Гравитационные волны в потоках Риччи при слиянии сингулярностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 530.12+524.7

01.00.00 Физико-математические науки

Гравитационные волны в потоках риччи при слиянии сингулярностей

Трунев Александр Петрович

к.ф.-м.н., Ph.D.

Директор, A&E Trounev IT Consulting, Торонто, Канада

В настоящей работе исследована задача об излучении гравитационных волн, образующихся при столкновении частиц, представленных сингулярностями гравитационного поля. Выведена система нелинейных уравнений параболического типа, описывающая эволюцию аксиально-симметричных метрик в потоках Риччи. Развита модель, описывающая излучение гравитационных волн при столкновении и слиянии частиц в потоках Риччи. Показано, что теория, описывающая потоки Риччи в задаче о слиянии черных дыр, согласуется с теорией Эйнштейна-Инфельда, описывающей динамику материальных частиц представленных сингулярностями гравитационного поля. В качестве примера рассматривается метрика, обладающая осевой симметрией и содержащая два сингулярности, имитирующие частицы конечной массы. Численно исследовано изменение метрики при столкновении и слиянии частиц. В начальных и граничных условиях используются точные решения статической задачи, поэтому при соударении сохраняются особенности метрики, обусловленные наличием частиц. В численных экспериментах установлено, что столкновение частиц в потоках Риччи приводит к образованию гравитационных волн, похожих по своей структуре на волны, зарегистрированные в экспериментах LIGO. Следовательно, можно предположить, что наблюдаемые гравитационные волны обусловлены, главным образом, переходными процессами, связанными с изменением метрики системы. Исследовано влияние параметров задачи - скорости и массы частиц, на амплитуду и интенсивность излучения гравитационных волн. Обнаружено хаотическое поведение гравитационных потенциалов при слиянии сингулярностей в потоках Риччи

Ключевые слова: общая теория относительности, потоки риччи, гравитационные волны

риччи гравитационный параболический

Введение

Проблема излучения гравитационных волн возникающих при слиянии черных дыр и нейтронных звезд является одной из актуальных задач астрофизики, в том числе, в связи с экспериментами LIGO [1-3]. В настоящее время моделирование задач о слиянии черных дыр и нейтронных звезд осуществляется на основе теории Эйнштейна с использованием ряда приближений [4-6]. В существующих подходах к описанию черных дыр широко используется метрика Шварцшильда [7], описывающая сингулярность гравитационного поля, что физически интерпретируется как поле частицы заданной массы.

Движение материальных частиц, представленных сингулярностями гравитационного поля, является одной из проблем общей теории относительности [8-9]. В работе [8] была показано, что уравнений поля для пустого пространства достаточно для описания движения материи представленной в виде точечных сингулярностей. Для описания материи в рамках общей теории относительности Эйнштейн и Инфельд сформулировали программу [9]: «Все попытки представить материю тензором энергии-импульса неудовлетворительны, и мы хотим освободить нашу теорию от специального выбора такого тензора. Поэтому мы будем иметь дело здесь только с гравитационными уравнениями в пустом пространстве, а материя будет представлена сингулярностями гравитационного поля».

В работе [10] исследовано движение частиц, представленных сингулярностями гравитационного поля, в потоках Риччи [11-18] в аксиально-симметричных метриках. Была исследована метрика [19-20], обладающая осевой симметрией и содержащая два центра гравитации, имитирующих частицы конечной массы. Установлено, что в результате слияния частиц в потоках Риччи образуется устойчивая статическая система, состоящая из гравитационного поля и содержащая особенность, имитирующая частицу.

В численных экспериментах [10] было обнаружено, что столкновение частиц в потоках Риччи приводит к образованию гравитационных волн, похожих по своей структуре на волны, зарегистрированные в экспериментах [1]. Следовательно, можно предположить, что наблюдаемые гравитационные волны обусловлены, главным образом, переходными процессами, связанными с изменением метрики системы [10].

В настоящей работе исследована задача об излучении гравитационных волн, образующихся при столкновении частиц, представленных сингулярностями гравитационного поля. Выведена система нелинейных уравнений параболического типа, описывающая эволюцию аксиально-симметричных метрик в потоках Риччи. Развита модель, описывающая излучение гравитационных волн при столкновении и слиянии частиц в потоках Риччи. Показано, что теория Гамильтона-Перельмана [11-18], описывающая потоки Риччи в задаче о слиянии черных дыр, согласуется с теорией Эйнштейна-Инфельда [7-9], описывающей динамику материальных частиц представленных сингулярностями гравитационного поля.

