Методы математического описания и расчета сложной линейной электрической цепи в стационарном режиме

Размещено на http://www.allbest.ru/

Томск 2014

Министерство образования и науки Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВАЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра телекоммуникаций и основ радиотехники (ТОР)

Пояснительная записка

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ И РАСЧЕТА СЛОЖНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ В СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

Выполнил:

Никонов А.С.

Филатов А.В.



Реферат

Пояснительная записка к курсовому проекту содержит 25 страниц, 17 рисунков, 4 источника.

ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЦЕПИ, ММЦ, МЕТОД ТОКОВ ВЕТВЕЙ, МТВ, УРАНЕНИЕ БАЛАНСА МОЩНОСТИ, МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ, МУП, МУН, МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ, МКТ, МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ.

Целью работы является овладение способами расчета сложной линейной электрической цепи в стационарном режиме.

В процессе работы были составлены математические модели цепи для мгновенных, комплексных, постоянных значений источников напряжения и тока, вычислены все токи и напряжения на пассивных элементах при действии постоянных источников напряжения и тока, вычислено входное сопротивление относительно полюсов источника сигнала, вычислены комплексные значения токов всех ветвей методами контурных токов и узловых потенциалов, методом наложения определен ток в заданной ветви.

Для достижения поставленных целей использовалась среда Mathcad, программы Paint, Microsoft Word 2010, Adobe Reader 11.

Срок сдачи работы на кафедру: 23 декабря 2014г.

Цель проекта: овладеть способами расчета сложной линейной электрической цепи в стационарном режиме.

Исходные данные для проектирования:

- схема для расчетов (схема В);

- параметры активных и пассивных компонентов цепи (таблица 1 - строка 23, таблица 2 - строка 08, номер необходимого к нахождению тока - 3);



Оглавление

Введение

1. Исходные данные

2. Выполнение работы

2.1 Математическая модель цепи по методу токов ветвей для мгновенных значений источников напряжений и тока

2.2 Математическая модель цепи по методу токов ветвей для комплексных значений источников напряжения и тока

2.3 Математическая модель цепи по методу токов ветвей для постоянных значений источников напряжений и тока и вычисление токов и напряжений на пассивных элементах

2.4 Входное сопротивление на постоянном токе и на бесконечно высоких частотах

2.5 Расчет схемы методом контурных токов (МКТ)

2.6 Расчет схемы методом узловых потенциалов (МУП)

2.7 Определение тока в заданной ветви методом наложения (МН)

Заключение

Список используемой литературы



Введение

Целью работы является овладение способами расчета сложной линейной электрической цепи в стационарном режиме.

В том числе: составление математических моделей цепи для мгновенных, комплексных, постоянных значений источников напряжения и тока, вычисление всех токов и напряжений на пассивных элементах при действии постоянных источников напряжения и тока, вычисление входного сопротивления относительно полюсов источника сигнала, вычисление комплексных значений токов всех ветвей методами контурных токов и узловых потенциалов, определение тока в заданной ветви методом наложения.



1. Исходные данные

Расчётная схема: «В».

Вариант для задания на расчёт: 23 08 3.

Для выполнения поставленных задач была выбрана схема, изображенная на рисунке 1

Рисунок.1 - Рабочая схема

Модели и параметры источников представлены в таблице 2.1

Таблица 2.1 - Модели и параметры источников

, В	, В	, В	, А	n
	30-j60		1	3

Параметры элементов схемы и частота представлены в таблице 2.2. Частота находилась из таблицы 2.2 по формуле

Таблица 2.2 - Параметры элементов и частота

							k
15	15	15	5	2.5	5.55	11.11	6



2. Выполнение работы

2.1 Математическая модель цепи по методу токов ветвей для мгновенных значений источников напряжений и тока

Для составления математической модели цепи (ММЦ) по методу токов ветвей (МТВ) для мгновенных значений источников напряжений и тока необходимо сделать некоторые преобразования схемы цепи. Преобразованная схема представлена на рисунке 3.1.1

Рисунок - Схема для составления ММЦ по МТВ для мгновенных значений источников

()

(

)

Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, находятся по формуле 3.1, по второму - 3.2:

,

,



Сумма уравнений по первому и второму законам должна равняться количеству неизвестных токов (n=6):

=3

,

Переходим к составлению ММЦ. Ниже представлена математическая модель цепи, составленная по методу токов ветвей.

,

Перейдем к мгновенным значениям:

.

2.2 Математическая модель цепи по методу токов ветвей для комплексных значений источников напряжения и тока

Для составления математической модели цепи (ММЦ) по методу токов ветвей (МТВ) для комплексных значений источников напряжений и тока необходимо сделать некоторые преобразования схемы цепи.



