3D моделирование переноса бинарного электролита в гальваностатическом режиме в условиях электронейтральности

Выражение напряженности электрического поля через плотность тока и концентрации. Использование уравнений для плотности тока в трехмерном случае. Уравнение для векторного потенциала плотности тока для бинарного электролита к задачам с осевой симметрией.

Рубрика Физика и энергетика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 19.05.2017
Размер файла 83,6 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

3D моделирование переноса бинарного электролита в гальваностатическом режиме в условиях электронейтральности

Физико-математические науки

Коваленко Анна Владимировна

В работе выведены 3D математические модели процесса нестационарного переноса бинарного электролита в ЭМС (электромембранных системах: электродиализные аппараты, электромембранные ячейки и т.д.) для гальваностатического режима. Для конкретности в качестве ЭМС рассматривается канал обессоливания ЭДА (электродиализного аппарата) и ЭМС с ВМД (вращающимся мембранным диском). Выведена формула, выражающая напряженность электрического поля через плотность тока и концентрацию. Также получено дифференциальное уравнение для плотности тока. Принципиальным моментом при этом является то, что выведено новое уравнение для неизвестной вектор-функции плотности тока из исходной системы уравнений Нернста-Планка. Кроме того, в статье показан вывод уравнения для плотности тока в трехмерном случае, предложены различные методы решения уравнения плотности тока, а также краевые условия для плотности тока. Предложенные математические модели переноса бинарного электролита несложно обобщить на случай произвольного электролита. Однако при этом соответствующие уравнения имеют громоздкий вид. Хотелось бы также отметить, что краевые условия могут быть разнообразными и зависят от цели конкретного исследования, в связи с этим, в данной работе приведены лишь уравнения, имеющие общий вид

Ключевые слова: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, 3D МОДЕЛИРОВАНИЕ, ГАЛЬВАНОСТАТИЧЕСКИЙ РЕЖИМ, УРАВНЕНИЯ НЕРНСТА-ПЛАНКА-ПУАССОНА

ВВЕДЕНИЕ

Для моделирования переноса бинарного электролита в ЭМС, как правило, используется система уравнений Нернста-Планка и условия электронейтральности [1]. ЭМС функционируют в двух разных электрических режимах: потенциостатическом, когда задается падение потенциала или гальваностатическом режиме, когда задается средняя плотность тока в цепи.

Эти режимы в физическом смысле равноправны, однако экспериментальные исследования удобно проводить в гальваностатическом режиме. Кроме того, известны критические значения плотности тока: предельный ток, ток экзальтации, ток Харкаца и т.д. [2]. Этим критическим значениям плотности тока не всегда удобно теоретически или экспериментально сопоставлять конкретные значения падения потенциала. Так, например, предельному току теоретически соответствует бесконечно большое значение падения потенциала.

Именно поэтому, в настоящее время накоплено большое количество экспериментальных данных полученных для гальванодинамического (гальваностатического) режима, которые требуют анализа.

2D модель гальваностатического режима при выполнении условия локальной электронейтральности впервые была представлена в работе [4] и подробно изучена в работах [5, 6], а в работах [7-10] использовалась при построении и анализе математической модели гравитационной конвекции в электрохимических системах в гальваностатическом режиме. В данной статье предлагаются 3D математические модели процесса нестационарного переноса бинарного электролита в ЭМС для гальваностатического режима. Данная работа является развитием работ [2, 4, 6].

Постановка задачи

Векторная запись системы уравнений Нернста-Планка и условия электронейтральности [1] для переноса бинарного электролита имеет следующий вид:

, (1)

, , (2)

, (3)

, (4)

где - градиент, - оператор Лапласа, - характерная плотность раствора, - электрический потенциал, - плотность электрического тока, - заданная скорость течения жидкости согласно формулам В.Г. Левича, P - давление, T - абсолютная температура, - потоки и концентрации, - коэффициенты диффузии и заряды ионов i-го сорта, F - число Фарадея, R - универсальная газовая постоянная. При этом - неизвестные функции, в общем случае зависящие от времени t и координат x, y а остальные величины считаются известными.

Здесь (1) - уравнение Нернста-Планка с учетом соотношения Нернста-Эйнштейна, (2) - условие материального баланса, (3) - условие электронейтральности, (4) - условие протекания электрического тока.

Как отмечалось выше, система уравнений (1)-(4) удобна только для моделирования потенциостатического режима. В то же время она неудобна для моделирования гальваностатического режима, так как не содержит дифференциального уравнения для плотности тока.

В связи с этим, возникает проблема преобразования системы уравнений (1)-(4) к виду удобному для моделирования гальваностатического режима.

Для этого нужно решить две задачи:

1). Необходимо вывести формулу, выражающую напряженность электрического поля через плотность тока и концентрацию, которая должна использоваться вместо уравнения плотности тока (4).

2). Необходимо вывести дифференциальное уравнение для плотности тока .

