Геометрическая турбулентность

Размещено на http://www.allbest.ru/

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ

Трунев Александр Петрович к.ф.-м.н., Ph.D.

Директор, A&E Trounev IT Consulting, Торонто, Канада

В работе исследованы решения уравнений Максвелла, Навье-Стокса и Шредингера, связанные с решениями уравнений Эйнштейна для пустого пространства. Показано, что в некоторых случаях наблюдается геометрическая неустойчивость, ведущая к турбулентности по механизму знакопеременной вязкости, который предложил Н.Н. Яненко. Обсуждается механизм генерации материи из темной энергии путем возникновения геометрической турбулентности при Большом взрыве

Ключевые слова: УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА, УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА, УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ геометрический турбулентность материя энергия

Вопрос о создании единой теории поля обсуждался многими авторами [1-21]. Основные направления построения единых теорий поля были связаны с пространствами многих измерений и теорией симметрии [2-6]. Большой интерес представляют теории, объединяющие квантовые и классические поля на основе общей теории относительности [9-21]. Ранее было установлено, что уравнения Эйнштейна связаны с уравнениями Максвелла, Навье-Стокса, Янга-Миллса и Шредингера [7-21]. Указанные связи не являются случайными, так как уравнения Эйнштейна отражают наиболее фундаментальные свойства движения и материи. В работе [20] были построены метрики, описывающие атом водорода. В работе [22] указаны метрики, описывающие течение вязкой жидкости в пограничном слое. В настоящей работе построены метрики, описывающие электромагнитные явления в проводящих средах, вязкие течения и состояния атомов и атомных ядер. Показано, что в некоторых случаях имеет место геометрическая неустойчивость, ведущая к турбулентности по механизму знакопеременной вязкости, который предложил Н.Н. Яненко [23-24]. Обсуждается механизм генерации материи из темной энергии путем возникновения геометрической турбулентности при Большом взрыве.

Принцип эквивалентности и уравнения гидродинамики и электродинамики в общей теории относительности

Уравнения Эйнштейна имеют вид [25-28]:

(1)

(2)

- тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно; - тензор Римана, - символы Кристоффеля второго рода.

В общем случае уравнения движения материальной точки в гравитационном поле можно представить в форме [25-28]

(3)

В последнее время появились исследования [11-17] и другие, в которых уравнение Навье-Стокса выводится прямо из уравнений (1) в многомерном пространстве с метрикой вида [12]

(4)

Уравнения Навье-Стокса следуют из уравнения (1) для пустого пространства с метрикой (4) путем решения методом последовательного приближения. В первом приближении выполняется уравнение неразрывности, во втором приближении выполняется система уравнений уравнения Навье-Стокса в форме

(5)

Здесь - поле скорости, давление, плотность и кинематическая вязкость соответственно. Отметим, что описание полей ускорения, обусловленных соответствующими гравитационными потенциалами, в рамках общей теории относительности является вполне логичным и обоснованным. Однако принцип эквивалентности получил различное толкование у различных авторов.

Так, например, в [25] утверждается, что при переходе во вращающуюся систему отсчета возникают стационарные гравитационные поля. С другой стороны, в [26] приведены доказательства того, что полей ускорения не существует, что эти поля являются фиктивными. Поэтому во вращающейся системе координат возникают не гравитационные поля, а фиктивные «поля тяготения». Вайнберг [27] различает инерционные и гравитационные силы, поэтому его формулировка принципа эквивалентности сводится к утверждению, что «локально-инерциальные координаты , которые мы вводим в данной точке , могут быть выбраны так, что первые производные метрического тензора в точке исчезают».

Мы придерживаемся исходной формулировки принципа эквивалентности [29]: «инерция и тяжесть тождественны; отсюда и из результатов специальной теории относительности неизбежно следует, что симметричный «фундаментальный тензор» () определяет метрические свойства пространства, движение тел по инерции в нем, а также и действие гравитации». Таким образом, любое ускорение эквивалентно изменению метрики и, следовательно, может быть описано метрическим тензором и уравнениями (1)-(3).

