Метрика местного суперкластера галактики и общая теория относительности

Размещено на http://www.allbest.ru/

МЕТРИКА МЕСТНОГО СУПЕРКЛАСТЕРА ГАЛАКТИК И ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Трунев Александр Петрович к.ф.-м.н., Ph.D.

Директор, A&E Trounev IT Consulting, Торонто, Канада

Обсуждается метрика суперкластеров галактик совместная с метрикой Вселенной. Показано, что метрика должна быть универсальной, зависящая только от фундаментальных констант. Даны примеры универсальных метрик, получаемых в теории гравитации Эйнштейна. На основе осесимметричных решений уравнений Эйнштейна предложены универсальные метрики, описывающие свойства галактик, групп и кластеров галактик.

Ключевые слова: ГАЛАКТИКА, ГАЛАКТИЧЕСКИЙ КЛАСТЕР ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ, ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ ЭЙНШТЕЙНА, ТЕМНАЯ МАТЕРИЯ, ТЕМНАЯ ЭНЕРГИЯВведение

Как известно, пространство в масштабе 100 и более мегапарсек является неоднородным по плотности как обычной, так и темной материи, которая концентрируется в кластерах, включая местный Суперкластер, которому принадлежит наша Галактика /1-3/. Для объяснения неоднородности Вселенной обычно используется теория гравитационной неустойчивости /4-9/. В моделях /4-6/ и других предполагается, что в первоначально однородном пространстве возникают флуктуации плотности, которые приводят к формированию кластеров обычной и темной материи. Моделирование распределения темной матери в кластерах представляет собой сложную задачу, так как темную материю можно наблюдать, главным образом, по результату ее гравитационного взаимодействия с обычной материей. метрика галактика суперкластер вселенная

По разным оценкам содержание темной материи в Суперкластере значительно превосходит содержание обычной материи, что характерно и для других суперкластеров. В этой связи возникает вопрос о зависимости метрики от распределения материи /10-11/. В работе /11/ было показано, что на основе аксиально-симметричных решений уравнений Эйнштейна можно описать зависимость гравитационного потенциала от расстояния в спиральных галактиках. В настоящей работе построены аксиально-симметричные решения уравнений Эйнштейна, описывающие распределение гравитационного потенциала в масштабе кластера галактик.

Модификация уравнений Эйнштейна

Теория гравитации Эйнштейна /12-14/ широко используется в современной космологии, особенно, в связи с открытием ускоренного расширения Вселенной /15-16/.

Эйнштейн /12/ так определил принципы теории относительности: «Теория, как мне кажется сегодня, покоится на трех основных положениях, которые ни в какой степени не зависят друг от друга. Ниже они будут коротко сформулированы, а в дальнейшем освещены с некоторых сторон.

а) Принцип относительности: законы природы являются лишь высказываниями о пространственно-временных совпадениях; поэтому они находят свое естественное выражение в общековариантных уравнениях.

б) Принцип эквивалентности: инерция и тяжесть тождественны; отсюда и из результатов специальной теории относительности неизбежно следует, что симметричный «фундаментальный тензор» () определяет метрические свойства пространства, движение тел по инерции в нем, а также и действие гравитации. Описываемое фундаментальным тензором состояние пространства мы будем обозначать как «G-поле».

в) Принцип Маха: G-поле полностью определено массами тел. Масса и энергия, согласно следствиям специальной теории относительности, представляют собой одно и то же; формально энергия описывается симметричным тензором энергии; это означает, что G-поле обусловливается и определяется тензором энергии материи».

Здесь первые два положения - принцип относительности и принцип эквивалентности, видимо, являются универсальными, тогда как принцип Маха, очевидно, не может быть непосредственно реализован в построении геометрии. Действительно, если геометрия определяется массами тел, то чем тогда определяются сами массы? Этот вопрос в современной науке привел к открытию бозона Хиггса, от которого зависят массы всех других элементарных частиц. Механизм Хиггса, ведущий к возникновению массы, является весьма специфическим, поскольку связан со спонтанным нарушением симметрии /17-18/. Но симметрия это геометрическое свойство системы, поэтому принцип Маха в этом случае сводится к тавтологическому утверждению, что геометрия определяется геометрией. Другие механизмы генерации массы, основанные на результатах квантовой теории гравитации /19/ и теории Янга-Миллса /20/, приводят к аналогичному выводу.

