For a cylinder specimen (wire) of the diameter the cross section aria is:

(6.2)

and the mechanical stress is:

(6.3)

The value:

(6.4)

is called relative deformation that is the ratio of absolute lengthening to initial length.

Figure 6.1

The experiment proves that linear dependency occurs between ? and ? in elastic deformation area. In fig.6.2 OA region is the elastic deformation area where Hook's Law is true:

(6.5)

In the AB region a plastic deformation takes place, i.e. in the case when residual deformations ?r originates as soon as external forces stop acting upon. Stress is called limit of elasticity of the material.



Figure 6.2

Relation (6.5) proves Hook's Law, where E is elasticity module or Yung module that characterizes the elastic properties of a material. Yung module is equal to mechanical stress at which the rod length is doubled. The value of Yung's modulus basically is determined by the type of crystal lattice, i.e. by the forces of atomic bonds.

The value of Yung's modulus for some materials is shown in the table 6.1.

Table 6.1

№	Material	Е 109 , Pа
1	Steel	195 ?206
2	Cast iron	150
3	Ті	116
4	Сu	101
5	Ag	83
6	Al	71
7	Mg	44
8	Glass	49 ? 78
9	Plastic	1.7 ? 1.9

6.1 Experimental device

The experimental device is shown in fig.6.3.



Figure 6.3

Wire 1 is fixed on body 2. Platform 5 is fixed to the end of the wire. Weights 4 are placed on the platform. Lengthening of the wire is measured with the indicator of lengthening 3.

6.2 Experimental part

1. Measure the diameter of the wire with the slide gauge and the length of the wire with a ruler.

2. Load the wire with 2?3 weights to make it straight.

3. Fix the zero rotating the indicator scale.

4. Measure the lengthening of the wire ?l gradually loading it with the weights. Force F applied to the wire equals the sum of weights being loaded to the wire. Put down the results of the measurements m, F, ?l in a table 6.2. The length of the wire and its diameter are l = 1100 mm, d = 0,6 mm. Calculate mechanical stress and relative deformation according to formula 6.3 and 6.4. Put down the results in table 6.2.

Table 6.2

№	m, кg	F, H	?l,10-2, mm	, МPа	?	l , mm	d , mm
1						1100	0.6
2
3
4
5
6
7
8
9
10

5. Plot the dependency of ? = f(?) accordingly to fig. 6.4, i.e. draw the best straight line lying in the maximum density of experimental points. Choose any of two points 1 and 2 (but not from the table) to which values of , and , accordingly.

Figure 6.4

6. Calculate modulus of Yung by the formula:

(6.6)

Having such a method of determining the coefficient of proportionality (fig.6.4) between any values that laniary are related one to another, the all the totality of experimental data but not accidental value of any measurement is used. Using the data from table 6.1 determine the material of the wire.

7. Using the theory of errors estimate relative error of measurement Modulus of Yung by the formula:

(6.7)

where the value ?l calculate according to the formula:

(6.8)

where ? = 0.01 mm; . According to the formula:

(6.9) calculate the values: l (), m (), g (), (), d ().

6. On the base of relation ? = f(?) make the conclusion if the Hook Law is true.

Control questions

1. What is the determination of eelastic and plastic deformations?

2. What is the determination of the mechanical stress and the relative deformation?

3. What type is the graph of experimental dependence ?

4. What is the sens of Hook Law?

5. What is the physical sans of Yung modulus?

7. ВИЗНАЧЕННЯ КОЕФІЦІЄНТА ВНУТРІШНЬОГО ТЕРТЯ МЕТОДОМ СТОКСА

МЕТА РОБОТИ: Визначити коефіцієнт внутрішнього тертя рідини.

ПРИЛАДИ: скляний циліндр з мастилом, металеві кульки, штангенциркуль, секундомір, лінійка.

7.1 Опис. установки

Прилад (рис.7.1) уявляє собою скляний циліндр, наповнений випробуваною в'язкою рідиною (мастилом). На циліндр одягнені два кільця АВ та СД. Кільця можуть переміщуватись вздовж труби. Відстань між ними вимірюється лінійкою, а час руху кульок секундоміром.

Рисунок 7.1

7.2 Теорія методу Стокса

На кульку, що вільно падає у в'язку рідину діють такі сили:

Сила тяжіння

(7.1)

де r - радіус кульки, к = 7800 кг/м3 - густина кульки, g - прискорення вільного падіння. Виштовхуюча сила Архімеда

 (7.2)

де р = 960 кг/м3 - густина рідини.

Сила опору руху, зумовлена силами внутрішнього тертя між шарами рідини. При рухові кульки в рідині це сила Стокса

(7.3)

де - коефіцієнт внутрішнього тертя, ? - швидкість руху кульки, r - радіус кульки. Після занурення кульки в рідину рівнодіюча сил R, що діють на неї

(7.4)

Кулька рухається прискорено. По мірі зростання швидкості збільшується сила Стокса і настане мить, коли рівнодіюча R буде дорівнювати нулю. Згідно з першим законом Ньютона кулька рух кульки стане рівномірним. При цьому

(7.5)

Підстановка сил P, FА та Fо із виразів (7.1) ? (7.3) в (7.5) дає вираз для коефіцієнта внутрішнього тертя;

(7.6)

Швидкість рівномірного руху . Одержуємо із (7.6) робочу формулу

(7.7)

7.3 Порядок виконання роботи (завдання 1)

1. Виміряти штангенциркулем діаметр однієї кульки 5 разів. Отримані результати занести в таблицю 1.

2. Встановити кільце АВ (СД - нерухомо) на відстані 35 см від СД (це буде - L), кільце АВ повинно бути нижче рівня рідини на 10 см.