Частным случаем ускорения является такое, которое обусловлено движением электрического заряда в электрических и магнитных полях. Поэтому очевидно, что электромагнитное поля может быть представлено через изменение метрики [7-9]. Система уравнений электродинамики Максвелла может быть сведена к теории потенциала путем применения калибровки Лоренца [25]

(6)

(7)

(8)

Здесь обозначено - скорость света, плотность электрического заряда и вектор плотности электрического тока соответственно; - скалярный и векторный потенциалы. С учетом токов проводимости и токов преонов система уравнений (6)-(8) приводится к виду [30]

(9)

Рассмотрим для уравнения (9) длинноволновое приближение, в котором считаем, что произведение характерного масштаба на частоту значительно меньше, чем скорость света, т.е. .

Тогда, в уравнении (9) можно пренебречь второй производной по времени в сравнении с пространственными производными, а в уравнении (8) можно отбросить производную по времени от скалярного потенциала. В таком случае система уравнений (8)-(9) приводится к виду

(10)

Здесь введен параметр вязкости системы .

Для системы уравнений (10) можно указать следующую гидродинамическую аналогию. Предположим, что токи преонов отсутствуют, , тогда система уравнений (10) в длинноволновом приближении приводится к виду уравнений модели, описывающей медленные течения вязкой несжимаемой жидкости:

(11)

Здесь векторный потенциал является аналогом поля скорости потока жидкости, а скалярный потенциал является аналогом давления [30]. Эта аналогия позволяет использовать результаты работы [22] для описания электромагнитных явлений в проводящих средах в общей теории относительности.

Электромагнитное поле, в силу указанной выше гидродинамической аналогии, можно считать продолжением микроскопического гидродинамического поля. Эта точка зрения получила развитие в трудах Гельмгольца, Кирхгофа, Стокса, Кельвина, Максвелла, Томсона, Пуанкаре и других. Исходной моделью являются уравнения Навье-Стокса, которые описывают геометрическую турбулентность пространства-времени [11].

Эквивалентные гравитационные поля в гидродинамических и электродинамических задачах

Наша задача заключается в том, чтобы найти такие метрики, которые описывают движение параболическими уравнениями, похожими на уравнения Навье-Стокса (5) или уравнения электродинамики (11). То, что такие метрики существуют, доказано в работах [11-17, 22] и других.

Однако метрики типа (4), в которых уравнения Навье-Стокса (5) выводятся из уравнения (1) для пустого пространства приводят к увеличению размерности самого пространства. Кроме того, теория гравитации в пространствах с метрикой типа (4) намного сложнее, чем теория уравнений Навье-Стокса. Поэтому есть основания для поиска более простых метрик, в которых уравнения поля сводятся к параболическим уравнениям. Рассмотрим метрику вида

(12)

Уравнения поля для пустого пространства нулевой кривизны в метрике (12) сводятся к одному уравнению второго порядка

(13)

Отметим, что уравнение (14) изменяет свой тип в зависимости от знака производной :

в области уравнение (14) имеет эллиптический тип;

в области уравнение (14) имеет гиперболический тип;

в области уравнение (14) имеет параболический тип.

Рассмотрим метрику вида

(14)

Уравнения поля для пустого пространства в метрике (14) сводятся к двум уравнениям второго порядка

(15)

Отметим, что уравнения (15) могут быть решены независимо. Каждое из них изменяет свой тип при изменении знаков производных соответственно. Полагая в уравнениях (15), что , находим

(16)

Полученные уравнения (15)-(16) решают поставленную задачу о нахождении метрик, которые описывают электромагнитные явления в проводящих средах. Здесь первое уравнение (15) описывает плоские электромагнитные волны, а второе уравнение (15) описывает стоячие электромагнитные волны.

Метрики, удовлетворяющие второму уравнению (15) могут быть использованы для моделирования течения в пограничном слое. Траектории частиц в этом случае описываются системой уравнений

(17)

В теории уравнений Навье-Стокса к числу таких решений относится течение Блазиуса. В нестационарном случае используя метрику (12) можно описать течения жидкости при движении плоскости по заданному закону [31].

