Общая теория относительности и метрики неоднородной вращающейся Вселенной

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Как известно, пространство в масштабе 100 и более мегапарсек является неоднородным по плотности как обычной, так и темной материи, которая концентрируется в кластерах, включая местный Суперкластер, которому принадлежит наша Галактика.

Для объяснения неоднородности Вселенной обычно используется теория гравитационной неустойчивости. В моделях предполагается, что в первоначально однородном пространстве возникают флуктуации плотности, которые приводят к формированию кластеров обычной и темной материи. Моделирование распределения темной матери в кластерах представляет собой сложную задачу, так как темную материю можно наблюдать, главным образом, по результату ее гравитационного взаимодействия с обычной материей.

По разным оценкам содержание темной материи в Суперкластере значительно превосходит содержание обычной материи, что характерно и для других суперкластеров. В этой связи возникает вопрос о зависимости метрики от распределения материи. В работах было показано, что на основе аксиально-симметричных решений уравнений Эйнштейна можно описать зависимость гравитационного потенциала от расстояния в спиральных галактиках и в кластерах галактик. В настоящей работе построены решения уравнений Эйнштейна, описывающие распределение гравитационного потенциала в масштабе Метагалактики во вращающейся неоднородной Вселенной.

Аксиально-симметрические поля.

Уравнения гравитационного поля Эйнштейна имеют вид:

(1)

Здесь - тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно. Отметим, что в общем случае имеют место соотношения:

(2)

Здесь - тензор Римана, - символы Кристоффеля второго рода.

Гравитационные поля, обладающие осевой симметрией, рассматривались в работах Вейля, Леви-Чевита, Дельсарта, Эйнштейна и Розена, Геделя, Петрова, Зекериса и других. Метрический тензор таких полей в предположении их статичности может быть приведен к виду:

(3)

Здесь ; - функции, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна.

Поскольку распределение материи заранее неизвестно, а астрономические наблюдения позволяют установить только распределение барионной материи, можно предположить, что метрика в большом масштабе, вообще говоря, не зависит от гипотез о распределении материи /10-11/. В правой части уравнения (1) может быть любой тензор, однозначно зависящий от метрического тензора. В этой связи рассмотрим тензор с компонентами, пропорциональными компонентам метрического тензора (3), имеем:

 (4)

Остальные компоненты тензора равны нулю. Функции позволяют определить метрику (3) наиболее общим способом.

Компоненты тензора Эйнштейна в метрике (3) имеют вид:

(5)

Полагая , находим уравнения поля, которые в случае уравнений поля для вакуума совпадают с аналогичными уравнениями, приведенными в /10-11, 18/. В качестве системы уравнений для определения двух функций можно выбрать, например, два уравнения . Остальные уравнения используются для определения неизвестных параметров . В результате имеем следующую систему уравнений:

 (6)

Разрешая систему уравнений (7) приходим к определению статических полей гравитации в случае наличия осевой симметрии. Сила, действующая на частицу в статическом гравитационном поле, определяется в общем случае из выражения:

(7)

Здесь - масса и вектор скорости частицы, (все компоненты этот вектора равны нулю в случае метрики (3)).

Отметим, что в нерелятивистском приближении потенциал , где - гравитационный потенциал в теории гравитации Ньютона. Из второго уравнения (7) находим оценку. В случае движения галактик в местном суперкластере скорость и гравитационный потенциал связаны между собой, что позволяет оценить величину . В таком случае в первом приближении можно пренебречь малой величиной . В результате, как и в теории гравитации Ньютона, приходим к уравнению Лапласа для определения гравитационного потенциала.

Динамика отдельных тел моделируется в соответствии с теорией Ньютона с использованием выражения силы (7), что согласуется с гипотезой (2). Рассмотрим уравнение движения потока частиц в гравитационном поле в нерелятивистском приближении, имеем:

 (8)

В метрике (3) в случае стационарного радиального движения находим:

(9)

Здесь радиальная координата:

.

