок , то шаг должен быть порядка от и меньше, количество элементов при этом будет порядка от и больше. Попытки вне погранслоя увеличить шаг приводит к «взрыву погрешностей» [4].

Для решения краевой задачи при меньших порядков чем , введем специальную растянутую систему координат и переменных:

Тогда

, , ,

, .

Следовательно , , , .

В этих формулах дифференциальные операторы слева считаются в переменных , а справа,- в .

Подставляя эти формулы в уравнения (21), (22) в растянутых переменных получим уравнения:

(28)

(29)

Отметим, что внешний вид уравнений не изменился, за исключением того, что в новые уравнения малый параметр уже не входит. Область изменения переменных растянулась, т.к., например, при прямоугольник [0,1]x[0,7] становится прямоугольником [0,10]x[0,70], и поэтому количество узлов увеличивается (в 100-210 раз), однако это значительно меньше начального варианта и уже вполне приемлемо. Растянутые переменные позволяют проводить расчеты вплоть до .

Краевые условия в растянутых переменных имеют вид:

1) При :

; ; (30)

2) При :

; ; (31)

3) При :

(32)

4) При :

(33)

5) При

, (34)

6. Основные закономерности переноса ионов в канале обессоливания

Возникновение и развитие пространственного заряда. Структура канала обессоливания.

а) б)

Рисунок 1. График плотности распределения заряда в безразмерном виде при а) , б)

Постепенно увеличивая , получаем, пространственный заряд возникает около мембран при запредельном режиме, причем при дальнейшем увеличении падении потенциала область пространственного заряда увеличивается (рис.1). Кроме того, возле непосредственно вблизи мембран возникает погранслой, обусловленный влиянием граничного условия. Это влияние вне погранслоя практически отсутствует.

Из рисунка видно, что в ядре потока, т.е. в центральной части канала обессоливания электронейтральность раствора сохраняется с большой точностью (), а в области пространственного заряда процесс практически стационарен.

В зависимости от начального значения возможно возникновение и начального погранслоя.

Таким образом, структура канала обессоливания может быть достаточно сложна и канал может делиться на области электронейтральности, пространственного заряда, промежуточные слои и пограничные слои (диффузионный, диффузный, начальный).

Соленоидальность плотности тока

Численные расчеты показывают, что в широких пределах изменения , например, при , при , поэтому можно ожидать , .

Таким образом, можно считать, что во всем канале , т.е. поле плотности тока является соленоидальной. Для объяснения этого интересного результата обратимся к уравнению (2):

Умножим каждое уравнение на и сложим, тогда:

В области электронейтральности с большой точностью выполняется условие электронейтральности , следовательно, с такой же точностью . С другой стороны в области пространственного заряда из-за стационарности процессов переноса имеем , следовательно, опять .

Таким образом, поле плотности тока с достаточной точностью можно считать соленоидальным во всем канале обессоливания, хотя это выполняется в разных участках канала по различным причинам.

Основные закономерности распределения концентрации ионов

а) б)

Рисунок 2 - Графики при

а) б)

в) г)

Рисунок 3 - Графики а), б) - при , в), г) - при

1с 2с 4с

6с 10с 20с

Рисунок 4 - Формирование начального погранслоя. Графики в размерном виде в разные моменты времени в секундах при

Расчеты показывают, что концентрации в области электронейтральности практически меняются по линейному закону, а в области пространственного заряда малы, причем одна из концентраций экспоненциально мала, а вторая почти постоянна. В области пространственного заряда устанавливается стационарный режим (рис.2-4 ).

С уменьшением изменения становятся более резкими, погранслои ярко выраженными. Процесс быстро стабилизуется, начальный погранслой формируется за короткое время, зависящее от , в ядре потока появляется «плато» с практически постоянным значением концентрации.

Заключение

1. Построена математическая модель нестационарного переноса бинарного электролита в разбавленных растворах в электромембранных системах с учетом пространственного заряда в потенциостатическом режиме, которая представляет собой краевую задачу для системы квазилинейных уравнений в частных производных.

2. Проведен численный анализ и установлены основные закономерности переноса в каналах обессоливания электромембранных систем в условиях совместного пространственного заряда и вынужденной конвекции. Изучены нестационарные и переходные процессы.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального Агентства по образованию и науке РФ в рамках темы 1.4.08 Единого заказ/наряда.

Литература

1. Ньюмен Дж. Электрохимические системы. М.: Мир, 1977. 463 с.

2. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов: Пер. с англ. М.: Мир, 1981. 304 с.

3. Уртенов, М.Х. Краевые задачи для систем уравнений Нернста-Планка-Пуассона. Краснодар, КубГУ, 1998. - 126 с.

4. Дулан Э., Миллер Дж., Шилдерс У. Равномерные численные методы решения задач с пограничным слоем. М.: Мир, 1983. 254 С.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Установление возможности наблюдения эффекта переноса ядерной намагниченности, используя имеющееся лабораторное оборудование. Изучение влияния параметров исследуемых образцов на отношение переноса намагниченности. Описание импульсной последовательности.

    курсовая работа [2,3 M], добавлен 30.08.2012

  • Идеальная жидкость как жидкость без внутреннего трения. Безнапорное движение - движение жидкости в канале. Решение дифференциальных уравнений Навье-Стокса. Преобразование Лапласа для временных и преобразование Фурье для пространственных переменных.

