Расчет системы трехпозиционного автоматического регулирования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчет системы трехпозиционного автоматического регулирования



Содержание

Задание на курсовую работу

1. Исходные данные к заданию

2. Приближенный графоаналитический расчет параметров периодических режимов

2.1 Алгоритм расчета

2.2 Расчет и построение АФХ линейной части системы и характеристики нелинейного элемента

2.3 Определение приближенных значений параметров периодических режимов

3. Уточненный численный расчет параметров периодических режимов

4. Исследование устойчивости найденных параметров периодических режимов

5. Расчет граничного значения варьируемого параметра

6. Построение зависимости параметров автоколебаний от варьируемого параметра

7. Построение проекций фазовых портретов и временных диаграмм переходных процессов

Заключение

Используемая литература

Приложение



Задание на курсовую работу

1. Найти амплитуду А и частоту щ периодических режимов при различных значениях варьируемого параметра заданной нелинейной системы автоматического управления (САУ) двумя способами: приближенным графоаналитическим и уточненным численным с помощью ЭВМ.

2. Исследовать устойчивость найденных периодических режимов.

3. Построить зависимость параметров А и щ периодических режимов от значений варьируемого параметра и найти граничное значение коэффициента усиления (передачи) линейной части (ЛЧ) системы, при котором колебания в системе находятся на границе своего возникновения и исчезновения.

4. Получить на ЭВМ временные диаграммы переходных процессов изменения входной величины нелинейного элемента (НЭ), построить проекции соответствующих фазовых траекторий исследуемой системы путем моделирования исследуемой нелинейной системы с помощью пакета прикладных программ (ППП) Simulink.

5. Сравнить параметры полученного режима с рассчитанными в п.1.



1. Исходные данные к заданию

Система трехпозиционного автоматического регулирования.

Структурная схема системы и статическая характеристика ее нелинейного звена представлены соответственно на рис.1 и рис. 2

Рис.1 Структурная схема системы и статическая характеристика ее нелинейного звена

Передаточные функции линейных звеньев и комплексный коэффициент передачи гармонически линеаризованного нелинейного звена имеют следующий вид:

Рис.2 Характеристика нелинейного

звена заданной системы

Варьируемым параметром системы является

К=К1К2= {10;30,50}.

Численные значения параметров звеньев системы для варианта 2.3.4 представлены в табл.1 :

Таблица 1

№ вар.	Параметры
4	а1	с	Т1	Т2	Т3
	0.5	10	0.5	0.3	0.1



2. Приближенный графоаналитический расчет параметров периодических режимов

2.1 Алгоритм расчета

При графоаналитическом расчете амплитуды А и частоты щ периодических режимов исходную структурную схему заданной нелинейной системы преобразуем к расчетной (рис 3.), состоящей из последовательно соединенных нелинейного элемента НЭ и преобразованной в единый блок линейной части ЛЧ.

При этом сигнал задания Х0 = 0 полагаем равным нулю т.к. расчет осуществляется для симметричных автоколебаний.

Х0 Х

_

Рис.3 Схема системы регулирования после преобразования

Условием возникновения периодических режимов в представленной на рисунке 3. нелинейной системе является основное уравнение метода гармонической линеаризации:

(1)

WЛЧ(j)= -1/ WНЭ (А) =ZНЭ (А),

Где

WЛЧ (jw) - частотная передаточная функция ЛЧ;

WНЭ (А) - комплексный коэффициент передачи гармонически линеаризованного НЭ

,

где , - коэффициенты гармонической линеаризации для заданной нелинейности.

Графическое решение уравнения (2) соответствует точкам пересечения кривых

WЛЧ (jщ)и ZНЭ (А) = -1/ WНЭ (А

) по которым из кривой WЛЧ (jщ) можно определить частоты щi, () возможных периодических режимов, а их амплитуды Аi,() определяют из кривой ZНЭ (А).

Следовательно, алгоритм расчета параметров периодических режимов в системе будет заключаться в следующем:

1.Расчет и построение кривых и ZНЭ (А) для заданных значений варьируемого параметра в одной и той же системе координат, причем только в той области, где они пересекаются, или в области их максимального приближения друг к другу.

2. Определение по точке пересечения кривых частот щi и амплитуд Аi периодических режимов, если точка пересечения существует.

