Моделирование турбулентного течения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Течения проводящей жидкости во вращающемся магнитном поле исследовались в работах [1-10] и других. Экспериментально было обнаружено, что в случае течения в цилиндре при отношении высоты цилиндра к диаметру 1:1 потеря устойчивости течения происходит при значении магнитного числа Тейлора [4]. Для прямоугольной полости аналогичное число составляет [10]. При увеличении магнитного числа Тейлора, в области наблюдаются крупномасштабные нестационарные явления, которые обусловлены турбулентностью [2-10]. В связи с большим прикладным значением турбулентных МГД течений проводящей жидкости в металлургии, электрохимии и в процессах роста кристаллов [11] были развиты численные модели [6-10]. магнитный гидродинамика турбулентный течение

Отметим, что в численных моделях вихревого МГД течения во вращающемся магнитном поле [6, 10] используется нестационарное уравнение Навье-Стокса, в котором сила, обусловленная действием магнитного поля, усредняется по времени в соответствии с гипотезой [3]. Кроме того, используется калибровка для векторного потенциала , но при этом считается, что электростатический потенциал вносит свой вклад в процесс генерации замкнутых токов в проводящей жидкости. Такой подход представляется несколько противоречивым, поэтому мы сформулировали нестационарную модель, основанную на методе регуляризации уравнения Навье-Стокса для турбулентных течений [12].

В работе [12] рассмотрено общее соотношение для плотности, скорости и давления в турбулентных потоках, которое позволяет осуществить регуляризацию системы уравнений Навье-Стокса при числе Маха для решения задач с быстро изменяющимися динамическими параметрами.

Заметим, что вопрос о единственности и гладкости решений уравнений Навье-Стокса был сформулирован в виде шестой проблемы тысячелетия [13-14]. Для этой проблемы имеются, как математические доказательства существования и единственности решения задачи с периодическими граничными условиями [15-16], так и доказательства потери единственности решений при взрывной неустойчивости за конечное время [17].

В работе [19] развита численная модель турбулентного течения в полости в форме прямоугольника или прямоугольного параллелепипеда при ускорении внешнего потока. Установлено, что в этом случае в полости формируется вихревое течение, которое характеризуется не затухающим со временем интегралом энергии.

В настоящей работе мы использовали численную модель турбулентного течения в прямоугольной полости [19] для моделирования течений проводящей жидкости во вращающемся магнитном поле. При моделировании объемной силы электромагнитного происхождения используется стандартное предположение [1-10] о малости индуцированных магнитных полей в сравнении с внешним полем. Полученные результаты по средним параметрам течения согласуются с экспериментальными данными [10].

Динамическая модель электромагнитного поля в полости

Рассмотрим контейнер прямоугольной формы, наполненный электропроводной жидкостью с плотностью и проводимостью , помещенный во внешнее магнитное поле, вращающееся с угловой частотой . Будем предполагать, что в декартовой системе координат магнитное поле вращается вокруг оси OY, нормальной к двум сторонам контейнера - рис 1. Для описания электромагнитного поля в полости и в стенках контейнера следует в уравнениях динамики электромагнитного поля учесть токи, наведенные в проводящей жидкости и в стенках.

Необходимо различать случаи, когда стенки контейнера являются изоляторами, проводниками или некоторой их комбинацией. В настоящей работе мы рассмотрим случай непроводящих стенок, что соответствует условиям, при которых были получены данные [10]. Считая, что в объеме жидкости выполняется закон Ома, , находим систему уравнений, описывающих вектор индукции магнитного поля , векторный потенциал и электрическое поле

(1)

Первое уравнение (1) является стандартным и используется в работах [3-10] и других. Оно означает, что скалярный потенциал не зависит от времени, поэтому можно положить его равным нулю во всем объеме полости. Однако, например, в работах [6, 10] скалярный потенциал используется для моделирования среднего значения силы. При этом предполагается, что нормальная компонента среднего значения тока на стенках полости равна нулю, а в объеме полости

(2)

В этой связи заметим, что уравнение (2) выполняется и для мгновенного значения тока в силу закона Ома, первого и второго уравнений (1). Действительно, имеем

(3)

Поскольку предполагается, что стенки полости являются изоляторами, имеем , т.е. ток равен нулю в стенках полости независимо от величины электрического поля. Поэтому можно положить скалярный потенциал равным нулю во всем объеме полости. Таким образом, единственным граничным условием для векторного потенциала является заданное внешнее переменное магнитное поле, которое индуцирует электрическое поле и токи в объеме полости.