3. Опустити кульку в циліндр.

4. У мить проходження кульки через верхнє кільце ввімкнути секундомір, а при проходженні через нижнє - вимкнути.

5. Час проходження відстані L занести до таблиці 7.1.

Таблиця 7.1

№	r, м	,м	м2	L, м	L, м	t, с	t, с	Пас	/ Пас	Пас
1				0,35
2
3
4
5

(r)2=

6. Повторити виміри, вказані в пунктах 3?5 для останніх 4 кульок, змінюючи кожен раз Li - пересовуючи кільце СД на 5 см. Результати вимірювань занести до таблиці 7.2.

Таблиця 7.2

Li , м	35	40	45	50	55
ti , с

7. Розрахувати коефіцієнт внутрішнього тертя за (7.6), використовуючи дані r, L, t таблиці 7.1.

8. Побудувати графік залежності L = (t), використовуючи дані таблиці 7.2.

9. Обчислити відносну похибку / , виходячи з (7.6). При цьому півширину довірчого інтервалу g знайти як для табличної величини, а похибку табличних значень к та р не враховувати, вважаючи їх сталими величинами. Півширину довірчого інтервалу r розрахувати за формулою для 5 вимірів, а t та L для одиничного вимірювання. Границя основної допустимої похибки і похибки відліку v прийняти: для штангенциркуля = 0,05 мм; v = 0,05 мм; секундоміра = 0,2 с; v = 0,1 с; лінійки = 1 мм; v = 0,5 мм.

10. Знайти півширину довірчого інтервалу. Результати обчислень похибок занести до таблиці 7.1.

Інструкцію склав доц. кафедри фізики Серпецький Б.О.

Відредагував доц. Корніч В.Г.

Затверджена на засіданні кафедри (протокол № 8 від 08.03.2001 р.)

7.4 Порядок виконання роботи (завдання 2)

1. Вибрати 5 кульок приблизно однакового розміру.

2. Виміряти штангенциркулем діаметр кожної кульки по одному разу. Результати занести в таблицю.

3. Встановити верхнє кільце АВ приблизно на 10 см нижче рівня рідини, а нижнє СД на відстані L = 35 см від АВ.

4. Опустити кульку в циліндр і в момент проходження кульки через верхнє кільце увімкнути секундомір, а при проходженні через нижнє - вимкнути.

5. Відстань L і час проходження її кулькою t занести в таблицю 7.3.

Таблиця 7.3

№	r, мм	L, см	t, c	r2·t, мм2·с	і Пас	і Пас	[??i]2 Па2с2
1		35
2		40
3		45
4		50
5		55
							?[??i]2

6. Збільшити відстань L на 5 см, опустивши нижнє кільце СД.

7. Повторити виміри, вказані в пунктах 4?6, для останніх 4 кульок, змінюючи кожний раз L. Результати вимірювань занести до таблиці.

8. Розрахувати добуток r2t. Результати занести в таблицю 7.3.

9. Побудувати графік залежності цього добутку r2t в залежності від відстані L. Робоча формула (7.7) показує, що ця залежність повинна бути лінійною. Якщо експеримент дає дійсно пряму лінію, то теоретична формула (7.7), а отже і формула Стокса (7.3) вірні.

10. По формулі (7.7) знайти п'ять значень коефіцієнта в'язкості, та розрахувати випадкову похибку його вимірювання як для 5-ти кратних прямих вимірів. Знайти також відносну похибку /.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Яка фізична природа сили в'язкості в рідині та яка умова її виникнення?

2. Записати формулу Стокса для сили опору рухові кульки в рідині.

3. Яка необхідна умова для застосування методу Стокса?

4. Одержати робочу формулу для розрахунку коефіцієнта в'язкості методом Стокса.

5. В яких одиницях вимірюється коефіцієнт в'язкості?

Інструкцію склав доцент кафедри фізики Серпецький Б.О.

Відредагував, змінив і доповнив доцент кафедри фізики Манько В.К.

Затверджена на засіданні кафедри протокол № 3 від 01.12.2009 р.

8. MEASURING THE COEFFICIENT of internal friction BY STOCKS' METHOD

The aim: to determine the internal friction coefficient of a liquid.

Equipment: a glass cylinder filled of oil, with a scale and two sliding rings AB and CD; metal balls; a vernier caliper; a stopwatch.

8.1 Theory

For a body falling in a liquid, the equation of motion is

(8.1)

Here, is weight, is Archimedes' force and is the force of viscous friction. Stocks established a resistance force experienced by a ball, which moves with low speed in a viscous medium. This force is

(8.2)

where is the coefficient of viscous friction, is the radius of the ball, is the speed of motion. Criterion of “smallness” for the speed may be written as follows:

(8.3)

where is the Reynolds number, is the density of the medium.

Projecting the forces onto z-axis pointed out vertically from the surface of the liquid, we obtain

(8.4)

where = 7800 kg/m3 is density of the ball, = 960 kg/m3 is density of the liquid. Just after the ball has dipped into the liquid, it moves with acceleration, . The force of viscous friction increases until the moment of the force equilibrium

(8.5)

From this moment, the ball falls with constant speed. Assuming in (8.4), we obtain

(8.6)

8.2 Experimental part

1. Select 5 balls of approximately equal radius.

2. Fix the upper ring at the point of 0.1 m under liquid level. Place the lower ring CD at the distance 0.35 m from the upper one.

3. Measure radius of a ball by the vernier caliper. Drop the ball into the cylinder. Switch on the stopwatch at the moment the ball passes by the upper ring, and switch off it when the ball moves near the lower ring. Put down time of crossing the distance between rings into the table 8.1.