Отсюда находим зависимость потенциала от радиальной координаты:

(10)

Был указан потенциал общего вида, который с хорошей точностью описывает гравитационное поле в спиральных галактиках:

(11)

Здесь параметры вычисляются по данным скорости вращения. Потенциал (11) является решением первого уравнения (6) с ненулевой правой частью:

(12)

В этом приближении считаем, что . В частном случае выражение (11) сводится к квадратичной зависимости:

(13)

Учитывая, что в нерелятивистском приближении , имеем:

(14)

Записывая это уравнение в векторном виде, что справедливо в рассматриваемом случае радиального течения, находим окончательно:

(15)

Здесь - постоянная Хаббла. Таким образом, мы вывели основной закон космологии, связанный с расширением Вселенной, используя модель (2) и метрику (3), а также установили физический смысл параметра , фигурирующего в модели (12). Отметим, что обычно закон (15) выводится из модели изотропной Вселенной, в которой красное смещение связано со скоростью и расстоянием до источника излучения уравнением:

(16)

На практике наблюдают красное или синее смещение, по которому определяют скорость, согласно уравнению (17), а по скорости оценивают расстояние, используя в случае красного смещения закон Хаббла. Очевидно, что для этого необходимо знать постоянную Хаббла. Этот параметр определяют по ряду измерений расстояний до галактик.

Отметим, что в нерелятивистском приближении полученные результаты не отличаются от аналогичных результатов, полученных в работе, в которой было установлено, что квадратичное слагаемое гравитационного потенциала (11) соответствует основному радиальному течению, связанному с расширением Вселенной. Но потенциал (11) был получен в нашей работе на основе обработки эмпирических данных, поэтому его можно рассматривать как результат суммы галактических полей, каждое и которых определяется по методу путем обработки данных по скорости вращения нейтрального водорода в спиральных галактиках. Поскольку основной вклад на больших масштабах дает квадратичное слагаемое, можно восстановить гравитационный потенциал кластера галактик, используя экспериментальные данные по гравитационным потенциалам и координатам отдельных галактик в виде:

(17)

Здесь - радиус-вектор галактики с номером .

Модель движения галактик в кластере включает уравнения (8) и (17):

(18)

Здесь - число галактик в кластере. Радиальное течение типа (16) является решением системы уравнений (19) при дополнительных условиях:

(19)

В этом случае , поэтому , что и требовалось доказать. Следовательно, гравитационные поля, обладающие аксиальной симметрией, позволяют описать радиальное течение в нерелятивистском случае, который соответствует условиям в местном суперкластере. Однако в области течения, охватывающего группу суперкластеров, скорость объектов приближается к скорости света, поэтому необходимо вывести релятивистскую формулу для гравитационного потенциала и указать соответствующую метрику.

Метрика группы суперкластеров.

В настоящее время метрику в масштабе гигапарсек моделируют, главным образом, на основе модели Вселенной и неоднородной модели. Основанием для использования неоднородных метрик является тот факт, что на всех доступных для прямого наблюдения масштабах Вселенная представляется как неоднородное пространство, содержащее кластеры галактик сколь угодно большого размера. В качестве примера можно привести открытую недавно структуру размером не менее двух-трех гигапарсек.

Мы предполагаем, что существует класс метрик, охватывающий, с одной стороны, аксиально-симметрические поля типа (3), а, с другой стороны, метрики типа. Искомый метрический тензор имеет вид:

(20)

Здесь ; - функции, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна. Сравнивая метрики (3) и (20) видим различие, заключающееся во введении дополнительной функции, описывающей новую симметрию системы. В частном случае, полагая , приходим к метрике (3). В другом частном случае, который рассматривается ниже, положим . В результате находим следующий вид тензора Эйнштейна:

(21)

Используя выражения (21) и тензор (4) можно переписать модель (6) в форме:

(22)

Здесь левая часть третьего уравнения (22) равно сумме .

Заметим, что первое уравнение (22) зависит только от разности, поэтому его можно проинтегрировать в общем виде и установить тем самым вид плотности . Если скопление галактик обладает центральной симметрией, то, полагая , находим из первого уравнения (22):

(23)

Рассмотрим случай . Интегрируя уравнение (23), находим:

(24)

Где - постоянные интегрирования. Соответствующая плотность представлена на рис. 1 для значений параметров - кривые 1-4 соответственно. При поверхности уровня постоянной плотности вблизи центра имеют форму тора - рис. 1.

Рис. 1. Зависимость плотности от расстояния до центра скопления для значений параметров - кривые 1-4 соответственно и поверхность равного уровня плотности в форме тора

Для нахождения гравитационных потенциалов в первом приближении положим . Вычитая из третьего уравнения (22) первое и второе уравнения, находим:

(25)

Предполагая, что центр симметрии скопления лежит на оси симметрии, находим из уравнения (25) релятивистское обобщение потенциала (13) в форме:

(26)

Потенциал (26) зависит от 5 констант, которые можно определить из согласования выражения (26) с течением Хаббла в нерелятивистском случае. Положим , разложим правую часть (26) по степеням расстояния до центра скопления, имеем:

(27)

Сравнивая (13), (14) и (27), находим неизвестные параметры:

. (28)

Подставляя найденные значения параметров в формулу (26), находим окончательно:

 (29)

Отметим, что выражение (29) справедливо только в том случае, когда центр скопления лежит на оси симметрии системы. Если же центр скопления смещен относительно оси симметрии, то интегрируя уравнение (25) при заданных параметрах (28), находим:

(30)

Здесь обозначено . Поверхности равного уровня потенциала (30) приведены на рис. 2. В большом масштабе поверхности разделяются на две плоскости, соединенные горловиной - рис. 2. Изолинии потенциала (30) в плоскости YZ показаны на рис. 3.