В качестве примера рассматривается метрика, обладающая осевой симметрией и содержащая два сингулярности, имитирующие частицы конечной массы. Численно исследовано изменение метрики при столкновении и слиянии частиц. В начальных и граничных условиях используются точные решения статической задачи, поэтому при соударении сохраняются особенности метрики, обусловленные наличием частиц.

1. Аксиально-симметрические поля

Уравнения Эйнштейна имеют вид [21-24]:

(1)

Здесь - тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно.

Решения уравнений Эйнштейна, обладающие осевой симметрией, рассматривались в работах [10, 19-23] и некоторых других (обзор публикаций дан, например, в [21, 23]). Метрика таких пространств, при некоторых предположениях может быть приведена к виду

(2)

Здесь ; ; - функции, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна. Вычисляя компоненты тензора Эйнштейна в метрике (2) и полагая для вакуума

,

находим уравнения поля:

 (3)

Можно проверить, что не все уравнения (3) являются независимыми и что выполняются следующие два соотношения [23]

(4)

Следовательно, можно в качестве системы уравнений для определения двух функций выбрать, например, первое и четвертое уравнения (3), имеем

(5)

Разрешая систему уравнений (5) приходим к определению статических полей гравитации в случае осевой симметрии. Отметим, что в нерелятивистском пределе потенциал , где - гравитационный потенциал в теории гравитации Ньютона. Из второго уравнения (5) находим оценку

.

Рассмотрим решения системы уравнений (3) вида

(6)

В частном случае, полагая в (6) , приходим к выражению потенциалов, полученных в работе [19]

(7)

Поскольку выражения (7) используются в численных расчетах, мы добавили ко второму потенциалу константу, с целью исключить особенность, возникающую при условии .

Отметим, что выражения (7) подверглись критике со стороны Эйнштейна и Розена [25], как лишенные физического смысла. Действительно, в нерелятивистском случае потенциал в (7) сводится к выражению , где - гравитационный потенциал в теории гравитации Ньютона. Но тогда этот потенциал сводится к потенциалу двух точечных масс , расположенных на оси симметрии системы в точках .

Поскольку точечные массы в метрике (2) не испытываю взаимного перемещения, хотя должны притягиваться согласно теории Ньютона, автор [19] делает ошибочный вывод, что не верна теория относительности Эйнштейна. На самом же деле, как это легко видеть, у выражений (7) нет нерелятивистского предела, поскольку массы предполагаются точечными. Следовательно, всегда найдется такая малая область, что геометрия пространства-времени вокруг точечной массы, погруженной в эту область, сколь угодно сильно будет отличаться от евклидовой геометрии. Но в таком случае точечные массы не должны следовать законам Ньютона, так как эти законы не выполняются в окрестности самих масс [19].

Наконец, полагая в (12) , получим

(8)

Отметим, что выражение потенциала в форме (8) согласуется с выражением гравитационного потенциала, полученным в нерелятивистском приближении путем обработки данных для 50 галактик [26]. Потенциал не имеет аналогов в теории Ньютона. Поэтому выражения (6)-(7) и (9) представляют интерес в теории столкновения и слияния частиц, представленных сингулярностями поля в потоках Риччи с излучением гравитационных волн [10].

2. Столкновение частиц в потоках Риччи

Для моделирования изменения метрики при столкновении частиц используем потоки Риччи [11-18], которые описываются уравнением

(9)

Здесь - коэффициент диффузии, которые в стандартной теории [11-18] полагают равным , однако в метрике (2) следует положить , тогда (9) сводится к системе уравнений параболического типа:

(10)

Сравнивая (10) и (5) находим, что для установившихся потоков при условиях система (10) сводится к (5). Обоснованием для такого перехода от статической системы (5) к системе уравнений параболического типа (10) может служить теория, развитая в работах [11-18] и других, а также теория геометрической турбулентности [27-28].