    курсовая работа [220,9 K], добавлен 09.11.2011

  • Вязкость, движение частиц в вязких средах. Электропроводность и ее виды. Удельная и молярная электропроводность растворов электролитов. Числа переноса и методы их определения. Проверка концентрации кислоты методом потенциометрического титрования.

    курсовая работа [743,5 K], добавлен 17.12.2014

  • Представление синусоидального тока комплексными величинами. Определитель матрицы, его свойства. Расчет установившихся режимов электрических систем. Методы решения линейных алгебраических уравнений. Прогнозирование уровня электропотребления на предприятии.

    курсовая работа [941,2 K], добавлен 25.03.2015

  • Сравнительный анализ существующих методов построения моделей малых движений точки вблизи положения равновесия. Особенности применения математического аппарата операционного исчисления к построению таких моделей, алгоритм построения в в программе MatLab.

    курсовая работа [1,3 M], добавлен 20.03.2012

  • Групповая скорость. Парадокс. Вектор Пойнтинга. Проблемы определения скорости переноса энергии. Скорость переноса энергии ТЕ и ТМ волн. Фазовая скорость это скорость движения силового свойства поля.

    реферат [95,4 K], добавлен 02.03.2002

  • Основные свойства жидкости. Отсутствие идеальной модели и трудности формулировки общей теории жидкости. Явления переноса: диффузия, теплопроводность и вязкость, их характеристика. Отличия явлений переноса в жидкостях от аналогичных явлений в газах.

    реферат [40,2 K], добавлен 05.06.2009

  • Описание процесса распространения электромагнитной волны в волноводе дифференциальным уравнением. Исследование сходимости ряда аналитического решения. Вычисление функций Бесселя. Сравнение теоретической и практической оценок количества членов ряда Фурье.

    курсовая работа [870,1 K], добавлен 27.02.2014

  • Дифференциальное уравнение теплопроводности как математическая модель целого класса явлений, особенности его составления и решения. Краевые условия – совокупность начальных и граничных условий, их отличительные черты. Способы задания граничного условия.

    реферат [134,2 K], добавлен 08.02.2009

  • Понятие процесса переноса тепла и вещества, потенциалы переноса. Температурное поле, примеры одномерного и двухмерного полей. Стационарный и нестационарный процесс теплопередачи. Характеристика параметров материала: плотность, пористость, влажность.

    контрольная работа [203,4 K], добавлен 21.01.2012

  • Закономерности переноса и использования теплоты. Сущность термодинамического метода исследования, решение инженерных задач по преобразованию тепловой и механической энергии, определение термического коэффициента полезного действия в физических системах.

    курсовая работа [2,2 M], добавлен 20.10.2012

  • Явления переноса в газах. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул в газах. Диффузия газов и внутреннее трение. Вязкость и теплопроводность газов. Коэффициенты переноса и их зависимость от давления. Понятие о вакуумном состоянии.

    презентация [2,7 M], добавлен 13.02.2016

  • Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения задач прикладной физики. История возникновения и развития метода, области его применения. Метод взвешенных невязок. Общий алгоритм статического расчета МКЭ. Решение задач методом конечных элементов.

    курсовая работа [2,0 M], добавлен 31.05.2012

  • Исследование свойств теплопроводности как физического процесса переноса тепловой энергии структурными частицами вещества в процесс их теплового движения. Общая характеристика основных видов переноса тепла. Расчет теплопроводности через плоскую стенку.

    реферат [19,8 K], добавлен 24.01.2012

  • Решение краевых задач методом функции Хартри. Решение уравнения теплопроводности с разрывным коэффициентом и его приложение в электрических контактах. Определение результатов первой граничной задачи с разрывными коэффициентами с помощью функции Хартри.

    дипломная работа [998,8 K], добавлен 10.05.2015

  • Общая характеристика законов динамики, решение задач. Знакомство с основными видами сил. Особенности дифференциальных уравнений движения точки. Анализ способов решения системы трех дифференциальных уравнений второго порядка, рассмотрение этапов.

    презентация [317,7 K], добавлен 28.09.2013

  • Моделирование электромеханических устройств. Классификация математических моделей. Иерархический подход к моделированию. Исследование динамического момента асинхронного двигателя с опытными образцами роторов. Вращающий момент асинхронного двигателя.

    учебное пособие [159,1 K], добавлен 13.08.2013

  • Изучение теплопроводности как физической величины, определяющей показатель переноса тепла структурными частицами вещества в процессе теплового движения. Способы переноса тепла: конвекция, излучение, радиация. Параметры теплопроводности жидкостей и газов.

    курсовая работа [60,5 K], добавлен 01.12.2010

  • Взаимодействие атмосферного пограничного слоя с океаном как важнейший фактор, определяющий динамику тропических ураганов и полярных мезоциклонов над морем. Методика и анализ результатов измерений поля поверхностного волнения в ветро-волновом канале.

    курсовая работа [2,4 M], добавлен 13.07.2012

  • Концептуальное развитие основных физических воззрений на структуру и свойства электромагнитного поля в классической электродинамике. Системы полевых уравнений. Волновой пакет плоской линейно поляризованной электрической волны. Электромагнитные поля.

    статья [148,1 K], добавлен 24.11.2008

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.