Моделирование гексагонального турбулентного течения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Существует несколько объяснений структуры течения на северном полюсе Сатурна - возможная связь явления с магнитным полем [1], волновая теория [2], гипотеза нелинейного равновесия неустойчивой баротропной струи, подтвержденная лабораторными экспериментами [3], численная модель эволюции гауссовой струи в стратифицированной атмосфере [4]. В теории [2] предполагается, что существует дифференциальное вращение, обусловленное наличием антициклона во внешней области гексагонального течения, которое, таким образом, представляет собой стационарные волны Россби. Основным недостатком модели [3] является ее верификация в узкой области параметров, далеких от наблюдаемых величин. В модели [4] используется гипотеза о динамическом равновесии при заданной начальной скорости струи, практически совпадающей с наблюдаемой скоростью 100-120 км/с [4-5]. Кроме того, не учитывается турбулентность течения, которая может значительно повлиять на динамику струи.

В работах [6-11] мы рассмотрели некоторые вопросы моделирования турбулентных течений. Основные результаты, касающиеся неизотермических потоков в планетарном пограничном слое с учетом градиента давления, ускорения потока, силы плавучести и силы Кориолиса, были получены в наших работах [6-8] и других.

В настоящей работе предложена модель и рассматриваются численные решения уравнений, описывающих турбулентное течение в планетарном пограничном слое вокруг северного полюса Сатурна. Показано, что малое нарушение осевой симметрии в сдвиговом геострофическом течении приводит к развитию гексагональных паттернов в турбулентном пограничном слое. Кроме того, под влиянием градиента турбулентной вязкости и силы Кориолиса в пограничном слое образуется струя, прижатая к нижней границе слоя.

В настоящее время на северном полюсе Сатурна в районе 75^oN (PC) широты (78^oN PG), наблюдается крупномасштабное гексагональное течение, с характерными масштабами скорости и длины - 120 м/с и 14500 км соответственно. Это течение, наблюдаемое уже более 35 лет, является предметом многочисленных экспериментальных и теоретических исследований [1-5].

Эти результаты использованы для моделирования наблюдаемого гексагонального течения на северном полюсе Сатурна. Предполагается, что геострофическое течение с амплитудой скорости порядка 10 м/с, описывается функции тока в виде суммы нулевой и шестой гармоник. Это приводит к возбуждению течения на верхней границе планетарного пограничного слоя. Установлено, что такого рода возбуждение усиливается в пограничном слое и достигает максимума порядка 180 м/с в струе, прижатой к нижней границе. Эта струя, циркулирующая по шестиугольнику, совпадает с областью возникновения облачного покрова, который регистрируется в экспериментах. Указанный механизм возбуждения гексагонального течения на северном полюсе Сатурна подтвержден численными расчетами трехмерного нестационарного планетарного пограничного слоя.

Уравнения Навье-Стокса и проблема моделирования турбулентных течений в планетарном пограничном слое

Рассмотрим систему уравнений, описывающую неизотермическое атмосферное течение несжимаемого газа с учетом силы плавучести и силы Кориолиса, имеем [7-10]

(1)

Здесь обозначено: - вектор скорость потока; - вектор угловой скорости вращения планеты; - плотность; - кинематическая вязкость; - давление за вычетом гидростатического атмосферного давления; - вектор ускорения свободного падения; - равновесная плотность; - температура, - число Прандтля; массовая концентрация примеси; - число Шмидта; - коэффициент молекулярной диффузии. турбулентный течение планетарный осевой

Гидростатическое уравнение и стандартное приближение Буссенеска для возмущений плотности заданы в виде

(2)

Здесь - коэффициент расширения, для идеального газа.

Определим систему декартовых координат таким образом, что бы ось была направлена против направления вектора ускорения свободного падения. Рельеф обтекаемой поверхности описывается уравнением . Граничные условия для параметров течения зададим на обтекаемой поверхности и на границе пограничного слоя следующим образом:

(3)

Здесь - температура подстилающей поверхности, - концентрация примеси на поверхности, - высота пограничного слоя, - скорость течения на высоте , - температура и концентрация примеси на высоте соответственно.

