Анализ линейных электрических цепей однофазного синусоидального тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования

«Самарский Государственный технический университет» в г.Сызрани.

Кафедра «Электротехника, информатика и компьютерные технологии»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА

Выполнил:

Запорова А.А.

Проверил:

Андреев И.А.

Сызрань 2017



1. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

Основные законы и методы анализа линейных цепей постоянного тока

1.1 Основные положения и соотношения

Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь для прохождения электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, токе и напряжении. Для расчета и анализа электрической цепи, состоящей из любого количества различных элементов, удобно эту цепь представить в виде схемы замещения. Схема замещения это расчетная модель электрической цепи. Схема замещения электрической цепи включает в себя источники мощности (активные элементы) и приемники (пассивные элементы). В качестве пассивного линейного элемента в цепях постоянного тока выступает резистор, имеющий электрическое сопротивление R. Единица измерения Ом. Величина, обратная сопротивлению, называется электрической проводимостью: G = 1/R. Единица измерения См - сименс. В качестве активных элементов - источников электромагнитной энергии, в схеме замещения используются так называемые источники ЭДС и тока.

Идеальный источник электродвижущей силы (ЭДС) характеризуется напряжением U, которое не зависит от тока / и определяется электродвижущей силой Е. Внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю, поэтому U = Е.

Идеальный источник тока характеризуется током /, который не зависит от напряжения U (внутренняя проводимость источника тока равна нулю, сопротивление источника тока бесконечно велико).

Реальный источник ЭДС имеет внутреннее сопротивление R0

Источник тока реальный может быть изображен в виде параллельной схемы, содержащей источник тока J, численно равный току короткого замыкания источника тока и проводимости G0.

Участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток, называется ветвью. Место соединения трех и более ветвей называется узлом. Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, называется контуром электрической цепи.

Закон Ома. Этот закон применяется для ветви или для одноконтурной замкнутой цепи (не имеющей разветвлений). При написании закона Ома следует, прежде всего, выбрать произвольно некоторое условно-положительное направление тока. Для ветви, состоящей только из резисторов и не содержащей ЭДС (например, для ветви тп, рис.1.1) при положительном направлении тока от точки т к точке п применяется закон Ома для участка цепи: , где ( - потенциалы точек т и п; Umn - разность потенциалов или напряжение между точками т и и; Rmn = R4 + R5 - общее (эквивалентное) сопротивление ветви между точками т и п.

Для ветви электрической цепи, содержащей ЭДС и резисторы (например, для ветви acb, рис.1.1):



где - напряжение на концах ветви acb, отсчитываемое по выбранному положительному направлению тока, - алгебраическая сумма ЭДС, находящихся в этой ветви, ?Rab=R1 + R2 + R3 - арифметическая сумма ее сопротивлений. Со знаком "+" берут ЭДС, в которых их направления совпадают с выбранным положительным направлением тока, а со знаком "-" - ЭДС с противоположными направлениями.

Для замкнутой одноконтурной цепи применяется полный (обобщенный) закон Ома: (?E - алгебраическая сумма ЭДС контура; ?R - арифметическая сумма сопротивлений контура).

Законы Кирхгофа. Для написания законов Кирхгофа необходимо задаться условно-положительными направлениями токов каждой ветви.

Первый закон Кирхгофа применяется для узлов электрической цепи: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, т.е.

, где т - число ветвей, соединенных в данном узле. Приняв токи, направленные от узла, условно положительными, а направленные к нему - отрицательными, для узла а схемы рис.1.1 уравнение первого закона Кирхгофа примет вид: /1 + /4 - /6 = 0.

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи: алгебраическая сумма падений напряжений на элементах (резисторах) замкнутого контура электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре, т.е. , где g - число пассивных элементов (резисторов) в контуре; р - число ЭДС рассматриваемого контура.