Заметим, что в магнитной гидродинамике используется выражение электрического поля в подвижном проводнике [20]

(4)

Как известно, именно второе слагаемое в правой части (4) служит источником электростатического потенциала [20]. Однако в обсуждаемом случае течения проводящей жидкости во вращающемся магнитном поле второе слагаемое в правой части (4) можно опустить в силу малости магнитного числа Рейнольдса , где - характерная скорость и масштаб течения соответственно [1-10]. Ниже в расчетах мы использовали следующие выражения, описывающие вектор индукции магнитного поля и векторный потенциал во внешней области:

(5)

Отметим, что выражения (5) удовлетворяют в объеме течения уравнениям . Однако последнее уравнение (1) не выполняется для выражения векторного потенциала (5). Относительно этого уравнения заметим, что первое слагаемое можно опустить, так как в обсуждаемой задаче в области низких частот это выражение имеет порядок .

В оставшемся уравнении положим , где - основное и вторичное поле соответственно.

В результате это уравнение принимает вид неоднородного уравнения параболического типа с нулевыми начальными и граничными условиями:

(6)

Здесь - координаты поверхности, ограничивающей объем течения. Система уравнений (6) может быть решена численно - рис. 2. В качестве параметров жидкости и внешнего поля были использованы данные [10]. Наведенное электрическое поле по амплитуде составляет не более 10% от основного поля в средней области течения и не более 1% в области максимальной скорости потока.

Отметим, также, что для данных типа (5) может быть получено решение задачи (6) в виде рядов Фурье. Соответствующие выражения опубликованы в различных руководствах и здесь не приводятся.

Модель турбулентного течения

В работах [12, 19, 21-27] мы рассмотрели некоторые вопросы моделирования турбулентных течений. Основные результаты, касающиеся неизотермических потоков над шероховатой поверхностью с учетом силы плавучести, были получены в наших работах [21-27] и других.

Рассмотрим систему уравнений, описывающую течение несжимаемой жидкости с учетом объемных сил электромагнитного происхождения

(7)

Здесь обозначено: - вектор скорость потока; - кинематическая вязкость; - давление; - плотность среды, - вектор объемной силы, обусловленной взаимодействием наведенных токов с магнитным полем, .

Методы прямого численного моделирования турбулентных течений (DNS) опираются непосредственно на систему уравнений (7). При этом для вычисления профиля скорости часто используется приближенный метод Галеркина или метод моментов, а также метод Ритца и другие приближенные методы [13-18]. Теорема существования и единственности [13-17] касается именно приближенного, а не точного решения.

Но даже при наличии приближенного метода решения прямое численное моделирование турбулентности не всегда приводит к желаемому результату, так как система уравнений (7), сформулированная для несжимаемых течений, содержит в себе противоречие. Действительно, при выводе этой системы уравнений предполагается, что плотность среды не меняется, а это, в свою очередь, означает малость числа Маха потока [28]

(8)

Здесь - скорость звука. Однако, на таких решениях, которые описаны в работе [17], условие (8) может нарушаться, что приводит к необходимости учета сжимаемости среды. При этом желательно, чтобы тип системы уравнений (7) не изменился при всех ее модификациях. Известно множество способов регуляризации системы уравнений (7), как по давлению, так и по градиенту скорости [12-19].

Рассмотрим следующий подход к учету сжимаемости без изменения типа системы уравнений (7). Запишем уравнение неразрывности для сжимаемой среды в форме

(9)

Оценка правой части уравнения (9) имеет порядок , где - характерная частота пульсаций давления. При выполнении условия (8) и для умеренных частот правую часть можно устремить к нулю, в результате приходим к первому уравнению (7). Однако для больших частот колебаний параметров потока, характерных для турбулентных режимов, условия (8) может оказаться недостаточно для того, что бы положить нулю правую часть уравнения (9). Область таких частот определяется неравенством .