Рисунок - Схема для составления ММЦ по МТВ для комплексных значений источников

()

(

()

Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, равняется трем, по второму - также три (определялось по формулам 3.1 и 3.2 соответственно).

Ниже представлена математическая модель цепи, составленная по методу токов ветвей для комплексных значений источников напряжения и тока.

,



2.3 Математическая модель цепи по методу токов ветвей для постоянных значений источников напряжений и тока и вычисление токов и напряжений на пассивных элементах

Для расчета ММЦ по МТВ на постоянном токе необходимо перейти к схеме замещения, в которой индуктивность заменяем закрытым ключом, а ёмкость открытым ключом. При действии источников постоянных сигналов E(t)=E=const (t)==const ММЦ примет вид :

Рисунок - Схема цепи при действии постоянных значений источников напряжений и тока

Для упрощения составления ММЦ преобразуем схему, изображенную:

Рисунок - Упрощенная схема цепи при действии постоянных значений источников напряжений и тока

Посчитаем количество узлов , ветвей и ветвей содержащих источник тока.

()

(

()

Для схемы, изображенной на рисунке 3.3.2 были применены первый и второй законы Кирхгофа, составлена ММЦ по МТВ при действии постоянных значений источников напряжений и тока.

,

Перенесем систему на матрицу и решим ее:

,

,

,

Найдём падение напряжений на ёмкостях и . Для этого был применен второй закон Кирхгофа к первому и второму контуру для схемы на Рисунке 3.3.1:

,

,

Проверим полученные результаты балансом мощностей:

,

29.985=29.98,

Баланс мощностей сошелся, значит найденные значения токов верны.

2.4 Входное сопротивление на постоянном токе и на бесконечно высоких частотах

Определять входное сопротивление будем относительно полюсов подключения источника напряжения, заданного значением n (n=3). Значения всех остальных источников будем полагать равными нулю.

При действии постоянного тока () схема цепи примет следующий вид:

Рисунок - Схема цепи при действии постоянного тока

Тогда входное сопротивление будет определяться как входное сопротивление цепи с тремя сопротивлениями, соединенными последовательно:

,

При действии бесконечно высоких частот () схема цепи примет вид, изображенный.

Рисунок - Схема цепи при действии бесконечно высоких частот

Тогда входное сопротивление будет определяться как входное сопротивление цепи с двумя последовательно соединенными сопротивлениями:

,

2.5 Расчет схемы методом контурных токов (МКТ)

Для расчета цепи этим методом необходимо перейти к комплексным значениям источников токов и напряжений:

Проведем дальнейшие преобразования цепи. Параллельное соединение сопротивления и источника тока необходимо заменить на последовательное соединение сопротивления и источник напряжения.

Рисунок - Схема цепи с комплексными значениями источников



Рисунок - Схема для расчета цепи по методу контурных токов

Для расчётов методом контурных токов , следует преобразовать источник тока в источник напряжения и пересчитать его значения.

.

Рассчитывали схему матричным методом (по Крамеру).

(

().

Размерность матрицы сопротивлений будет равняться (3х3):

,

Перейдём к комплексным значениям сопротивлений и комплексным источникам напряжений, используя формулы для ёмкости , для индуктивности ZL=jwC и для сопротивления ZR=R.

;

15j;

;

;,

;,

Составим систему уравнений в матричной форме:

,

Решив данную систему, получили значения контурных токов:

,

,

,

Из схемы на рисунке 3.5.2 находим значение токов:

,

,

,

,

,

,

Перейдём к токам в гармонической форме записи:



,

,

,

,

,

,

Проведем проверку найденных токов уравнением баланса мощностей:

,

,

2.6 Расчет схемы методом узловых потенциалов (МУП)

Для расчета цепи этим методом необходимо перейти к комплексным значениям источников токов и напряжений:

Рисунок - Схема цепи с комплексными значениями источников

Пересчитаем источники напряжения в источники тока и сопротивления в проводимости:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Проведем дальнейшие преобразования цепи. Необходимо заменить последовательное соединение источников напряжения и сопротивлений на параллельное соединение источников токов и этих сопротивлений. Преобразованная схема представлена.