Рис. 2. Поверхности равного уровня гравитационного потенциала (30)



Рис. 3. Изолинии потенциала (30) в плоскости YZ

Очевидно, что течение в потенциале типа (30) являются радиальным, так как основная часть решения представлена потенциалом типа (29), который описывает радиальное течение. Для моделирования основного течения в случае потенциала вида (29) рассмотрим уравнение для функции Гамильтона-Якоби в гравитационном поле, имеем:

Используя компоненты метрического тензора (20), находим:

(31)

Ищем решение уравнения (31) в виде . Такой выбор обусловлен тем, что в масштабе гигапарсек не обнаружено заметного орбитального движения. В результате находим уравнение:

(32)

Разрешая уравнение (32), находим зависимость:

Наконец, дифференцируя функцию по энергии, находим зависимость в форме уравнения:

(33)

Здесь - безразмерный параметр, характеризующий радиальное движение. На рис. 4 представлена зависимость радиальной скорости от расстояния до центра скопления и от времени. Для представления данных использованы безразмерные единицы . Из этих данных следует, что на начальном участке радиальное движение осуществляется по закону Хаббла, но на больших масштабах наклон кривой уменьшается. Можно видеть, что в координатах скорость-расстояние все кривые сливаются вместе, тогда как в координатах скорость-время расстояние между соседними траекториями со временем растет. На основе полученных выражений (24) и (26) можно исследовать новые типы радиальных течений при заданных параметрах . В обсуждаемой модели течение Хаббла является только одним частным случаем, среди множества других течений в суперкластерах.



Рис. 4. Зависимость радиальной скорости от расстояния до центра скопления в безразмерных координатах (слева) и от времени (справа) при изменении начальной кинетической энергии от 10-4 до 10-2 энергии покоя.

Метрика неоднородной вращающейся Вселенной.

Заметим, что метрики (3) и (20) являются статическими, тогда как расширение Вселенной обычно моделируется на основе нестационарной модели Фридмана или модели. Для моделирования вращения Вселенной мы используем метрику, модифицированную с учетом разделения угловых переменных и расстояния до объектов в виде:

(34)

Здесь - функции, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна. Такой выбор метрики обусловлен, прежде всего, тем, что сферическая система координат, используемая для составления астрономических каталогов, определена на единичной сфере, а расстояние до объектов является некоторым функционалом, зависящим от используемых физических моделей.

Отличные от нуля компоненты тензора Эйнштейна в метрике (34) имеют вид:

 (35)

Полагая , находим уравнения поля. Из первых трех выражений (35) и из вида метрического тензора следует, что в метрике (34) параметр . Следовательно, скалярная кривизна исследуемых пространств Эйнштейна является отрицательной, .

Из двух функций только одна может быть определена из уравнений поля, тогда как другая должна быть задана. Без ограничения общности рассмотрим два случая:

1) , тогда, полагая , находим, что:

; (36)

2) , тогда уравнение приводится к виду:

(37)

Уравнение (36) описывает Вселенную с заданным параметром вращения. Его общее решение в случае расширяющейся Вселенной имеет вид:

 (38)

Здесь произвольные функции, зависящие от радиальной координаты. Уравнение (37) описывает неоднородную вращающуюся Вселенную. Полагая , находим, что уравнение (37) распадается на два:

(39)

Интегрируя уравнение (39), получим:

(40)

Решение уравнения (40) можно представить в неявном виде:

(41)

Полученные решения (38) и (41) позволяют объяснить большую часть фактов, касающихся происхождения и развития Вселенной, не прибегая к гипотезе о влиянии материи на метрику пространства-времени. Отметим, что в модели (38) Вселенная может проходить через стадию сжатия без точки сингулярности - рис. 5. После прохождения стадии сжатия Вселенная распадается на две части, отличающиеся знаком параметра вращения. Этот сценарий развития Вселенной приводит к тому, что в наблюдаемой Вселенной преобладает вещество, а не антивещество. Если же Вселенная при сжатии проходит через сингулярную точку, то при расширении Вселенная распадается на три острова - рис. 5.

