Об одном методе решения задачи безударного сильного сжатия одномерных слоёв газа в конфигурации Р. Мизеса

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уральский государственный университет путей сообщения

Об одном методе решения задачи безударного сильного сжатия одномерных слоёв газа в конфигурации Р. Мизеса

Н.С. Новаковский

Математическое описание процесса безударного изоэнтропического сжатия идеального газа до любого наперед заданного значения плотности, в том числе до бесконечной плотности (подробную библиографию см. в [1]) представляет интерес в связи с проблемой лазерного термоядерного синтеза [2,3]. В случае плоскосимметричных течений (н = 0) простая центрированная волна Римана описывает сжатие плоского слоя газа в конечный момент времени t=t_* до бесконечной плотности [4]. Состыковка центрированной волны Римана с однородным потоком газа дает решение задачи о получении в сжатом плоском слое любого конечного значения плотности [5]. Результаты расчетов центрированной волны Римана с использованием одной разностной методики, хорошо себя зарекомендовавшей на протяжении тридцати лет при решении широкого класса прикладных задач приведены в [6]. Здесь максимально достигнутое значение плотности в 3·10⁴ раз превышает исходную плотность. При этом среднее значение плотности в центрированной волне равно 8·10³.

Математическая теория безударного сильного сжатия идеального газа разработанав [1]. В частности, для случая сжатия цилиндрически н = 1 и сферически н = 2 симметричных слоев политропного газа с показателем г > 1 доказано, что непрерывная состыковка двух течений дает решение задачи о безударном сильном сжатии до любой наперед заданной плотности.

Первое из этих двух течений является обобщением центрированной волны Римана. Не только доказано существование этого течения, но и приведен бесконечный сходящийся ряд, описывающий его. Проанализирована структура коэффициентов ряда, что позволило получить, обосновать и уточнить асимптотические законы движения сжимающего поршня, а также строго описать особенность течения в момент сильного сжатия [1, 7].

Второе из течений является решением задачи о получении наперед заданных распределений газодинамических параметров [1, 8]. Это течение через звуковую характеристику примыкает к обобщению центрированной волны Римана и особенностей не имеет. При этом в качестве наперед заданного распределения можно произвольно задавать либо плотность, либо скорость газа. Второй из этих газодинамических параметров в момент сильного сжатия и все течение до момента сжатия определяются однозначно, как решение характеристической задачи Коши стандартного вида [1, 8]. Доказанные в [1] теоремы утверждают, что существуют цилиндрические и сферические слои с ненулевой массой газа, которые можно безударно сжать до любой плотности. Однако эти теоремы не позволяют определить ширину исходных слоев, то есть массу сжимаемого газа, которую при фиксированных н, г можно безударно сжать до заданной плотностис_*.

Алгоритм расчета безударного сильного сжатия одномерных слоев первоначально однородного и покоящегося газа с с₀ = 1 до любой наперед заданной конечной постоянной плотности с_* > 1 предложен в работе [9]. Цель настоящей работы - проверка работоспособности предложенного в [9] алгоритма и его применение для задачи сжатия слоя изнутри.

В работе кратко описан алгоритм расчета безударного сильного сжатия изнутри одномерных слоев первоначально однородного и покоящегося газа в диапазоне от с₀ = 1 до любой наперед заданной конечной плотности с_* > 1. Приводится алгоритм расчёта траектории сжимающего поршня, тестовые расчёты для плоского случая н = 0, а также некоторые результаты расчётов сжатия цилиндрических (н = 1) и сферических (н = 2) слоёв фиксированной массы до наперёд заданного конечного значения плотности.

Математическая постановка одномерной задачи безударного сильного сжатия газовых слоёв. Далее рассматриваются только одномерные симметричные изоэнтропические (s=1) течения политропного газа. Такие течения являются решениями системы уравнений [1]:

(1)

Здесь у=с^(г-1)/2 - скорость звука в газе; с - плотность; г -- константа в уравнении состояния p=с^г/г, г > 1, p -- давление; =(у,u) -- искомые функции. Значения н = 0,1,2 соответствуют случаям плоской, цилиндрической и сферической видам симметрии.