Следовательно, турбулентная среда не может считаться несжимаемой даже при малых числах Маха. Для такой среды необходимо сформулировать такое уравнение состояния, которое отражало бы связь параметров в турбулентном потоке. Рассмотрим функционал

(10)

Функционал (10) обладает следующими свойствами

(11)

Таким образом, используя функционал (10) можно описать мгновенное и среднее значение давления в турбулентном потоке. Вычисляя производную по времени от обеих частей выражения (10), находим

(12)

Положим в правой части (12) , а соответствующий этому времени функционал (10) обозначим . Теперь мы можем сформулировать необходимый критерий регуляризации в виде

(13)

Здесь - некоторые параметры, которые могут быть определены для потока в целом. В результате применения (13) к уравнению (10), находим

(14)

Где обозначено - параметр, характеризующий вязкость в турбулентном потоке. Используя уравнение (14), можно переформулировать модель Навье-Стокса (7) в виде, удобном для численного интегрирования. Для этого запишем второе уравнение (7) в форме

(15)

Здесь . Вычислим дивергенцию от обеих частей уравнения (15), тогда, используя (14) с постоянными параметрами получим

(16)

Здесь по повторяющимся индексам осуществляется суммирование, - параметр турбулентной диффузии поля давления, - динамическая вязкость. Наконец, мы можем записать систему уравнений (7) в форме системы уравнений параболического типа [12, 19]:

(17)

Отметим, что параметры турбулентной диффузии и вязкости возникают в системе (17) в силу уравнения (14). Параметр турбулентной диффузии в модели (17) имеет ясный физический смысл, как и происхождение напряжений Рейнольдса. Система уравнений (17) может быть использована для моделирования неустановившихся турбулентных течений [12, 19].

Другой вариант преобразованной системы уравнений Навье-Стокса может быть получен путем прямой подстановки выражения давления (14) в уравнение (15), имеем

(18)

Здесь параметры , следует считать заданными функциями координат и времени. Отметим, что в модели (18) турбулентность проявляется через механизм второй или объемной вязкости, а не через сдвиговые напряжения, как в стандартных моделях турбулентности, включая нашу модель [21-27].

Уравнение (18) было использовано в работе [19] для моделирования турбулентного течения в прямоугольной полости при ускорении внешнего потока. В настоящей работе мы используем численную модель [19] для моделирования турбулентного течения проводящей жидкости в прямоугольной полости во вращающемся магнитном поле [6, 10].

Численная модель 2D течения в прямоугольной полости

Рассмотрим двумерное нестационарное течение проводящей жидкости в прямоугольной полости с непроводящими стенками при наличии объемной силы, обусловленной внешним вращающимся магнитным полем. Запишем уравнение (18) для этого случая в форме

(19)

Здесь мы полагаем все функции зависящими от времени и двух координат . Сформулируем задачу о течении в прямоугольной полости при заданных граничных условиях на стенках полости:

(20)

Ниже в расчетах мы использовали следующие выражения, описывающие вектор индукции магнитного поля , векторный потенциал, электрическое поле , индуцированный ток и объемную силу взаимодействия проводящей жидкости с магнитным полем:

(21)

Такого типа решение электродинамической части задачи (6) может быть получено в том случае, когда параметры системы удовлетворяют условию . В этом случае система параболических уравнений (6) вырождается в уравнение Пуассона, решением которого является векторный потенциал во внешней области, что совпадает с (21). Отметим, что выражения (21) удовлетворяют в объеме течения уравнениям .

Интересно, что для данных [10] соответствующий параметр составляет , т.е. требование его малости не выполняется. Тем не менее, свидетельствуют, что вторичное электрическое поле мало в сравнении с основным полем, даваемым выражением (21), поэтому им можно пренебречь.

В результате система уравнений (19) принимает вид:

(22)

Число Рейнольдса задачи (19)-(21) определяется в процессе решения. Для этого система уравнений (19) приводится к безразмерному виду с использованием масштабов длины, скорости и времени .

Здесь параметр выражается через магнитное число Тейлора в виде

. (23)

Давление в полости определяется из уравнения (14), имеем

(24)

Представлены данные моделирования течения в прямоугольной полости с отношением сторон , с числом Рейнольдса и с параметрами . Заметим, что в нормированных координатах мы сместили центр полости в точку . Из приведенных данных следует, что в полости формируется нестационарное вихревое течение, качественная картина которого согласуется с данными [10].

Из приведенных на рис 3 данных следует, что максимальная амплитуда скорости превосходит 0.8. Представлено распределение модуля скорости потока и профили скорости в сечениях в моменты времени . Отметим, что максимальная амплитуда скорости для каждого профиля монотонно возрастает со временем.