Table 8.1

№	, mm	, m	, s	, m/s	, Pa · s
1		0.35
2		0.40
3		0.45
4		0.50
5		0.55
	=

5. Draw the graph versus . Make conclusions about character of ball's motion. Determine the speed of motion as a slope of the line to the - axis.

6. Substituting speed and average radius into (8.6), calculate the coefficient of viscous friction .

7. Find out what is the main error in determination of . Estimate .

8. Examine condition (8.3).

Control questions

1. What is the physical origin of viscous friction in liquids and gases?

2. Write down Stocks' formula for resistance force experienced by a ball moving in a viscous medium.

3. What is condition of validity for Stocks' method?

4. Obtain (8.6) starting from the equation of ball's motion.

5. Substituting into (6) reasonable values for radius and speed, estimate the coefficient of viscous friction of water ( = 1000 kg/m3).

Authors: V.P. Kurbatsky, the reader, candidate of physical and mathematical sciences.

Reviewer: S.P. Lushchin, the reader, candidate of physical and mathematical sciences.

Approved by the chair of physics. Protocol № 3 from 01.12.2008 .

9. ПРУЖНИЙ УДАР КУЛЬ

МЕТА РОБОТИ: вивчення законів збереження механічної енергії та імпульсу.

ПРИЛАДИ: дві металеві кулі підвішені на легких стержнях, генератор імпульсів, лічильник імпульсів ПСО 2-2ЕМ.

9.1 Коротка теорія пружного удару

Ударом називається процес кінцевої зміни швидкостей тіл за відносно короткий час їх взаємодії. При абсолютно пружному ударі кінетична енергія руху тіл перетворюється в потенціальну енергію деформації, яка потім повністю знову перетворюється в кінетичну енергію. При такому ударі виникає абсолютно пружна деформація, коли форма і розміри тіл повністю відтворюються. Теплова (не механічна) енергія при такому ударі не виділяється, а отже система консервативна і замкнута (робота зовнішніх сил дорівнює нулю). В таких системах виконується закон збереження як імпульсу, так і механічної енергії.

Рисунок 9.1

Розглянемо пружний центральний удар. Запишемо рівняння збереження імпульсу та енергії:

, (9.1)

. (9.2)

При відомих масах тіл m1 і m2 та швидкостях 1 і 2 перед ударом знайдемо швидкості u1 та u2 після удару. Для цього рівняння представимо у вигляді

(9.3)

(9.4)

звідки після ділення рівняння (9.4) на (9.3) маємо

(9.5)

помноживши (9.5) на m2 і віднімаючи з (9.3), отримуємо:

, (9.6)

а помноживши (9.5) на m1 та додаючи до (9.3), отримуємо:

. (9.7)

Розглянемо такий випадок: маси тіл однакові m1 = m2 і одна із куль не рухається 2 = 0. Із (9.6) і (9.7) одержуємо u1 = 2; u2 = 1. Це означає, що тіла обмінюються швидкостями.

Схема установки показана на рисунку 9.2. Дві однакові сталеві кулі масою m1 = m2 = 0,6 кг. Закріплені на металевих стержнях довжиною l = 0,72 м. Відхилимо одну кулю від положення рівноваги на кут . Потенціальна енергія Eп = mgh. Після відпускання кулі ця енергія повністю переходить в кінетичну :

,

звідки

. (9.8)

З АВС випливає, що h = l(1-cos) = 2lsin2 / 2 . Тоді швидкість першої кулі до удару

(9.9)

Швидкість другої кулі до удару 2 = 0. Внаслідок пружного удару перша куля зупиняється і її швидкість після удару u1 = 0. Друга куля після удару починає рухатись з швидкістю u2 = 1, тобто кулі під час удару обмінюються швидкостями.

Рисунок 9.2

Імпульс кулі до удару p, Силу взаємодії куль F, кінетичну енергію кулі напередодні удару ЕК, можна визначити за формулами:

(9.10)

(9.11)

(9.12)

де m - маса кулі, - тривалість удару, - кут, на який відхиляється куля, g - прискорення вільного падіння, l - довжина підвісу.

Тривалість удару куль залежить вiд кута

(9.13)

де с - постійна величина, залежна вiд пружних якостей речовин, k = 0,3?0,5 - показник степені. Логарифмічна залежнiсть ln = f(ln) дає пряму лiнiю

(9.14)

тангенс кута нахилу якої дорівнює k.

Тривалість удару кульок визначається згідно методу, який ґрунтується на вимірюванні тривалості електричного контакту при зіткненні кульок. Принципова схема установки показана на рисунку 9.3. П - імпульси з періодом Т від генератора передаються в лічильник через електричний контакт між кулями. За час удару (час електричного контакту) встигає пройти N імпульсів. Ясно, що = ТN. Період Т знаходиться по кількості імпульсів Nо, які фіксує лічильник за відомий час експозиції t

.

Тоді час удару

(9.15)



Рисунок 9.3

9.2 Порядок виконання роботи

1. Увімкнути лічильник ПСО2-2ЕМ і генератор в мережу.

2. На панелі лічильника натиснути кнопку “N” і вибрати експозицію t, натиснувши одну із кнопок “1с”, “3с” і т.д.

3. Забезпечивши електричний контакт між кулями натиснути кнопку “Сброс”, а потім “Пуск”. На цифровому індикаторі лічильника висвітиться число імпульсів No, які за час t потрапили через кулі від генератора під час дотику. Записати значення t і No в таблицю 9.1.

Таблиця 9.1

№	t, c	No, імп.	No, імп.	(No)2, імп2
1
2
3
4
5
		=		(No)2=

4. Повторити вимірювання ще чотири рази відповідно до пункту 3.

