Распространение нестационарных продольных волн в вязкоупругом двухслойном полупространстве

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 539.374

Сумгаитский государственный университет, Азербайджан

РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОДОЛЬНЫХ ВОЛН В ВЯЗКОУПРУГОМ ДВУХСЛОЙНОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

PROPAGATION OF THE UNSTEADY-STATE LONGITUDIONAL WAVES IN VISCOELASTIC TWO-LAYER SEMI-SPACE

Курбанов Наби Тапдыг оглы к.ф.-м.н., доц., зав. кафедрой «Общая математика»

Вусала Назим кызы Юсифли соискатель

Аннотация

В данной работе исследуется распространение нестационарных волн в слоистом вязкоупругом полупространстве для произвольных наследственных функций при малой вязкости при различных граничных условиях с помощью интегрального преобразования Лапласа и экспоненциального преобразования Фурье. Полученное решение анализировано в частном случае, когда свойства среды описываются ядром Ржаницына

Ключевые слова: ВЯЗКОУПРУГОСТЬ, СЛОИСТОСТЬ, РЕОЛОГИЧЕСКИЙ, НЕСТАЦИОНАРНЫЙ, ИЗОБРАЖЕНИЕ, ОРИГИНАЛ, СВЕРТКА, ДИНАМИЧЕСКИЙ, НАСЛЕДСТВЕННОСТЬ, ЯДРО, ПОЛЗУЧЕСТЬ, НЕОДНОРОДНОСТЬ

In this work it is investigated the propagation of unsteady-state waves in a vicoelastic semi space for the arbitary heterogeneous functions at the different boarded conditions with the help of Laplas transformation and exponentional Truriers conversion. The received solution has been analyzed in a private case when medium properties are describing by Rzhanitsin's core

Keywords: VISCOELASTIC, FOLIATION, RHEOLOGICAL, UNSTEADY-STATE,

DELINE-ATION, ORIGINAL, CONTRACTION, DYNAMIC, HEREDITY, NUCLEUS, AFTERFLOW, DISCON-TINUITY

Широкий круг задач, связанный как с решением проблем сейсмологии, сейсмостойкого строительства сложных технических систем, так и проблем современного приборостроения, связанных с всевозрастающим применением композиционных материалов, приводит к необходимости исследования, как в прикладном, так и в теоретическом аспектах возможности наиболее эффективного управления волновых процессов на основе направленного выбора геометрической и физической структуры композиционных систем [1, 2, 3, 4, 5].

Одной из важных задач исследований является учет слоистости грунтового основания. В последние десятилетия в исследованиях авторов, посвященных проблемам сейсмостойкости, наблюдается тенденция учета все большего числа слоев при изучении взаимодействия сейсмических волн с конструкциями различного назначения [5-8]. Однако исследование явлений, возникающих при взаимодействии сейсмических волн с достаточно большим числом слоев, приводит к значительным сложностям математического характера.

Для того чтобы получить и разработать какие-либо качественные выводы о закономерностях взаимодействия волновых полей с конструкциями сооружений различного назначения, необходимо на основе моделей слоистых сред методами математического и компьютерного моделирования провести исследование влияния структуры слоистых сред на волновые процессы различной физической природы.

При волновом воздействии на слоистую структуру возникает система отраженных и преломленных волн. Взаимодействуя с падающей волной, они образуют сложную интерференционную картину, в значительной степени, зависящую от геометрической и физической структуры слоистой среды: от физических свойств материалов слоев, геометрических размеров слоев, числа слоев, а также от порядка взаимного расположения слоев с различными физическими свойствами в конструкции [6, 11, 12, 13, 14]. Меняя физическую и геометрическую структуру слоистой среды, можно в значительной степени управлять интерференционной картиной волнового процесса и, в частности, амплитудными и фазовыми характеристиками. На этом основана работа многих устройств в различных областях физики, техники и других сооружений.

Распространение нестационарных волн напряжений в слоистых средах исследованы многими авторами, из которых отметим работы [17, 13, 14] и другие.

Распространение нестационарных волн в упругом полупространстве при некоторых видах неоднородностей также исследовано в работах [18, 19, 20]. В работе [6] исследуется задача о распространении волн в периодически слоистых линейно упругих средах, которые реализуются с помощью теории Флоке.

Распространение нестационарных волн сдвига в слоистом упругом полупространстве исследовано в работах [14, 9] методом малого параметра.

Отметим, что при решении соответствующих вязкоупругих задач свойства материала либо описываются конкретными моделями, например, как модель Максвелла, Фойхта и другие, либо решение находится численными методами.

В статье исследуется аналогичная задача с учетом вязкости материала, и решение находится для произвольных наследственных функций.

Предположим, что к поверхности двухслойного вязкоупругого слоя при приложена нагрузка

(1)

где ; - заданная функция.

Задача математически сводится к решению следующей системы уравнений:

 (2)

, (3)

(4)

. (5)

Определяющие соотношения принимаем в следующем виде:

, (6)

где - напряжение; - деформация;

и - функции сдвиговой и объемной релаксации.