Увеличивая число Рейнольдса в 5 раза, находим турбулентный режим, в котором компоненты скорости испытывают колебания в пространстве и во времени.

Из приведенных данных следует, что переход к турбулентности осуществляется в некоторый момент времени, когда амплитуда скорости достигнет определенного значения. Такого типа неустойчивость является свойством решений в модели (22) и ранее была обнаружена при обтекании крыла с ускорением потока [12], а также для турбулентного течения в прямоугольной полости, взаимодействующего с внешним потоком [19].

Интересной особенностью модели (22) является то, что она описывает как устойчивый режим течения - рис. 3-4, так и неустойчивый режим - рис. 5-6. Вообще говоря, течение с периодически изменяющейся объемной силой не может быть стационарным в обсуждаемой области параметров. Поэтому модели типа [6-10], в которых используется среднее значение силы электромагнитного происхождения, могут служить лишь для качественного описания явлений. Тем не менее, в работе [10] было получено удовлетворительное согласие расчетных профилей течения с экспериментальными данными, что, видимо, объясняется слабой чувствительностью модели трехмерного вязкого течения к изменению характера действующей силы при усреднении параметров течения по времени [17].

Численная модель турбулентного 3D течения в полости

Рассмотрим трехмерное нестационарное течение проводящей жидкости во вращающемся магнитном поле в прямоугольной полости. Используя масштабы длины, скорости и времени , запишем уравнение (18) для этого случая в безразмерно форме

(25)

Здесь мы полагаем все функции зависящими от времени и трех координат: . Сформулируем задачу о течении в области при заданной внешней силе (21) и с условиями прилипания на твердой поверхности:

(26)

Представлены данные моделирования течения в прямоугольной полости с отношением сторон , с числом Рейнольдса и с параметрами . Центр полости находится в точке .

Из приведенных данных следует, что к моменту времени в полости формируется нестационарное вихревое течение, качественная картина которого согласуется с данными [10] и с данными полученными выше по модели (22) - рис.3. Однако в момент времени основной вихрь начинает разрушаться по всему объему течения. К моменту времени вихрь распадается на множество мелких вихрей.

Рассмотрим конкретный дизайн экспериментальной установки [10], имеем:

.

Предположим, что турбулентная вязкость превосходит молекулярную вязкость в тысячу раз, . Следовательно, масштабы длины, скорости и времени составляют

.

Отметим, что масштаб скорости практически совпадает с максимальной величиной скорости при значении магнитного числа Тейлора по данным [10]. В этих единицах безразмерная частота и число Рейнольдса составят . Следовательно, частоты колебаний в наших примерах и по данным [10] отличаются в 670.042 раз. Согласно (23) мы должны положить , чтобы согласовать модели (22), (25) и [10] по амплитуде воздействия внешней силы. При этих значениях параметров, как в модели (22), так и в модели (25), формируется устойчивое течение в полном соответствии с данными [10].

Для нахождения неустойчивого течения в модели (25) положим турбулентную вязкость , при сохранении частоты колебаний магнитного поля, тогда имеем .

Отметим, что время развития неустойчивости в безразмерных единицах практически совпадает для двух случаев, хотя параметры частоты различаются почти на три порядка. Этот тип крупномасштабной неустойчивости связан с развитием вторичного течения в форме вихрей, которые буквально взрывают основное течение. Как известно, в аналогичном течении в цилиндре основной тип неустойчивости связан с развитием вихрей Тейлора-Гёртлера [8], однако эти вихри не были обнаружены в течениях металла во вращающемся магнитном поле в прямоугольной полости [10].

Наконец, заметим, что развитые модели турбулентных течений могут быть использованы в моделировании МГД течений в технических приложениях в электрохимии, в металлургии и установках по выращиванию кристаллов [11].

Библиографический список

1. Moffatt H.K. On fluid flow induced by a rotating magnetic field// J. Fluid Mech., 22, 3, pp. 521-528, 1965.

2. Robinson T. An experimental investigation of a magnetically driven rotating liquid-metal flow//J. Fluid Mech., 60, 4, pp. 641-664, 1973.

3. Davidson P.A., Hunt J.C.R. Swirling recirculating flow in liquid-metal column generated by a rotating magnetic field//J. Fluid Mech., 185, p. 67-106, 1987.

4. Davidson P. Swirling flow in an axisymmetric cavity of arbitrary profile, driven by a rotating magnetic field//J. Fluid Mech., 254, p. 653-663, 1992.

