О краевой задаче теории упругости в полярной системе координат
Постановка краевой задачи деформируемого твердого тела в полярной системе координат. Особенности сведения задачи к особому интегральному уравнению, решение которого позволяет определить местные напряжения на линии сопряжения возле их концентрации.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 29.06.2017 |
| Размер файла | 62,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Ижевская государственная сельскохозяйственная академия
О краевой задаче теории упругости в полярной системе координат
П.В. Дородов
Аннотация
В статье изложена постановка краевой задачи деформируемого твердого тела в полярной системе координат. Задача приведена к особому интегральному уравнению, решение которого позволяет определить местные напряжения на линии сопряжения возле их концентрации.
Ключевые слова: концентратор напряжений, упругое тело, местные напряжения, краевая задача, интегральное уравнение.
В современных машинах широко применяются осесимметрично нагруженные детали сложной формы, ослабленные различными концентраторами напряжений, в близи границ которых возникают значительные местные напряжения, поэтому возникает необходимость в отыскании решения краевой задачи в полярной системе координат [1, 2].
С точки зрения расчетной схемы любую деталь можно представить как упругое тело единичной толщины произвольной формы, подвергающееся воздействию внешних нагрузок Рn и находящееся в состоянии равновесия (рис. 1 а).
Рис. 1. Плоское упругое тело: а) расчетная схема; б) элемент тела с круговым сечением
Пусть координатами точки А будут полярный радиус r, отсчитываемый от центра тяжести, и угол в.
Для исследования напряженно-деформированного состояния воспользуемся уравнениями Ламе, описывающими равновесие бесконечно малого элемента сплошной среды в перемещениях без учета массовых сил, которые в полярной системе в условиях плоского деформированного состояния примут вид [3]:
(1)
где н - коэффициент Пуассона; u и w - перемещения точек в полярной системе координа в, r; .
Введем новую переменную , с=const, тогда систему (1) можно привести к уравнениям с постоянными коэффициентами [1, 3]
(2)
Решение системы (2) ищем в виде интегрального преобразования Фурье [4]
(3)
где б - произвольное вещественное число.
После подстановки (3) в (2) имеем систему уравнений:
решение которой может быть представлено в виде [1]:
(4)
где An, Bn (n=1, 2) - постоянные, подлежащие определению из краевых условий;
Уравнения (4) можно привести к эквивалентным смешанным гиперболическим и тригонометрическим функциям [3].
Подставляя (4) в (3) определяем перемещения u и w. По формулам Коши находим деформации
;
а по закону Гука - напряжения:
Задаемся следующими краевыми условиями:
1) Из условий симметрии, без жесткого перемещения тела и при отсутствии полости в начале координат
где t0-му соответствует радиус сектора r0, с углом полураствора в0 (рис. 1 б).
Если уr0 и ф0 рассматривать в качестве местных напряжений, то они в основном должны зависеть от перемещений на дуге сектора и мало зависеть от r0, поэтому необходимо устремить его к бесконечности. Здесь координаты в0 и r0 определяют границы концентратора напряжений. Решить задачу удается только численными методами, однако при приходим к выражению [1, 4-7]:
(5)
где а, b - постоянные, зависящие от упругих свойств материала; s - дуговая абсцисса линии интегрирования (сопряжения), соответствующая углу в0; l - полуширина линии сопряжения;
Индекс 1 означает местный характер напряженно-деформированного состояния.
Частные решения интегрального уравнения (5) представлены в [4-10].
Итак, интегральное уравнение (5) может быть использовано для решения краевых задач в полярных координатах при определении местных напряжений на какой-либо дуге интегрирования, в качестве которой может служить как внешний контур тела, так и какая-либо дуговая линия сопряжения возле концентратора напряжений внутри плоского тела.
полярный уравнение напряжение концентрация
Литература
1. Дородов П.В. Комплексный метод расчета и оптимального проектирования деталей машин с концентраторами напряжений: монография. - Ижевск: ФГБОУ ВПО Ижевская ГСХА, 2014. 316 с.
2. Ерохин М.Н., Дородов П.В. Метод оптимального проектирования деталей в зоне контакта // Вестник Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный агроинженерный университет им. В.П. Горячкина». 2014. № 3. С. 5-8.
3. Mixed boundary value problems of potential theory and their applications in engineering / by V.I. Fabrikant. Boston : Kluwer Academic Publishers, c1991. 451 p.
4. Александров В.М., Чебаков М.И. Введение в механику контактных взаимодействий. - Ростов-на-Дону: Изд-во ООО «ЦВВР», 2007. 114 с.
5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Изд-во «Наука», 1968. 512 с.
6. Trjitzinsky W.J. Singular integral equations with Cauchy kernels // Trans. Amer. Math. Soc.- 1946. -V.60.- №2.- рр.167-214.
7. Дородов П.В. Приведение краевой задачи для плоского упругого тела к одному особому интегральному уравнению // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2012, № 80. С. 1-10 URL: ej.kubagro.ru/2012/06/pdf/14.pdf.
8. Дородов П.В. Исследование напряжений на линии сопряжения ступенчатой пластины // Инженерный вестник Дона, 2013,№2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2013/1636.
9. Дородов П.В., Кулагин А.В. Исследование напряжений в окрестности плоского горизонтального выреза // Инженерный вестник Дона, 2012, № 2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2012/813.
10. Ерохин М.Н., Дородов П.В. Уточненный расчет и определение коэффициента концентрации напряжений в деталях машин, ослабленных боковыми вырезами // Международный технико-экономический журнал. 2014. № 4. С. 77-83.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Уравнение теплопроводности: физический смысл и выводы на примере линейного случая. Постановка краевой задачи остывания нагретых тел, коэффициент теплопроводности. Схема метода разделения переменных Фурье применительно к уравнению теплопроводности.