По координатам зададим периодические граничные условия. Считаем, что в начальный момент скорость течения, температура и концентрация примеси описываются линейными функциями, имеем

(4)

Решения задачи (1)-(4) для различных турбулентных течений были получены в наших работах [6-9] и других. Практически при любой функции распределения шероховатости течение довольно быстро переходит в турбулентный режим с установлением логарифмического профиля скорости, температуры и концентрации примеси

Обратимся к методу решения проблемы турбулентной диффузии, который был предложен в наших работах [6-11]. Основная идея заключается во введении в уравнения (1) случайных параметров. Например, в пограничном слое можно представить вектор скорости течения в форме , - это поверхность, описывающая динамическую шероховатость.

Такую поверхность можно характеризовать случайными параметрами , которые имеют смысл высоты, скорости движения элемента и наклонов поверхности. Обозначим функцию распределения этих параметров .

Предположим, что и рассмотрим достаточно представительную область течения объемом , - типичные масштабы течения в направлениях x, y соответственно. Рассмотрим подобласть течения , которая принадлежит рассматриваемой области течения , и в которой случайные параметры изменяются в интервалах ,,,.

В общем случае подобласть является многосвязной областью, объем которой задается уравнением .

Случайная амплитуда скорости может быть определена путем суммирования выражения в объеме :

(5)

Здесь - произвольный объем, вложенный в и содержащий . Статистический момент порядка случайной функции определяется следующим образом

(6)

В результате применения указанных преобразований система уравнений (1) принимает вид [7-9]:

(7)

,, .

Отметим, что фигурирующая в уравнениях (7) турбулентная вязкость пропорциональна квадрату расстояния до шероховатой стенки. Система уравнений (7) имеет установившееся решение в форме логарифмического профиля, как для скорости, так и для температуры и концентрации [8-9].

Модель (7) тестировалась в случае неизотермических течений над шероховатой поверхностью в градиентах давления и с учетом сил плавучести и силы Кориолиса. Некоторые результаты приведены на рис. 1, А, В, С - сплошные линии вместе с данными экспериментов [12-15].

Анализ системы уравнений (7) показывает, что уравнение неразрывности в турбулентном потоке принимает вид как для сжимаемой среды, хотя в исходной системе уравнений Навье-Стокса (1) предполагается течение несжимаемого газа. Условие означает, что существует ограничение на число Маха потока [16]

(8)

Здесь - скорость звука. Однако, на таких решениях, которые описаны в работах [10-11, 17], условие (8) может нарушаться, что приводит к необходимости учета сжимаемости среды. При этом желательно, чтобы тип системы уравнений (1) не изменился при всех ее модификациях. Известно множество способов регуляризации системы уравнений (1), как по давлению, так и по градиенту скорости [17-20].

Рассмотрим подход [10-11] к учету сжимаемости без изменения типа системы уравнений (1). Запишем уравнение неразрывности для сжимаемой среды в форме

(9)

Оценка правой части уравнения (9) имеет порядок , где - характерная частота пульсаций давления. При выполнении условия (8) и для умеренных частот правую часть можно устремить к нулю, в результате приходим к первому уравнению (1). Однако для больших частот колебаний параметров потока, характерных для турбулентных режимов, условия (8) может оказаться недостаточно для того, что бы положить нулю правую часть уравнения (9). Область таких частот определяется неравенством .

Следовательно, турбулентная среда не может считаться несжимаемой даже при малых числах Маха. Для такой среды необходимо сформулировать такое уравнение состояния, которое отражало бы связь параметров в турбулентном потоке. Рассмотрим функционал

(10)

Функционал (10) обладает следующими свойствами

(11)

Таким образом, используя функционал (10) можно описать мгновенное и среднее значение давления в турбулентном потоке. Вычисляя производную по времени от обеих частей выражения (10), находим

(12)

Положим в правой части (12) , а соответствующий этому времени функционал (10) обозначим . Теперь мы можем сформулировать необходимый критерий регуляризации в виде

(13)

Здесь - некоторые параметры, которые могут быть определены для потока в целом. В результате применения (13) к уравнению (10), находим

(14)

Где обозначено - параметр, характеризующий вязкость в турбулентном потоке. Используя уравнение (14), можно переформулировать модель Навье-Стокса (1) в виде, удобном для численного интегрирования. Для этого запишем второе уравнение (1) в общей форме

(15)

Здесь - вектор объемных сил. Вычислим дивергенцию от обеих частей уравнения (15), тогда, используя (14) с постоянными параметрами получим

(16)

Здесь по повторяющимся индексам осуществляется суммирование, - параметр турбулентной диффузии поля давления, - динамическая вязкость. Таким образом, мы можем записать уравнения Навье-Стокса (1) в виде системы уравнений параболического типа:

(17)

Отметим, что параметры турбулентной диффузии и вязкости возникают в системе (17) в силу уравнения (14). Система уравнений (17) может быть использована для моделирования неустановившихся турбулентных течений [10-11].