Для записи второго закона Кирхгофа произвольно выбирают направление обхода контура. При записи левой части равенства со знаком "+" берутся падения напряжения на тех резисторах, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направлением обхода (независимо от направления ЭДС в этих ветвях), а со знаком "-" берутся падения напряжения на тех резисторах, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода. При записи правой части равенства, положительными принимаются ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода контура (независимо от направления тока, протекающего через них), и отрицательными, когда направление ЭДС не совпадают с выбранным направления обхода контура. Законы Кирхгофа должны выполняться для любого момента времени. Для внешнего контура электрической цепи, рис.1.1, при его обходе от точки а по часовой стрелке, второй закон Кирхгофа примет вид:

Задание №1

Для электрической цепи с заданным графом (рис. 1.1- 1.4 ), схемой ветвей (рис. 1.5) и заданными параметрами элементов схемы (табл. 1.1) провести следующий анализ:

1 Составить матрицу соединений [А].

2 Нарисовать одно из деревьев графа с указанием (штриховой линией) ветвей связи.

3 Выбрать главное сечение и составить матрицу сечений [Д].

4 Записать с помощью матриц [А] и [Д] две системы уравнений по первому закону Кирхгофа (для узлов и сечений).

5 Выбрать главные контуры и составить матрицу контуров [В].

6 Записать с помощью матрицы [В] систему уравнений по второму закону Кирхгофа.

7 Записать для каждой ветви компонентное уравнение ветви (используя обобщённый закон Ома).

8 Составить систему узловых уравнений, определить потенциалы, напряжения на ветвях и токи в ветвях.

9 Составить систему контурных уравнений, определить токи в ветвях.

Внимание! Уравнения по п.8 и 9 составить без эквивалентного преобразования электрической схемы.

10 Определить ток I4 в четвёртой ветви методом эквивалентного генератора.

11 Проверить соблюдение баланса мощности в электрической цепи. Определить расход энергии за t = 10 секунд.

12 Для любого контура с двумя источниками ЭДС построить потенциальную диаграмму.

Схема с положительными направлениями токов и напряжений, выбранными по направленному графу.

Решение:

1. Составить матрицу соединений [A]:

Узловая матрица (матрица соединений) - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы - ветвям схемы.
Для графа имеем число узлов m=4 и число ветвей n=6.

Нарисовать одно из деревьев графа с указанием (штриховой линией) ветвей связи:

Дерево графа получают, соединяя узлы графа ветвями без образования замкнутых контуров. Ветви, вошедшие в дерево, называют ветвями дерева. Ветви, не вошедшие в дерево, называют хордами (или ветвями связи). Присоединение какой-либо хорды к дереву приведет к образованию контура. У графа может быть несколько деревьев.

Например, в том случае, когда надо отобрать «наилучшее» дерево, а критерий, позволяющий осуществить такой отбор, является очень сложным (или даже частично субъективным), так что непосредственное решение задачи оптимизации (не использующее перечисление всех остовных деревьев) оказывается невыполнимым. В других ситуациях, например при нахождении передаточной функции системы или при вычислении определителей некоторых матриц в макроэкономической теории, с помощью порождения всех остовов соответствующих графов можно добиться упрощения вычислительных процедур.

Выбрать главные сечения и составить матрицу сечений [Д]:

Матрица сечений - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы - ветвям графа.

Матрица Q, составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений.

Элемент qij матрицы Q равен 1, если ветвьвходит в i-е сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0, если ветвьj не входит в i-е сечение.



Номера сечений указаны в кружочках.

Матрица сечений

Записать с помощью матриц [А] и [Д] две системы уравнений по первому закону Кирхгофа (для узлов и сечений)/

При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов, так как при записи уравнений для всех m узлов одно (любое) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации.

Введем столбцовую матрицу токов ветвей

Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:

- где O- нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица А, а не АН, т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов.

В качестве примера запишем для схемы на рисунке



1.2 Выбрать главные контуры и составить матрицу контуров

Главный контур - контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи.

Контурная матрица (матрица контуров) - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы В соответствуют контурам, а столбцы - ветвям схемы.

Элемент bij матрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода контура, и 0, если ветвь j не входит в контур i.

Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура.

Матрица контуров:

Записать с помощью матрицы [В] систему уравнений по второму закону Кирхгофа.