Физический смысл расширения статической модели (5) до модели (10), описывающей потоки Риччи, заключается в том, что по начальным и граничным условиям можно определить к каким решениям сходится решение системы уравнений (5), содержащее особенности, например, решение Зильберштейна (7).

С точки зрения теории Эйнштейна и Инфельда [7-9], движение частиц в потоках Риччи равносильно нулевому приближению, при котором частицы движутся свободно, создавая гравитационное поле. В следующем приближении между частицами возникает сила взаимодействия, которая изменяет параметры движения и т.д. Однако для многих практически важных задач, таких как слияние черных дыр [1-3], достаточно будет знать, как изменяется метрика бинарной системы при сближении центров гравитации с заданной скоростью. Модель потоков Риччи (10) позволяет ответить на этот и другие вопросы, связанные с изменением метрики.

Гравитационные волны в потоках Риччи

Заметим, что наряду с системой уравнений (10) должны также выполняться второе и третье уравнения системы (3). Очевидно, однако, что указанные уравнения не могут выполняться на произвольных решениях системы уравнений (11). Можно предположить, что возникающая при этом невязка должна компенсироваться в силу уравнения Эйнштейна (1) некоторым тензором энергии-импульса , что интерпретируется, как энергия гравитационных волн, свободно распространяющихся за пределы системы.

Для описания процесса распространения волн используем стандартную теорию поля [24], имеем

(11)

Здесь описывают возмущение галилеевой метрики при прохождении гравитационной волны. Из уравнения (1) имеем для тензора в правой части (11) следующее соотношение

(12)

Производя вычисления с учетом уравнений (10), находим компоненты тензора Эйнштейна в метрике (2) в потоках Риччи

(13)

Используя (13) преобразуем уравнение (11) к виду удобному для численного интегрирования:

(14)

Учитывая выражения (13), распишем систему (14) покомпонентно, имеем

(15)

Здесь обозначено . Система уравнений (19) позволяет определить распределение полей в дальней зоне, где метрика (2) стремится к галилеевой метрике [24]. Однако мы будем использовать эти уравнения и непосредственно в области соударения частиц.

Система уравнений (10), (15) решалась численно в прямоугольной области .

В качестве начальных и граничных данных для системы уравнений (10) использовалось решение Зильберштейна в форме (7). Будем предполагать, что частицы движутся навстречу друг другу с постоянной скоростью вплоть до соударения.

Таким образом, для уравнения (10) поставим следующую задачу о столкновении частиц, представленных сингулярностями поля:

(16)

Здесь - скорость частиц до соударения, - граница области, отделяющая область численного интегрирования от оси системы, содержащей сингулярные точки решений Зильберштейна (7).

Система уравнений (15) распадается на четыре независимых уравнения, поэтому сформулируем начальные и граничные условия для первого из них, остальные имеют аналогичный вид,

(17)

Отметим, что условия (17) на границах области могут быть выполнены лишь приближенно при условии, что гравитационная волна, сформировавшаяся в области столкновения частиц, не выходит на границу области за время интегрирования .

На рис. 1-2 представлены результаты моделирования распространения гравитационных волн, образующихся при слиянии частиц в потоках Риччи, выполненные по (10), (15)-(17) при следующих значениях параметров:

(18)

Предполагается, что частицы после столкновения в момент времени образуют новую частицу. В последующие моменты времени из системы излучается гравитационная волна, распространяющаяся со скоростью света. Вычислительный процесс останавливается в момент времени , когда фронт основной волны еще не достиг границы области. К этому моменту формируется волновой импульс, имеющий вид резкого всплеска с последующими затухающими колебаниями - рис. 2.

Рис. 1 Распределение в различные моменты времени при образовании гравитационных волн в процессе столкновения и слиянии частиц равной массы в потоках Риччи в аксиально-симметричной метрике: параметр времени указан над рисунками

Положим . На рис. 2 приведены зависимости функции от времени в фиксированных точках . Из этих данных следует, что при увеличении расстояния до точки слияния частиц (совпадает с началом координат) в два раза, амплитуда уменьшается в два раза в направлении .