2.2 Расчет и построение АФХ линейной части системы и характеристики нелинейного элемента

Расчет и построение характеристик WЛЧ(jщ) и ZНЭ(A) производятся в следующем порядке.

1. В командном окне Matcad с помощью кнопки "m..n" на панели инструментов "Matrix" переменной i присваивают (нажатием клавиши "Ctrl") последовательность целых чисел от m=0 до n=k, где число k на единицу меньше, чем планируемое число дискретных значений частоты щ и амплитуды А. C помощью введенной переменной i формируют компоненты wi и Ai векторов w и A.

2. Ниже на том же поле вводят расчетные формулы для характеристик WЛЧ(jщ) и ZНЭ(A), а под ними - функции выделения вещественной и мнимой части расчетных формул.

3. С помощью кнопки "Graph" в меню инструментов "Insert" выводят на экран дисплея графическое окно с декартовыми координатными осями.

4. Выводят на экран дисплея значения компонентов всех векторов, необходимых и достаточных для построения и обработки характеристик WЛЧ(jщ) и ZНЭ(A), т.е. w, A, Re(W), Im(W), Re(Z), Im(Z). Это необходимо для того, чтобы на характеристиках WЛЧ(jщ) и ZНЭ(A) отметить достаточное число точек с оцифрованными значениями соответствующих параметров щ и А.

5. В позициях обозначений координатных осей вводят через запятую соответствующие обозначения проекций векторов WЛЧ(jщ) и ZНЭ(A). И щелкнув "ЛКМ" в любой части экрана, получают графики искомых частей характеристик WЛЧ(jщ) и ZНЭ(A).

Расчет АФХ линейной части системы осуществляется с помощью ЭВМ. Задаемся несколькими значениями частоты щ, в том диапазоне, который соответствует области пересечения АФХ с кривой нелинейного элемента (НЭ). График АФХ для различных значений варьируемого параметра, а именно графоаналитический периодический режим фазовый

K=K1K2={10;30;50}

на рис.4, рис.5, рис.6.

Листинг программы и результатов расчета приведен в Приложении 1.

Рис.4 Графики АФХ ЛЧ Wлч1(jщ) при коэффициенте усиления К=10.

Рис.5 Графики АФХ ЛЧ Wлч2(jщ) при коэффициенте усиления К=30.

Рис.6 Графики АФХ ЛЧ Wлч3(jщ) при коэффициенте усиления К=50.



Расчет характеристики НЭ Zнэ(А) осуществляем с помощью ЭВМ, при этом задаемся несколькими значениями А в том диапазоне, который соответствует области пересечения с АФХ линейной части.(Приложение 1)

2.3 Определение приближенных значений параметров периодических режимов

На рис.7 при варьируемом параметре К1=10 кривая Wлч1(jщ) и характеристика Zнэ(А) пересекаются в точке М1. Это означает, что в рассматриваемой САР возможно два периодических режима. Значение параметров амплитуды А и частоты щ в точке пересечения имеют следующие приближенные значения: щ?2.1 , A1?35.5; A2?24,85.

На рис.8 при варьируемом параметре К2=30 кривая Wлч2(jщ) и характеристика Zнэ(А)пересекаются в точке М2. Это означает, что в рассматриваемой САР возможно два периодических режима. Значение параметров амплитуды А и частоты щ в точке пересечения имеют следующие приближенные значения: щ?2.1 , A1?104.5, A2?73,15.

На рис.8 при варьируемом параметре К3=50 кривая Wлч3(jщ) и характеристика Zнэ(А)пересекаются в точке М3. Это означает, что в рассматриваемой САР возможно два периодических режима. Значение параметров амплитуды А и частоты щ в точке пересечения имеют следующие приближенные значения: щ?2.1 , A1?175.5, A2?0.125.

Результат расчета приближенных значений параметров периодических режимов сведен в таблицу 1.

Рис.7 График АФХ ЛЧ (Wлч1(jщ),Wлч2(jщ), Wлч3(jщ)) и Zнэ(А) при коэффициентах усиления: К1=10, К2=30, К3=50.