[B][U]=0

Записать для каждой ветви компонентное уравнение (используя обобщенный закон Ома):

Компонентные уравнения (уравнения ветвей) представляют собой математические модели соответствующих ветвей и выражают ток или напряжение каждой ветви через параметры элементов этой ветви. Число таких уравнений равно числу ветвей, а вид каждого из них зависит только от состава ветви, т. е. от входящих в нее идеализированных двухполюсных элементов. При расширенном топологическом описании число ветвей и, следовательно, число компонентных уравнений равны числу идеализированных двухполюсных элементов, а компонентные уравнения имеют наиболее простой вид, связывающие между собой ток и напряжение на зажимах идеализированных активных и пассивных элементов. Таким образом, уравнения, составленные на основании закона Ома, представляют собой компонентные уравнения (математические модели) ветви, содержащей один идеализированный пассивный элемент -- сопротивление, выражения -- это компонентные уравнения ветвей, содержащих источник напряжения или тока. При сокращенном топологическом описании число компонентных уравнений уменьшается в соответствии с уменьшением числа ветвей, но сами уравнения принимают более сложный вид

.

UR5=I5-J5

U5=(I5-J5)R5

U5=ц2-ц4

U6=I6R6-E6

U6=ц6-ц3

1.3 Составить систему узловых уравнений, определить потенциалы, напряжения на ветвях и токи в ветвях

Ток в любой ветви схемы можно найти по обобщенному закону Ома. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать значение потенциалов узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов. Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по I закону Кирхгофа. Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, - один из основных расчетных методов. В том случае, когда п - 1 < p (n - количество узлов, p - количество независимых контуров), данный метод более экономичен, чем метод контурных токов.

Для решения методом узловых потенциалов принимаем ц1 = 0 .

Система узловых уравнений: число уравнений N=Ny-NB-1, где: Ny=4 - число узлов, NB=1 - число вырожденных ветвей (ветви с 1-м источником ЭДС), т.е. для данной цепи: N=4-1-1=2.

где ц4=Е1, т.е.

0.17+0.1+0.1=0.37 Om

U1=-E1=-4B

U2=ц1-ц2=4.4B

U3= ц3-ц1=1.43B

U4= ц2-ц3=-2.97B

U5= ц2-ц4=-6.55B

U6= ц4-ц3=0.72B

I3=J3=1A

I1=J3-I2=1-0.73=0.27A



IR5=I5-J5 I5=IR5+J5=-0.66+2=1.34A

Проверка

I1-I3+I2=0,29-1+0,71?0

I6-I1+I5=1.68-0.27-1.34?0

Составить систему контурных уравнений, определить токи в ветвях:

Мемтод комнтурных томков -- метод сокращения размерности системы уравнений, описывающей электрическую цепь.

Метод контурных токов -- метод расчёта электрических цепей, при котором за неизвестные принимаются токи в контурах, образованных некоторым условным делением электрической цепи. Любая электрическая цепь, состоящая из Р рёбер (ветвей, участков, звеньев) и У узлов, может быть описана системой уравнений в соответствии с 1-м и 2-м правилами Кирхгофа. Число уравнений в такой системе равно Р, из них У-1 уравнений составляется по 1-му правилу Кирхгофа для всех узлов, кроме одного; а остальные Р-У+1 уравнений - по 2-му правилу Кирхгофа для всех независимых контуров. Поскольку независимыми переменными в цепи считаются токи рёбер, число независимых переменных равно числу уравнений, и система разрешима.

Существует несколько методов сократить число уравнений в системе. Одним из таких методов является метод контурных токов.

Метод использует тот факт, что не все токи в рёбрах цепи являются независимыми. Наличие в системе У-1 уравнений для узлов означает, что зависимы У-1 токов. Если выделить в цепи Р-У+1 независимых токов, то систему можно сократить до Р-У+1 уравнений. Метод контурных токов основан на очень простом и удобном способе выделения в цепи Р-У+1 независимых токов.

Метод контурных токов основан на допущении, что в каждом из Р-У+1 независимых контуров схемы циркулирует некоторый виртуальный контурный ток. Если некоторое ребро принадлежит только одному контуру, реальный ток в нём равен контурному. Если же ребро принадлежит нескольким контурам, ток в нём равен сумме соответствующих контурных токов (с учётом направления обхода контуров). Поскольку независимые контура покрывают собой всю схему (т.е. любое ребро принадлежит хотя бы одному контуру), то ток в любом ребре можно выразить через контурные токи, и контурные токи составляют полную систему токов.

На рисунке выбраны независимые контуры и их направление обхода (положительное направление контурных токов).

