Компьютерные технологии в анализе сложной физической задачи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Компьютерные технологии в анализе сложной физической задачи

Введение

компьютерный задача физика

В настоящее время учебный процесс подготовки будущих учителей физики в силу объективных и субъективных причин не позволяет студентам приблизиться к глубокому пониманию современных достижений физики. Заканчивая обучение в вузе, студент не получает достаточного опыта научной работы по физике. Пожалуй, единственным инструментом, позволяющим разрешить эту проблему, являются компьютерные технологии, лежащие в основе вычислительной математики. Используя вычислительную математику, студент может провести анализ сложной учебно-исследовательской физической задачи. Необходимо подобрать задачу, которая находилась бы на грани понимания студентом, но в то же время вполне соответствовала его интеллектуальным возможностям. Кроме того, задача должна содержать современную физику. Желательно, чтобы результаты компьютерного анализа стали основой для экспериментального исследования выбранной задачи. Только студент, получивший опыт применения компьютерных технологий для анализа сложной физики, в сочетании с последующим экспериментальным исследованием, будет применять обретенные навыки в своей работе со школьниками. Цель данной работы - рассмотреть технологию применения современных компьютерных инструментов при анализе сложной физической задачи.

1. Постановка задачи

В качестве примера, раскрывающего суть предлагаемого метода анализа сложного физического явления, рассмотрим задачу, являющуюся классической и в полной мере отвечающую заявленным требованиям. Длинный, однородный, проводящий цилиндр, радиус которого a, проводимость , помещен в переменное квазистационарное магнитное поле , параллельное оси цилиндра. Необходимо определить параметры магнитного поля в цилиндре , где - радиальная координата. Исследование параметров этого поля интересно в силу того, что уравнения Максвелла, описывающие динамику изменения поля в проводнике с ростом , содержит обратные связи, обусловленные явлением электромагнитной индукции. В силу математической сложности анализа этот аспект задачи до сих пор не исследован. Обратные связи, как правило, приводят к синергетическим эффектам 3, что означает - магнитное поле в проводнике должно иметь сложную структуру. Точное решение нелинейного дифференциального уравнения, определяющего магнитное поле в проводящем цилиндре, выражается через специальные функции от комплексных переменных 1, 4. Аналитические зависимости получены для двух предельных случаев и . Первая асимптотика очевидна - индукционные токи малы, поле равно внешнему полю. Вторая асимптотика показывает, что магнитное поле при локализуется в тонком поверхностном скин-слое проводника. Поток магнитного поля через поперечное сечение цилиндра исследовался в работах 5,6. В 5 предложен способ бесконтактного измерения электропроводности материала цилиндра. Для измерения анализируется амплитуда ЭДС, наведенной в индукционном датчике магнитным полем для широкого интервала частот внешнего поля. Индукционный датчик - проволочная катушка, плотно намотанная поверх исследуемого цилиндра и подключенная в осциллографу или ламповому вольтметру. В 6 подробно проведены численные расчеты параметров ЭДС (амплитуда и фазовый сдвиг ЭДС относительно внешнего поля) с последующим обсуждением алгоритма построения компьютерной программы численного построения графиков параметров ЭДС. Исследуя ЭДС, мы теряем информацию о структуре магнитного поля внутри цилиндра, так как ЭДС определяется интегральной характеристикой поля - потоком через поперечное сечение проводника.

2. Математическая постановка задачи

При гармонической зависимости внешнего магнитного поля от времени, напряженность поля удобно представить в комплексном виде . Магнитное поле внутри проводящего цилиндра определяется уравнениями Максвелла в квазистационарном приближении 1, 4. Зависимость этого поля от радиальной координаты r и t имеет вид

где , - толщина скин-слоя определяется соотношением .

В формулу (1) входят функции Бесселя нулевого порядка, определяемые степенным рядом

Для анализа выражения (1) приведем его к виду, удобному для применения методов вычислительной математики. Рассмотрим - ряд, являющийся знаменателем в формуле (1). Учтем, что .

Введем безразмерную переменную , тогда как функция z, примет вид

В сумме (3) выделим действительную и мнимую части, т.е. представим

.

Несложно показать, что

Ряды (4) и (5) знакопеременные, поэтому их можно численно суммировать с заданной точностью. Функцию , стоящую в числителе соотношения (1), также представим в виде комплексного числа . Величина определяется рядом (4), где аргументом является величина , h - безразмерная радиальная координата, равная , (). Величина определяется суммой (5), где z заменена на величину . в новых переменных примет вид

Формула (6) стандартным образом 2 приводится к виду

где

Величина является безразмерной амплитудой поля (6). определяет сдвиг фазы магнитного поля внутри цилиндра относительно внешнего магнитного поля. Действительная часть выражения (7) определяет магнитное поле внутри цилиндрического образца. Величины и являются функциями z. Величины и зависят от z и h. Это означает, что z и h являются управляющими параметрами исследуемой физической системы. Магнитное поле внутри цилиндра определяется тремя параметрами a, , , входящими в . Помимо этого, магнитное поле сложным образом зависит от радиальной координаты. Все эти зависимости можно определить, только используя компьютерные технологии.