Принципиальным моментом при этом является то, что необходимо вывести новое уравнение для неизвестной вектор-функции плотности тока из исходной системы уравнений Нернста-Планка.

В п. 2 для удобства приведено общеизвестное выражение напряженности электрического поля через плотность тока и концентрации [1]. В п. 3 дан вывод уравнения для плотности тока в трехмерном случае. В п.4. предложены различные методы решения уравнения для плотности тока. В п.5 предложены краевые условия для плотности тока.

Выражаем напряженность электрического поля через плотность тока и концентрации

Напряженность связана с электрическим потенциалом выражением:

. (5)

С учетом этого выражения уравнение (1) для потоков приобретает вид:

, . (6)

Умножим уравнения (6) на и просуммируем:

.

С учетом (3) и (4) получаем, что условие протекания электрического тока имеет вид:

. (7)

Из условия электронейтральности, полагая , получаем:

,

,

,

и соотношение (7) принимает вид:

, (8)

откуда

(9)

Вывод уравнений для плотности тока в трехмерном случае

Умножим уравнения (2) на и просуммируем. Тогда из выполнения условия электронейтральности (3) следует равенство:

.

Поскольку для плотности тока выполнено уравнение (10), то для однозначной разрешимости нужно найти [3].

Из уравнения (9), учитывая тождество , получим:

Следовательно, учитывая и ,

,

получим:

Так как

то

(12)

Таким образом, для нахождения вектора получаем систему уравнений:

электрический трехмерный электролит бинарный

(13)

(14)

Методы решения уравнения для плотности тока

Рассмотрим различные методы решения системы уравнений для плотности тока.

Решение системы уравнений с использованием векторного потенциала

Из уравнения (13) следует, что для существует векторный потенциал, т.е. такая вектор-функция , что

(15)

Тогда для функции получаем дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка:

(16)

Кстати, при этом уравнение (13) выполняется автоматически.

Решение стационарного уравнения (16) удобно находить численно методом установления, используя уравнение:

(17)

Решение исходной системы уравнений для плотности тока сведением к неизвестной потенциальной функции

Второе уравнение можно записать в виде:

и поэтому исходную систему уравнений (13), (14) можно записать в виде:

(18)

(19)

Поскольку, согласно первому уравнению, поле является соленоидальным, то будем искать его в виде [3]:

, где любое частное решение уравнения (19), а функция подлежит определению.

Возьмем в виде:

Так как, с одной стороны , а с другой стороны , то является решением уравнения (19). Тогда и является решением уравнения (19). Остается выбрать функцию , так чтобы выполнялось уравнение (18).

Подставим в уравнение (18), тогда

.

Приравнивая к нулю, получаем для уравнение:

(20)

или

(21)

Решение уравнения для векторного потенциала плотности тока для бинарного электролита для задач с осевой симметрией

Предположим, что необходимо определить плотность тока в некоторой задаче с осевой симметрией. В цилиндрических координатах это означает, что вектор не зависит от угла , т.е. вектор лежит в плоскости . Поэтому в качестве будем рассматривать азимутальную составляющую завихренности по формуле .

В цилиндрической системе координат выражение (9) имеет вид:

(22)

(23)

Вычислим , получаем:

Так как , где , то , следовательно:

или с учетом формулы , где ,

:

или

(24)

Из (24) следует, что в цилиндрической системе координат имеем:

.

Из этого равенства следует существование такой функции , что:

,

,

Выражение через функцию имеем вид:

,

где справа оператор Лапласа считается в цилиндрических координатах. Таким образом, уравнение (24) запишется в виде:

или

.

Так как , то окончательно имеем:

(25)

Вид уравнения для полностью совпадает с двумерным случаем [4, 6].

Замечание

Предложенные выше математические модели переноса бинарного электролита несложно обобщить на случай произвольного электролита. Однако при этом соответствующие уравнения имеют громоздкий вид. В связи с этим изложение здесь ограничено бинарным электролитом.

Краевые условия могут быть разнообразными и зависят от цели конкретного исследования, в связи с этим, в данной работе приведены лишь уравнения, имеющие общий вид.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье предложены 3D математические модели нестационарного переноса бинарного электролита в канале обессоливания электродиализного аппарата в гальваностатическом режиме в виде системы квазилинейных уравнений с частными производными. Выведено новое уравнение для плотности тока и соответствующие краевые условия. Предложены методы решения краевой задачи для плотности тока. Все описанные математические модели предложены впервые.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ньюмен Дж. Электрохимические системы. 1977, Мир, 463с.

2. Уртенов М.Х., Лаврентьев А.В., Никоненко В.В., Письменский А.В., Сеидова Н.М Максимальные потоки ионов соли в некоторых математических моделях массопереноса в электромембранных системах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2006. Краснодар: КубГУ, 2006. №3. С.84-93.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3. , 1956. - 656 С.

4. Уртенов М.Х., Письменский А.В. Моделирование гравитационной конвекции в электромембранных системах очистки воды // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. - Краснодар: КубГУ, 2004. - №3. - С.64-69.