Число уравнений равно числу независимых контуров, ветвь с источником тока не может создать независимый контур.

т.е. J5 как контурный ток "замыкаем" через R5, J3, через R2, E4, R4. В матричной форме:



=

=

I1=IK1=0.29A

I2=-IK1+J3=-0.29+1=0.71A

I3=J3=1A

I4=-IK2+J3=-1.6+1=-0.6A

IR5=-IK1-J5+IK2=-0.28-2+1.6=-0.68A

I5=J5+IR5=2-0.68=1.32A

I6=1.6A

Определить ток I4 в четвертой ветви эквивалентного генератора:

Метод эквивалентного генератора позволяет произвести частичный анализ электрической цепи. Например, определить ток в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи и исследовать поведение этой ветви при изменении ее сопротивления. Сущность метода заключается в том, что по отношению к исследуемой ветви amb (рис. 1.28, а) сложная цепь заменяется активным двухполюсником А (смотри рис. 1.23), схема замещения которого представляется эквивалентным источником (эквивалентным генератором) с ЭДС Eэ и внутренним сопротивлением r0э, нагрузкой для которого является сопротивление R ветви amb. Если известны ЭДС и сопротивление эквивалентного генератора, то ток I в ветви amb определяется по закону Ома

.



Покажем, что параметры эквивалентного генератора Eэ и r0э можно определить соответственно по режимам холостого хода и короткого замыкания активного двухполюсника. В исследуемую схему введем два источника, ЭДС которых E1 и Eэ равны и направлены в разные стороны (рис. 1.28, б). При этом величина тока I в ветви amb не изменится. Ток I можно определить как разность двух токов I=Iэ?I1, где I1 - ток, вызванный всеми источниками двухполюсника А и ЭДС E1; Iэ - ток, вызванный только ЭДС Eэ. Если выбрать ЭДС E1 такой величины, чтобы получить в схеме ток I1=0, то ток I будет равен

,

где r0э - эквивалентное сопротивление двухполюсника А относительно выводов а и b.

EЭГ - определяем как U23XX

- определяем как RВН23 при разомкнутой четвертой ветви.

Эквивалентная схема для определения RВНЭГ:

Схема для определения EЭГ: U 23xx = (ц2 - ц3 )xx ;

ц1=0;



пусть ц4=E1 =4B

ц2 (0.17+0.1) -4*0.1=-2B

ц2=-1.6/0.27=-5.93B

I=J3 ц4- ц3=U34=-E6+IR6=-6+4=-2B

E1-ц3=-4 ц3=1+4=5B

EЭГ= U 23xx =(ц2-ц3) xx=-5.93-5=-10.93B

Проверить соблюдение баланса мощности в электрической цепи. Определить расход энергии за t=10 с.

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии -- суммарная мощность вырабатываемая (генерируемая) источниками электрической энергии равна сумме мощностей потребляемой в цепи.

Баланс мощностей используют для проверки правильности расчета электрических цепей. Здесь мы рассмотрим баланс для цепей постоянного тока. Например. У нас есть электрическая цепь. Правильность расчета электрической цепи проверяется составлением баланса мощностей.

В электрической цепи всегда сохраняется баланс мощностей: мощность, выработанная источником питания, равна мощности, потребляемой приемниками электрической энергии. Это положение вытекает из закона сохранения энергии.

Рист = Рпр.

Мощность источников электрической энергии:

Мощность, потребляемая приемниками электрической энергии:



Мощность, расходуемая источниками:

Pи = E1 I1 + E4 I4 + J 3( - U 3 ) + E6 I6 + J 5( - U 5 )=4*0.27+6*(-0.6)+1*1.43+ +6*1.6+2*(6.55)=1.08-3,6+1.43+9,6+13.1=20,18Вт

Мощность, рассеиваемая резисторами:

PH = I 22 R2 + I42 R4 + I R52 R5 + I62 R6 =0,732*6+(-0,3)2*10+0,662*10+1,682*4= =3,19+0,9+4,36+11,29=19,74 Вт.

РИ ? РН

Энергия, расходуемая за t=10 с. в электрической цепи:

W=Pt= 20,18 * 10 =201,8 Дж.