Рисунок - Схема для расчета цепи методом узловых потенциалов

Составим матричное уравнение цепи:



,

Решив данную систему методом Крамера, получим узловые напряжения: напряжение ток электрический генератор

,

,

,

Для начала из схемы, изображенной на рисунке 3.6.2, находим токи в ветвях, не подвергавшимся преобразованию:

A

,

2.81-1.136i A

Затем, чтобы найти значение первого комплексного тока рассмотрим один из преобразованных участков цепи:

Рисунок - Участок преобразованной цепи

Из схемы на рисунке 3.6.3 находим:



,

Зная значение , можно найти токи ,применив первый закон Кирхгофа ко второму узлу, обозначенному на рисунке 3.6.1:

,

Применив первый закон Кирхгофа к четвертому узлу, обозначенному на рисунке 3.6.1, определяем:

,

Подставив в выведенные соотношения полученные значения, нашли оставшиеся токи:

,

,

,

Все токи совладают с токами, полученными с помощью расчёта МКТ, поэтому повторная проверка найденных токов не требуется.

2.7 Определение тока в заданной ветви методом наложения (МН)

Задача заключается в том, чтобы методом наложения определить значение третьего комплексного тока в цепи:



Рисунок - Схема цепи с заданным током

Третий ток найдем, как сумму частичных токов в заданной ветви от действия каждого источника.

,

Найдем первый частичный ток заменив все источники напряжения, кроме Л1, на закрытый ключ, а источники тока на открытый ключ. Ток будем находить методом контурных токов (МКТ). После преобразований схема примет вид.

Рисунок - Схема преобразованной цепи для нахождения первого частичного тока



Из схемы на рисунке 3.7.2 определяем:

Значит, для определения первого частичного тока необходимо найти только третий контурный ток для схемы на рисунке 3.7.2. Составим для этого матричное уравнение цепи:

,

Решаем ММЦ и находим нужный контурный ток:

,

Тогда первый частичный ток равен:

,

Найдём второй частичный ток, преобразуя схему, изображённую на рисунке 3.7.1, заменив все источники напряжения, кроме Л2, на закрытый ключ, а источники тока на открытый ключ. Решаем МКТ. После преобразований схема примет вид (рисунок 3.7.3).



Рисунок - Схема преобразованной цепи для нахождения второго частичного тока

Из схемы на рисунке 3.7.3 определяем:

,

Значит, для определения второго частичного тока нам снова необходимо найти только лишь третий контурный ток для схемы на рисунке 3.7.3. Составим для этого матричное уравнение цепи:

Решив данную систему, получим значение третьего контурного тока:

,

Тогда второй частичный ток равен:

,

Найдем третий частичный ток от третьего источника напряжения. Для этого преобразуем схему и воспользуемся методом контурных токов:



Рисунок - Схема преобразованной цепи для нахождения третьего частичного тока

Из схемы на рисунке 3.7.4 определяем:

,

Для определения третьего частичного тока необходимо найти третий контурный ток для схемы на рисунке 3.7.4. решая МКТ. Составим для этого матричное уравнение цепи:

,

,

Тогда третий частичный ток равен:



,

Найдем четвертый частичный ток от нулевого источника тока. Для этого преобразуем схему и воспользуемся методом узловых потенциалов:

Рисунок 3.7.5 - Схема преобразованной цепи для нахождения четвертого частичного тока

Из схемы на рисунке 3.7.5 следует:

,

Составим систему уравнений в матричной форме и найдем первое узловое напряжение:

,

,

Отсюда четвертый частичный ток равен:

,

Таким образом, были найдены все четыре частичных тока от действия каждого источника исходной цепи:

,

,

,

,

Для нахождения полного тока в третьей ветви необходимо сложить все частичные токи по формуле (3.3):

,

Найденный ток совпадает с током, найденным МУП и МКТ (=).



Заключение

В ходе работы была составлены математические модели цепи по методу токов ветвей для мгновенных, комплексных, постоянных значений источников токов и напряжений.

При действии постоянных источников напряжения и тока были вычислены все токи и напряжения на пассивных элементах:

,

,

,

Правильность расчета была проверена уравнением баланса мощностей.

Было вычислено входное сопротивление на постоянном токе и на бесконечно высоких частотах относительно полюсов подключения источника напряжения, заданное значением n=3. При этом полагалось, что значения всех остальных источников равны нулю.

,

,

Методом контурных токов и методом узловых потенциалов были рассчитаны комплексные значения токов всех ветвей:

,

,

,

,

Гармоническая запись токов:

,

,

,

,

,

,

Правильность расчета была проверена уравнением баланса мощностей.

Методом наложения было определено комплексное значение тока в заданной ветви:

,



Список используемой литературы

1. Попов В.П. Основы теории цепей. - М.:Высшая. школа,2000

2. Теория электрических цепей: Учебное пособие к практическим занятиям / Мельникова И.В., Дубовик К.Ю., 156 стр.,

3. Зернов Н.В., Карпов В.Г. Теория радиотехнических цепей. - М.:Энергия 1965 - 862 стр.

Размещено на Allbest.ru

...