курсовая работа [245,8 K], добавлен 25.11.2011Основные задачи динамики твердого тела. Шесть степеней свободы твердого тела: координаты центра масс и углы Эйлера, определяющие ориентацию тела относительно центра масс. Сведение к задаче о вращении вокруг неподвижной точки. Описание теоремы Гюйгенса.
презентация [772,2 K], добавлен 02.10.2013Постановка нестационарной краевой задачи теплопроводности в системе с прошивной оправкой. Алгоритм решения уравнений теплообмена. Методы оценки термонапряженного состояния. Расчет температурных полей и полей напряжений в оправке при циклическом режиме.
реферат [4,0 M], добавлен 27.05.2010Обзор разделов классической механики. Кинематические уравнения движения материальной точки. Проекция вектора скорости на оси координат. Нормальное и тангенциальное ускорение. Кинематика твердого тела. Поступательное и вращательное движение твердого тела.
презентация [8,5 M], добавлен 13.02.2016Основы движения твердого тела. Сущность и законы, описывающие характер его поступательного перемещения. Описание вращения твердого тела вокруг неподвижной оси посредством формул. Особенности и базовые кинематические характеристики вращательного движения.
презентация [2,1 M], добавлен 24.10.2013Составление и решение уравнения движения груза по заданным параметрам, расчет скорости тела в заданной точке с помощью диффенциальных уравнений. Определение реакций опор твердого тела для определенного способа закрепления, уравнение равновесия.
контрольная работа [526,2 K], добавлен 23.11.2009Решение задачи на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях. Определение кинетической энергии системы, работы сил, скорости в конечный момент времени. Кинематический анализ многозвенного механизма.
контрольная работа [998,2 K], добавлен 23.11.2009Момент инерции тела относительно неподвижной оси в случае непрерывного распределения масс однородных тел. Теорема Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Плоское движение твердого тела. Уравнение динамики вращательного движения.
презентация [163,8 K], добавлен 28.07.2015Особливості застосування систем координат при розв'язувані фізичних задач. Електричні заряди як фізичні джерела електричного поля. Способи обчислення довжин, площ та об'ємів. Аналіз та характеристика видів систем координат: циліндрична, сферична.
дипломная работа [679,2 K], добавлен 16.12.2012Создание сверхвысокочастотных нагревательных и конвейерных волноводных установок на основе волноводов сложного сечения для равномерной обработки тонкослойного и линейного материала. Решение внутренней краевой задачи электродинамики и теплопроводности.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 29.12.2012Решение задачи на нахождение скорости тела в заданный момент времени, на заданном пройденном пути. Теорема об изменении кинетической энергии системы. Определение скорости и ускорения точки по уравнениям ее движения. Определение реакций опор твердого тела.
контрольная работа [162,2 K], добавлен 23.11.2009Описание зонной теории твердого тела. Трансляционная симметрия в кристаллах. Потенциальная яма. Освобождение электрона. Обобществление валентных электронов в кристалле. Потенциальные ямы в кристалле. Зонная структура кристалла. Свободный электронный газ.
презентация [3,1 M], добавлен 03.04.2019- История возникновения и формирования квантовой механики и квантово-механической теории твердого тела
Экспериментальные основы и роль М. Планка в возникновении квантовой теории твердого тела. Основные закономерности фотоэффекта. Теория волновой механики, вклад в развитие квантово-механической теории и квантовой статистики А. Гейзенберга, Э. Шредингера.
доклад [473,4 K], добавлен 24.09.2019 Дифференциальное уравнение теплопроводности. Поток тепла через элементарный объем. Условия постановка краевой задачи. Методы решения задач теплопроводности. Численные методы решения уравнения теплопроводности. Расчет температурного поля пластины.
дипломная работа [353,5 K], добавлен 22.04.2011Общие свойства твердого тела, его состояния. Локализированные и делокализированные состояния твердого тела, отличительные черты. Сущность, виды химической связи в твердых телах. Локальное и нелокальное описания в неискаженных решетках. Точечные дефекты.
учебное пособие [2,6 M], добавлен 21.02.2009Кинетическая энергия вращения твердого тела и момент инерции тела относительно нецентральной оси. Основной закон динамики вращения твердого тела. Вычисление моментов инерции некоторых тел правильной формы. Главные оси и главные моменты инерции.
реферат [287,6 K], добавлен 18.07.2013Компьютерный расчет цветовых характеристик цветных стекол в колориметрической системе XYZ и компьютерной системе RGB. Расчет координат цветностей, доминирующей длины волны и степени окрашенности по данным спектров пропускания стекол различных марок.
дипломная работа [1,9 M], добавлен 17.02.2015Решение краевых задач методом функции Хартри. Решение уравнения теплопроводности с разрывным коэффициентом и его приложение в электрических контактах. Определение результатов первой граничной задачи с разрывными коэффициентами с помощью функции Хартри.
дипломная работа [998,8 K], добавлен 10.05.2015Постановка задачи дифракции и методы ее решения. Сведения о методах решения задач электродинамики. Метод вспомогательных источников. Вывод интегральных уравнений Фредгольма второго рода для двумерной задачи. Численное решение интегрального уравнения.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 13.01.2011Изучение механики материальной точки, твердого тела и сплошных сред. Характеристика плотности, давления, вязкости и скорости движения элементов жидкости. Закон Архимеда. Определение скорости истечения жидкости из отверстия. Деформация твердого тела.
реферат [644,2 K], добавлен 21.03.2014