Табл.1 Найденные значения параметров периодических режимов

	К1	К2	К3
	2.1	2.1	2.1
А1	35.5	104.5	175.401



3. Уточненный численный расчет параметров периодических режимов

Уравнение (1) является комплексным, поэтому его можно представить системой двух уравнений с двумя неизвестными: А и щ, т.е.

(2)

где X(щ,A) и Y(щ,A) - соответственно, вещественная и мнимая части уравнения (1), записанного в форме

X (щ,A) + jY (щ,A) =0.

X(w,A)=Re(F1(w,A)),Re(F2(w,A)),Re(F3(w,A)).

Y(w,A)=Im(F1(w,A)),Im(F2(w,A)),Im(F3(w,A)).

где X(щ,A) и Y(щ,A) - соответственно вещественная и мнимая части уравнения (1), записанного в форме

X (щ, A) + jY (щ, A) =0

Решение системы уравнения (2) может быть найдено с помощью математического пакета Mathcad на ПК со стартовыми значениями А и щ.

Листинг программы и результатов расчета приведен в Приложении 2.

Параметры А1, А2 и щ периодических режимов, найденные уточненным численным расчетом, сведены в табл.2.



Табл. 2 Найденные параметры периодических режимов.

К	10	30	50
щ	2.085	2.085	2.085
А1	35.077	105.24	175.401
А2	0.5	0.5	0.5

При сравнении параметров амплитуды А и частоты щ, найденных приближенным графоаналитическим расчетом и уточненным численным расчетом, видно, что значения параметров имеют небольшие различия.

Это связано с различиями самих методов.



4. Исследование устойчивости найденных параметров периодических режимов

Анализ устойчивости этих решений в точках пересечения кривых WЛЧ(jщ) и ZНЭ (А) осуществляется по взаимному расположению этих кривых. Рассматривая ZНЭ (А) как параметр D - разбиения из уравнения (1), можно установить, что границей D - разбиения при этом является кривая WЛЧ (jщ). Нанеся на эту границу штриховку по известному правилу (слева по ходу возрастания щ), выделяют область устойчивости (с заштрихованной стороны характеристики ЛЧ системы). Тогда для анализа устойчивости решений применимо следующее правило.

Периодический режим устойчив, если, двигаясь по характеристике НЭ в сторону возрастания амплитуды А, переходим из неустойчивой в устойчивую область D- разбиения, и наоборот.

Заметим, что если кривые WЛЧ (jщ) и ZНЭ (А) вообще не пересекаются то решение уравнения (1) не существует, и автоколебания в заданной нелинейной системе невозможны. Если же указанные кривые имеют точку касания, то автоколебания в этой точке находятся на грани своего возникновения и исчезновения.

Нанеся штриховку и обозначив точки пересечения (рис.8), можно сказать, что в точках М1 периодический режим устойчив, т.е. соответствует автоколебаниям с найденной амплитудой и частотой, т.к. при увеличении А движение точки по характеристике НЭ переходит из неустойчивой в устойчивую область D - разбиения.

Рис.8 График АФХ ЛЧ Wлч1(jщ) при коэффициенте усиления К=10.



5. Расчет граничного значения варьируемого параметра

Граничным называется минимальное значение коэффициента передачи ЛЧ САУ, при котором автоколебания находятся на границе своего возникновения и исчезновения. При граничном значении коэффициента усиления характеристики ЛЧ и НЭ системы автоматического управления имеют одну общую точку соприкосновения или касания. (кривые Zнэ(А) и Wлч(jщ) имеют общую касательную).

Вычисление граничного значения К упрощается, если точка соприкосновения принадлежит одной из осей координат комплексной плоскости, на которой строятся кривые Wлч(jщ) и Zнэ(А). Сначала находят соответствующие значение частоты щ автоколебаний приравниванием к нулю мнимой (или вещественной) части частотной функции Wлч(jщ).

Затем находим значение Zнэ(А) в точке соприкосновения. Для данного типа нелинейности необходимо исследовать на экстремум функцию Wнэ(А) и при найденном значении амплитуды А найти минимальное по модулю значение Zнэ(А).

Для нахождения Кгр найдём значение амплитуды АЭ, при которой WНЭ(А) имеет экстремум.

Найдем производную подкоренного выражения:

; -A2+2a2=0; .

Таким образом .