При все соотношения относятся первому слою, при - ко второму.

С помощью интегрального преобразования Лапласа изображение решения получаем в виде:

(7)

Здесь и неопределенные коэффициенты;

- параметр преобразования.

Пусть коэффициент Пуассона является постоянным, тогда функции и будут пропорциональными, т.е.

,

где .

Рассмотрим следующие преобразования:

Учитывая

,

в последнем выражении получаем:

,

тогда решение (7) приводится к виду:

продольный волна вязкоупругий пространство

. (8)

Здесь введено обозначение ;

; .

Из граничных условий, определяя коэффициенты и подставляя в (8), имеем:

, (9)

где

; ;

; ;

; .

Разлагая знаменатели в ряд, имеем:

. (10)

Учитывая это в (9) соответственно, получаем:



(11)

(12)

,

Предположим, что , , тогда решения (12) принимают вид:

(13)

,

где

,

тогда принимает вид:

,

который не зависит от времени.

Из уравнений (13) видно что, окончательное решение поставленной задачи приводится к вычислению оригиналов следующих выражений

(14)

(15)

Здесь , причем известны.

Представляя экспоненциальную функцию в форме интеграла Фурье с учетом , получаем:

(16)

, (17)

где - некоторый малый параметр

Оригиналы этих функций находятся по методу, изложенному в работах [2, 7, 9, 12], и имеют вид:

(18)

где

дельта функция Дирака;

- итерированные ядра

.

Вычислим оригинал второй функции .

(19)

Отсюда после вычисления интегралов получим:

(20)

Применяя обратные преобразования Лапласа к этому выражению, находим:

(21)

Учитывая решение (18) и (21) в (13), получаем оригинал решения поставленной задачи в виде:

 (22)

(23)

Пусть вместо условия (5) выполняется условие

при (24)

Тогда решения для каждого слоя в изображениях Лапласа принимают вид:

(25)

, (26)

где

; ;

Отсюда видно, что решение поставленной задачи сводится к вычислению оригинала функции

 (27)

Если считать, что вязкое сопротивление материала является малым, по сравнению с упругим сопротивлением, тогда оригинал функции совпадает с формулой (18). В этом случае оригинал решений поставленной задачи получается в виде:

(28)

Теперь исследуем полученное решение, с этой целью предположим, что свойства среды описываются ядром Ржаницына

,, ,

тогда с учетом [4, 5, 9, 12]

из решений (27) при малых значениях получаем:

.

Здесь и все члены с целыми отрицательными значениями не учитываются. Это формула исследована при следующих значениях параметров

и построены график зависимости от времени .

График зависимости от времени

Отсюда видно, что при фронтовой асимптотике параметры на характер решения влияют незначительно.

Список литературы

1. Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М. Математические модели задач нелинейной динамики вязкоупругих ортотропных пластин и оболочек переменной толщины // Инженерно-строительный жур-нал. Санкт-Петербург. 2010. № 6. С. 38-47.

2. Ильясов М.Х., Курбанов Н.Т. О расспространении нестационарных волн в линейных вязкоупругих материалах / ВИНИТИ. М., 1984, № 464-84, 27 с.

3. Аршинов Г.А., Лаптев С.В., Могилевич Л.И. Асимптотический анализ продольных волн в физически и геометрически нелинейных вязкоупругих средах // Наука Кубани. Сер. Проблемы физико-математического моделирования. 1999. С. 51-58.

4. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: «Мир», 1982. 333 с.

5. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд. МГУ, 1984. 364 с.

6. Ляхов Г.М. Ударные волны в многокомпонентных средах // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. 1959. № 1. С. 46-49.

7. Исмаилов Р.Ш., Курбанов Н.Т., Иманов Ф.А. Об одной динамической задаче линейной вязкоупругости // Уч. записи АГНА. Баку.1998 №2. С. 71-79.

8. Ромалис Н.Б., Тамуж В.П. Разрушение структурно-неоднородных тел. Рига.: Зинатне, 1989. 224 с.

9. Колтунов М.А. Ползучесть и релаксация. М.: «Высшая школа», 1976. 276 с.

10. Филиппов И.Г., Бахрахмов Б.М. Некоторые двухмерные волны в двух компонентных средах // Изв. АН Уз ССР. 1977. № 2. С. 33-39.

11. Жгутов В.М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учете различных свойств материала // Изв. Орловского гос. техн. ун-та, сер. «Строительство, транспорт». 2007. № 4. С. 20-23.

12. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. М.: «Мир», 1982. 333 с.

13. Кийко И.А. Ильясов М.Х., Распространение гармонических волн в двухкомпонентной двухслойной полосе // Вест. Моск. ун-та, Мат., мех. 1976. № 5. С. 103-106.

14. Косачевский Л.Я. О распространению упругих волн в двухкомпонентных средах // ПММ. 1959. Т. 23. С. 1115-1123.

15. Онисько Н.И., Шемякин Е.И. Движение свободной поверхности однородного грунта при подземном взрыве // ПМТФ. 1961. № 4. С. 82-94.