Поэтому следует изменить принцип Маха таким образом, чтобы он соответствовал физическому содержанию не только теории гравитации Эйнштейна, но и любой другой теории /10-11/. Уравнения гравитационного поля Эйнштейна имеют вид /12/:

(1)

Здесь - тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно. Как известно, Эйнштейн предложил в 1912-1955 гг. несколько альтернативных теорий гравитации, среди которых теория (1) получила всеобщее признание.

Множество споров вызывала космологическая постоянная, введенная Эйнштейном в 1917 г в работе /12/ для объяснения существования статической Вселенной. Однако в 1922 г Фридман получил решение, описывающие нестационарную Вселенную, на основе уравнений общей теории относительности, предложенных Эйнштейном в 1915 г, в которых . В 1929 г Хаббл экспериментально обнаружил разбегание галактик и сформулировал закон, связывающий расстояние до галактик с красным смещением. Эти результаты явились подтверждением модели Фридмана, после чего Эйнштейн опубликовал статью /14/, в которой написал, что «При этих обстоятельствах следует задать вопрос, можно ли описать опытные факты; не вводя -член, явно неудовлетворительный с теоретической точки зрения».

В настоящее же время, учитывая многочисленные данные, свидетельствующие об ускоренном расширении Вселенной, следует признать, что -член является вполне удовлетворительным и, более того, единственным разумным объяснением наблюдаемого эффекта. Однако происхождение этого эффекта относится к одной из самых больших загадок современной физики /21-24/. Действительно, это слагаемое могло бы возникнуть как следствие квантовых флуктуаций, но соответствующие оценки показывают, что существует огромное различие, составляющее 120 порядков между экспериментальной величиной и предсказанием квантовой теории гравитации. Это различие можно несколько сократить, используя различные соображения /21/, но нельзя устранить.

Отмеченное огромное различие между фактами и теорией означает, что между геометрией микромира и геометрией в масштабе всей Вселенной нет никакой связи. Но тогда и принцип Маха, и следующее из него уравнение Эйнштейна (1) теряют свой смысл. Чтобы разрешить это противоречие, был формулирован новый принцип, который, как нам представляется, управляет геометрией миров /10-11/.

Принцип максимальной определенности: Метрика пространства-времени зависит только от таких фундаментальных констант, которые определяются с максимально возможной точностью.

Отметим, что в современной физике к таким константам относятся скорость света, постоянная Планка, постоянная тонкой структуры, масса электрона, масса протона и некоторые другие величины. Тензор энергии импульса материи имеет сравнительно низкую точность определения, а с учетом большого содержания темной материи в Суперкластере, вообще не определен, поэтому не может входить в число параметров, от которых зависит метрика пространства-времени. Следовательно, в масштабе 100 мегапарсек будут справедливы гипотезы геометродинамики /25-28/.

Чтобы сохранить основную идею определения метрики в теории гравитации Эйнштейна и при этом удовлетворить принципу максимальной определенности, мы предположим, что уравнение Эйнштейна (1) распадается на два независимых уравнения:

(2)

Здесь - некоторая функция, зависящая от фундаментальных констант доступных измерению с максимально возможной точностью. Отметим, что первым уравнением определяется метрика пространства-времени, а вторым уравнением задается распределение материи, которое соответствует этой метрике.

В модели (2) сохраняются все результаты, связанные с определением пространств Эйнштейна /29/, поскольку соответствующие метрики являются решением первого уравнения (2). Среди этих решений отметим метрику Шварцшильда /30/, которой определяется поле тяготения точечной массы в сферически-симметричном случае; метрику Фридмана -- Леметра -- Робертсона -- Уокера (FLRW) /16/, описывающую расширение Вселенной в стандартной космологической модели; метрику аксиально-симметричных гравитационных полей /29, 31-33/.