Наконец, из основного расчетного уравнения (1) - метода гармонического баланса - при найденных значениях частоты щ и амплитуды А можно определить искомое граничное значение К для случая соприкосновения характеристик ЛЧ и НЭ.

Расчет граничного значения коэффициента передачи линейной части системы K производим с помощью ППП MathCAD.

Листинг программы и результатов расчета приведен в Приложении 3.

Результаты расчета граничного значения коэффициента передачи ЛЧ, а также соответствующие ему параметры А и щ сведены в таблицу 3:

Табл.3. Результаты расчета граничного значения постоянной времени

щ	А	Кгр
2.085	0.7	0.285



6. Построение зависимости параметров автоколебаний от варьируемого параметра

Значения параметров амплитуды А1,А2 и частоты щ автоколебаний периодических режимов, найденные уточненным численным расчетом в п.3, используем для построения зависимости параметров автоколебаний от варьируемого параметра K={K1,K2,K3}.

Зависимости параметров автоколебаний от варьируемого параметра приведены на рис.9, рис.10.

Рис.9 График зависимости амплитуды А1 и А2 от варьируемого параметра K.

Рис.10 График зависимости частоты щ от варьируемого параметра K



7. Построение проекций фазовых портретов и временных диаграмм переходных процессов

Моделирование заданной нелинейной системы можно производить с помощью ППП Simulink. Применяется структурный метод моделирования, когда каждое звено САУ моделируется соответствующим функциональным блоком. При этом каждому функциональному блоку схемы моделирования присваивается свой порядковый номер и составляется спецификация её структуры и параметров.

При цифровом моделировании временные диаграммы будем снимать с помощью блока Scope, а фазовые траектории относительно блока XYGraph, зависимость "величина-скорость".

Рис. 11. Моделируемая нелинейная система

Рис. 12. Фазовая траектория при Х1(0) =1.3

Рис. 13. Фазовая траектория при Х2(0)=2.5

Рис. 13. Фазовая траектория при Х3(0)=3.5

Рис. 13. Временная диаграмма переходного процесса диаграммы

.

Из полученных графиков видно, что в системе существуют автоколебания



Заключение

При выполнении данной курсовой работы, исследовалась cистема трехпозиционного автоматического регулирования, в которой наблюдался процесс автоколебаний. В этом процессе присутствуют постоянные колебания определенной амплитуды и частоты. При построении фазовых траекторий, при различных начальных условиях, наблюдается следующее: фазовые траектории не могут пересекаться где-либо вне изображающей точки, это называется предельным циклом. Система характеризуется наличием двух предельных циклов на фазовом портрете: меньший предельный цикл неустойчив, больший предельный цикл - устойчив, что характерно для трехпозиционной САР.

В работе исследовались симметричные автоколебания: условия возникновения, область устойчивости и параметры. Варьируемым параметром, влияющим на автоколебания, считался коэффициент передачи линейной части системы K, который может принимать три значения К=(К1,К2,К3).Также можно сказать, что коэффициент передачи линейной части системы K непосредственным образом влияет на существование в системе автоколебаний.

Искомые параметры автоколебаний, такие как коэффициент передачи линейной части системы K, амплитуды автоколебаний А и частота автоколебаний , находились графоаналитическим и аналитическим (численным) методом. Также проводилось цифровое моделирование системы. При использовании различных методов есть некоторые расхождения между искомыми значениями, но расхождения в числовых выражениях оказались незначительными. Отклонения в полученных результатах объясняются возникновением погрешности в расчетах (погрешность метода), а также погрешность построения.



Используемая литература

1. Елсуков В.С. Конспект лекций по курсу "Теория автоматического управления", 1 и 2 части.

2. Методические указания к курсовой работе по дисциплине "Теория автоматического управления". Савин М.М, Елсуков В.С, Пятина О.Н, ЮРГТУ 2007.

3. Теория автоматического управления: Учебное пособие для ВУЗов. /Под ред. Д.т.н., проф. В. И. Лачина. - Савин М.М., Пятина О.Н., Елсуков В.С. - Новочеркасск: Высшее образование., 2007. 460 с



Приложение

Протокол расчета характеристики линейной части и характеристики нелинейного элемента

A>>а

A<а

2. Уточненный численный расчет параметров периодических режимов

3. Расчет граничного значения варьируемого параметра

Размещено на Allbest.ru

...