Для любого контура с двумя источниками ЭДС построить потенциальную диаграмму:

Потенциальная диаграмма - это графическое изображение изменения потенциала в электрической цепи в зависимости от сопротивлений участков при обходе замкнутого контура, то есть график зависимости

.

По оси абсцисс в масштабе откладываются сопротивления между характерными точками, а по оси ординат - их потенциалы. Потенциальная диаграмма позволяет определить напряжения между любыми точками цепи, если на оси ординат отмечены потенциалы соответствующих точек.

Чтобы построить потенциальную диаграмму, необходимо выполнить следующее:

- рассчитать электрическую цепь;

- разбить цепь на характерные точки, между которыми содержится один элемент (сопротивление или ЭДС);

- заземлить любую точку, потенциал в которой будет равен нулю, а потенциалы других точек вычислить. Если Н.О. совпадает с направлением тока, то потенциал уменьшается, при совпадении Н.О с направлением ЭДС потенциал увеличивается;

- на оси абсцисс в выбранном масштабе откладываются сопротивления между характерными точками, начало координат должно соответствовать нулевой точке;

- на оси ординат в масштабе откладываются потенциалы характерных точек; линейный ток напряжение электроприемник

- полученные точки соединяются прямыми линиями.

Потенциальная диаграмма, обход по контуру: E1, E6, R6, R4, R2 показана.



2. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Установившийся режим линейной электрической цепи, питаемой от источников синусоидальных ЭДС и токов

Электрической цепью переменного тока принято называть совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий ЭДС, тока и напряжения. Причем эти понятия являются функциями времени. ЭДС е, ток i и напряжение и задаются мгновенными значениями, т.е. значениями в дискретный момент времени, и описываются изменяющимися во времени функциями.

Линейная цепь переменного тока состоит из пассивных линейных элементов с параметрами: R - сопротивление; L - индуктивность; С - емкость. В установившемся режиме под воздействием переменных ЭДС в цепях возникают переменные токи. Среди этих воздействий важнейшую роль играют гармонические колебания. При воздействии переменной во времени ЭДС в линейных электрических цепях возникают физические процессы, изменяющиеся по гармоническим законам.

Наибольшее распространение получили электрические цепи с синусоидальным изменением тока (напряжения ЭДС). Аналитическое выражение тока



График синусоидальной функции времени для этого тока приведен на рис.2.1 Синусоидальное колебание i{t) характеризуется следующими основными параметрами: амплитудой /„, угловой (круговой) частотой щ, начальной фазой шi.

Наименьший промежуток времени, по истечении которого значения функции i (t) повторяются, называется периодом Т. Между периодом и круговой частотой существует простая связь: Т = 2р / щ. Величину, обратную периоду, называют циклической частотой: f= 1/Т. Из выше изложенного следует, что щ = 2р f. Единицей измерения частоты f является герц (Гц), угловой частоты - радиан в секунду (рад/с). Для питания различных электроэнергетических установок в России принята промышленная частота f=50 Гц, тогда угловая частота

.

В выражении (2.1) в скобках при функции синуса - фаза синусоидального электрического тока (фаза тока), т.е. аргумент синусоидального тока, отсчитываемый от точки перехода тока через нуль к положительному значению. В этой формулировке заключен смысл начала отсчета времени. При - начальная фаза синусоидального электрического тока или значение фазы синусоидального тока в начальный момент времени. На оси времени t удобнее откладывать время в специальных единицах .

Аналогичный вид имеют выражения для синусоидального напряжения и и ЭДС е:



Важными параметрами гармонических колебаний являются их действующие и средние значения. Действующим значением синусоидального тока называется такое значение постоянного тока, при прохождении которого в одном и том же резисторе с сопротивлением R за время одного периода Т выделяется столько же теплоты Qnост., сколько и при прохождении синусоидального тока Qпеp,. Зная, что

и приравняв их можно показать, что действующее значение тока равно:

.

Аналогично вводят действующие значения напряжения и ЭДС . Важно знать, что в паспорте электротехнических устройств синусоидального тока указаны действующие значения напряжений U и токов /, большинство измерительных приборов проградуированы так, что они показывают действующие значения синусоидальных токов и напряжений.

Среднее значение тока i определяется за половину периода Т/2 (за полный период оно равно нулю): . Аналогично определяется .