5. Відтиснути кнопку “Экспозиция”. Натиснути кнопку “Сброс”, відвести ліву кулю на кут = 14о. Натиснути кнопку “Пуск”, але так як електричний контакт розірваний, імпульси від генератора до лічильника не проходять. Відкоригувати по шкалі кут відхилення і приготуватись натиснути кнопку “Пуск”. Відпустити кулю і після одного удару натиснути кнопку “Стоп” та візуально замітити по шкалі максимальний кут відхилення другої кулі після удару. Лічильник зафіксує кількість імпульсів N, що встигли пройти за час удару. Записати значення і N в таблицю 9.2.

Таблиця 9.2

, град		N, імп	, с	ln	ln	F, Н	Po кг·м/с	P кг·м/с	Eko Дж	Ek Дж
14
12
10
8
6
4
2

6. Повторити вимірювання відповідно пункту 5 для кутів відхилення 12о, 10о, 8о, 6о, 4о, 2о. Результати занести в таблицю 9.2. Вимкнути прилади.

7. Розрахувати тривалість удару куль за (9.15), підставляючи середнє значення No; силу удару F за (9.11); імпульс до удару Ро за (9.10); кінетичну енергію Еко за (9.12). Для розрахунку після удару імпульсу Р і кінетичної енергії Ек у (9.10) і (9.12) кут замінити на кут .

8 Розрахувати ln ? і ln та побудувати графік залежності ln ? від ln . На прямолінійному участку графіка, а не із таблиці, вибрати дві точки, координати яких легко визначити по масштабованим осям координат, і розрахувати показник степені k за формулою

(9.16)

9. Знайти похибку вимірювання No як для багатократних прямих вимірювань. Інструментальна похибка лічильника 1 імпульс, а похибка зчитування із цифрового приладу дорівнює нулю.

10. У висновку порівняти розрахункове значення k з теоретичним, а також зробити висновок щодо виконання законів збереження механічної енергії та імпульсу, співставивши їх значення до та після удару.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Що називається ударом?

2. Який удар називається абсолютно пружним?

3. Які системи називаються консервативними?

4. Сформулювати закон збереження імпульсу.

5. Сформулювати закон збереження механічної енергії.

6. Записати закон збереження імпульсу для центрального абсолютно пружного удару куль.

7. Записати закон збереження механічної енергії для центрального абсолютно пружного удару куль.

8. Вивести формули для визначення швидкостей куль після абсолютно пружного удару.

Інструкцію склав доцент кафедри фізики Манько В.К.

Рецензент: старший викладач Работкіна О.В.

Затверджена на засіданні кафедри фізики, протокол № 3 від 01.12.2008 р.

10. ПРУЖНИЙ І НЕПРУЖНИЙ УДАРи КУЛЬ

МЕТА РОБОТИ Визначити коефіцієнти пропорційності в законах збереження імпульсу і механічної енергії при пружному і непружному співударяннях куль і порівняти їх експериментальні значення з теоретичними.

ОБЛАДНАННЯ - Дві кулі.

10.1 Основні положення

Ударом називається зіткнення тіл, при якому за дуже короткий проміжок часу відбувається значна зміна швидкостей тіл.

Під час удару тіла зазнають деформації. Кінетична енергія відносного руху тіл. що співударяються. па короткий час перетворюється в енергію пружної деформації. При ньому має місце перерозподіл енергії між тілами, що співударяються.

Якщо після зіткнення в обох взаємодіючих тілах не залишається ніяких деформацій і уся кінетична енергія, яку вони мали до удару, знову перетворюється в їх кінетичну енергію, то таке зіткнення називається абсолютно пружним ударом.

Якщо в результаті зіткнення двох тіл деформація не зникає й обидва тіла, об'єднуючись, рухаються далі як єдине тіло, то таке зіткнення називається абсолютно непружним ударом.

Пряма, що проходить через точку дотику тіл і нормальна до їхніх поверхонь, називається лінією удару. Якщо лінія удару проходить через центри мас обох тіл, то удар називається центральним.

Удар називається прямим, якщо швидкості взаємодіючих тіл паралельні лінії удару.

Прикладом прямого центрального удару може бути зіткнення двох підвішених па нитках куль у момент проходження ними положення рівноваги.

При абсолютно пружному й абсолютно непружному ударах викопуються закони збереження імпульсу й енергії.

Взагалі законами збереження є фундаментальні закони, згідно з якими за певних умов деякі фізичні величини не змінюються з часом, тобто зберігаються.

Закон збереження і перетворення енергії - загальний закон природи, згідно з яким енергія будь-якої замкнутої системи при всіх процесах, що відбуваються в системі, не змінюється з часом (залишається сталою, зберігається). При цьому енергія може тільки перетворюватися з однієї форми в іншу та перерозподілятися між частинами системи.

Закон збереження імпульсу є закон механіки, згідно з яким сумарний імпульс всіх тіл в будь-якій замкнутій системі при всіх процесах, що відбуваються в системі, не змінюється з часом (залишається сталим, зберігається). Імпульс може перерозподілятися між частинами системи в результаті їхньої взаємодії. Запишемо їх для випадку прямого центрального удару підвішених двох куль.

Закон збереження імпульсу:

а) для абсолютно пружного удару

або в проекції на вісь ОХ, що збігається з лінією удару,

(10.1)

б) для абсолютно непружного удару

(10.2)

Закон збереження енергії:

а) для абсолютно пружного удару

(10.3)

б) для абсолютно не пружного удару

(10.4)

де ?W величина механічної енергії куль, що перейшла в їхню внутрішню енергію. У випадку, якщо одна із куль (наприклад, із масою m2) перед зіткненням знаходилася в спокої, то вирази (10.1), (10.2), (10.3 ) і (10.4) набудуть вигляду:

(10.5)

(10.6)

(10.7)

(10.8)

Проте досвід показує, що відносна швидкість тіл після удару не досягає свого колишнього значення. Це пояснюється тим, що немає ідеально пружних тіл і ідеально гладких поверхонь. Крім того, системи реальних тіл не бувають абсолютно замкнутими.