При таком подходе отпадает необходимость строить гипотезы относительно распределения массы и энергии во Вселенной. Основой всех наблюдаемых феноменов является метрика, которой соответствует распределение массы и энергии, определяемое из второго уравнения (2). Метрика зависит только от фундаментальных констант, а распределение массы и энергии полностью определяется геометрией, что согласуется с механизмом возникновения массы и в стандартной модели, и в квантовой теории гравитации. Очевидно, что нет необходимости выводить этот механизм из каких-то других физических явлений, так как все эти явления уже отражены в метрике пространства-времени, которое является не только ареной всех событий, но и их причиной и следствием /25-28/. Материя в модели (2) является пассивной компонентой, наличие которой не является обязательным. Это можно сравнить с течением подкрашенной воды, в котором краска является пассивной компонентой, позволяющей осуществлять визуализацию движения, но не влияющей на движение.

Аксиально-симметрические поля

Гравитационные поля, обладающие осевой симметрией, рассматривались в работах Вейля /31/, Леви-Чевита /32/, Дельсарта /33/, Петрова /29/, Зекериса /34-35/ и других. Метрический тензор таких полей в предположении их статичности может быть приведен к виду /29/:

(3)

Здесь ; ; - функции, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна. Легко видеть, что метрика (3) имеет в качестве предела при метрику плоского пространства Минковского, что соответствует специальному выбору граничных условий далеко за пределами рассматриваемой системы. Этот выбор не является очевидным в случае кластеров, которые, согласно современным представлениям, погружены не в пустое пространство Минковского, а в пространство, наполненное темной материей и темной энергией.

Компоненты тензора Эйнштейна в метрике (7) имеют вид

 (4)

В частности для вакуума, полагая , находим уравнения поля:

(5)

Можно проверить, что не все уравнения (5) являются независимыми и что выполняются следующие два соотношения

(6)

Следовательно, можно в качестве системы уравнений для определения двух функций выбрать, например, первое и четвертое уравнения (5), имеем

(7)

Разрешая систему уравнений (7) приходим к определению статических полей гравитации в случае наличия осевой симметрии. Решение задачи не зависит от распределения материи, но зависит от граничных условий, которые можно сформулировать, например, на осях симметрии и на удаленной границе. В результате находим гравитационный потенциал, не используя объемных источников. В этом случае роль темной материи играют граничные условия, которые можно определить путем измерений скорости галактик, например по красному смещению.

Сила, действующая на частицу в статическом гравитационном поле, определяется в общем случае из выражения /36/

(8)

Здесь - масса и вектор скорости частицы, (все компоненты этот вектора равны нулю в случае метрики (3)).

Отметим, что в нерелятивистском пределе потенциал , где - гравитационный потенциал в теории гравитации Ньютона. Из второго уравнения (7) находим оценку. В случае движения галактик скорость и гравитационный потенциал связаны между собой, что позволяет оценить величину . В таком случае в первом приближении можно пренебречь малой величиной . В результате, как и в теории гравитации Ньютона, приходим к уравнению Лапласа для определения гравитационного потенциала.

Динамика отдельных тел моделируется в соответствии с теорией Ньютона с использованием выражения силы (8), что согласуется с гипотезой (2). Рассмотрим уравнение движения потока частиц в гравитационном поле в нерелятивистском приближении, имеем

(9)

В метрике (3) в случае стационарного радиального движения находим

(10)

Здесь радиальная координата

.

Отсюда находим зависимость потенциала от радиальной координаты

(11)

В работе /11/ был указан потенциал общего вида, который с хорошей точностью описывает гравитационное поле в спиральных галактиках

(12)

Здесь параметры вычисляются по данным скорости вращения. Потенциал (12) является решением первого уравнения (7) с ненулевой правой частью при соответственно:

(13)

В частном случае выражение (12) сводится к квадратичной зависимости

(14)

Учитывая, что в нерелятивистском приближении , имеем из (13) и (14) . Следовательно, уравнение (11) сводится в этом случае к виду

(15)

Записывая это уравнение в векторном виде, что справедливо в рассматриваемом случае радиального течения, находим окончательно