Уравнение Шредингера

В [18-21] представленная модель квантовой гравитации в многомерных пространствах размерностью с метрикой

(18)

Здесь - углы на единичной сфере, погруженной в мерное пространство. Метрика (18) описывает многие важные случаи симметрии, используемые в физике элементарных частиц и в теории супергравитации. Такой подход позволяет охватить все многообразие материи, которую производит фабрика природы, путем выбора уравнения состояния .

Рассмотрим гравитацию в пространствах с метрикой (18). Уравнение Эйнштейна в форме (1) является универсальным, поэтому обобщается на пространство любого числа измерений:

(19)

Уравнения поля в метрике (18) сводятся к одному уравнению второго порядка [18-21]

(20)

В общем случае параметры модели и скалярная кривизна зависят только от размерности пространства, имеем

(21)

Отметим, что уравнение (20) изменяет свой тип в зависимости от знака производной :

в области уравнение (20) имеет эллиптический тип;

в области уравнение (20) имеет гиперболический тип;

в области уравнение (20) имеет параболический тип.

Покажем, что квантовая механика Шредингера соответствует такой области уравнения состояния, в которой , а уравнение (20) имеет параболический тип. Действительно, уравнение поля (20) сводится в этом случае к параболическому уравнению

(22)

В случае метрики Шварцшильда уравнение состояния имеет вид [18-21]

(23)

Здесь - масса центрального тела.

В пространстве четырех измерений находим, что . Далее предположим, что . Полагая , получим

 (24)

Уравнение Шредингера непосредственно следует из уравнения (24), если предположить, что энергия системы слабо изменяется по сравнению с энергией покоя, а уравнение состояния удовлетворяет соотношению

(25)

Здесь некоторая константа. Тогда, интегрируя уравнение (25) находим, что в этом случае

(26)

Следовательно, уравнение (24) принимает вид

(27)

Легко видеть, что при уравнение (27) имеет только комплексные решения. Поэтому рассмотрим в общем случае комплексные решения уравнения (27). Извлекая корень квадратный из обеих частей уравнения, получим

(28)

Предположение о малости изменения энергии по сравнению с энергией покоя означает, что можно разложить подкоренное выражение в левой части (28), в результате находим

(29)

Представим решение уравнения (29) в виде

(30)

Подставляя выражение (30) в уравнение (29), получим в первом приближении

(31)

Уравнение (31) можно сравнить с уравнение Шредингера

(32)

Для согласования уравнений (31) и (32) в случае сферической симметрии достаточно будет положить

(33)

Последнее условие можно рассматривать как калибровку, накладываемую на потенциал.

Отметим формальное сходство уравнения (20) и уравнения (13). Очевидно, что метрика (20), описывающая волны в случае квантовой теории, с равным успехом может быть использована для описания волн и в случае теории Максвелла. В частности, можно смоделировать электромагнитное излучение атомов. Различие же двух теорий заключается в поведении коэффициента вязкости, который в случае теории Максвелла является вещественным параметром, тогда как в теории Шредингера этот параметр является мнимым [32].

Возникновение геометрической турбулентности

Покажем, что в метрике (14) могут возникать нелинейные волны, имеющие хаотическое поведение. Рассмотрим случай, когда первое уравнение (15) имеет параболический тип:

(34)

Здесь . Уравнение (34) можно привести к квазилинейному виду, полагая и выполняя однократное дифференцирование по времени, в результате находим

(35)

Уравнение (35) относится к типу уравнений с переменной вязкостью [23-24]. Уравнения такого типа были предложены Н.Н. Яненко для моделирования устойчивости вязких течений [23]. В математической литературе уравнение типа (35) иногда называют параболическим уравнением с переменным направлением времени. В общей теории относительности такая терминология не только неприемлема, но и противоречит физическому смыслу уравнения (35), которое меняет тип при изменении знака функции или параметра , тогда как знак времени остается постоянным.

Для уравнения (35) можно сформулировать задачу в ограниченной области с начальными данными и периодическими граничными условиями:

(36)

При задании начальных данных отрицательных во всей области развивается неустойчивость - рис. 1. В данной задаче потеря устойчивости приводит к развитию геометрической турбулентности, поскольку соответствующая модель описывает изменение метрики пространства-времени.