3. Численное построение графиков и

Прежде всего, студент должен предложить алгоритм суммирования рядов (4) и (5). Эти ряды напоминают ряды, определяющие тригонометрические функции и . Отличие состоит в том, что знаменателями в слагаемых ряда стоят квадраты соответствующего факториала. Поэтому в учебных целях студенту можно сначала предложить написать программу построения графика , который определяется рядом Этот ряд почти совпадает с рядом, определяющим .

Листинг программы построения графиков

screen 9 графический редактор

window (-0.1,-1.6)-(1.1,1.6)

Line(-0.1,0)-(1.1,0):Line(0,1)-(1,1) координатные оси

p=4*atn(1) число

line(-0.1,p/2)-(1,p/2):line(-0.1,-p/2)-(1,-p/2) вспомогательные линии

z=2.02 величина z, при которой строятся графики

n1=1000000 число слагаемых в рядах (4), (5)

for h=0 to 1 step 0.01 цикл по h

z1=h*h*z:a=1:x=-z1*z1:s=1 цикл вычисления

for n=2 to n1 step 2

b=(n-1)*n*n*(n-1)

a=a*x/b

s=s+a

a1=s

next n

d1=a1*a1

a=-z1:s=-z1:x=-z1*z1 цикл вычисления

for n=3 to n1 step 2

b=(n-1)*n*n*(n-1)

a=a*x/b

s=s+a

b1=s

next n

d2=b1*b1

a=1:s=1:x=-z*z цикл вычисления

for n=2 to n1 step 2

b=(n-1)*n*(n-1)*n

a=a*x/b

s=s+a

a0=s

next n

d3=a0*a0

a=-z:s=-z:x=-z*z цикл вычисления

for n=3 to n1 step 2

b=(n-1)*n*(n-1)*n

a=a*x/b

s=s+a

b0=s

next n

d4=b0*b0

f0=(d1+d2)/(d3+d4)

y=(f0^0.5)

pset(h,y),2 построение графика

f=(a0*b1-b0*a1)/(a1*a0+b1*b0)

y1=atn(f)

pset(h,y1),4 построение графика

next h

На рис. 1 - 5 показаны графики и при различных z. Сплошная линия - , пунктир - .

Рис. 1. Графики зависимостей: 1 - ; 2 - ;

Рис. 2. Графики зависимостей: 1 - ; 2 -

Рис. 3. Графики зависимостей: 1 - ; 2 -

Рис. 4. Графики зависимостей: 1 - ; 2 -

Рис. 5. Графики зависимостей: 1 - ; 2 -

Обсуждение и выводы

Предложен оригинальный алгоритм построения программы численного изучения радиальной зависимости амплитуды и фазового сдвига магнитного поля в цилиндрическом проводнике, помещенном во внешнее квазистационарное магнитное поле. Программа позволяет «посмотреть», что происходит с полем внутри проводника с изменением управляющих параметров z и h. Из построенных графиков следует, что с ростом z и h поле внутри проводника структурируется. Амплитуда локализуется в поверхностном слое цилиндра. Фазовый сдвиг поля с ростом z разбивается на ячейки, внутри которых фазовый сдвиг меняется от до . Это означает, что обратные связи, обусловленные явлением электромагнитной индукции, качественно меняют радиальное распределение поля. Скачки фазы приводят к тому, что поле в координате скачка меняет направление на противоположное. Проверка полученного результата предполагает измерение ЭДС, наведенной в индукционном датчике исследованным полем .

Использование данного метода анализа физической задачи рекомендуется студентам педагогических (физика), естественнонаучных и технических специальностей. Изучая квазистационарные магнитные поля в проводниках, и применяя современные информационные технологии, студент имеет возможность качественно поднять свой уровень по физике.

Список литературы

1. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике: учеб. пособие / под ред. М.М. Бредова. - М.: Наука, 1970. - 502 с.

2. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики - М.: Наука, 1972. - 592 с.

3. Климонтович Ю.Л. Введение в физику открытых систем. - М.: Янус-К, 2002. - 284 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 8. Электродинамика сплошных сред / под ред. Л.П. Питаевского. - М.: Физматлит, 2003. - 649 с.

5. Черных А.Г. Бесконтактное измерение электросопротивления проводников в переменном магнитном поле. Часть 2 // Физическое образование в вузах. - 2013. - Т. 19. - N 3. - С. 138-150.

Размещено на Allbest.ru