У застосуванні до реальних тіл рівняння (10.5), (10.6), (10.7) і (10.8) можуть бути записані тільки з відповідними коефіцієнтами пропорційності:

(10.9)

(10.10)

(10.11)

(10.12)

Індекси при коефіцієнтах К означають: іпр - для імпульсу при пружному ударі; інепр - для імпульсу при непружному ударі; епр - для енергії при пружному ударі; енепр - для енергії при непружному ударі.

Оцінимо величину введених коефіцієнтів К для випадку, що реалізується в нашому лабораторному пристрої.

Система застосовуваних куль слабо взаємодіє з навколишніми тілами (через повітря, нитку підвісу і т. п.), тому "втрати" імпульсу й енергії при пружному ударі будуть незначними і коефіцієнти Кіпр, Кінепр, Кепр повинні бути трохи меншими одиниці. При непружному ударі у внутрішню енергію переходить значна частина початкової кінетичної енергії і коефіцієнт Кенепр повинен значно відрізнятися від 1. (Легко показати, що при m1 = m2 ідеальний коефіцієнт Кенепр= 0..5. Для цього потрібно розв'язати спільно рівняння (10.10) і (10.12), враховуючи, що Кінепр=1). Довівши експериментально, що Кіпр, Кінепр, Кепр трохи менші за 1, а значення Кенепр значно відрізняється від 1, ми тим самим підтвердимо справедливість рівностей (10.9), (10.10), (10.11) і (10.12) (у межах похибок виміру), а отже підтвердимо і закони збереження імпульсу й енергії при співударянні реальних тіл.

Зведемо вирази (10.9), (10.10), (10.11) і (10.12) до вигляду, зручному для обчислення коефіцієнтів К. Розглянемо рис.10.1, куля масою m2 знаходиться в стані спокою, а масою m1 - відведена від положення рівноваги на кут ?1 (умовимося позначати кути до взаємодії куль через ? , а після взаємодії - через ?; індекси: 1 для першої кулі, 2 - для другої).

Куля 1 одержить потенціальну енергію

,

яка під час руху кулі перейде в його кінетичну енергію. В момент удару

,

звідки

.

Якщо кут ?1 малий (< 10°), то (при вимірі кута в радіанах) і тоді . Після удару куля 2 масою m2 одержить швидкість u2 і відхилиться па кут ?2. Аналогічно до вищевикладеного можемо одержати

.

Куля 1 після удару також відхилиться на деякий кут ?1. Тоді

.

Підставивши значення v1, u1 і и2 в (10.9), (10.10). (10.11) і (10.12) і розв'язавши рівняння відносно К, одержимо

,

,

.

Якщо маси куль узяти приблизно однаковими (m1 ? m2 ), то кут відхилення ?1 , кулі масою m1 буде дуже малим і ним можна знехтувати (?1 = 0) Тоді одержимо

(10.13)

(10.14)

(10.15)

(10.16)

Обчислення коефіцієнтів К за формулами (10.13) ? (10.16), зіставлення їх значень із теоретичними для замкнутих систем і одержання певних висновків складає основу даної лабораторної роботи.

Рисунок 10.1

10.2 Порядок виконання роботи

1. За допомогою терезів переконайтеся, що маси куль приблизно однакові.

2. Підвісьте на нитках дві кулі для одержання пружного удару. Відрегулюйте їх взаємне положення так, щоб удар був прямим і центральним.

3. Відхиліть праву кулю на кут ?1, прикріпивши її до електромагніту. Виміряйте і запишіть величину кута ?1 (у градусах) у таблицю з врахуванням похибки на нуль. Здійсніть пружний удар куль, відімкнувши живлення електромагніту. Визначте кут ?2 відхилення лівої кулі (з урахуванням похибки на нуль) і запишіть його значення в таблицю 10.1.

4. Дослід проведіть 5 разів. Результати вимірювань запишіть у таблицю.

5. Поверніть кулі, підвішені на нитках так, щоб одержати непружний удар ("липучками" один до одного). Відхиліть праву кулю на кут ?1, прикріпивши її до електромагніту. Занесіть значення кута ?1 до таблиці.

Таблиця 10.1

№	Пружний удар	Непружний удар
	?1, градус	?2, градус	??, ??, градус	?1, градус	?2, градус	??, ??, градус
1
2
3
4
5
Середне	Кіпр=	Кінепр=
	Кепр=	Кенепр=

7. Здійсніть непружний удар куль. Визначте кут ?2 відхилення системи по лівій кулі (з врахуванням похибки па нуль) і запишіть його значення в таблицю.

8. Дослід проведіть п'ять разів, записуючи дані в таблицю.

9. За формулами (10.13), (10.14), (10.15) і (10.16) обчисліть значення коефіцієнтів К за середніми значеннями кутів ?1 і ?2.

10. Оцініть похибки непрямих вимірювань коефіцієнтів К. (Розрахункові формули для цього одержіть відповідним методом для непрямих вимірювань).

11. Зробіть висновки про підтвердження законів збереження імпульсу й енергії у явищі, що вивчається. Висновки обґрунтуйте.

Контрольні запитання

Чим характерний пружний центральний удар куль?

Чим характерний непружний центральний удар куль?

Сформулюйте закон збереження імпульсу і запишіть його, застосувавши до пружного та попружного ударів куль.

Сформулюйте закон збереження енергії і запишіть його, застосувавши до пружного і непружного ударів куль.