Рис. 1 Переход к геометрической турбулентности в модели (35)

Следовательно, для существования решений задач для уравнений типа Навье-Стокса необходимы специальные ограничения, связанные с метрикой пространства-времени. Например, можно потребовать, чтобы во всей области движения выполнялось условие

(37)

В природе наблюдается процесс расширения Вселенной, который называется инфляцией [27]. В этом процессе метрика изменяется по экспоненте, что соответствует условию (37). Однако локально условие (37), видимо, может нарушаться повсеместно, что в силу уравнения (35) приводит к взрывной неустойчивости - рис.1.

Для моделирования геометрической турбулентности в случае центральной симметрии используем уравнение (27). Дифференцирую уравнение (27) один раз по времени, находим

(38)

Следовательно, уравнение (38) относится к типу уравнений с переменной вязкостью [23-24]. В этом случае также можно поставить задачу с начальными данными и с периодическими граничными условиями типа (37). Результаты моделирования перехода к геометрической турбулентности в модели (38) приведены на рис. 2.

Рис. 2 Переход к геометрической турбулентности в модели (38)

Естественный путь стабилизации движения в малом масштабе, который избрала природа, заключается в установлении такого уравнения состояния, которое приводит к изменению знака параметра в уравнении (34). Предположим, что , тогда задавая начальные данные в виде постоянного градиента , приходим к следующей форме уравнения (34)

(39)

Здесь . Предполагая, что экспонента в левой части уравнения изменяется слабо, вновь приходим к виду уравнения Шредингера типа (29). Следовательно, геометрическая турбулентность в малом масштабе приводит к квантовой механике [32-33].

Отметим, что в случае гладких начальных данных уравнения (29) и (39) также приводят к развитию мелкомасштабных возмущений - рис. 3. Однако эти возмущения не ведут к взрывной неустойчивости, как в случае моделей (35) и (38). Распад начального состояния в этом случае приводит к появлению регулярных волн, которые заполняют всю область движения - рис. 3.

Рис. 3 Распад начального состояния в модели (29)

Мы, таким образом, указали метрики (14), в которых уравнения Навье-Стокса, Максвелла и Шредингера сводятся к одному уравнению поля, имеющему как регулярные решения, так и решения, ведущие к геометрической турбулентности - рис. 1-3.

Среди физических процессов, заканчивающихся взрывной неустойчивостью, можно отметить распады элементарных частиц, атомных ядер, гидродинамическую турбулентность, галактические струи, взрывы сверхновых и Большой взрыв, с которого началась история Вселенной.

Структура материи

Отметим, что общая теория относительности дает ключ к пониманию механизмов преобразования энергии и материи. Действительно, модель атома [20] и метрики (14), описывающие волны материи, электромагнитное поле и вязкие течения позволяют охватить различные случаи движения в широкой области масштабов. Наиболее значимым свойством уравнений (15) и (20) является изменение типа при изменении параметров уравнения состояния. В каждом случае это приводит к возникновению механизма генерации волн различной природы - квантовых, электромагнитных или гидродинамических.

В указанном механизме преобразования энергии кривизна пространства изменяется скачком при переходе от атомных масштабов, которые описываются уравнением (20), к плоским электромагнитным волнам в метрике с нулевой кривизной пространства (14). Этот факт позволяет разграничить классические явления электромагнитного излучения и квантовые явления, связанные с движением атомов.

Теория преонов [30, 34-35] является естественным расширением модели Гейзенберга [6], в которой предполагается, что в основе нашего мира находится нелинейное поле частиц-фермионов, обладающих спином Ѕ. Мы видим из приведенных данных, что все волновые процессы в природе обусловлены движением субстанции, которую называют темной энергией. Преобразование этой субстанции в вихревые возмущения обусловлено тем, что в микроскопическом масштабе справедливы уравнения Навье-Стокса [11-17, 22], которые описывают вихревые течения. Элементарные вихри являются частицами преонами, которые объединяются вместе, создавая молекулы в форме электронов, кварков, протонов, нейтронов и т.д. Электрический заряд преонов удобно считать дробным, так как это не противоречит представлениям о дробных электрических зарядах кварков.