Задание №2.

1. На основании законов Кирхгофа составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях, записав её в двух формах:

а) дифференциальной;

б) символической.

2. Определить комплексы действующих значений тока во всех ветвях воспользовавшись одним из методов расчета линейных электрических цепей.

3. По результатам, полученным в п.2, определить показания ваттметра двумя способами:

а) с помощью выражения для комплексов тока и напряжения на ваттметре;

б) по формуле .

С помощью векторной диаграммы тока и напряжения, на которые реагируют ваттметры, пояснить определение угла .

4. Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой тока. При этом потенциал точки , указанной на схеме, принять равным нулю.

5. Пологая, что между двумя любыми индуктивными катушками, расположенными в различных ветвях заданной схемы, имеется магнитная связь при коэффициенте взаимной индуктивности, равном М составить в общем виде систему уравнений по законам Кирхгофа для расчета токов во всех ветвях схемы записав её в двух формах:

а) дифференциальной;

б) символической.

Данные

,

,

,

,

В

В

f=55 Гц

2.1 Подготовка исходных данных

,

,

,

,

,

Решение:

1. На основании законов Кирхгофа составим в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях

а) Дифференциальная форма:

б) Символическая форма:

2. Определим комплексы действующих значений тока во всех ветвях, воспользовавшись методом между двумя узлами

,

,

Обсудим сначала физический смысл закона Ома, относящегося к участку цепи, содержащему только идеальный резистор. Закон Ома утверждает, что для поддержания тока на участке к нему надо приложить постоянное напряжение, причем сила тока и напряжение пропорциональны друг другу: U = IR. Но это означает, что для поддержания направленного движения свободных зарядов на них должна действовать постоянная сила со стороны электрического поля E? E>. В случае участка цепи без источников это поле является электростатическим

E? =E? el E>=E>el

оно создается самими зарядами проводника. (В процессе установления тока заряды вдоль всей цепи за очень короткое время перераспределяются таким образом, чтобы создать нужное поле.) Переформулируем закон Ома следующим образом: если ток на участке цепи поддерживается полем E? E>, то сила тока пропорциональна работе этого поля по переносу единичного заряда с одного конца участка на другой. Напомним, что в случае электростатического поля эта работа равна разности потенциалов.

Обозначим один конец участка цифрой 1, а другой цифрой 2 и запишем закон Ома в виде

U12=I12R U12=I12R,

где U12 = ц1 - ц2, I12 = +I, если ток течет от 1 к 2, и I12 = -I для тока, текущего навстречу движению, т.е. от 2 к 1. Такая форма записи, позволяющая передвигаться по участку цепи в любом направлении, очень удобна.

Теперь предположим, что на этом же участке цепи действуют сторонние силы. Вспомним, что численной характеристикой сторонних сил является ЭДС (электродвижущая сила), которая определяется как работа сторонних сил по переносу единичного заряда с одного конца участка цепи на другой. Определим величину е12 как работу сторонних сил по переносу единичного заряда от 1 к 2, т.е. е12 = +е, если сторонние силы направлены по движению (от 1 к 2), и е12 = -е в противоположном случае (рис.1).

Рис. 1

Направленное движение зарядов на участке цепи теперь поддерживается как электростатическим полем E? el E>el, так и полем сторонних сил E? st E>st. Точнее, оно определяется суммарным полем E? =E? el+E? st E>=E>el+E>st, и поскольку заряды не могут «отличить» суммарное поле от чисто электростатического, то разумно предположить, что сила тока так же зависит от суммарного поля, как раньше (в отсутствие источников) она зависела от электростатического поля. А именно, сила тока пропорциональна работе суммарного поля E? E> по переносу единичного заряда с одного конца участка на другой. Эта работа состоит из двух частей -- из работы электростатического поля, равной разности потенциалов, и из работы сторонних сил, равной, по определению, ЭДС:

I12R=ц1?ц2+е12 I12R=ц1?ц2+е12 ,

где R -- сопротивление участка цепи, включая внутреннее сопротивление источника.