Що показують коефіцієнти пропорційності у формулах (10.9). (10.10), (10.11) і (10.12)?

Виведіть формули для розрахунку похибок непрямих вимірювань коефіцієнтів К у законах збереження.

Інструкцію підготувала старший викладач кафедри фізики Работкіна О.В.

Рецензент - доцент кафедри фізики Манько В.К.

Затверджена на засіданні кафедри фізики,

протокол № 3 від 01.12.2008 р.

11. ELASTIC IMPACT OF BODIES

THE AIM: to study the laws of perfectly elastic impact.

INSTRUMENTATION AND APPLIANCES: two balls suspended to rods, a scale for the angles measurements, a device ПС02-2М to count electric pulses and a generator of electric pulses.

11.1 Task

1. Calculate a mean impact time .

2. Calculate a mean impact force .

3. Calculate the absolute and relative errors of ? and F.

4. Draw the conclusions.

11.2 Short theory

THE IMPACT is interaction of two or more bodies that takes place during a very short time. A magnitude of internal forces appearing in bodies system during the impact is relatively big, so the external forces acting on the bodies at this moment of time can be neglected. This enables to apply the law of conservation of momentum (law of conservation of impulse) for studying the phenomena of the body's collision because a system of interacting bodies is isolated

PERFECTLY ELASTIC IMPACT is interaction of two bodies acting with elastic forces at each other, no mechanical energy of the system being transformed into thermal energy (heat). In this case we can apply both the law of conservation of momentum and mechanical energy.

PERFECTLY INELASTIC IMPACT is interaction of two bodies resulting in partial transformation of the mechanical energy into heat. The bodies move after collision as whole body. In this case we can not apply the law of conservation of mechanical energy, but we can apply the law of conservation of momentum and total energy of system. Hence we may write:

a) for perfectly elastic impact

,

,

where m1 and m2 are the masses of interacting bodies; V1 and V2 are the velocities of the bodies before the impact; and are the velocities of the same bodies after the impact.

b) for perfectly inelastic impact

,

,

where U is the velocity of the bodies system after the impact; Q = E1 - E2 is the mechanical energy turned into heat ( E2 and E1 are the mechanical energy of the system before and after the impact.

11.3 Elastic impact

The experimental installation to study the perfectly elastic impact consist of two rods with suspended balls, the scale for measurement of angles, a generator of elastic pulses and a device to count the pulses. Electric pulses pase through the balls of there is a contact between those balls. It is possible to obtain the bodies interaction time (impact time) if we know the numbers N of electric pulses having passed the balls during impact time and the same numbers N having passed at a second. Evidently can be calculated by the formula

 (11.1)

Mean balls interaction force (mean impact force) can be calculated by the formula, which shows change of momentum of the body and impulse of the force

where F is a mean impact force, ?? is the mean impact time; F?? is the impulse of the force; ?p is the change of body momentum.

Hence

,

where v0 is the body velocity before the impact, v is the body velocity after the impact( v = 0 in our case). According to the law of conservation of mechanical energy

and

,

where h is a height of the lifted ball. If the rod length is equal to l then we can write (according to figure 11.1)

Figure 11.1



(11.2)

Here F is interaction force. You have to count the impact force in this laboratory work. To do this it is necessary to determine numbers N and numbers N0 of electric pulses at the beginning. For that you have to

1) switch on the device ПС02-2M;

2) wait for 5 - 7 minutes to warm up the device;

3) press the key "M" and "f";

4) connect the balls together (with you hand) and press them to each other for good electric contact and press the key "cбpoc" and then "ПУСК";

5) look at the indicator and write down the numbers of pulses passing during 1 second - N0 ;

6) repeat this measurement process four times (you must have five measurements of value N0 ).

Then you have to obtain the value of N. To do that you have to

1) press the key "100";

2) deviate one of the balls at the angle ?= 100 ;

3) release the ball and press the key "ПУСК" simultaneously;

4) press the key "СТОП" after the first balls impact;

5) write out the value N from the indicator;

6) repeat your measurement process four times (you must have five measurements of N).

11.4 Experimental part

1. Measure the number of pulses N0 by the device ПС02-2M as in

was shown above.

2. Measure the number of pulses N the same way (? = 100 ).

3. Fill in the table

n	N0	?N0	(?N0)2	N	?N	?, s	v, m/s	F, N
1
2
3
4
5

4. Calculate mean impact time by the formula (11.1) using and .

5. Calculate mean impact force F by the formula (11.2) using

m = 0.6 kg, l = 0.72 m, ? = 10 and obtained above.

6. Calculate absolute and relative error for ? and F.

7. Draw the conclusion.

Control questions

1. Formulate the first Newton's law.

2. Formulate the second Newton's law.

3. Formulate the third Newton's law and the law of conservation of momentum (impulse).

4. What system is isolated (or closed)?

5. Write the relation between a force and an impulse.

6. Formulate the law of conservation of mechanical energy.

7. Give the determination of perfectly elastic and perfectly inelastic impact.

8. Write the laws of conservation for the impact of two balls.

12. НЕПРУЖНИЙ УДАР ТІЛ

МЕТА РОБОТИ: вивчення законів збереження механічної енергії та імпульсу.

ПРИЛАДИ: два металевих циліндри підвішені на легких стержнях, кутова шкала.