В силу уравнений (5) в исходном континууме возникают нарушения сплошной среды в форме пузырей, которые могут расширяться или сжиматься, создавая соответственно источники или стоки темной энергии. Эти источники и стоки соответствуют электрическим зарядам в теории Максвелла, а порождаемое ими вторичное течение описывается системой уравнений (6)-(8) или упрощенной моделью (10).

Это картина мироздания позволяет создать новую научную парадигму, в которой элементарные частицы рассматриваются как возмущения сплошной среды, связанной с наличием универсальной субстанции типа гравитационного поля, описываемого уравнениями (1)-(2). Течение субстанции в каждой локальной области пространства-времени описывается уравнениями типа Навье-Стокса (5).

Геометрическая турбулентность приводит к возникновению элементарных вихрей, динамика которых описываются уравнениями типа уравнения Гейзенберга [6]. Объединение элементарных вихрей с пузырями электрических зарядов приводит к формированию преонов, кварков и электронов. Объединение кварков приводит к формированию адронов и атомных ядер. Объединение атомных ядер с электронами приводит к формированию атомов и всей структуры вещества.

Таким образом, основным механизмом возникновения материи является геометрическая турбулентность, происхождение которой мы приписываем уравнениям типа (13), (15), (20) и следующим из них уравнениям типа (35) и (38). Уравнения Навье-Стокса, Максвелла и Шредингера могут быть выведены из уравнений поля, как длинноволновое приближение при определенных предположениях относительно уравнения состояния темной энергии [7-22].

Библиографический список

1. Albert Einstein. A Comment on a Criticism of Unified Field Theory. Phys. Rev., 1953, 89, 321.

2. Kaluza Theodor. Zum Unitдtsproblem in der Physik// Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Phys.) 1921: 966-972,1921.

3. Klein Oskar. Quantentheorie und fьnfdimensionale Relativitдtstheorie// Zeitschrift fьr Physik a Hadrons and Nuclei 37 (12): 895-906, 1926.

4. Albert Einstein, P. Bergmann. Generalization of Kaluza's Theory of Electricity// Ann. Math., ser. 2, 1938, 39, 683-701.

5. Ю. Б. Румер. Исследования по 5-оптике. М., Гостехиздат,1956. 152 с.

6. Werner Heisenberg. Introduction to the unified field theory of elementary particles. Max-Planck-Institut fur Physik und Astrophysik, NTERSCIENCE PUBLISHERS, LONDON, NEW YORK, SYDNEY, 1966.

7. J. A. Shifflett. A modification of Einstein-Schrodinger theory that contains Einstein-Maxwell-Yang-Mills theory// Gen.Rel.Grav.41:1865-1886, 2009.

8. Fabio Grangeiro Rodrigues, Roldao da Rocha, Waldyr A. Rodrigues Jr. The Maxwell and Navier-Stokes that Follow from Einstein Equation in a Spacetime Containing a Killing Vector Field// AIP Conference Proceedings, v. 1483, 277-295, 2012.

9. L.N.Krivonosov, V.A.Luk'aynov. The relationship between the Yang-Mills and Einstein and Maxwell Equations// J. SibFU, Math. and Phys, 2(2009), no. 4, 432-448 (in Russian).

10. Alon E. Faraggi and Marco Matone. The Equivalence Postulate of Quantum Mechanics// arXiv:hep-th/9809127v2, 6 Aug 1999.

11. Eling, I. Fouxon, Y. Oz. Gravity and Geometrization of Turbulence: An Intriguing Correspondence// arXiv:1004.2632, 28 Oct, 2010.

12. Bredberg, C. Keeler, V. Lysov, A. Strominger. From Navier-Stokes to Einstein// arXiv: 1101.2451, 12 Jan, 2011.

13. Eling, Y. Oz. Holographic Vorticity in the Fluid/Gravity Correspondence// arXiv:1308.1651, 28 Oct, 2013.

14. Sayantani Bhattacharyya et all. Conformal Nonlinear Fluid Dynamics from Gravity in Arbitrary Dimensions// arXiv: 0809.4272v2, 3 Dec, 2008.