Другой вариант преобразованной системы уравнений Навье-Стокса может быть получен путем прямой подстановки выражения давления (14) в уравнение (15), имеем

(18)

Здесь параметры , следует считать заданными функциями координат и времени. Отметим, что в модели (18) турбулентность проявляется через механизм второй или объемной вязкости, а не через сдвиговые напряжения, как в стандартных моделях турбулентности, включая модель [6-8].

В случае атмосферных течений можно объединить модели (7) и (17) в одну модель, имеем:

(19)

Здесь - тензор Леви-Чивита, - параметр шероховатости подстилающей поверхности, - статическое распределение давления по высоте атмосферы. Таким образом, используя модели турбулентности (7) и (17), мы исключили уравнение неразрывности. В случае несжимаемого течения плотность выпадает из первого уравнения (19). Тем самым достигается регуляризация системы уравнений Навье-Стокса в случае турбулентных течений в планетарном пограничном слое.

Численная модель планетарного пограничного слоя

Система уравнений (19-20) решалась численно методом установления в прямоугольной области . Результаты расчетов. Все величины в уравнениях (19) приводились к безразмерному виду. В качестве масштаба скорости используется произведение , где - выбранный нами масштаб моделирования, который охватывает струю гексагонального течения и некоторую часть внешнего течения, - угловая скорость вращения Сатурна в северных широтах [5].

Для обеспечения необходимых свойств формирования гексагональной струи, система уравнений (19) замещалась системой:

(20)

Здесь - параметры. В качестве начальных данных использовались нулевые данные:

(21)

В качестве граничных условий на нижней границе использовались нулевые граничные условия (21), а на верхней границе и на боковых стенках использовалось точное решение для плоского геострофического течения

(22)

Здесь , параметры модели подбираются из условия согласования с экспериментальными данными, - время установления, которое везде ниже принято за единицу, .

В области взаимодействия геострофического течения с турбулентным пограничным слоем в качестве граничных условий на верхней границе и на боковых стенках использовался модельный профиль, описывающий сдвиговое течение:

(23)

Параметры завихренности и угловая скорость вращения Сатурна составляют по данным [5]

(24)

Задавая параметры модели и профиля (24) можно получить гексагональные паттерны в турбулентном пограничном слое. Это пример интересен тем, что гексагональное течение развивается из слабодеформированного течения с осевой симметрией, как предполагается в модели [2]. Отметим, что данные получены при следующих значениях параметров

(25)

Анализируя полученные результаты можно предположить, что гексагональные паттерны развиваются при взаимодействии геострофического течения с планетарным пограничным слоем. Далее будем моделировать геострофическое течение согласно (22), как комбинацию нулевой и шестой гармоник с параметрами

(26)

Отметим, что параметры (26) оптимизированы с существующим в северных широтах Сатурна профилем течения [5]. Для оптимизации профиля вместо функции Бесселя в выражении (22) использовалась функция . Для дальнейшей же оптимизации требуется добавление гармоник с другими волновыми числами. Полученные ниже результаты носят качественный характер, хотя вычисленные значения скорости в струе согласуются с экспериментальными данными [4-5].

Приведены данные моделирования гексагонального течения в планетарном пограничном слое по модели (20)-(22) с данными (26) представлены изолинии азимутальной компоненты скорости и линии тока гексагонального течения на верхней границе пограничного слоя. Максимальная скорость в этой области течения 18 м/сек. Отметим, что толщина слоя, в котором развивается струя, значительно меньше, чем толщина всего пограничного слоя - 0.006 и 0.033 соответственно.

При распространении вглубь пограничного слоя скорость течения возрастает и достигает максимального значения около 180 м/с -Этот эффект не является неожиданным, так как он наблюдается и в земной атмосфере - рис. 1,С. Однако в атмосфере Сатурна, которая простирается на значительно большую глубину, это эффект является более заметным. Так, для параметров (25)-(26) скорость течения возрастает на порядок, что объясняется значительным изменением параметров турбулентного переноса по высоте слоя.

Представлены профили компонентов горизонтальной скорости по высоте пограничного слоя. Из этих данных следует, что максимум скорости в струе достигается при .