Рис. 2 Зависимости функции от времени в различных точках (координаты точек указаны над рисунками) в примере с данными (18)

На рис. 3-4 представлены результаты моделирования распространения гравитационных волн, образующихся при столкновении и слиянии частиц в потоках Риччи, выполненные по (10), (15)-(17) при следующих значениях параметров:

(19)

Данные на рис. 3-4 получены в предположении, что частицы после столкновения в момент времени образуют новую частицу. Вычислительный процесс останавливается в момент времени . Отметим, что волны возникают в силу нелинейности уравнений (10), тогда как в линейном случае при монотонных граничных условиях (16) потенциалы также должны изменяться монотонно. Природа этих волн такая же, как у волн, возникающих при слиянии черных дыр [1-3] и нейтронных звезд [6] - возмущение метрики, обусловленные слиянием двух сингулярностей поля в одну. Развитая выше теория позволяет детально исследовать влияние параметров задачи на частоту и амплитуду гравитационных волн.

Рис. 3 Распределение функции в различные моменты времени при образовании гравитационных волн в процессе столкновения и слиянии частиц равной массы в потоках Риччи в аксиально-симметричной метрике: скорость частиц в два раза меньше, чем для данных на рис. 1.

Так, при уменьшении скорости столкновения частиц в два раза характерный период колебаний увеличился в 2 раза [10] - рис. 2, 4. Влияние скорости соударения на амплитуду является различным в ближней и дальней зоне, что обусловлено длительностью формирования цуга гравитационных волн. В ближней зоне при это влияние практически отсутствует. С другой стороны, в работе [10] было установлено, что при увеличении массы частиц амплитуда колебаний потенциала увеличивается пропорционально произведению масс .

Рис. 4 Зависимости функции от времени в различных точках (координаты точек указаны над рисунками) в примере с данными (19)

Особый интерес представляют хаотические колебания, возникающие в нелинейной системе (10) и усиливаемые волновыми уравнениями (15) - рис. 5-6. Как известно, в составе сигнала события GW150914 был обнаружен шум неизвестной природы [1, 3], что в классическом случае может соответствовать задаче трех тел [29]. Однако численные эксперименты с моделью столкновения частиц в потоках Риччи позволяют обнаружить хаотическое поведение гравитационных потенциалов и в случае двух тел - рис. 7.

Рис. 5 Зависимости функции от времени в различных точках (координаты точек указаны над рисунками) в варианте решения с данными (18)

На рис. 5-6 представлены данные численного решения задачи (10), (15)-(17) с данными (18)-(19) соответственно, демонстрирующие хаотическое поведение функции , обусловленное хаотическим поведением гравитационных потенциалов - рис. 7. Из данных на рис. 5-7 следует, что хаотические колебания развиваются в узком слое, прилегающем к границе расчетной области .

Рис. 6 Зависимости функции от времени в различных точках (координаты точек указаны над рисунками) в примере с данными (19)

Рис. 7 Зависимости функции от времени в различных точках (координаты точек указаны над рисунками) в примере с данными (19)

На рис. 7 представлены результаты моделирования производной по времени гравитационного потенциала , фигурирующей в качестве источника в системе уравнений (15) в задаче о столкновении и слиянии двух тел с исходными данными (19).

Из приведенных данных следует, что вблизи границы наблюдается хаотическое поведение , чем и объясняется наличие шума в зависимости от времени в указанной области - рис 6-7.

На рис. 8 представлены данные численного решения задачи (10), (15)-(17) с данными (19), демонстрирующие хаотическое поведение функций , обусловленное хаотическим поведением гравитационных потенциалов. Из приведенных на рис. 8 данных следует, что и в этом случае хаотические колебания развиваются в слое, прилегающем к границе расчетной области .

Рис. 8 Зависимости функций от времени в различных точках (координаты точек указаны над рисунками) в варианте расчетов с данными (19)

Отметим, что амплитуда функций в области слияния частиц довольно велика - рис. 8, что указывает на неприменимость линейной теории в этой области. В этом случае необходимо использовать теорию нелинейных гравитационных волн. Однако решение этой задачи выходит за рамки настоящей работы.

Наконец, заметим, что развитая теория излучения гравитационных волн при слиянии сингулярностей в потоках Риччи может оказаться полезной в решении задач астрофизики, связанных с интерпретацией экспериментальных данных [1-3].

Библиографический список

1. Abbott B.P. et al. Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger// Phys. Rev. Let., PRL 116, 061102, 12 Feb., 2016.