В случае н = 0 в системе (1) r=x_1, u=v₁ , - проекция вектора на ось Ox₁

В случае н = 1,2

а скорость газа u есть проекция вектора на радиус-вектор в плоскости x₁Ox₂ при н=1 или на радиус-вектор в пространстве переменных x₁, x₂, x₃ , при н=2 соответственно.

Далее рассматривается сжатие газового слоя изнутри. Пусть в некоторой окрестности точки (t=t_*, r=r_*) при r_* > 0 задано какое-либо фоновое течение

где компоненты вектора - аналитические функции у⁰(t,r), u⁰(t,r) являются решением системы (1). На рис. 1 в области 0 находится фоновое течение, а в области 1 требуется построить искомое течение с наперед заданным распределением одного из газодинамических параметров, которое будет сопряжено с фоновым течением через слабый разрыв.

Рис. 1

Слабым разрывом будет являться звуковая -характеристика, однозначно определяющаяся при решении задачи Коши:

Из аналитичности фонового течения следует существование и единственность решения данной задачи - аналитической функции r=r_oo(t), описывающей закон движения характеристики С⁺. Далее везде считается, что функция r=r_oo(t) известна и, следовательно, известны значения газодинамических параметров фонового течения на этой - характеристике:

т.е.

(2)

Рассмотрим случай, когда звуковая характеристика разделяет однородный покой и искомое течение:

С⁺: r =(t - t_*)+r_*

на которой и Область определения искомого течения ограничена прямой t = t_* и звуковой характеристикой фонового течения. Эта область состоит из двух частей: нижнего треугольника (цифра 1 на рис. 2) - области определения обобщения центрированной волны Римана и верхнего треугольника (цифра 2 на рис.2) - области определения течения, имеющего в момент t = t_* наперед заданное распределение у =у^*(r) , например, постоянное: у^*(r) = у^*const. Требуется найти закон движения поршня, безударно сжимающего однородный покоящийся газ с плотностью с = 1 до плотности с = с(t_*,r) = с_* = const, постоянной в сжатом слое шириной (рис. 2). Эта траектория определяется как решение следующей задачи Коши:

(3)

В (3) в правой части дифференциального уравнения стоит функция u(t,r), определяющаяся при решении системы (1).

Теоремы, доказанные в [1], утверждают, что существует ненулевая масса газа m₀, расположенная в области между траекторией движения поршня r = r_p(t) и прямой r = r_*, которую можно безударно сжать до любой наперед заданной плотности с_*(r). Но эти теоремы не определяют максимально возможное значение , а следовательно, и максимальную ширину слоя d_* (рис. 2).

безударный изоэнтропический газ сжатие

Рис. 2

Алгоритм численного решения задачи сильного сжатия газа в одномерном изоэнтропического случае методом характеристик. Приведём далее алгоритм, основанный на стандартном методе характеристик c пересчётом [10], и ранее изложенный в [1,10]. Остановимся на отдельных моментах этого алгоритма, необходимых для программной реализации.

1. Система (1) сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с помощью введения инвариантов Римана

и производных вдоль характеристик

(4)

К системе присоединяются дифференциальные уравнения для характеристики C^±:

(5)

учитываются также начальные условия (2) и краевое условие.

Система (4) решается отдельно в областях 1 и 2.

Алгоритм построения численного решения в области 1. Расчет сетки в нижнем треугольнике и вычисление значений параметров газа в ее узлах также происходят в обратном направлении изменения времени.

1) В точке (r_*, t_*) интервал [1, у_*] изменения у разбивается на N промежутков; здесь . Для каждого значения i=0,1,…,N используя формулу обобщённой ЦВ Римана [1]:

(6)

при t = t_* получаем значения скорости u_i.

2) Из точки (r_*, t_*) выпускаются N штук C⁺-характеристик.