12.1 Коротка теорія непружного удару

Ударом називається процес кінцевої зміни швидкостей тіл за відносно короткий час їх взаємодії. При абсолютно непружному ударі має місце абсолютно пластична деформація, коли набуті при деформації форма і розміри тіл повністю зберігаються після припинення дії сил. Кінетична енергія руху тіл перетворюється частково в тепло і частково в кінетичну енергію. Система замкнута (робота зовнішніх сил дорівнює нулю) і дисипативна. В таких системах виконується закон збереження імпульсу, а закон збереження механічної енергії не виконується, так як чістина її перетворюється в немеханічну енергію - тепло. Але закон збереження усіх видів енергії для замкнутих систем виконується

Рисунок 12.1

Розглянемо непружний центральний удар (рис. 12.1). Після удару тіла рухаються як одне ціле, тобто швидкість U обох тіл після удару однакова. Запишемо рівняння збереження імпульсу та енергії, прийнявши до уваги, що при пластичній деформації виділяється тепло Q:

(12.1)

(12.2)

При відомих масах тіл m1 і m2 та швидкостях 1 і 2 перед ударом знайдемо швидкость U після удару та кількість теплоти Q.

, (12.3)

(12.4)

Наслідок: Якщо маси тіл однакові і одне із тіл, наприклад друге, не рухається, то після удару U = 0,5, тобто швидкість тіл зменшиться в два рази, а в тепло перетвориться половина початкової кінетичної енергії

. (12.5)

У роботі розглядається непружний удар двох тiл однакової маси, які підвішені на стержнях (рис. 12.2). Кути відхилення стержнів вимірюються по шкалі. Маси тіл M і стержнів m, а також довжини стержнів L однакові.

Рисунок 12.2

При відхиленні стержня з вантажем на кут ? центр ваги тіла піднімається на Н, а стержня на Н/2. Їхня потенціальна енергія зростає на величину

(12.6)

В момент проходження тілом нижнього положення, тобто перед ударом ця потенціальна енергія, у відповідності із законом збереження механічної енергії, (якщо знехтувати опором повітря та силою тертя у підвісі), перетвориться у кінетичну енергію обертання перед ударом

(12.7)

Тут J - сума моментів інерції вантажу ML2 (як матеріальної точки) і стержня відносно точки підвісу; - кутова швидкість обертання; - швидкість вантажу перед ударом.

Прирівнюючи праві частини рівнянь (12.6) і (12.7), знайдемо швидкість в залежності від кута відхилення

. (12.8)

Після удару тіла рухаються як одне ціле. Тому, щоб знайти швидкість U та кінетичну енергію Е після удару, у формулах (12.7) і (12.8) М і m замінемо відповідно на 2М і 2m, а кут ? на кут ? відхилення після удару

(12.9)

(12.10)

Відносна втрата механічної енергії на тепло із (12.7) ? (12.10)

(12.11)

12.2 Порядок виконання роботи

1. Розрахувати початковий кут відхилення ? = 15+3N у градусах. для першої половини групи, або ? = 3N для другої половини групи. N - номер підгрупи студентів.

2. Для забезпечення непружного характеру удару на контактуючих поверхнях тіл із пластиліну сформувати невеличку гірку.

3. Відхилити один із стержнів на розрахований кут ? і відпустити. По шкалі кутів зафіксувати кут відхилення ? після удару.

4. Повторити п.3 ще чотири рази (всього буде 5), слідкуючи, щоб після удару тіла за рахунок деформації пластиліну злипались. Результати вимірювань занести в таблицю 12.1.

Таблиця 12.1

№	?	?і	??і	??і2
1
2
3
4
5
		=

5. Розрахувати величини, вказані в таблиці, а також похибку ?? вимірювання кута ?.

6. За формулою (12.11) знайти відносну втрату механічної енергії, одержану експериментально. При виконанні закону збереження енергії вона повинна дорівнювати теоретичному значенню 0,5 (див. наслідок).

7. Порівняти значення і 2. Якщо закон збереження імпульсу виконується, то, згідно з (12.9) та наслідком, вони повинні бути однаковими.

8. Зробити висновок щодо виконання законів збереження імпульсу та енергії.

Контрольні запитання

1. Що називається ударом?

2. Який удар називається абсолютно пластичним?

3. Які системи називаються замкнутими?

4. Сформулювати закон збереження імпульсу.

5. Сформулювати закон збереження механічної енергії.

6. Записати закон збереження імпульсу для центрального абсолютно непружного удару куль.

7. Записати закон збереження механічної енергії для центрального абсолютно непружного удару куль.

8. Вивести формули для визначення швидкостей куль після абсолютно непружного удару.

Інструкцію склав доцент кафедри фiзики Манько В.К.

Рецензент: старший викладач кафедри фізики Работкіна О.В.

Затверджена на засіданні кафедри фізики, протокол № 3 від 01.12.2008 р.

13. INELASTIC IMPACT OF BODIES

THE AIM: to study the laws of conservation of mechanical energy and impulse.

INSTRUMENTATION AND APPLIANCES: two metallic cylinders suspended to the light rods, angle scale.

13.1 Short theory of inelastic impact

The impact is the process of final alternation of velocities of bodies in a comparative short time. During perfectly inelastic impact when the forms and the sizes of bodies obtained during deformation remain after the stop of action of forces, perfectly plastic deformation takes place. The kinetic energy of the bodies motion partially transforms into heat and partially into kinetic energy. The system is closed (the work of the external forces is equal to zero) and dissipative. In such systems the law of conservation of the impulse accomplishes, but the law of conservation of mechanical energy doesn't, because the part of energy converts into non-mechanical energy-heat. But the law of conservation of all kinds of energy for closed systems accomplishes. Let's examine inelastic central impact (fig.13.1).

Figure 13.1

The bodies move as whole body after the impact, it means that the velocity U of both bodies is the same. Let's write down the equation of conservation of impulse and energy, taking into consideration that during the plastic deformation educes heat Q:

 (13.1)

(13.2)

If we know masses of the bodies m1 and m2 and velocities V1 and V2 before the impact we can find the velocity U after the impact and the amount of heat Q.