(16)

Здесь - постоянная Хаббла. Таким образом, мы вывели основной закон космологии, связанный с расширением Вселенной, используя модель (2) и метрику (3), а также установили физический смысл параметра , фигурирующего в модели (2). Отметим, что обычно закон (16) выводится из модели изотропной Вселенной, в которой красное смещение связано со скоростью и расстоянием до источника излучения уравнением /35/

(17)

На практике наблюдают красное или синее смещение, по которому определяют скорость, согласно уравнению (17), а по скорости оценивают расстояние, используя в случае красного смещения закон Хаббла. Очевидно, что для этого необходимо знать постоянную Хаббла. Этот параметр определяют по ряду измерений расстояний до галактик.

Моделирование движения галактик в Суперкластере

Численная модель течения в Суперкластере была создана на основе системы /37/. Для определения движения галактик мы использовали уравнения (16) и (17) с базой данных AstronomicalData["DeepSkyObject"], содержащей угловые координаты, параметры красного смещения, радиальной скорости и расстояния для 13294 объектов с величиной смещения вплоть до 0.3132. Из этих данных было отобрано 8000 объектов с величиной смещения 0.06 для моделирования течения и 731 объект с известным расстоянием для нахождения постоянной Хаббла. На рис. 1 представлены данные по зависимости радиальной скорости от красного смещения и расстояния - левый и правый рисунок соответственно. Скорость дана в м/с, а расстояние в световых годах. Из этих данных видно, что для нахождения скорости, очевидно, использовалось линейное уравнение (17), а для нахождения расстояния использовались различные методы, что привело к большому рассеянию данных. Считается, что это рассеяние обусловлено пекулярной скоростью объектов /8/.



Рис. 1 Зависимость радиальной скорости объектов от величины красного смещения и от расстояния до объектов в световых годах

Используя вычисленное значение постоянной Хаббла и величину красного смещения, можно определить расстояние до объектов. Зная угловые координаты и расстояние, отобразим все объекты в трехмерное евклидово пространство. На рис. 2 представлена 3D модель Суперкластера в масштабе сотен мегапарсек, в которой каждый объект представлен сферой. На левом рисунке хорошо просматривается горловина, которая как бы делит Суперкластер на две части, что физически обусловлено наличием зоны недоступности для наблюдения из-за того, что часть неба скрыта плоскостью нашей Галактики. Отметим, что полученная структура имеет форму гантели /3/ или бабочки, но не блина, как предполагалось в работах /1-2, 4/ и других.

Существенное различие начинается только в ближней зоне в масштабе 25 мегапарсек - рис. 4. В этом случае проявляются зоны возвратного течения и различные аттракторы, которые являются предметом изучения на основе моделей /4-9/ и других. Отметим, что кластер Девы, который считается местным аттрактором, находится на расстоянии 16.5 мегапарсек от Земли.



Рис. 2 Трехмерная модель Суперкластера в масштабе 500 мегапарсек

Однако при увеличении масштаба в два раза основное течение начинает преобладать во всем объеме - рис. 5. Отметим, что во всех масштабах на рис. 4-5 хорошо просматривается своеобразная форма Суперкластера, которая в стандартных моделях /4-6/ объясняется гравитационной неустойчивостью. С точки зрения модели (2) обычная материя является случайным компонентом, поэтому распределение объектов в Суперкластере является скорее случайным, нежели закономерным - рис. 2. Движение материи обусловлено метрикой (3), поэтому оно представляется как организованное течение во всех масштабах - рис. 3-6. Если бы материя в Суперкластере обладала собственным законом движения, то никакого организованного движения не наблюдалось бы, так как распределение материи не обладает симметрией, а наблюдаемое течение является симметричным в большом масштабе.