Из приведенных данных следует, что струя формируется между верхней и нижней границей, на которой скорость течения во вращающейся системе координат обращается в ноль представлены данные по распределению модуля скорости течения в пограничном слое. Мы предполагаем, что наблюдаемое гексагональное течение визуально фиксируется по границе облачного покрова, которая соответствует резкому изменению скорости. В таком случае данные соответствуют наблюдаемой картине облачного покрова, по изменению которого определяются параметры гексагонального течения [1, 4-5, 21-26].

Отметим, что гексагональное течение при визуализации по модулю скорости выглядит как отвесная стена, высотой около 100 км. Было установлено [5], что вокруг северного полюса существует циклоническое течение, скорость которого превосходит скорость в гексагональной струе. Действительно, данныепоказывают, что азимутальная скорость достигает максимального значения в области и спадает на периферии.

Отметим, что линии тока указывают на наличие вихрей, распределенных по сторонам шестиугольника, что качественно согласуется с лабораторной моделью гексагонального течения [3]. С другой стороны, картина распределения модуля скорости, представленная качественно соответствует аналогичному распределению, полученному в модели [4].

Таким образом, мы установили механизм образования гексагонального течения на северном полюсе Сатурна, который заключается в усилении слабого геострофического течения в турбулентном планетарном пограничном слое. Возбуждение шестой гармоники является естественным откликом при деформации симметричного сдвигового геострофического течения, взаимодействующего с планетарным пограничным слоем Дальнейшее развитие течения ведет к образованию гексагональной струи с высокой скоростью в пограничном слое .

Отдельного внимания заслуживает вопрос об источнике энергии струи, которая, очевидно, заимствуется из среднего движения атмосферы. Отметим, что выбранный масштаб скорости связан с вращением планеты и атмосферы как целое. Масштаб относительной скорости в гексагональной струе при этом является малой величиной порядка 0.05 -энергия потока и возмущение давления еще меньшей величиной порядка 0.001.

Исследование показывает, что при тех параметрах задачи, которые использованы для получения данных можно пренебречь влиянием давления на скорость течения, что объясняется малой величиной относительной скорости и, соответственно, малой величиной возмущений статического давления. Тем самым снимается вопрос о граничных условиях для давления.

Следовательно, наблюдаемое течение в гексагональной струе можно рассматривать как малое возмущение основного течения [2]. Отсюда следует, что волновые числа, фигурирующие в выражении функции тока (22) должны соответствовать стоячим волнам, что использовано для нахождения этих параметров при формировании данных (26).

Выбранный масштаб моделирования толщины планетарного пограничного слоя в безразмерных единицах составляет 0.006, что соответствует 217.5 км, а максимум скорости струи приходится на высоту 0.003, что соответствует 108.75 км.

Наконец, заметим, что основной эффект турбулентного течения в модели (20)-(22) заключается в формировании струи вблизи поверхности, на которой скорость течения обращается в ноль во вращающейся системе координат. Для этого слагаемое в правой части второго уравнения (20), описывающее турбулентный перенос, приведено к такому виду, что струя формируются при любых начальных данных вида (22) на верхней границе слоя.

Однако модель турбулентной струи может быть использована и в своем исходном виде (19) при соответствующем выборе параметров турбулентного переноса и граничных условий. При этом следует учесть, что в атмосфере Сатурна гексагональное течение может развиваться также из возмущений на нижней границе планетарного пограничного слоя. Этот сценарий формирования турбулентной струи является предметом наших дальнейших исследований.

Библиографический список

1. Godfrey, D. A. A hexagonal feature around Saturn's North Pole. Icarus, 76(Nov.), 335-356, 1988.

2. Allison, M., Godfrey, D.A., Beebe, R.F. A wave dynamical interpretation of Saturn's Polar Hexagon. Science 247, 1061-1063, 1990.

3. Barbosa Aguiar, A. C., Read, P. L., Wordsworth, R. D., et al. A laboratory model of Saturn's North Polar Hexagon//Icarus, 206, 755-763, 2010.

4. Morales-Juberias, R., Sayanagi, K. M., Simon, A. A., et al. Meandering Shallow Atmospheric Jet as a Model of Saturn's North-polar Hexagon. Astrophysical Journal Letters, 806, L18, 2015.

5. Sayanagi K.M., et al. Saturn's Polar Atmosphere//arXiv:1609.09626v2 [astro-ph.EP] 3 Oct 2016.

6. Trunev A. P. Similarity theory for turbulent flow over natural rough surface in pressure and temperature gradients/ Air Pollution IV. Monitoring, Simulation and Control, eds. B. Caussade, H. Power & C.A. Brebbia, Comp. Mech. Pub., Southampton, pp. 275-286, 1996.