(13.3)

(13.4)

Consequence: If the masses of the bodies are the same and one of the bodies, for example the second is not moving(stable), then after the impact U=0,5v, it means that the velocity is twice reduced and the half of kinetic energy transfers into heat.

. (13.5)

In this work we examined inelastic impact of two bodies with the same mass which are suspended to the rods (fig.13.2). Inclination angles of the rods are measured by the scale. The masses of the bodies M , the rods m and the lengths of the rods L are the same.

Figure 13.2

During the inclination of the rod with the weight to the angle ф, the centre of the body weight lifts for H, and the centre of the weight of the rod for H/2. Their potential energy increases for such value

(13.6)

At the moment when a body passes low position, that means before the impact this potential energy in accordance to the law of conservation of mechanical energy (if don't count the resistance of the air and the force of friction suspended), transforms into the kinetic energy of rotating body before the impact

(13.7)

Where J is the sum of moments of inertia of the weight ML2 (as a material point) and of the rod ?mL concerning the point of suspension; ? is the angular velocity of rotation; v is the velocity of the weight before the impact.

After comparing the right parts of equations (13.6) and (13.7), we can find the velocity depending on the inclination angle

. (13.8)

After the impact the bodies move as whole body. So to find the velocity U and the kinetic energy E after the impact, in formulas (13.7) and (13.8) we should change M and m correspondingly into 2M and 2m, and the angle ? into inclination angle ? after the impact

 (13.9)

. (13.10)

The relative losses of mechanical energy for heat from equations (13.7) ? (13.10)

(13.11)

13.2 The sequence of performing the work

1. Count the initial inclination angle by formula ?=15+3N in degrees for the first half of students or ?=3N for the second half of students. N is the number of the subgroup of students.

2. For supplying an inelastic character of the impact you should form little hill made of plasticine on the interacting surfaces of the bodies.

3. Incline one of the rods to the counted angle ф and release it. Fix the inclination angle B after the impact by a scale.

4. Repeat 3d item 4 times (in the whole 5 times), watching that after the impact the bodies stick together with the help of plasticine. Fill in the table with the results of measurements.

5. Calculate the values filled in the table, and the error ? of the measurement of angle ?.

6. Calculate the relative loss of mechanical energy by formula (13.11), obtained experimentally.

7. Compare the values sin(?/2) and 2sin(?/2). If the law of conservation of impulse accomplishes then according to the formula (13.9) and consequence, the values of sin must be the same.

8. Make a conclusion about the accomplishing of the laws of conservation of the impulse and mechanical energy.

Table 13.1

№№	?	?і	??і	??і2
1
2
3
4
5
		=

Control questions

1. What is the impact?

2. What kind of impact is called perfectly plastic?

3. What kinds of systems are called closed?

4. Formulate the law of conservation of the impulse.

5. Formulate the law of conservation of mechanical energy.

6. Write down the law of conservation of the impulse for central perfectly inelastic impact of the balls.

7. Write down the law of conservation of mechanical energy for central perfectly inelastic impact of the balls.

8. Deduce a formula for determination the velocities of balls after perfectly inelastic impact.

Authors: S.P. Lushchin, the reader, candidate of physical and mathematical sciences.

Reviewer: S.V. Loskutov, professor, doctor of physical and mathematical sciences.

14. Інструкція з охорони праці при виконанні робіт в лабораторії кафедри фізики

1 Загальні положення

1.1 До роботи в лабораторії допускаються:

- співробітники кафедри, які знають свої функціональні обов'язки та мають допуск до самостійної роботи;

- студенти, що вивчили та засвоїли правила поводження в лабораторії, знають методику проведення лабораторних робіт, пройшли відповідний інструктаж.

1.2 Інструктаж для студентів проводить співробітник кафедри. Кожен студент у журналі «Інструктаж студентів з питань охорони праці» зобов'язаний особистим підписом підтвердити знання інструктажу.

1.3 Допуск студентів до роботи здійснює керівник занять після того, як він з'ясував рівень знань студентів методики проведення лабораторних робіт.

2 Вимоги безпеки перед початком роботи

2.1 Для виконання робіт використовують тільки придатні для роботи прилади та інструменти.

2.2 Перед виконанням роботи керівник повинен особисто перевірити справність приладів і дати дозвіл на виконання роботи.

2.3 Особи, що не беруть участі у виконанні лабораторної роботи, в в лабораторію не допускаються.

3 Вимоги безпеки під час виконання робіт

3.1 Забороняється вмикати або вимикати джерела електричної та світлової енергії без дозволу керівника робіт.

3.2 Забороняється крутити будь-які гвинти, рукоятки, натискувати кнопки, вимикачі, призначення яких для студента невідоме.

3.3 Про усі не недоліки в роботі приладів та обладнання студент повинен негайно повідомити викладача.

3.4 При роботі з маятниками (лаб. робота № 5) стежити за міцністю кріплення вантажів на спицях.

4 Вимоги безпеки після закінчення роботи

4.1 Перед закінчення роботи послідовно вимкнути всі споживачі електроенергії.

4.2 Візуально перевірити справність стенду,установки. Слід пам'ятати, що за зламані прилади студент несе відповідальність.

5 Вимоги безпеки в аварійних ситуаціях

5.1 Виконавець робіт зобов'язаний:

- зупинити роботу;

- вимкнути прилади та обладнання з електричної мережі;

- сповістити керівника робіт про те, що сталося в лабораторії;

5.2 На випадок пожежі приступити до гасіння пожежі наявними засобами пожежогасіння. Діяти згідно розпорядженням свого керівника або особи, що керує гасінням пожежі.

5.3 Керівник робіт сповіщає по тел. 9-101.

Размещено на Allbest.ur

...