Еще раз сформулируем правила знаков. Если направление тока на рассматриваемом участке неизвестно, то его выбирают произвольным образом (если после расчетов получится I < 0, значит, действительное направление тока противоположно выбранному, но величина тока найдена правильно). При движении от точки 1 к точке 2 надо записать I12 = I, если мы идем по току, и I12 = -I, если против. Если мы идем по сторонним силам, то е12 = е, а если против, то е12 = -е. Например, для рисунка 2 получаем

Рис. 2



IR=ц1?ц2+е ?IR=ц1?ц2+е .

Рассчитаем токи в ветвях по обобщенному закону Ома:

,

,

,

Сделаем проверку по 1-му закону Кирхгофа:

a)

,

3. Определим показания ваттметра

а) с помощью выражения для комплексов тока и напряжения на ваттметре;

,

,

В

,

,

б) по формуле ;

С помощью векторной диаграммы тока и напряжения, на которые реагируют ваттметры, пояснить определение угла .

- фазовый сдвиг вектора тока относительно вектора напряжения

4. Построим топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой тока. При этом потенциал точки а примем равным нулю

,

,

,

,

,

6. Полагая, что между двумя индуктивными катушками расположенных в различных ветвях заданной схемы, имеется магнитная связь при коэффициенте взаимной индуктивности, равном M, составим в общем виде систему уравнений по законам Кирхгофа для расчета токов во всех ветвях схемы

Для этого введем дополнительно вторую индуктивную катушку в первой ветви

а) Дифференциальная форма записи:

(а)

,

б) Символическая форма записи:

(a),

,



3. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

3.1 Трехфазные симметричные источники и электроприемники

Основные определения.

Многофазной системой электрических цепей называется совокупность электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одной и той же частоты, создаваемые общим источником энергии и сдвинутые относительно друг друга по фазе. Как ранее отмечалось, термин фаза обозначал стадию синусоидального процесса. Введем ее второе понятие: фаза многофазной системы - часть многофазной электрической цепи, в которой может протекать один из токов многофазной системы. По числу фаз многофазные системы электрических цепей подразделяются на двух-, трех-,..., т - фазные системы. Наибольшее распространение получили трехфазные (т = 3) и кратные трем (т = 6, т = 12) системы.

Трехфазная система электрических цепей, в которой отдельные фазы электрически соединены друг с другом называется трехфазной цепью. Такие цепи составляют основу электроэнергетики.

Достоинствами трехфазной системы, обусловившими ее исключительно широкое применение в системах электроснабжения, являются:

1) использование, при передаче заданной мощности, меньшего числа проводов, чем в несвязанных однофазных системах;

2) наличие двух уровней напряжения - фазного и линейного, что позволяет питать различные нагрузки без применения трансформаторов;

3) сравнительная легкость создания вращающегося магнитного поля, необходимого для работы трехфазных электрических машин.

Симметричные источники. Преобладающая часть мощных генераторов и приемников электрической энергии вырабатывают и потребляют трехфазные синусоидальные токи. В обмотках статора трехфазного генератора - фазах А, В, С - генерируется три ЭДС одинаковой частоты и амплитуды, имеющие фазовый сдвиг 120° (или 2р/3). Такая система ЭДС называется симметричной (рис.3.1, а). Комплексные изображения ЭДС подобной трехфазной системы имеют вид:

.

Наиболее характерное свойство такой системы - сумма фазных ЭДС равна нулю, т.е. .

Фазные обмотки трехфазного генератора соединяются между собой. Это может осуществляться посредством объединения концов обмоток в общем узле N - соединение звездой ("Y") (рис.3.1, б). Поскольку выполняется соотношение (3.1), то фазные обмотки можно соединить и последовательно - соединение треугольником ("А") (рис.3.1, с).

Симметричные электроприемники.

Трехфазные электроприемники соединяют аналогичным способом (звездой и треугольником). Симметричным называется приемник, комплексные сопротивления которого для каждой фазы равны. При соединении звездой (рис.3.2, а)

Последнее равенство распадается на два равенства: - равенство модулей и - равенство фаз. При соединении треугольником (рис.3.2, б) . Аналогично два равенства:

и .

Путем эквивалентных преобразований можно перейти от одного способа соединения к другому. Для симметричных приемников переход:

Трехфазная система с нагрузкой

Несимметричная трехфазная система по схеме звезда с нейтральным проводом (четырехпроводная).