Рис. 5. Два сценария прохождения Вселенной через стадию сжатия: с сингулярностью (слева) и без сингулярности (справа)

Уравнения поля гиперболического типа и скалярные волны.

Покажем, как можно построить физику волновых процессов, используя метрику типа (34). Рассмотрим метрику вида:

(42)

Отличные от нуля компоненты тензора Эйнштейна в метрике (42) имеют вид:

(43)

Полагая , находим волновое уравнение для определения метрики:

(44)

В рамках модели (44) можно решить задачу о распаде скопления галактик. Зададим метрику в начальном состоянии в виде нормального распределения по радиальной координате. Тогда в силу уравнения (44) со временем кластер расширяется, распадаясь при этом на отдельные кластеры, образующие гало, которые соответствуют гребням возникающих нелинейных волн - рис. 6. Этот распад зависит от величины параметра . При малой величине скопление распадается на три и более кластера, а при большой величине скопление сохраняет свою первоначальную форму.

Заметим, что такого типа скалярные волны могут быть ответственными за образование отдельных галактик и даже элементарных частиц, например, скалярных бозонов. Действительно, уравнение (44) не содержит никаких масштабных параметров, кроме времени и координаты, масштабы которых могут быть выбраны произвольно.

Рис. 6. Распад скопления на ряд кластеров в модели (44): над рисунками указана величина параметра b

Уравнения поля эллиптического типа и метрика Метагалактики.

Метрика (42) не является единственно возможной при организации движения материи. Очевидно, что волны, скорость распространения которых ограничена, не могут быть преобладающей формой движения в большом масштабе. Рассмотрим еще одну метрику, описывающую вращение неоднородной Вселенной:

(45)

Вычисляя отличные от нуля компоненты тензора Эйнштейна в метрике (45), находим:

(46)

Используя уравнение , имеем:

(47)

гравитационный вселенная эйнштейн неоднородный

В случае статической метрики положим , тогда уравнение (47) приводится к виду:

(48)

Заметим, что уравнение (48) является линейным, как и уравнение Пуассона в теории гравитации Ньютона. Интегрируя уравнение (48), находим его общее решение:

(49)

Здесь - произвольные постоянные. Потенциал (49) можно сравнить со статическим гравитационным полем галактики (11) и кластера галактик (17). Мы видим, что квадратичный потенциал, которому соответствует закон Хаббла (15), сохраняет свой вид и в масштабе Вселенной. Отметим, что для потенциала (49) выполняется принцип суперпозиции в форме (17).

Следовательно, метрика (45) и уравнение (47) могут быть использованы для моделирования течений в масштабе Метагалактики. Но уравнение (47) является уравнением эллиптического типа, что означает зависимость решения от граничных условий не только в прошлом, но и в будущем. Вопрос о граничных условиях для уравнения (1) рассматривал Эйнштейн, который пришел к выводу, что Вселенная представляет собой замкнутый сферический мир. Другая точка зрения содержится в монографии, автор которой предположил, что имеется только три типа полей тяготения, и что для каждого типа существуют свои граничные условия.

Задача Коши для уравнений Эйнштейна рассматривалась многими авторами. Некоторые авторы предполагали, что уравнения поля Эйнштейна являются гиперболическими в общем случае, ссылаясь на известные результаты, полученные при определенных ограничениях де Дондер и Ланцош. Однако приведенная выше метрика (45) и уравнение (47) указывают на существование гравитационных полей, удовлетворяющих эллиптическим уравнениям.

Уравнение (47) можно рассматривать как модель явления коллапса сферического вращающегося тела в пространстве отрицательной кривизны. Обычно предполагается, что черные дыры представляют собой статические образования, взаимодействующие с внешним миром посредством гравитационного поля. Однако уравнение (47) показывает, что черная дыра, если она существует, должна быть замкнута не только в пространстве, но и во времени. Действительно, рассмотрим решение уравнения (47), зависящее только от времени. Положим , тогда уравнение (47) приводится к виду:

(50)

Уравнение (50) можно проинтегрировать в общем случае, в результате находим:

(51)

Полученное решение (51) описывает объект, локализованный вокруг момента времени , что и требовалось доказать.

В общем случае решение задачи о метрике объекта, локализованного в пространстве и во времени зависит от граничных условий. Так, например, для нашей Метагалактики можно поставить задачу о нахождении гравитационного потенциала в области , используя в качестве граничного условия закон расширения наблюдаемой Вселенной. Однако решение этой задачи выходит за рамки настоящей работы.

Размещено на Allbest.ru

...