Рис. 3 Проекция течения (16) на плоскости куба в масштабе 500, 250 и 125 мегапарсек: во всех масштабах хорошо просматривается радиальное течение (16)



Рис. 4 Течение в ближней зоне в масштабе 25 мегапарсек: хорошо видны зоны возвратного течения, в котором красное смещение сменяется на синее, то есть скорость течения меняет знак. На нижних рисунках показаны изолинии радиальной компоненты скорости (м/с) в зависимости от расстояния в мегапарсеках

Мы, таким образом, показали, что галактический гравитационный потенциал общего вида (12) можно использовать для моделирования движения галактик в кластере. Значительное отклонение реального течения от закона Хаббла (16) в области масштабов 25 мегапарсек свидетельствует, что исходное допущение о виде потенциала во внутренней области в форме (14) нарушено, поэтому следует рассмотреть потенциал общего вида (12). Отметим, что этот потенциал при определенных значениях параметров описывает гравитационное поле в окрестности звезды (потенциал точечной массы), галактики /11/ и кластера (указанное выше решение (16)).



Рис. 5 Изолинии радиальной компоненты скорости (м/с) в зависимости от расстояния в мегапарсеках в проекции на плоскость XZ в масштабе 125 мегапарсек

Следовательно, нами установлено, что квадратичное слагаемое гравитационного потенциала (12) соответствует основному радиальному течению, связанному с расширением Вселенной. Отметим, что потенциал (12) был получен в нашей работе /11/ на основе обработки эмпирических данных для 50 спиральных галактик /38-39/, поэтому его можно рассматривать как результат суммы галактических полей, каждое и которых определяется по методу /11/ путем обработки данных по скорости вращения нейтрального водорода в спиральных галактиках. Поскольку основной вклад на больших масштабах дает квадратичное слагаемое, можно восстановить гравитационный потенциал кластера галактик, используя экспериментальные данные по гравитационным потенциалам и координатам отдельных галактик в виде

(18)

Здесь - радиус-вектор галактики с номером . Можно предположить, что соответствующие квадратичные и линейные слагаемые возникают в галактическом гравитационном потенциале (12) в результате суммирования полей звездных кластеров и звезд. Это дает, с одной стороны, возможность обнаружения вклада темной материи и темной энергии в динамику Солнечной системы, а, с другой стороны, показывает, что этот вклад является крайне малым и составляет , где - число звезд в нашей Галактике. Если потенциал Галактики представлен только квадратичным слагаемым, то верхняя оценка эффекта выражается через орбитальную скорость Солнца и радиус Галактики в виде м²/с². Столь малый эффект, очевидно, не может быть обнаружен по движению небесных тел в Солнечной системе.

Моделирование поля пекулярной скорости

Модель движения галактик в кластере включает уравнения (9) и (18):

(19)

Здесь - число галактик в кластере. Радиальное течение типа (16) является решением системы уравнений (19) при дополнительных условиях

(20)

В этом случае , поэтому , что и требовалось доказать. Предположить, что условие (20) выполняется хотя бы в одной точке кластера, которую можно выбрать за начало системы координат. Тогда в этой системе координат будет наблюдаться радиальное течение типа (16), а во всех остальных системах координат будет наблюдаться то же самое течение, но с учетом сдвига начала координат и преобразований скорости при переходе в подвижную систему отсчет. Поэтому, если каждая галактика движется по закону (16), то при наблюдении из любой галактики картина течения не меняется.

Однако в общем случае условия (20) могут не выполняться ни в одной точке. Ослабим второе условие, полагая

(21)

Предположим, что вектор зависит от времени по закону

.

Тогда общее решение системы уравнений (19) при дополнительных условиях (21) имеет вид

(22)

Это выражение можно упростить, положив в начальный момент времени , тогда получим

(23)

Отсюда, вычисляя скорость, находим

(24)

Первое слагаемое в правой части (24) соответствует радиальному течению (16), а второе слагаемое описывает отклонение от радиального течения. Прямое вычисление вектора для решения (23) приводит к следующему выражению

Следовательно, решение (23) существует при дополнительных условиях

(24)

Чтобы отобразить векторное поле (24) в пространстве, исключим из него быстро растущий со временем экспоненциальный сомножитель, используя уравнение (23), имеем

(25)

Без ограничения общности положим , что совместно с условиями (24). Тогда искомое векторное поле имеет вид

(26)

Здесь функция является решением уравнения

(27)

На рис. 6 представлены линии тока течения (26). Хорошо видно, что в большом масштабе наблюдается радиальное течение, а в малом масштабе есть зона возвратного течения, которая соответствует синему смещению на рис. 4. Качественно это совпадает с наблюдаемой картиной течения в Суперкластере, приведенной на рис. 3-5. Таким образом, мы показали, что квадратичный потенциал (18) и соответствующая система линейных уравнений (19) могут быть использованы для моделирования течения в Суперкластере. Для создания численной модели необходимо определить параметры, фигурирующие в уравнениях (26)-(27): три компоненты единичного вектора и параметры .