В этом случае определение токов в фазах и тока в нейтральном проводе , в незначительной степени отличается от рассмотренного выше случая. Искомые токи в фазах, они же линейные токи, также определяются по закону Ома. Естественно, что токи в фазах уже не будут равны между собой как по модулю, так и по фазе. Ток в нейтральном проводе определяется по первому закону Кирхгофа и не равен нулю. Величину этого тока можно определить как сложением токов в фазах, представленных в комплексной форме, так и сложением векторов фазных токов на комплексной плоскости. Напряжение между точками nN, как и для предыдущего случая, будет равно нулю, т.е. . Несимметричная трехфазная система по схеме звезда без нейтрального провода (четырехпроходная). При отсутствии нейтрального провода потенциал нейтральной точки "и" несимметричного приемника электроэнергии будет не равен потенциалу нейтральной точки "N" источника. Для этого случая фазные напряжения электроприемника и источника электроэнергии не равны друг другу, т.е.

Электрическая цепь состоит из параллельных ветвей с источниками ЭДС и в общем случае одной параллельной ветви (нейтральный провод) с пассивным элементом () и содержит два узла N и n. В соответствии с методом узловых напряжений (метод двух узлов) напряжение между узлами N и п определяется выражением:

где - комплексные проводимости фаз (в общем случае не равные между собой); - проводимость нейтрального провода.

Вектор напряжения , будет направлен из точки N, причем его концу будет соответствовать потенциал точки и приемника (может лежать как внутри, так и вне треугольника линейных напряжений). Фазное напряжение это напряжение между точками а и п. Поэтому на диаграмме вектор напряжения Uan направлен от точки п к точке а. Аналогично строятся фазные напряжения и .

Построенные таким образом векторы напряжений для фаз приемника полностью удовлетворяют уравнениям второго закона Кирхгофа:

После того как определены фазные напряжения, токи в фазах определяются по закону Ома, причем для этого случая должно выполняться условие первого закона Кирхгофа

Симметричная трехфазная система с нагрузкой по схеме треугольника - это объединение трехфазного источника (рис.3.1, с) и симметричного трехфазного электроприемника (рис.3.2, б), каждый из которых соединен в треугольник, причем Линейные напряжения на зажимах А, В, С источника являются одновременно линейными напряжениями на электроприемнике следовательно, . Эти же напряжения являются фазными для электроприемника.

Комплексные линейные напряжения определяются выражениями:

Исходя из свойств симметричных систем, можно записать: . Модули фазных напряжений электроприемника - одновременно линейные напряжения на его зажимах, т.е.

Токи в фазах электроприемника определяются по закону Ома:

При симметричной нагрузке, полагая, модули токов в фазах одинаковы

По первому закону Кирхгофа для узловых точек а, b, с можно записать:

Токи протекают в линейных проводах, т.е. это линейные токи, имеющие одинаковые модули .

Соотношение между линейными и фазными токами

Несимметричная трехфазная система характеризуется тем, что комплексные сопротивления фаз не равны друг другу, т.е. Токи в фазах электроприемника определяются по закону Ома и также несимметричны.

Следует отметить, что как для симметричной, так и несимметричной системы, выполняется условие равенства нулю линейных токов, т.е.1а+1b + 1с= 0. Это равенство легко получается суммированием линейных токов выражения, тогда в правой части все фазные токи сокращаются.

Задание №3

Соединение "звезда" с нейтральным проводом

Дано:



Фазное напряжение:

Комплексное фазное напряжение:

Комплексные сопротивления:

Токи в линейных проводах:



Токи в нейтральном проводе:

Проверим баланс мощностей:

Следовательно

Баланс мощностей сходится

Соединение "звезда" без нейтрального провода

Фазное напряжение:

Комплексное фазное напряжение:

Комплексные сопротивления:



Комплексные проводимости фазных нагрузок:

Токи в фазах приемника и линейных проводах рассчитываются по закону Ома:



Проверка:

Проверим баланс мощностей:

Следовательно:

Баланс мощностей сходится

Соединение "треугольник"

Примем комплексное напряжение в фазах:



Комплексные сопротивления нагрузок:

Комплексные фазные токи:

Комплексы линейных токов:

Проверим баланс мощностей:

Следовательно



Баланс мощностей сходится

Размещено на Allbest.ru

...