15. Sayantani Bhattacharyya et all. The Incompressible Non-Relativistic Navier-Stokes Equation from Gravity // arXiv: 0810.1545v3, 20 Jul, 2009.

16. Michael Haack, Amos Yarom. Nonlinear viscous hydrodynamics in various dimensions using AdS/CFT// ArXiv: 08064602v2, 11 Sep, 2011.

17. V.E. Hubeny. The Fluid/Gravity Correspondence: a new perspective on the Membrane Paradigm// arXiv:1011.4948v2, February 22, 2011.

18. Трунев А.П. Гравитационные волны и квантовая теория Шредингера// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. Краснодар: КубГАУ, 2014. №02(096). С. 1189 - 1206. - IDA [article ID]: 0961402081. Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/02/pdf/81.pdf.

19. Трунев А.П. Гравитационные волны и стационарные состояния квантовых и классических систем// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. Краснодар: КубГАУ, 2014. - №03(097). IDA [article ID]: 0971400090. Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/90.pdf.

20. Трунев А.П. Атом Шредингера и Эйнштейна// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. Краснодар: КубГАУ, 2014. - №03(097). IDA [article ID]: 0971400094. Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/90.pdf.

21. Трунев А.П., Е.В. Луценко. Гравитационные волны и коэффициент эмерджентности классических и квантовых систем// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. Краснодар: КубГАУ, 2014. №03(097). С. 1343 - 1366. IDA [article ID]: 0971403092. Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/03/pdf/92.pdf.

22. Трунев А.П. О представлении решений уравнений Навье-Стокса в общей теории относительности// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2014. - №04(098). С. 1566 - 1587. IDA [article ID]: 0981404111. Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/111.pdf.

23. Яненко Н. Н., Новиков В. А. Об одной модели жидкости со знако-переменным коэффициентом вязкости // Численные методы меха-ники сплошной среды. 1973. № 2.

24. Ларькин Н. А., Новиков В. А., Яненко Н. Н.Нелинейные уравнения переменного типа. М., 1983.

25. Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.2. Теория поля. 7 изд. - М.: Наука. 1988. стр. 329-330; L. D. Landau and E. M. Lifshitz. The Classical Theory of Fields. Pergamon, New York, second edition, 1962.

26. В.А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения (2-е изд.). М.: ГИФМЛ, 1961.

27. Steven Weinberg. Gravitation and Cosmology. John Wiley & Sons, 1972.

28. A.Z. Petrov. New methods in general relativity. Moscow: Nauka, 1966.

29. Einstein. Prinzipielles zur allgemeinen Relativitdtstheorie// Ann. Phys., 1918, 55, 241--244.

30. Трунев А.П. Токи преонов и беспроводная передача электроэнергии // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. Краснодар: КубГАУ, 2013. №08(092). С. 703 - 721. IDA [article ID]: 0921308047. Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2013/08/pdf/47.pdf.

31. L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Fluid Mechanics. Pergamon, Oxford, UK, first edition, 1959.

32. Fotini Markopoulou and Lee Smolin. Quantum Theory from Quantum Gravity// arXiv:gr-qc/0311059v2 14 Jun 2004.

33. Stephen L. Adler. Where is quantum theory headed? // arXiv:1401.0896 [quant-ph], 5 Jan 2014; Incorporating gravity into trace dynamics: the induced gravitational action//Class. Quantum Grav. 30, 2013.

34. Trunev AP. Preons shell and atomic structure // Poly-thematic electronic scientific journal of the Kuban State Agrarian University (Journal KubGAU) [electronic resource]. Krasnodar KubGAU, 2013. № 03 (87). P. 795 - 813. Mode of access: http://ej.kubagro.ru/2013/03/pdf/61.pdf.

35. Jean-Jacques Dugne, Sverker Fredriksson, Johan Hansson, Enrico Predazzi. Preon Trinity - a new model of leptons and quarks// arXiv:hep-ph/9909569v3.

Размещено на Allbest.ru

...