5. Коваленко А.В., Уртенов М.Х. Вывод и обоснования формул для приближенного решения уравнения для плотности тока при выполнении условия электронейтральности // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. - № 5(2).

6. Коваленко А.В., Уртенов М.Х., Ярощук А.Э., Жолковский Э.К. 2D-моделирование переноса бинарного электролита в электромембранных системах. Известия Кубанского государственного университета. Естественные науки. Издательско-полиграфический центр Кубанского государственного университета. - Краснодар: 2013. 52-57с.

7. Лаврентьев А.В., Письменский А.В., Уртенов М.Х. Математическое моделирование переноса в электромембранных системах с учетом конвективных течений: Монография / Кубан. гос. технол. ун-т.- Краснодар: ГОУ ВПО «КубГТУ», 2006. -147с.

8. Pismenskiy A., Urtenov M., Nikonenko V., Pismenskaya N., Pourcelly G Modelling of gravitational convection in electromembrane systems Book of Abstracts of International Congress «Euromembrane'2004», Hamburg, Germany, 28 Sep. - 1 Oct. 2004. TUHH-Technologie GmbH, Hamburg, Germany, 2004. - P.489.

9. Urtenov M., Pismenskiy A.,Nikonenko V.,Pourcelly G.Письменский А., Никоненко В.,Пурселли Ж., Mathematical modelling of gravitational convection in electrodialysis processes // Desalination. - 2006. Vol.192.

10. Коваленко А.В., Уртенов М.Х. , Письменский А.В., Никоненко В.В., Систа Ф., Письменская Н.Д. Моделирование и экспериментальное исследование гравитационной конвекции в электромембранной ячейке //Электрохимия Т.48 №7, 2012. С.830-842

11. Коваленко А.В., Уртенов М.Х. Краевые задачи для системы электродиффузионных уравнений. Часть 1. Одномерные задачи. LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH & Co. KG. Germany, Saarbrьcken: 2011. 281 c.

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

  • Определение плотности тока на поверхности и на оси провода. Численное значение частоты тока. Влияние обратного провода на поле в прямом проводе. Особенности распространения электромагнитной волны в проводящей среде. Плотность тока и напряженности поля.

    задача [46,9 K], добавлен 06.11.2011

  • Причины электрического тока. Закон Ома для неоднородного участка цепи. Закон Ома в дифференциальной форме. Работа и мощность. Закон Джоуля–Ленца. Плотность тока, уравнение непрерывности. КПД источника тока. Распределение напряженности и потенциала.

    презентация [991,4 K], добавлен 13.02.2016

  • Сущность магнетизма, поле прямого бесконечно длинного тока. Форма правильных окружностей, описываемых силовыми линиями электрического поля элемента тока. Структура латентного поля тока. Закон Био-Савара, получение "магнитного" поля из электрического.

    реферат [2,2 M], добавлен 04.09.2013

  • Понятие об электрическом токе. Изменение электрического поля вдоль проводов со скоростью распространения электромагнитной волны. Условия появления и существования тока проводимости. Вектор плотности тока. Классическая электронная теория проводимости.

    презентация [181,7 K], добавлен 21.03.2014

  • Проектирование электрической сети. Выбор вариантов схем соединения ЛЭП. Экономические токовые интервалы. Методика выбора сечений проводников по нормированным значениям экономической плотности тока. Определение максимального послеаварийного тока.

    презентация [1,2 M], добавлен 26.10.2013

  • Расчет тока утечки на единицу длины между металлическим цилиндрическим стержнем в среде с заданной проводимостью и металлической поверхностью. Определение показателя проводимости без учета влияния непроводящей стенки, плотности тока в заданных точках.

    контрольная работа [573,1 K], добавлен 16.04.2016

  • Условия, необходимые для существования электрического тока. Достоинства и недостатки параллельного соединения проводников. Единица силы тока. Работа электрического тока в замкнутой электрической цепи. Закон Ома для участка цепи. Химическое действие тока.

    презентация [398,2 K], добавлен 07.02.2015

  • Силовые линии напряженности электрического поля для однородного электрического поля и точечных зарядов. Поток вектора напряженности. Закон Гаусса в интегральной форме, его применение для полей, созданных телами, обладающими геометрической симметрией.

    презентация [342,6 K], добавлен 19.03.2013

  • Электромагнитное поле. Система дифференциальных уравнений Максвелла. Распределение потенциала электрического поля. Распределения потенциала и составляющих напряженности электрического поля и построение графиков для каждого расстояния. Закон Кулона.

    курсовая работа [1,1 M], добавлен 12.05.2016

  • Образование электрического тока, существование, движение и взаимодействие заряженных частиц. Теория появления электричества при соприкосновении двух разнородных металлов, создание источника электрического тока, изучение действия электрического тока.

    презентация [54,9 K], добавлен 28.01.2011

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.