7. Trunev A. P. Similarity theory and model of diffusion in turbulent atmosphere at large scale/ Air Pollution V. Modelling, Monitoring and Management, eds. H. Power, T. Tirabassi & C.A. Brebbia, CMP, Southampton-Boston, pp. 109-118, 1997.

8. Трунев А.П. Теория турбулентности и моделирование диффузии примесей в приземном слое атмосферы. - Сочинский научно-исследовательский центр РАН, Сочи, 160 с., 1999.

9. Трунев А.П. Теория турбулентности и моделирование турбулентного переноса в атмосфере. // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2010. - №05(059). С. 179 - 243; №06(060). С. 412 - 491.

10. Трунев А.П. Физические механизмы турбулентной вязкости и моделирование турбулентности на основе уравнений Навье-Стокса // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2016. - №04(118). С. 1469 - 1487. - IDA [article ID]: 1181604096. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2016/04/pdf/96.pdf

11. Трунев А.П. Моделирование турбулентного течения в полости на основе уравнений Навье-Стокса / А.П. Трунев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2016. - №05(119). С. 1111 - 1133. - IDA [article ID]: 1191605079. - Режим доступа: http://ej.kubagro.ru/2016/05/pdf/79.pdf

12. Nagano Y., Kasagi N., Ota T., Fujita H., Yoshida H. & Kumada M. Data-Base on Turbulent Heat Transfer/ Department of Mechanical Engineering, Nagoya Institute of Technology, Nagoya, DATA No FW BL004, 1992.

13. Van Ulden A. & Holtslag A. A. M. Estimation of Atmospheric Boundary Layer Parameters for Diffusion Applications// J. Clim. Appl. Meteorol,. 24, pp. 1196-1207, 1985.

14. Pugliese S., Jaeger M. & Occelli R. Finite element modelling of plume dispersion in the lower part of the atmosphere/ Air Pollution IV. Monitoring, Simulation and Control, eds. B. Caussade, H. Power & C.A. Brebbia, Comp. Mech. Pub. Southampton-Boston, 99-108. 1996

15. Detering H. W. & Etling D. Application of the E- Turbulence Model to the Atmospheric Boundary Layer// Boundary-Layer Meteorol, 33, pp. 113-133, 1985.

16. Ландау Л. Д, Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика - 3 изд. - М.: Наука. - 1986; L. D. Landau and E. M. Lifshitz. Fluid Mechanics. - Pergamon, Oxford, UK, first edition, 1959.

17. Terence Tao. Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier-Stokes equation// arXiv:1402.0290v3 [math.AP] 1 Apr 2015.

18. Отелбаев М. Существование сильного решения уравнения Навье-Стокса// Математический журнал, Том 13, №4 (50), 2013.

19. Давлатов Ш.О. Существование единственного гладкого решения уравнения Навъе-Стокса//arXiv:1603.09665v2 (math.GM), 30 Dec 2016.

20. Teman R. Some developments on Navier-Stokes equations in the second half of the 20^th century/ Development of Mathematics 1950-2000, Birkhauser, Basel, 2000, 1049-1106.

21. Karkoschka, E., and Tomasko, M. G. Saturn's upper atmospheric hazes observed by the Hubble Space Telescope//Icarus, 106, 428-441, 1993.

22. Sanchez-Lavega, A., Rojas, J. F., and Sada, P. V. Saturn's Zonal Winds at Cloud Level. Icarus, 147, 405-420, 2000.

23. Fletcher, L. N., Irwin, P. G. J., Orton, G. S., et al. Temperature and Composition of Saturn's Polar Hot Spots and Hexagon// Science, 319, 79-81, 2008.

24. Choi D. S., Showman A. P., and Brown R. H. Cloud features and zonal wind measurements of Saturn's atmosphere as observed by Cassini//VIMS. J. Geophy. Res., 114, E4007, 2009.

25. Friedson, A. J., and Moses, J. I. General circulation and transport in Saturn's upper troposphere and stratosphere//Icarus, 218, 861-875, 2012.

26. Liu, J., Schneider, T., and Fletcher, L. N. Constraining the depth of Saturn's zonal winds by measuring thermal and gravitational signals// Icarus, 239, 260-272, 2014.

Размещено на Allbest.ru