5. Grants I., Gerbeth G. Stability of axially symmetric flow driven by a rotating magnetic field in a cylindrical cavity// Journal of Fluid Mech., vol . 431, 1, p. 407-426, 2001.

6. Stiller J., Frana K. Transitional and weakly turbulent flow in a rotating magnetic field// Physics of Fluids, 18, 074105, 2006.

7. Stiller J., Frana K. A numerical study of flows driven by a rotating magnetic field in a square container// European J. Mechanics B/Fluids, 27, pp. 491-500, 2008.

8. Vogt T., et al. On the formation of Taylor-Gortler vortices in RMF-driven spin-up flow// Exp. Fluids, 52, pp. 1-10, 2012.

9. Travnicov V., et al. Flow oscillation driven by a rotating magnetic field in liquid metal columns with an upper free surface// J. Crystal Grows, 339, pp. 52-60, 2012.

10. Galindo V., et al. Rotating magnetic field driven spin-up flow in a rectangular cavity//arXiv:1612.011740v1, 6 Dec 2016.

11. Gerbeth G., Eckert K., Odenbach S. Electromagnetic flow control in metallurgy, crystal growth and electrochemistry// The European Physical J. Special Topics, 220, 1, 2013.

12. Трунев А.П. Физические механизмы турбулентной вязкости и моделирование турбулентности на основе уравнений Навье-Стокса// Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2016. - №04(118). С. 1469 - 1487. - IDA [article ID]: 1181604096. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2016/04/pdf/96.pdf

13. Ладыженская О.А. Шестая проблема тысячелетия: уравнения Навье-Стокса, существование и гладкость// УМН, -2003., - Т. 58, - №2 (350), - С. 45-78.

14. Fefferman C. L. Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation. The millennium prize problems/ Clay Math. Inst., Cambridge, MA, 2006, pp. 57-67.

15. Отелбаев М. Существование сильного решения уравнения Навье-Стокса// Математический журнал, Том 13, №4 (50), 2013.

16. Давлатов Ш.О. Существование единственного гладкого решения уравнения Навъе-Стокса//arXiv:1603.09665 (math.GM)

17. Terence Tao. Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation// arXiv:1402.0290v3 [math.AP] 1 Apr 2015.

18. Teman R. Some developments on Navier-Stokes equations in the second half of the 20^th century/ Development of Mathematics 1950-2000, Birkhauser, Basel, 2000, 1049-1106.

19. Трунев А.П. Моделирование турбулентного течения в полости на основе уравнений Навье-Стокса / А.П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2016. - №05(119). С. 1111 - 1133. - IDA [article ID]: 1191605079. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2016/05/pdf/79.pdf

20. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. - М., Наука, 1982.

21. Trunev A. P. Diffuse processed in turbulent boundary layer over rough surface/ Air Pollution III, Vol.1. Theory and Simulation, eds. H. Power, N. Moussiopoulos & C.A. Brebbia, Comp. Mech. Publ., Southampton, pp. 69-76, 1995.

22. Trunev A. P. Similarity theory and model of turbulent dusty gas flow over large-scale roughness/ Int. Conf. On Urban Air Quality: Monitoring and Modelling, University of Hertfordshire, Institute of Physics, London, p. 3.8, 1996.

23. Trunev A. P. Similarity theory for turbulent flow over natural rough surface in pressure and temperature gradients/ Air Pollution IV. Monitoring, Simulation and Control, eds. B. Caussade, H. Power & C.A. Brebbia, Comp. Mech. Pub., Southampton, pp. 275-286, 1996.

24. Trunev A. P., Similarity theory and model of diffusion in turbulent atmosphere at large scales, Air Pollution V. Modelling, Monitoring and Management, eds. H. Power, T. Tirabassi & C.A. Brebbia, CMP, Southampton-Boston, pp. 109-118, 1997.

25. Трунев А.П. Теория турбулентности и моделирование диффузии примесей в приземном слое атмосферы. - РАН, Sochi, 160 p., 1999.

26. Трунев А.П. Теория турбулентности и моделирование турбулентного переноса в атмосфере. // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2010. - №05(059). С. 179 - 243; №06(060). С. 412 - 491.

27. Трунев А.П. Теория турбулентности и модель влияния плотности шероховатости // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2010. - №04(058). С. 348 - 382.

Размещено на Allbest.ru