16. Талбатов Ю.А. Свободные колебания сварной многослойной цилиндрической оболочки. Киев, 1982, №17. С. 32-33.

17. Курбанов Н.Т. Исследование одномерных динамических задач линейной вязкоупругости / Астраханский государственный университет // «Прикаспийский журнал». Астрахань. 2008. № 2. С. 53-57.

18. Аленицын А.Г. О задаче Лэмба неоднородного упругого полупространства Изд.-во Ленингр. ун-та, 1966. вып. 1. С. 5-32.

19. Горбачаев В.И., Победря Б.Е. Об упругом равновесии неод-нородных полос // Изв. АН СССР, МТТ. 1979. № 5. С. 111-118

20. Слепян Л.П. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1980. 343 с.

1.Abdikarimov R.A., Zhgutov V.M. Matematicheskie modeli zadach nelinejnoj dinamiki vjazkouprugih ortotropnyh plastin i obolochek peremennoj tolshhiny //Inzhenerno-stroitel'nyj zhur-nal. Sankt-Peterburg, 2010, №6, s. 38-47.

2.Il'jasov M.H., Kurbanov N.T. O rassprostranenii nestacionarnyh voln v linejnyh vjazkouprugih materialah // VINITI, Moskva 1984, № 464-84, 27 s.

3.Arshinov G.A., Laptev S.V., Mogilevich L.I. Asimptoticheskij analiz prodol'nyh voln v fizicheski i geometricheski nelinejnyh vjazkouprugih sredah // Nauka Kubani. Ser. Problemy fiziko-matematicheskogo modeliro-vanija, 1999, s. 51-58.

4.Kristensen R. Vvedenie v mehaniku kompozitov. M.: «Mir», 1982, 333 s.

5.Pobedrja B.E. Mehanika kompozicionnyh materialov. M.: Izd. MGU, 1984, 364 s.

6.Ljahov G.M. Udarnye volny v mnogokomponentnyh sredah // Izv. AN SSSR, Mehanika i mashinostroenie. 1959. №1. s. 46-49.

7.Ismailov R.Sh., Kurbanov N.T., Imanov F.A. Ob odnoj dinami-cheskoj zadache linejnoj vjazkouprugosti. // Uch. zapisi AGNA. №2. Baku-1998 s. 71-79.

8.Romalis N.B., Tamuzh V.P. Razrushenie strukturno-neodnorodnyh tel. Riga. Zinatne.: 1989. 224 s.

9.Koltunov M.A. Polzuchest' i relaksacija. M.: «Vysshaja shkola» 1976, 276 s.

10.Filippov I.G., Bahrahmov B.M. Nekotorye dvuhmernye volny v dvuh komponentnyh sredah // Izv. AN Uz SSR, 1977, №2, s. 33-39.

11.Zhgutov V.M. Matematicheskie modeli i algoritmy issledovanija ustojchivosti pologih rebristyh obolochek pri uchete razlichnyh svojstv materiala // Izv. Orlovskogo gos. tehn. un-ta, ser. «Stroitel'stvo, transport», 2007, №4, s. 20-23.

12.Kristensen R. Vvedenie v mehaniku kompozitov. M.: «Mir», 1982, 333 s.

13.Kijko I.A. Il'jasov M.H., Rasprostranenie garmonicheskih voln v dvuhkomponentnoj dvuhslojnoj polose / Vest. Mosk. un-ta, Mat., meh., №5, 1976, s. 103-106.

14.Kosachevskij L.Ja. O rasprostraneniju uprugih voln v dvuhkom-ponentnyh sredah // PMM, 1959. t. 23. s. 1115-1123.

15.Onis'ko N.I., Shemjakin E.I. Dvizhenie svobodnoj poverhnosti odnorodnogo grunta pri podzemnom vzryve / PMTF, №4, 1961, s. 82-94.

16.Talbatov Ju.A. Svobodnye kolebanija svarnoj mnogoslojnoj cilindricheskoj obolochki. Problemy mashinostroenija // Kiev, 1982, №17, s. 32-33.

17.Kurbanov N.T. Issledovanie odnomernyh dinamicheskih zadach linejnoj vjazkouprugosti // Astrahanskij Gosudarstvennyj Universitet, «Prikaspijs-kij zhurnal», Astrahan', 2008, №2, s. 53-57.

18.Alenicyn A.G. O zadache Ljemba neodnorodnogo uprugogo polupro¬stranstva

// V. sb.: «Problemy matem. fiziki», Izd.- vo, Leningr. Un-ta, vyp 1, 1966, s.

5-32.

19.Gorbachaev V.I., Pobedrja B.E. Ob uprugom ravnovesii neod-norodnyh polos

// Izv. AN SSSR, MTT, 1979, №5, s.111-118

20.Slepjan L.P. Integral'nye preobrazovanija v nestacionarnyh zadachah mehaniki. L.: Sudostroenie, 1980, 343 s.

Размещено на Allbest.ru

...