2. Abbott B.P. et al. Properties of the binary black hole merger GW150914/The LIGO Scientific Collaboration and The Virgo Collaboration, 11 Feb 2016; arXiv:1602.03840.

3. Abbott B.P. et al. The basic physics of the binary black hole merger GW150914/The LIGO Scientific Collaboration and The Virgo Collaboration, Aug 5 2016; arXiv:1608.01940.

4. Baumgarte T., Shapiro S. Numerical Relativity: Solving Einstein's Equations on the Computer. - Cambridge University Press, 2010.

5. Zilhao M. Loffler F. An Introduction to the Einstein Toolkit// arXiv:1305.5299v2, 2 Jun 2013.

6. Maione F., De Pietri R., Loffler F. Binary neutron star merger simulations with different initial orbital frequency and equation of state// arXiv: 1605.03424v1, 11 may 2016.

7. Schwarzschild K. Uber das Gravitations-feld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie// Sitzungsberichte der KЁoniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Phys.-Math. Klasse, 189-196 (1916); On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein's Theory//arXiv: physics/9905030v1 [physics.hist-ph] 12 May 1999.

8. Einstein A., Infeld L., Hoffmann B. Gravitational Equations and Problems of Motion//Ann. Math., 39, 65-100, 1938.

9. Einstein A., Infeld L. Gravitational Equations and Problems of Motion II//Ann. Math., 41, 455-564, 1940; Einstein A., Infeld L. On the Motion of Particles in General Relativity Theory// Canad. J. Math., 1, 209--241, 1949.

10. Трунев А.П. Столкновение частиц в потоках Риччи/ А.П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2016. - №07(121).

11. Hamilton R.S. Three manifolds with positive Ricci curvature// Jour. Diff. Geom. 17, 255-306, 1982.

12. Hamilton R.S. Four manifolds with positive curvature operator. Jour. Diff. Geom. 24, 153-179, 1986.

13. Hamilton R.S. The Ricci flow on surfaces// Contemp. Math. 71, 237-261, 1988.

14. Hamilton R.S. The Harnack estimate for the Ricci flow// Jour. Diff. Geom. 37, 225-243, 1993.

15. Hamilton R.S. A compactness property for solutions of the Ricci flow// Amer. Jour. Math. 117, 545-572, 1995.

16. Perelman G. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications// arXiv:math/0211159, 11 Nov 2002.

17. Perelman G. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds//arXiv:math/0307245, 17 Jul 2003.

18. Perelman G. Ricci flow with surgery on three-manifolds//arXiv:math/0303109, 10 Mar 2003.

19. Silberstein L. Two-Centers Solution of the Gravitational Field Equations, and the Need for a Reformed Theory of Matter//Phys. Rev. 49, 268, 1936.

20. Трунев А.П. Динамика релятивистских частиц в метрике галактик / А.П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2016. - №02(116). С. 1619 - 1641. - IDA [article ID]: 1161602101. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2016/02/pdf/101.pdf.

21. Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herltet. Exact Solutions to Einstein's Field Equations. Second Edition. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7, 2003.

22. Synge J.L. Relativity: the General Theory. - Amsterdam, 1960.

23. Petrov A.Z. New methods in general relativity. - Moscow: Nauka, 1966.

24. Landau L.D., Lifshitz E.M. The Classical Theory of Fields. Vol. 2 (3rd ed.). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-016019-1, 1971.

25. Einstein A., Rosen N. Two-Body Problem in General Relativity Theory//Phys. Rev. 49, 404 - Published 1 March 1936.

26. Трунев А.П. Геометрическая турбулентность / А.П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2014. - №05(099). С. 1003 - 1023. - IDA [article ID]: 0991405069. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2014/05/pdf/69.pdf

27. Трунев А.П. Геометрическая турбулентность и квантовая теория. - Palmarium Academic Publishing, ISBN 978-3-639-72485-1, 2015, 232 с.

28. Трунев А.П. Общая теория относительности и метрика галактик / А.П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2013. - №10(094). С. 360 - 384. - IDA [article ID]: 0941310027. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2013/10/pdf/27.pdf

29. Fiziev P.P. On gravitational waves from classical three body problem// arXiv:1609.02604v2, 15 Sep 2016.

Размещено на Allbest.ru