3) Задаем число шагов по времени M, таким образом определяется шаг по времени Дt = t_*/M.

4) Делается шаг Дt в обратном направлении изменения времени вдоль характеристики Из точки на этой характеристике, соответствующей моменту времени t_* - j·Дt, выпускается -характеристика до пересечения с линией Здесь и далее j = 0,1,…,N - номер шага по времени.

5) Используя разностные аналоги уравнений (4) и значения газодинамических параметров в начальных точках соответствующих характеристик, получаем газодинамические параметры в точке пересечения.

6) Повторяем процедуру, выпуская -характеристику из полученной точки пересечения (рис. 3). После того как найдена точка пересечения с характеристикой переходим к пункту D, делая новый шаг по времени. Если достигнуто значение t=0, значит, решение в области 1 построено.

Рис. 3

Алгоритм построения решения в области 2. Расчет сетки в верхнем треугольнике тоже ведется в обратном направлении изменения времени.

-характеристика области 2 совпадает с -характеристикой области 1. Берём первую (вторую и последующие будем обозначать буквой j) точку и выпускаем характеристику до пересечения с линией t = t_*. На этой прямой известно только значение у = у_*, поэтому значение инварианта R вычисляется через значения L и у_*

2) Из полученной на прямой t = t_* точки пересечения выпускаем -характеристику. Этот шаг выполняется всякий раз как только найдено пересечение очередной характеристики с прямой t = t_*. Номер текущей C⁺-характеристики будет обозначен далее буквой i.

3) Из следующей (j+1)-й по порядку точки -характеристики выпускаем характеристику до пересечения с -характеристикой.

4) Используя разностные аналоги уравнений (4) и значения газодинамических параметров в начальных точках соответствующих характеристик, получаем газодинамические параметры в точке пересечения.

Рис. 4

5) Повторяем процедуру, выпуская -характеристику из полученной точки пересечения (рис. 4). После того, как найдена точка пересечения с прямой t = t_*, переходим к пункту 2.

6) Повторяем пункты 2-6 до тех пор, пока не дошли до последней точки характеристики.

Алгоритм построения траектории сжимающего поршня. Построение траектории движения поршня, так же, как и построение характеристической сетки, происходит в обратном направлении изменения времени, т. е. при t ? t_*.

1) Траектория движения строится исходящей из точки (t = t_*, r = r_*- d_*), где d_* определяет ширину уже сжатого слоя газа. Из этой точки выпускаем прямую, определяемую разностным аналогом задачи Коши (3).

2) Находим точку пересечения этой прямой с одной из линий характеристической сетки, построенной в соответствии с вышеописанными алгоритмами. В найденной точке пересечения скорость газа u находится линейной интерполяцией по значениям в ближайших узлах. Пусть найденная точка пересечения имеет координаты Выпускаем из нее прямую, определяемую разностным аналогом задачи Коши

(7)

до пересечения этой прямой со следующей линией построенной характеристической сетки.

4) Продолжаем вычисления по этому алгоритму до тех пор, пока либо траектория поршня не пересечёт характеристику нижнего треугольника, либо не выйдет за пределы области в которой существует решение.

5) В последнем случае следует уменьшить ширину сжатого слоя d_* и вернуться к началу алгоритма.

Примеры расчётов:

Одним из поводов для этой работы стала все возрастающая вычислительная мощность компьютеров. Изложенные выше алгоритмы реализованы в виде программы для PC на языке С++. Далее приводятся результаты на более подробных сетках, чем использованы в работе [11].

Для проверки работоспособности программ посчитаны задачи сильного сжатия для случая плоской симметрии, когда известно точное решение [4,5]. Рассчитанные поля совпали с ним с точностью, близкой к машинному нулю. На рис. 5 приведен пример рассчитанной характеристической сетки и траектории поршня. По оси абсцисс отложена координата r траектории частицы газа, полученная в процессе решения, по оси ординат - время t. Выделенная прямая в верхней части рисунка - характеристика верхнего треугольника, которая пересекает траекторию поршня в момент времени (t_* - 0.0001).