Рис. 6 Линии тока течения (26): в большом масштабе порядка 200 мегапарсек наблюдается радиальное течение, а в малом масштабе порядка 30 мегапарсек видна зона возвратного течения, соответствующая синему смещению

Наконец, заметим, что дальнейшее развитие модели (19) связано с определение констант, характеризующих движение галактик на основе имеющихся данных и с установлением новой шкалы расстояний. Однако эти задачи выходят за рамки настоящего исследования.

Библиографический список

1. Gerard de Vaucouleurs. Further evidence for a local super-cluster of galaxies: rotation and expansion//Astronomical Journal, Vol. 63, p. 253, 1958.

2. Sidney van den Bergh. The Local Supercluster of Galaxies//Astronomical Society of the Pacific, Vol. 72, No. 427, p.312-313, 1960.

3. Lahav O., Santiago B. X., Webster A. M., Strauss Michael A., Davis M., Dressler A., Huchra J. P. The supergalactic plane revisited with the Optical Redshift Survey//Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, Volume 312, Issue 1, pp. 166-176.

4. Zel'dovich, Ya. B. Gravitational instability: An approximate theory for large density perturbations//Astronomy and Astrophysics, Vol. 5, p. 84 - 89, 1970.

5. С.Н. Гурбатов, А.И. Саичев, С.Ф. Шандарин. Крупномасштабная структура Вселенной. Приближение Зельдовича и модель слипания//УФН 182, 233-261, 2012.

6. Peebles P.J.E. The peculiar velocity field in the local supercluster// ApJ, 205, 318, 1976.

7. LAHAV O., LILJE P. B., PRIMACK J. R., REES M. J. DYNAMIC EFFECTS OF THE COSMOLOGICAL CONSTANT//MON NOT R ASTRON SOC, 251, 128 -- 136, 1991.

8. Karen L. Masters. GALAXY FLOWS IN AND AROUND THE LOCAL SUPERCLUSTER/Ph.D.Thesis, Cornell University 2005.

9. Gabriella De Lucia, Simone Weinmann, Bianca M. Poggianti, Alfonso Aragon-Salamanca, Dennis Zaritsky. The environmental history of group and cluster galaxies in a CDM Universe//arXiv:1111.6590v2 [astro-ph.CO] 23 Mar 2012.

10. Alexander Trunev. On the metric of virtual worlds// Chaos and Correlation, November 23, 2013.

11. Alexander Trunev. Galactic Metrics and General Relativity // Chaos and Correlation, December 2, 2013.

12. Einstein A. Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitdtstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., 1917, 1, 142--152; Альберт Эйнштейн. Собрание научных трудов. Т. 1. М., Наука, 1965, с. 601.

13. Einstein A. Prinzipielles zur allgemeinen Relativitdtstheorie. Ann. Phys., 1918, 55, 241--244; Альберт Эйнштейн. Собрание научных трудов. Т. 1. М., Наука, 1965, с. 613.

14. Einstein A. Zum kosmologischen Problem der allgemeinen Relativitatstheorie. Sitzungsber. preuss. Akad. Wiss., phys.-math. Kl., 1931, 235--237; Альберт Эйнштейн. Собрание научных трудов. Т. 2. М., Наука, 1966, с. 349.

15. Adam G. Riess et all. Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating Universe and Cosmological Constant// arXiv: astro-ph/ 9805201, 15 May, 1998.