Рис. 5. Пример рассчитанной характеристической сетки

Результаты сравнения численно построенных решений с точным решением для случая плоской симметрии (н = 0) - результаты сравнения четырёх численных решений с точным - представлены в таблице 1. Варьировались следующие параметры: г - показатель политропы идеального газа, d_*, с_max- ширина сжимаемого слоя и максимальная плотность слоя газа. Посчитаны и приведены в таблице нормы разности чиленнополученных и точных значений скорости звука и скорости газа. Используются обозначения: c_ex, c_num, u_ex, u_num- точное (exact) и численное (numerical) значения скорости звука и скорости газа, - норма.

Таблица 1. Нормы разностей численного и точного решений

Построенная численно траектория сжимающего поршня тоже удовлетворительно согласуется с точным решением [1]. Поточечная норма разности убывает обратно пропорционально возрастанию числа точек в расчете. В таблице 2 приведены нормы ошибки при сгущении сетки для случая г=1.4, d_*=10; с_max=10⁴.

Таблица 2. Норма погрешности при расчёте траектории поршня

Основываясь на данных из таблиц 1 и 2, можно сделать вывод об адекватном описании предложенным алгоритмом решения задачи о сильном сжатии одномерного газового слоя в случае плоской симметрии.

Далее приводятся результаты численных экспериментов в случаев н = 1, 2, для которых не существует точного решения в аналитическом виде.

В качестве критерия точности полученного решения задачи мы вслед за авторами [1,4] выбрали: масса несжатого слоя шириной d₀ равна массе сжатого слоя шириной d_*, т. е. проверялось равенство масс в начальный и конечный моменты сжатия газа.

Такая поверка выполнялась и в промежуточные моменты сжатия. В таблице 3 приведены варианты расчётов, в которых различие масс Дm сжатого и несжатого газа колеблется 0.02 до 0.85%. Точность можно повышать, уменьшая Дt, увеличивая пдробность сетки и уменьшая временной шаг.

Таблица 3. Результаты численных экспериментов

По представленным результатам можно сделать вывод, что алгоритм решения задачи сильного сжатия строит решение и адекватно описывает процесс сжатия. Время счёта не превышает нескольких минут.

Автор выражает своему научному руководителю С. П. Баутину, д-ру физ.-мат. наук, профессору признательность за внимание, помощь и поддержку.

Литература

1. Баутин С.П. Математическое моделирование сильного сжатия газа. Новосибирск. Наука, 2007. 308 c.

2. Накколс Дж. Г. Осуществимость инерциально-термоядерного синтеза // Успехи физических наук. 1984. Т. 143. № 3. С. 467-482.

3. Забабахин Е. И., Забабахин И. Е. Явления неограниченной кумуляции. М. Наука, 1988. 173 c.

4. Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.:Гос. изд-во техн.-теоp. лит-pы, 1955. 804 c.

5. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.:Издательство иностранной литературы, 1961. 588 с.

6. Анучин М. Г. Влияние теплопроводности на неограниченное безударное сжатие плоского газового слоя // ПМТФ. 1998. Т. 39. №4. С. 25-32.

7. Баутин С. П. Асимптотические законы безударного сильного сжатия квазиодномерных слоев газа // Прикладная математика и механика. 1999. 63. Вып. 3. С. 415-423.

8. Баутин С.П. Характеристическая задача Коши и ее приложения в газовой динамике. Новосибирск, Наука, 2009. 367 с.

9. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1968. 529 с.

10. Баутин С.П., Николаев Ю.В. Об одном методе расчёта безударного сильного сжатия одномерных слоёв газа // Вычислительные технологии. 2000. Том 5. №4. С 3-12. ISSN 1560-7534

11. Николаев Ю.В. О численном решении задачи безударного сильного сжатия одномерных слоёв газа // Вычислительные технологии. 2001. Том 6. №2. С. 104-108. ISSN 1560-7534

Размещено на Allbest.ru