16. George F R Ellis, Henk van Elst.Cosmological models//arXiv:gr-qc/9812046v5 2 Sep 2008.

17. P. W. Higgs. Broken symmetries, massless particles and gauge fields // Phys. Lett. 1964. Vol. 12. P. 132--133.

18. P. W. Higgs. Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons // Phys. Rev. Lett. 1964. Vol. 13. P. 508--509.

19. Sundance O. Bilson-Thompson, Fotini Markopoulou, Lee Smolin. Quantum gravity and the standard model// arXiv:hep-th/0603022v2.

20. Трунев А.П. Моделирование метрики адронов на основе уравнений Янга-Миллса // Научный журнал КубГАУ, 2012. №10(084). С. 874 - 887. http://ej.kubagro.ru/2012/10/pdf/68.pdf.

21. Zeldovich, Y. B. The Cosmological Constant and the Theory of Elementary Particles// Soviet Physics Uspekhi vol. 11, 381-393, 1968.

22. F. J. Amaral Vieira. Conceptual Problems in Cosmology//arXiv:1110.5634v1 [physics.hist-ph] 25 Oct 2011.

23. S.E. Rugh and H. Zinkernagel. The Quantum Vacuum and the Cosmological Constant Problem//Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 33(4), 2002.

24. C.P. Burgess. The Cosmological Constant Problem: Why it's hard to get Dark Energy from Micro-physics//arXiv:1309.4133v1 [hep-th] 16 Sep 2013.

25. Einstein A., Infeld L., Hoffmann В. Gravitational Equations and Problems of Motion // Ann. Math., 39,65-100, 1938.

26. С. Мisnег and J. Wheeler. Classical Physics as Geometry // Ann. of Phys., 2, No. 6, 525--603, 1957.

27. Wheeler, J. A. On the Nature of Quantum Geometrodynamics// Annals of Physics 2, No, 6 (Dec 1957): 604 - 614.

28. John A Wheeler. Neutrinos, Gravitation, and Geometry/ In Rendiconti della Scuola internazionale di fisica "Enrico Fermi." Corso XI, by L. A.Radicati. Bologna: Zanichelli, 1960, 67 - 196.

29. A.Z. Petrov. New methods in general relativity. Moscow: Nauka, 1966.

30. K. Schwarzschild. Uber das Gravitations-feld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie// Sitzungsberichte der KЁoniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Phys.-Math. Klasse, 189-196 (1916); On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein's Theory//arXiv:physics/9905030v1 [physics.hist-ph] 12 May 1999.

31. Weyl H., Zur Gravitationstheorie, Ann. Phys. 54, 1917; Weyl H., Bemerkung uber die axialsymmetrischen Losungen der Einsteinschen Gravitationsgleichungen, Ann. Phys. 59, 1919.

32. Levi-Сivitа Т., ds2 Einsteiniani in campi Newtoniani, Atti Accad. Naz. dei Lincei 27, fasc. 7--8, Roma, 1918; ds2 Einsteiniani in campi Newtoniani, Atti Accad. Naz. Lincei 28, 1919.

33. Delsarte J. Sur les ds² d'Einstein a symetrie axiale. Paris, 1934; Delsarte J. Sur les ds² binaires et le probleme d'Einstein, Journ Math. Pures Appl. 13, 19, 1934.

34. P. Szekeres. A class of inhomogeneous cosmological models//Comm. Math. Phys. Volume 41, Number 1 (1975), 55-64.

35. M. A. Troxel, Austin Peel, Mustapha Ishak. Effects of anisotropy on gravitational infall in galaxy clusters using an exact general relativistic model//arXiv:1311.5651 [astro-ph.CO].

36. L.D. Landau, E.M. Lifshitz (1971). The Classical Theory of Fields. Vol. 2 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-016019-1.

37. Wolfram Mathematica 9, http://www.wolfram.com/mathematica/

38. Yoshiaki Sofue and Vera Rubin. Rotation Curves of Spiral Galaxies// Ann. Rev. Astron. Astrophys. 39 (2001) 137-174.

39. Sofue Y. 1999. Publ. Astron. Soc. Japan. 51:445// http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/~sofue/h-rot.htm.

Размещено на Allbest.ru

...